§10 格林函数法求解稳定场问题

第十讲 格林函数法求解稳定场问题 1 格林函数法求解稳定场问题(Green’s Function) Green’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。 从物理上看，一个数学物理方程 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示一种特定的场和产生这种场的源之间关系： 热传导方程（Heat Eq.）： 表示温度场 与热源 之间关系 Poission’s Eq.： 表示静电场 与电荷分布 之间的关系 场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。 例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势： 这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。 或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。这里就引入Grenn’s Functions的概念。 Green’s Functions：代表一个点源所产生的场。 下面，我们先给出Green’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。 （我们将不介绍格林函数法在热传导问题和波动方程求解中的应用。） 普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green’s Functions. 我们只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green’s Functions. 2 泊松方程的格林函数 静电场中常遇到的泊松方程的边值问题： 这里讨论的是静电场 ， 代表自由电荷密度。 格林函数 ：位于 的单位正电荷在 处所激发的满足齐次边界条件的电势。 三维 Green’s Functions 定解问题为： ① 这里 表述了单位正电荷的体密度。 注意：对于第二类齐次边界条件且对于有限的研究区域，这个定解问题无解。这是因为，虽然方程说明 内有单位正电荷存在，而边界条件 说明点源产生的场在边界 上电场的法向分量 处处为零，说明边界条件与方程不相容。另外，可以对方程作积分 这时要包含 点，用高斯定理得 这就矛盾了！！！  注： 高斯定理  这时引入广义格林函数 ②    其中 为常数，还要增加一个条件，以保证解的唯一性。 求解上面方程组①或②，可得在给定区域 的泊松方程的各类边值问题的格林函数。 3 镜像法求G. F. 用Green’s Functions 去求解数理方程的定解问题，首先要求出相同边界、同类边值问题的Green’s Function. 3.1 镜像法的基本概念      很多物理问题没有一个普遍奏效的解法，人们发展了许多方法，而每一种方法只能解决一部分问题。其中的一种办法是所谓“猜解”，即“尝试解”。这要有所谓的“唯一性定理”保证。 唯一性定理： 某些物理问题（如静电边值问题）有唯一解。可以通过并不唯一的方法找到这个唯一解，这样就保证了解题方法的多样性和灵活性。 静电镜像法是一种特殊的猜解方法，其基本思想是：利用点电荷模拟边界面上的感应电荷或极化电荷。 可用于镜像法解决的问题包括： 在点或线电荷与导体（或介质）存在的系统中，空间任一点的场是由点（或线）电荷与界面上感应（或极化）电荷共同产生的，而感应（或极化）电荷事先并不知道。通过分析边界条件可以找到一个（或多个）像电荷来等效地代替导体面（或介质面）上的感应（或极化）电荷，从而把点（或线）电荷与界面上感应（或极化）电荷在待求区域产生场的求解问题转化为真实点电荷和虚像电荷在待求区域所产生场的简单叠加。 镜像法求边值问题的一般步骤为（以静电场为例）： 1） 列出定解问题：电势在待求区域所满足的微分方程和边界条件； 2） 根据边界条件分析镜像电荷的个数、位置； 3） 写出电势分布的形式表达式（尝试解）； 4） 把边界条件带入形式表达式以确定像电荷的量值和位置； 5） 把已求出的像电荷带入形式解以得到真实的电势分布； 6） 根据题意要求可由电势求场强、电荷分布及受力等问题。 静电镜像法分为： 反射镜像法： 平面镜法 球面镜法 半透镜法：平面镜法 球面镜法 3．2  无界空间 定解问题 对应物理问题：单位正电荷 置于 ，求空间任一点 处的电势 库仑定律给出的解――无界区域的Green’s Function： 又叫基本解。 3．2 上半空间 定解问题 这里实际上可以给出满足第一类边界条件的 G. F. of the first kind. 物理问题：在 处，有一无限大接地金属板，在 处有一单位正电荷 ，求金属板上方任一点 处的电势 镜像法的基本思想用在这里：当电荷 置于导体板的上方时，由于静电感应，板上出现异号电荷，空间电场是由电荷 及感应电荷共同激发的，即 。 格林等效层定理：带电导体面上的电荷分布在导体外产生的电势，可以用导体面内的一定的等效电荷分布来代替。 我们通过电场分布分析，引进像电荷――假想电荷――来代替感应电荷作用。在这里，我们在电荷 相对于 平面的镜像位置引进 ，那么 和 激发电场与 和真实感应电荷激发的电场相同。这里 要满足 和 共同在导体面上产生的电势为零。 像电荷的正确引进要符合： ① 像电荷用在求解区域之外引入，因为感生电荷在上半空间的场 处处满足Laplace’s Eq. , 即在上半平面内是无源的。 ② 像电荷的电量 和位置要满足边界条件： 和 。 Then, 和 激发的电势是待求的格林函数。 金属板上的面电荷密度 应能证明： 金属板上总电荷 这说明金属板上总感应电荷等于像电荷。这是因为接地的导体平面相当于一面镜子，而 则是 的像， 称像电荷。 3．3 球外空间 这里还是考虑第一类G.F.函数的求解问题。 定解问题  对应物理问题：接地金属球外 处，有一单位正电荷 ，求球外空间任一点 处的电势 首先引进像电荷 ，要不违反泊松方程，也就是让 产生的电势 满足 Laplace’s Eq., , 必须在求解区域之外一球内，考虑到对称性， 还必须在 上，放在 处。为了保证球面电势为零，即 成立， 为负电荷。 ＝？， ＝？ 应由边界条件定： 也就是 注意，有两个相似三角形。 由此确定了像电荷的位置和电量 这样， 和 激发的电势就是 Green’s Function 用球坐标表示： 场点： ， 电荷所在位置： ， 像电荷 所在位置： ，（这里 ） （余弦定理） （余弦定理） where （ ――加法公式） 在考虑 ， ， 我们得 场强： 球面上电荷分布： 球面上总电荷：  由于球面上感应电荷在球外的场与像电荷－ 的场等效，所以电荷 受感应电荷的力为  4 Green’s Function’s 对称性 重要物理意义： 点的点源，在一定边界条件下，在 产生的场等于：在 置同样强度点源，在相同边界条件下在 产生的场。 这就是物理学中常说的倒易性－互易性。实际上，并非所有格林函数都具有这种对称性，这与边值问题有关。 Proof. 泊松方程的Green’s Fnuctions’ 对称性。 定解问题  : 又有: 对 积分后： 根据Green公式第二式 可得 （5） 与上类似，对定解条件做如下处理得 所以（5）式右边 这就是格林函数的对称性。 5 求解泊松方程的第一类边值问题 泊松方程的第一类边值问题 写出与 有相同边界、同类边值问题的格林函数所满足的方程与边界条件 写出自变量为 的Green’s Formula letting 为待求电势， ， 便有（上式左端代入（3）和（1），右端 ） 利用 函数性质和 Where 为 内整个电荷分布在 处激发电势； 为 外电荷分布在 处激发的电势。 6． 用正交函数组展开格林函数 一个求有界区域GF的重要方法。 Example： 求矩形区域内的Laplace’s Eq. 第一边值问题的GF 满足条件（2）的一组正交函数函数为： （3） 其正交归一关系为： （4） 注意这里选得正交函数组实际上是有条件的： 1） 满足边界条件 2） 实际上是如下本征方程的解－本征函数： 展开所求GF： （5） 带入原方程（1）得： 对于上式做以下积分： We obtain that So And （6） 问题：这里的二重级数收敛很慢，在使用到求普遍问题的解时不 太合适。 改进： 用一个变数的正交函数组 其正交归一关系为 这组函数满足边界条件 ， 同时具有 。 使用 对GF做展开有 （7） 带入原方程（1）得： (8) Where  做运算 可得： (9) 把（7）式带入原边界条件（2）式，可得相应边条件： 。      这样构成了一个本征值问题： （10） 这里已经暂时去掉了下标m，并且令 。 当 时，方程（10）是齐次方程，其通解为 由边界条件   得 so 。 但看另一端边界条件 ，以上解不能满足。它却要求 i.e. we have 所以，定解问题（10）的解为 其中系数待定。 问题是 在 点应该是连续的，否则 在该点会变成无穷大，这与方程（10）的奇异性不符合，因为该式右边的 函数的积分值是有限的。So 因此 （11）