梅氏定理
梅涅劳斯(Menelaus)定理及其逆定理
梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。他指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1。
它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
梅涅劳斯(Menelaus)定理证明
证明一：
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,
则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1
证明二：
过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF
所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1
它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
证明三：
过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，
所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA'
所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1
证明四：
连接BF。
（AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA)
=（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF）
=（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF）
=1
塞瓦定理
塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发
表
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的《直线论》一
书
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，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。
具体内容
塞瓦定理
在△ABC内任取一点O，
直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
证法简介
（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
∵△ADC被直线BOE所截，
∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①
而由△ABD被直线COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②
②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
可用塞瓦定理证明的其他定理;
三角形三条中线交于一点（重心）:如图5 D , E分别为BC , AC 中点 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1
且因为AF=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一点
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