2019_2020学年高中数学第1章解三角形1.1.1正弦定理（第2课时）正弦定理（2）课件新人教A版必修5

第一章　解三角形1.1　正弦定理和余弦定理1.1.1　正弦定理第2课时　正弦定理(2)* 学习目标 核心素养 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题(重点).2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题(难点). 1.通过三角形解的个数判断的学习，体现了数学运算和逻辑推理素养.2.借助求解三角形的面积及正弦定理的综合应用，提升数学运算素养.**1．正弦定理及其变形(1)定理 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 ：__________________________________．(2)正弦定理的常见变形：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R为外接圆半径)*a∶b∶c2R①sinA∶sinB∶sinC＝____________；②eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝____；③a＝___________，b＝_____________，c＝_____________；④sinA＝_____，sinB＝_____，sinC＝_____．2RsinA2RsinB2RsinCeq\f(a,2R)eq\f(b,2R)eq\f(c,2R)*思考：在△ABC中，已知acosB＝bcosA．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?[提示]　可借助正弦定理把边化成角：2RsinAcosB＝2RsinBcosA，移项后就是一个三角恒等变换公式sinAcosB－cosAsinB＝0.*2．对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b和A解三角形为例说明*一解两解 A为锐角 图形 关系式 解的个数 ①a＝bsinA；②a≥b ____ bsinA<a<b ____*a<bsinA A为锐角 __________ 无解思考：在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形解的个数．[提示]　sinB＝eq\f(b,a)sinA＝eq\f(10,9)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),9)，而eq\f(\r(3),2)<eq\f(5\r(3),9)<1，所以当B为锐角时，满足sinB＝eq\f(5\r(3),9)的角有60°<B<90°，故对应的钝角B有90°<B<120°，也满足A＋B<180°，故三角形有两解．*3．三角形的面积公式任意三角形的面积公式为：(1)S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝________________＝________________，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．eq\f(1,2)acsinBeq\f(1,2)absinC(2)S△ABC＝eq\f(1,2)ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．(3)S△ABC＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)＝eq\f(1,2)rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．1．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是(　　)A．直角三角形　　　　B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形B　[由正弦定理可得sinA＝sinC⇒eq\f(a,2R)＝eq\f(c,2R)，即a＝c，所以△ABC为等腰三角形．]2．在△ABC中，下列式子与eq\f(sinA,a)的值相等的是(　　)A．eq\f(b,c)B．eq\f(sinB,sinA)C．eq\f(sinC,c)D．eq\f(c,sinC)C　[由正弦定理可得eq\f(sinA,a)＝eq\f(sinB,b)＝eq\f(sinC,c)，故选C.]3．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有(　　)A．一解B．两解C．无解D．无法确定A　[由b<a和大边对大角可知三角形的解的个数为一解．]4．在△ABC中，若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)，则B的值为________．45°　[根据正弦定理知eq\f(sinA,a)＝eq\f(sinB,b)，结合已知条件可得sinB＝cosB，又0°＜B＜180°，所以B＝45°.]*三角形解的个数的判断【例1】　已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a＝10，b＝20，A＝80°；(2)a＝2eq\r(3)，b＝6，A＝30°.*[解]　(1)a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°，讨论如下：∵bsinA＝20sin80°>20sin60°＝10eq\r(3)，∴a<bsinA，∴本题无解．(2)a＝2eq\r(3)，b＝6，a<b，A＝30°<90°，∵bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，∴bsinA<a<b，∴三角形有两解．由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(6sin30°,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，又∵B∈(0°，180°)，∴B1＝60°，B2＝120°.当B1＝60°时，C1＝90°，c1＝eq\f(asinC1,sinA)＝eq\f(2\r(3)sin90°,sin30°)＝4eq\r(3)；当B2＝120°时，C2＝30°，c2＝eq\f(asinC2,sinA)＝eq\f(2\r(3)sin30°,sin30°)＝2eq\r(3).∴B1＝60°时，C1＝90°，c1＝4eq\r(3)；B2＝120°时，C2＝30°，c2＝2eq\r(3).已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求．1．满足B＝60°，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有一个，则k的取值范围是(　　)A．k＝8eq\r(3)　　　　　B．0＜k≤12C．k≥12D．0＜k≤12或k＝8eq\r(3)*D　[已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况进行讨论：当AC＜BCsinB，即12＜ksin60°，即k＞8eq\r(3)时，三角形无解；当AC＝BCsinB，即12＝ksin60°，即k＝8eq\r(3)时，三角形有一解；当BCsinB＜AC＜BC，即eq\f(\r(3),2)k＜12＜k，即12＜k＜8eq\r(3)时，三角形有两解；当0＜BC≤AC，即0＜k≤12时，三角形有一解．综上，0＜k≤12或k＝8eq\r(3)时，三角形有一解．]三角形的面积【例2】　在△ABC中，若a＝2，C＝eq\f(π,4)，coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5)，求△ABC的面积S.思路探究：根据C＝eq\f(π,4)及coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5).利用sinA＝sin(B＋C)求出sinA的值．然后利用正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)求出c值．利用S＝eq\f(1,2)acsinB求解．*[解]　∵coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5)，∴cosB＝2cos2eq\f(B,2)－1＝eq\f(3,5).∴B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sinB＝eq\f(4,5).∵C＝eq\f(π,4)，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(7\r(2),10).∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(2,\f(7\r(2),10))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(10,7).∴S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×2×eq\f(10,7)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,7).已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝eq\f(1,2)ab·sinC＝eq\f(1,2)ac·sinB＝eq\f(1,2)bc·sinA.2．(1)在△ABC中，若a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，则b＝________．(2)在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于________．(1)2eq\r(3)　(2)eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4)　[(1)∵cosC＝eq\f(1,3)，∴C∈(0°，90°)，∴sinC＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up20(2))＝eq\f(2\r(2),3)，又S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)·3eq\r(2)·b·eq\f(2\r(2),3)＝4eq\r(3)，∴b＝2eq\r(3).(2)由正弦定理得sinC＝eq\f(AB·sinB,AC)＝eq\f(\r(3)×\f(1,2),1)＝eq\f(\r(3),2)，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4).]正弦定理的综合应用[探究问题]1．你能用坐标法证明S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB吗？[提示]　(以已知a，b，C为例)以△ABC的顶点C为原点，射线CB的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则顶点A的坐标为(bcosC，bsinC)．过点A作BC边上的高AE，则根据三角函数的定义可得AE＝bsinC，所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)·BC·AE＝eq\f(1,2)·a·bsinC＝eq\f(1,2)absinC.同理可得S＝eq\f(1,2)bcsinA，S＝eq\f(1,2)acsinB.故S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB.2．应用正弦定理解三角形时经常挖掘三角形中哪些隐含条件？[提示]　(1)在△ABC中，A＋B＋C＝π⇒sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)⇒sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2).(2)若△ABC为锐角三角形，则A＋B>eq\f(π,2)，A＋C>eq\f(π,2)，B＋C>eq\f(π,2)；A＋B>eq\f(π,2)⇔A>eq\f(π,2)－B⇔sinA>cosB，cosA<sinB.【例3】　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝－sin2C.(1)求C的大小；(2)若c＝2eq\r(3)，A＝eq\f(π,6)，求△ABC的面积．思路探究：(1)由m·n＝－sin2C，利用三角恒等变换求出C的大小；(2)由正弦定理可得b的大小，利用三角形的面积公式求解．[解]　(1)由题意，m·n＝sinAcosB＋sinBcosA＝－sin2C，即sin(A＋B)＝－sin2C，sinC＝－2sinCcosC.由0<C<π，得sinC>0.所以cosC＝－eq\f(1,2).C＝eq\f(2π,3).(2)由C＝eq\f(2π,3)，A＝eq\f(π,6)，得B＝π－A－C＝eq\f(π,6).由正弦定理，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(b,sin\f(π,6))＝eq\f(2\r(3),sin\f(2π,3))，解得b＝2.所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)×sineq\f(π,6)＝eq\r(3).(变条件，结论)将例题中的条件“m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝－sin2C”换为“若a＋c＝2b，2cos2B－8cosB＋5＝0”求角B的大小并判断△ABC的形状．[解]　∵2cos2B－8cosB＋5＝0，∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.∴4cos2B－8cosB＋3＝0，即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.解得cosB＝eq\f(1,2)或cosB＝eq\f(3,2)(舍去)．∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,3).∵a＋c＝2b.由正弦定理，得sinA＋sinC＝2sinB＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3).∴sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＝eq\r(3)，∴sinA＋sineq\f(2π,3)cosA－coseq\f(2π,3)sinA＝eq\r(3).化简得eq\f(3,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＝eq\r(3)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＝1.∵0<A<eq\f(2π,3)，∴eq\f(π,6)<A＋eq\f(π,6)<eq\f(5π,6)，∴A＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2).∴A＝eq\f(π,3)，C＝eq\f(π,3).∴△ABC是等边三角形．*借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式．*1．会用正弦定理的四个变形(1)(角化边)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).(2)(边化角)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(3)(边角互换)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(4)(比例的性质)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC).*2．应用正弦定理解三角形时应注意挖掘的三个隐含条件(1)在△ABC中，a＋b＞c，|a－b|＜c；A＞B⇔sinA＞sinB，A＞B⇔cosA＜cosB；a＞b⇔A＞B；sinA＋sinB＞sinC.(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π⇒sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)⇒sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2).(3)若△ABC为锐角三角形，则A＋B＞eq\f(π,2)，A＋C＞eq\f(π,2)，B＋C＞eq\f(π,2)；A＋B＞eq\f(π,2)⇔A＞eq\f(π,2)－B⇔sinA＞cosB，cosA＜sinB.*1．判断正误(1)在△ABC中，等式bsinA＝asinB总能成立．(　　)(2)在△ABC中，若∠A＝30°，a＝2，b＝2eq\r(3)，则B＝60°.(　　)(3)在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解．(　　)[ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ]　(1)√　(2)×　(3)×　[提示]　(2)由正弦定理可知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(2,sin30°)＝eq\f(2\r(3),sinB)，所以sinB＝eq\f(\r(3),2)，则B＝60°或120°，又因为b>a，所以B>A，故B＝60°或120°.(3)当bsinA<a<b时，△ABC有两解．2．满足a＝4，b＝3和A＝45°的△ABC的个数为(　　)A．0　　　　　　　B．1C．2D．无数多B　[因为A＝45°<90°，a＝4>3＝b，所以△ABC的个数为1.]3．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为(　　)A．3B．3eq\r(3)C．6D．6eq\r(3)B　[由S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×4×3×eq\f(\r(3),2)得S＝3eq\r(3)，故选B.]4．在△ABC中，若b＝5，B＝eq\f(π,4)，tanA＝2，则sinA＝________，a＝________．eq\f(2\r(5),5)　2eq\r(10)　[由tanA＝2，得sinA＝2cosA，由sin2A＋cos2A＝1，得sinA＝eq\f(2\r(5),5)，∵b＝5，B＝eq\f(π,4)，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(2\r(5),\f(\r(2),2))＝2eq\r(10).]*****************