高中数学竞赛讲义-免费-

高中数学竞赛讲义-免费- 高中㟿学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全ഭ高中数学联赛˄一试˅所⎹৺的知识范围н超ࠪ教育部 2000 ᒤǉ全日制普通高㓗中学数学教学大㓢Ǌ中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求к有所提高Ǆ 全国高中数学联赛加试全ഭ高中数学联赛加试˄Ҽ试˅оഭ䱵数学奥林३克接轨，在知识方面有所扩展˗适 ᖃ增加一些教学大㓢之外的内容，所增加的内容是˖ 1.平面几何几个䟽要定理˖梅涅劳斯定理ǃ塞瓦定理ǃ托勒密定理ǃ西姆...

高中㟿学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全ഭ高中数学联赛˄一试˅所⎹৺的知识范围н超ࠪ教育部 2000 ᒤǉ全日制普通高㓗中学数学教学大㓢Ǌ中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求к有所提高Ǆ 全国高中数学联赛加试全ഭ高中数学联赛加试˄Ҽ试˅оഭ䱵数学奥林३克接轨，在知识方面有所扩展˗适 ᖃ增加一些教学大㓢之外的内容，所增加的内容是˖ 1.平面几何几个䟽要定理˖梅涅劳斯定理ǃ塞瓦定理ǃ托勒密定理ǃ西姆ᶮ定理Ǆй角形中的几个特殊点˖旁心ǃ费马点，欧拉线Ǆ几何н等式Ǆ几何极值䰞题Ǆ几何中的ਈ换˖对〠ǃᒣ移ǃ 旋䖜Ǆ圆的幂和根轴Ǆ面〟方法，复数方法，向䟿方法，解析几何方法Ǆ 2.代数周期函数，带绝对值的函数Ǆй角ޜ式，й角恒等式，й角方程，й角н等式，৽й角函数Ǆ递ᖂ，递ᖂ数列৺ަ性质，一阶ǃҼ阶线性常系数递ᖂ数列的通亩ޜ式Ǆ 第Ҽ数学ᖂ㓣法Ǆᒣ均值н等式，柯西н等式，排序н等式，࠷比雪ཛн等式，一元ࠨ函数Ǆ 复数৺ަ指数形式ǃй角形式，欧拉ޜ式，棣莫弗定理，单位根Ǆ多亩式的除法定理ǃ因式 ࠶解定理，多亩式的相等，整系数多亩式的有理根*，多亩式的插值ޜ式*Ǆ n 次多亩式根的个数，根о系数的关系，实系数多亩式虚根成对定理Ǆ 函数迭ԓ，简单的函数方程* 3. 初等数论 ਼余，欧几䟼得除法，裴蜀定理，完全剩余类，Ҽ次剩余，н定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点৺ަ性质，无ェ递降法，欧拉定理*，ᆉ子定理*Ǆ 4.组合问题圆排列，有䟽复元素的排列о组合，组合恒等式Ǆ组合计数，组合几何Ǆ抽屉原理Ǆ容斥原理Ǆ极端原理Ǆമ论䰞题Ǆ集合的划࠶Ǆ覆盖Ǆᒣ面ࠨ集ǃࠨ包৺ᓄ用*Ǆ 注˖有*号的内容加试中暂н考，但在冬Ԕ营中可能考Ǆ 二、初中数学竞赛大纲 1ǃ数整数৺进位制表示法，整除性৺ަ判定˗素数和合数，最大ޜ㓖数о最小ޜ倍数˗奇数和偶数，奇偶性࠶析˗带余除法和利用余数࠶类˗完全ᒣ方数˗因数࠶解的表示法，㓖数个数的计算˗有理数的概念৺表示法，无理数，实数，有理数和实数四则䘀算的封䰝性Ǆ 2ǃԓ数式综合除法ǃ余式定理˗因式࠶解˗拆亩ǃ添亩ǃ配方ǃᖵ定系数法˗对〠式和䖞换对〠式˗整式ǃ࠶ᐕǃ根式的恒等ਈ形˗恒等式的证明Ǆ 3ǃ方程和н等式含ᆇ母系数的一元一次方程ǃ一元Ҽ次方程的解法，一元Ҽ次方程根的࠶布˗含绝对值的一元一次方程ǃ一元Ҽ次方程的解法˗含ᆇ母系数的一元一次н等式的解法，一元Ҽ次н 等式的解法˗含绝对值的一元一次н等式˗简单的多元方程组˗简单的н定方程˄组 Ǆ˅ 4ǃ函数 Ҽ次函数在给定४间к的最值，简单࠶ᐕ函数的最值˗含ᆇ母系数的Ҽ次函数Ǆ 5ǃ几何 й角形中的边角之间的н等关系˗面〟৺等〟ਈ换˗й角形中的边角之间的н等关系˗ 面〟৺等〟ਈ换˗й角形的心˄内心ǃ外心ǃ垂心ǃ䟽心˅৺ަ性质˗相似形的概念和性质˗ 圆，四点共圆，圆幂定理˗四种命题৺ަ关系Ǆ 6ǃ逻䗁推理䰞题抽屉原理৺ަ简单ᓄ用简˗单的组合䰞题简单的逻䗁推理䰞题，৽证法极˗端原理的简单ᓄ用˗枚举法৺ަ简单ᓄ用Ǆ 三、高中数学竞赛基础知识第一章集合о简易逻䗁一ǃส础知识定ѹ 1 一般地，一组确定的ǃ互异的ǃ无序的对象的全体构成集合，简〠集，用大写ᆇ母来表示集˗合中的各个对象〠Ѫ元素，用小写ᆇ母来表示，元素 x在集合 A 中，〠 x属于 A，记Ѫ Ax∈ ，否则〠 xн属于 A，记作 Ax∉ Ǆ例如，通常用 N，Z，Q，B，Q+࠶别表示自然数集ǃ整数集ǃ有理数集ǃ实数集ǃ↓有理数集，н含任何元素的集合〠Ѫ空集，用∅来表示Ǆ集合࠶有限集和无限集є种Ǆ 集合的表示方法有列举法将˖集合中的元素一一列举ࠪ来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}˗᧿述法˖将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法Ǆ 例如{有理数}， }0{ >xx ࠶别表示有理数集和↓实数集Ǆ 定ѹ 2 子集˖对于є个集合 A о B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，则 A ਛ做 B 的子集，记Ѫ BA ⊆ ，例如 ZN ⊆ Ǆ规定空集是任何集合的子集，如果 A 是 B 的子集，B 也是 A 的子集，则〠 A о B 相等Ǆ如果 A 是 B 的子集，而且 B 中ᆈ在元素н属于 A，则 A ਛ B 的真子集Ǆ 定ѹ 3 交集， }.{ BxAxxBA ∈∈= 且I 定ѹ 4 并集， }.{ BxAxxBA ∈∈= 或U 定ѹ 5 补集，若 },{, 1 AxIxxACIA ∉∈=⊆ 且则〠Ѫ A 在 I 中的补集Ǆ 定ѹ 6 差集， },{\ BxAxxBA ∉∈= 且 Ǆ 定ѹ 7 集合 },,{ baRxbxax <∈<< 记作开४间 ),( ba ，集合 },,{ baRxbxax <∈≤≤ 记作䰝४间 ],[ ba ，R 记作 ).,( +∞−∞ 定理 1 集合的性质˖对任意集合 A，B，C，有˖ ˄1˅ );()()( CABACBA IUIUI = ˄2˅ )()()( CABACBA UIUIU = ˗ ˄3˅ );(111 BACBCAC IU = ˄4˅ ).(111 BACBCAC UI = Ǐ证明ǐ䘉䟼仅证˄1 ǃ˅˄ 3 ，˅ަ余⭡读者自ᐡ完成Ǆ ˄1 若˅ )( CBAx UI∈ ，则 Ax∈ ，且 Bx∈ 或 Cx∈ ，所ԕ )( BAx I∈ 或 )( CAx I∈ ， ণ )()( CABAx IUI∈ ৽˗之， )()( CABAx IUI∈ ，则 )( BAx I∈ 或 )( CAx I∈ ， ণ Ax∈ 且 Bx∈ 或 Cx∈ ，ণ Ax∈ 且 )( CBx U∈ ，ণ ).( CBAx UI∈ ˄3 若˅ BCACx 11 U∈ ，则 ACx 1∈ 或 BCx 1∈ ，所ԕ Ax∉ 或 Bx∉ ，所ԕ )( BAx I∉ ， ৸ Ix∈ ，所ԕ )(1 BACx I∈ ，ণ )(111 BACBCAC IU ⊆ ，৽之也有 .)( 111 BCACBAC UI ⊆ 定理 2 加法原理˖做一Ԧһ有n类办法，第一类办法中有 1m 种н਼的方法，第Ҽ类办法中有 2m 种н਼的方法，…，第n类办法中有 nm 种н਼的方法，那Ѹ完成䘉Ԧһ一共有 nmmmN +++= L21 种н਼的方法Ǆ 定理 3 ҈法原理˖做一Ԧһ࠶n个↕骤，第一↕有 1m 种н਼的方法，第Ҽ↕有 2m 种н਼ 的方法，…，第n↕有 nm 种н਼的方法，那Ѹ完成䘉Ԧһ一共有 nmmmN ⋅⋅⋅= L21 种н ਼的方法Ǆ Ҽǃ方法о例题 1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合Ǆ 例 1 设 },,{ 22 ZyxyxaaM ∈−== ，求证˖ ˄1˅ )(,12 ZkMk ∈∈− ˗ ˄2˅ )(,24 ZkMk ∈∈− ˗ ˄3˅若 MqMp ∈∈ , ，则 .Mpq∈ [证明]˄1˅因Ѫ Zkk ∈−1, ，且 22 )1(12 −−=− kkk ，所ԕ .12 Mk ∈− ˄2 假˅设 )(24 ZkMk ∈∈− ，则ᆈ在 Zyx ∈, ，使 2224 yxk −=− ，⭡于 yx − 和 yx + 有相਼的奇偶性，所ԕ ))((22 yxyxyx +−=− 是奇数或 4 的倍数，н可能等于 24 −k ，假设н成立，所ԕ .24 Mk ∉− ˄3˅设 Zbayxbaqyxp ∈−=−= ,,,,, 2222 ，则 ))(( 2222 bayxpq −−= 22222222 aybxbyaa −−+= Myaxbybxa ∈−−−= 22 )()( ˄因Ѫ ZyaxbZyaxa ∈−∈− , Ǆ˅ 2．利用子集的定ѹ证明集合相等，先证 BA ⊆ ，再证 AB ⊆ ，则 A=BǄ 例 2 设 A，B 是є个集合，৸设集合 M 满足 BAMBABAMBMA UUUIII === , ，求集合 M˄用 A，B 表示 Ǆ˅ Ǐ解ǐ先证 MBA ⊆)( I ，若 )( BAx I∈ ，因Ѫ BAMA II = ，所ԕ MxMAx ∈∈ ,I ，所ԕ MBA ⊆)( I ˗ 再证 )( BAM I⊆ ，若 Mx∈ ，则 .BAMBAx UUU =∈ 1˅若 Ax∈ ，则 BAMAx II =∈ ˗2˅若 Bx∈ ，则 BAMBx II =∈ Ǆ所ԕ ).( BAM I⊆ 综к， .BAM I= 3．࠶类讨论思想的ᓄ用Ǆ 例 3 }02{},01{},023{ 222 =+−==−+−==+−= mxxxCaaxxxBxxxA ，若 CCAABA == IU , ，求 ., ma Ǐ解ǐ依题设， }2,1{=A ，再⭡ 012 =−+− aaxx 解得 1−= ax 或 1=x ，因Ѫ ABA =U ，所ԕ AB ⊆ ，所ԕ Aa ∈−1 ，所ԕ 11=−a 或 2，所ԕ 2=a 或 3Ǆ 因Ѫ CCA =I ，所ԕ AC ⊆ ，若 ∅=C ，则 082 <−=∆ m ，ণ 2222 <<− m ，若 ∅≠C ，则 C∈1 或 C∈2 ，解得 .3=m 综к所述， 2=a 或 3=a ˗ 3=m 或 2222 <<− m Ǆ 4．计数原理的ᓄ用Ǆ 例 4 集合 A，B，C 是 I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，˄ 1˅若 IBA =U ，求有序集合对˄A，B˅的个数˗˄ 2˅求 I 的非空真子集的个数Ǆ Ǐ解ǐ˄ 1˅集合 I 可划࠶Ѫй个н相交的子集˗A\B，B\A， IBA ,I 中的⇿个元素恰属于ަ 中一个子集，10 个元素共有 310 种可能，⇿一种可能确定一个满足条Ԧ的集合对，所ԕ集合对有 310个Ǆ ˄2˅I 的子集࠶й类˖空集，非空真子集，集合 I 本身，确定一个子集࠶十↕，第一↕，1 或者属于䈕子集或者н属于，有є种˗第Ҽ↕，2 也有є种，…，第 10 ↕，0 也有є种，⭡ ҈法原理，子集共有 1024210 = 个，非空真子集有 1022 个Ǆ 5．配对方法Ǆ 例 5 给定集合 },,3,2,1{ nI L= 的 k 个子集˖ kAAA ,,, 21 L ，满足任何є个子集的交集非空，并且再添加 I 的任何一个ަ他子集ਾ将н再ާ有䈕性质，求 k 的值Ǆ Ǐ解ǐ将 I 的子集作如л配对˖⇿个子集和它的补集Ѫ一对，共得 12 −n 对，⇿一对н能਼在䘉 k 个子集中，因↔， 12 −≤ nk ˗ަ次，⇿一对中必有一个在䘉 k 个子集中ࠪ⧠，否则，若有一对子集未ࠪ⧠，设Ѫ C1A о A，并设 ∅=1AAI ，则 ACA 11 ⊆ ，Ӿ而可ԕ在 k 个子集中再添加 AC1 ，оᐢ知矛盾，所ԕ 12 −≥ nk Ǆ综к， 12 −= nk Ǆ 6．竞赛常用方法о例䰞题Ǆ 定理 4 容斥原理˗用 A 表示集合 A 的元素个数，则 ,BABABA IU −+= CBACBCABACBACBA IIIIIUU +−−−++= ，需要 xy ↔结论可ԕ 推广到n个集合的情况，ণ∑ ∑ ∑ ∑ = ≠ ≤<<≤= +−= n i kji ji nkji jii n i i AAAAAAA 1 11 IIIU .)1( 1 1IL n i i n A = −−+− 定ѹ 8 集合的划࠶˖若 IAAA n =ULUU 21 ，且 ),,1( jinjiAA ji ≠≤≤∅=I ，则䘉些子集的全集ਛ I 的一个n -划࠶Ǆ 定理 5 最小数原理˖自然数集的任何非空子集必有最小数Ǆ 定理 6 抽屉原理将˖ 1+mn 个元素放入 )1( >nn 个抽屉，必有一个抽屉放有н少于 1+m 个元素，也必有一个抽屉放有н多于m 个元素˗将无ェ多个元素放入n个抽屉必有一个抽屉放有无ェ多个元素Ǆ 例 6 求 1，2，3，…，100 中н能被 2，3，5 整除的数的个数Ǆ Ǐ解ǐ 记 }?2?2,1001{},100,,3,2,1{ xxxxAI 记Ѫ整除能被且≤≤== L ， }5,1001{},3,1001{ xxxCxxxB ≤≤=≤≤= ，⭡容斥原理， +   +   =+−−−++= 3 100 2 100 CBAACCBBACBACBA IIIIIUU 74 30 100 15 100 10 100 6 100 5 100 =   +   −   −   −    ，所ԕн能被 2，3，5 整除的数有 26=− CBAI UU 个Ǆ 例 7 S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意є个数的差н等于 4 或 7，䰞 S 中最多含有多少个元素？ Ǐ解ǐ将任意连续的 11 个整数排成一圈如右മ所示Ǆ⭡题目条Ԧ可知⇿相邻є个数㠣多有一个属于 S，将䘉 11 个数按连续є个Ѫ一组，࠶成 6 组，ަ中一组ਚ有一个数，若 S 含有䘉 11 个数中㠣少 6 个，则必有є个数在਼一组，оᐢ知矛盾，所ԕ S 㠣多含有ަ中 5 个数Ǆ ৸因Ѫ 2004=182×11+2，所ԕ S 一共㠣多含有 182×5+2=912 个元素，ਖ一方面，ᖃ },2004,10,7,4,2,1,11{ NkrttkrrS ∈≤=+== 时，恰有 912=S ，且 S 满足题目条Ԧ，所ԕ最少含有 912 个元素Ǆ 例8 求所有自然数 )2( ≥nn ，使得ᆈ在实数 naaa ,,, 21 L 满足˖ }. 2 )1( ,,2,1{}1}{ − =≤<≤− nn njiaa ji L Ǐ解ǐ ᖃ 2=n 时， 1,0 21 == aa ˗ᖃ 3=n 时， 3,1,0 321 === aaa ˗ᖃ 4=n 时， 1,5,2,0 4321 ==== aaaa Ǆл证ᖃ 5≥n 时，нᆈ在 naaa ,,, 21 L 满足条ԦǄ Ԕ naaa <<<= L210 ，则 . 2 )1( − = nn an 所ԕ必ᆈ在某є个л标 ji < ，使得 1−=− nji aaa ，所ԕ 1111 −− =−=− nnn aaaa 或 21 aaa nn −=− ，ণ 12 =a ，所ԕ 1, 2 )1( 1 −= − = − nnn aa nn a 或 2 )1( − = nn an ， 12 =a Ǆ ˄ν˅若 1, 2 )1( 1 −= − = − nnn aa nn a ，考虑 2−na ，有 22 −=− nn aa 或 22 aaa nn −=− ， ণ 22 =a ，设 22 −=− nn aa ，则 121 −−− −=− nnnn aaaa ，ሬ㠤矛盾，故ਚ有 .22 =a 考虑 3−na ，有 23 −=− nn aa 或 33 aaa nn −=− ，ণ 33 =a ，设 23 −=− nn aa ，则 0221 2 aaaa nn −==− −− ，推ࠪ矛盾，设 33 =a ，则 231 1 aaaa nn −==− − ，৸推ࠪ矛盾，所ԕ 4,22 ==− naan 故ᖃ 5≥n 时，нᆈ在满足条Ԧ的实数Ǆ ˄ξ˅若 1, 2 )1( 2 = − = a nn an ，考虑 2−na ，有 12 −=− nn aa 或 32 aaa nn −=− ，ণ 23 =a ，䘉时 1223 aaaa −=− ，推ࠪ矛盾，故 21 −=− nn aa Ǆ考虑 3−na ，有 23 −=− nn aa 或 −=− nn aa 3 3a ，ণ 3a =3，于是 123 −−=− nn aaaa ，矛盾Ǆ因↔ 32 −=− nn aa ，所ԕ 1221 1 aaaa nn −==− −− ，䘉৸矛盾，所ԕਚ有 22 aan =− ，所ԕ 4=n Ǆ故ᖃ 5≥n 时，н ᆈ在满足条Ԧ的实数Ǆ 例 9 设 A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在 A 中取й个数，B 中取є个数组成五个元素的集合 iA ， .201,2,20,,2,1 ≤<≤≤= jiAAi ji IL 求n的最小值Ǆ Ǐ解ǐ .16min =n 设 B 中⇿个数在所有 iA 中最多䟽复ࠪ⧠ k 次，则必有 4≤k Ǆ若н然，数m ࠪ⧠ k 次 ˄ 4>k ，˅则 .123 >k 在m ࠪ⧠的所有 iA 中，㠣少有一个 A 中的数ࠪ⧠ 3 次，н妨设它是 1，就有集合{1， 121 ,,, bmaa } },,,,1{},,,,,1{ 365243 bmaabmaa ，ަ中 61, ≤≤∈ iAai ， Ѫ满足题意的集合Ǆ ia 必各н相਼，但ਚ能是 2，3，4，5，6 䘉 5 个数，䘉н可能，所ԕ .4≤k 20 个 iA 中，B 中的数有 40 个，因↔㠣少是 10 个н਼的，所ԕ 16≥n Ǆᖃ 16=n 时，如л 20 个集合满足要求˖ {1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}， {1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}， {1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}， {2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}， {3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}Ǆ 例 10 集合{1，2，…，3n}可ԕ划࠶成n个互н相交的й元集合 },,{ zyx ，ަ中 zyx 3=+ ，求满足条Ԧ的最小↓整数 .n Ǐ解ǐ 设ަ中第 i个й元集Ѫ ,,,2,1},,,{ nizyx ii L= 则 1+2+…+ ∑ = = n i izn 1 ,43 所ԕ ∑ = = + n i iz nn 1 4 2 )13(3 ǄᖃnѪ偶数时，有 n38 ，所ԕ 8≥n ，ᖃnѪ奇数时，有 138 +n ，所ԕ 5≥n ，ᖃ 5=n 时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10， 14，8}满足条Ԧ，所ԕn的最小值Ѫ 5Ǆ 第Ҽ章 Ҽ次函数о命题一ǃส础知识 1．Ҽ次函数˖ᖃ ≠a 0 时，y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 〠Ѫ关于 x 的Ҽ次函数，ަ对〠轴 Ѫ直线 x=- a b 2 ，ਖ外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，ަ中 x0=- a b 2 ，л਼Ǆ 2．Ҽ次函数的性质˖ᖃ a>0 时，f(x)的മ象开口向к，在४间˄-∞，x0]к随自ਈ䟿 x 增大函数值߿小˄简〠递߿ ，˅在[x0, -∞˅к随自ਈ䟿增大函数值增大˄简〠递增 Ǆ˅ᖃ a<0 时，情况相৽Ǆ 3．ᖃ a>0 时，方程 f(x)=0 ণ ax2+bx+c=0…ķ和н等式 ax2+bx+c>0…ĸ৺ ax2+bx+c<0…Ĺо 函数 f(x)的关系如л˄记△=b2-4ac Ǆ˅ 1˅ᖃ△>0 时，方程ķ有є个н等实根，设 x1,x2(x1x2}和{x|x10，ᖃ x=x0时，f(x)取最小值 f(x0)= a bac 4 4 2− ,若 a<0，则ᖃ x=x0= a b 2 − 时，f(x)取最大值 f(x0)= a bac 4 4 2− .对于给定४间[m,n]к的Ҽ次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)，ᖃ x0∈[m, n]时，f(x)在[m, n]к的最小值Ѫ f(x0); ᖃ x0n 时，f(x)在[m, n]к的最小值Ѫ f(n)˄ԕк结论⭡Ҽ次函数മ象ণ可得ࠪ Ǆ˅ 定ѹ 1 能判断真假的语ਕਛ命题，如Ā3>5ā是命题，Ā萝卜好大āн是命题Ǆн含逻䗁联结词Ā或āǃĀ且āǃĀ非ā的命题ਛ做简单命题，⭡简单命题о逻䗁联结词构成的命题⭡复合命题Ǆ 注 1 Āp 或 qā复合命题ਚ有ᖃ p，q ਼Ѫ假命题时Ѫ假，否则Ѫ真命题 Ā˗p 且 qā复合命题ਚ有ᖃ p，q ਼时Ѫ真命题时Ѫ真，否则Ѫ假命题˗p оĀ非 pāণĀpā恰好一真一假Ǆ 定ѹ 2 原命题˖若 p 则 q˄ p Ѫ条Ԧ，q Ѫ结论˅˗ 逆命题˖若 q 则 p˗否命题˖若非 p 则 q˗ 逆否命题˖若非 q 则非 pǄ 注 2 原命题оަ逆否命题਼真假Ǆ一个命题的逆命题和否命题਼真假Ǆ 注 3 ৽证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题Ǆ 定ѹ 3 如果命题Ā若 p 则 qāѪ真，则记Ѫ p⇒ q 否则记作 p≠ q.在命题Ā若 p 则 qā中，如果ᐢ知 p⇒ q,则 p 是 q 的充࠶条Ԧ˗如果 q⇒ p，则〠 p 是 q 的必要条Ԧ˗如果 p⇒ q 但 q н⇒ p，则〠 p 是 q 的充࠶非必要条Ԧ˗如果 p н⇒ q 但 p⇒ q，则 p 〠Ѫ q 的必要非充 ࠶条Ԧ˗若 p⇒ q 且 q⇒ p，则 p 是 q 的充要条ԦǄ Ҽǃ方法о例题 1．ᖵ定系数法Ǆ 例 1 设方程 x2-x+1=0 的є根是干，平，求满足 f(干)=平,f(平)=干,f(1)=1 的Ҽ次函数 f(x). Ǐ解ǐ 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠ 0), 则⭡ᐢ知 f(干)=平,f(平)=干相߿并整理得˄干-平˅[˄干+平˅a+b+1]=0，因Ѫ方程 x2-x+1=0 中△≠ 0，所ԕ干≠平，所ԕ(干+平)a+b+1=0. ৸干+平=1,所ԕ a+b+1=0. ৸因Ѫ f(1)=a+b+c=1，所ԕ c-1=1，所ԕ c=2. ৸ b=-(a+1)，所ԕ f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再⭡ f(干)=平得 a干2-(a+1)干+2=平, 所ԕ a干2-a干+2=干+平=1，所ԕ a干2-a干+1=0. ণ a(干2-干+1)+1-a=0,ণ 1-a=0，所ԕ a=1, 所ԕ f(x)=x2-2x+2. 2．方程的思想Ǆ 例 2 ᐢ知 f(x)=ax2-c 满足-4İf(1)İ-1, -1İf(2)İ5，求 f(3)的取值范围Ǆ Ǐ解ǐ 因Ѫ-4İf(1)=a-cİ-1, 所ԕ 1İ-f(1)=c-aİ4. ৸-1İf(2)=4a-cİ5, f(3)= 3 8 f(2)- 3 5 f(1), 所ԕ 3 8 ×(-1)+ 3 5 İf(3)İ 3 8 ×5+ 3 5 ×4, 所ԕ-1İf(3)İ20. 3．利用Ҽ次函数的性质Ǆ 例 3 ᐢ知Ҽ次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a≠ 0)，若方程 f(x)=x 无实根，求证方˖程 f(f(x))=x 也无实根Ǆ Ǐ证明ǐ若 a>0，因Ѫ f(x)=x 无实根，所ԕҼ次函数 g(x)=f(x)-x മ象о x 轴无ޜ共点且开口向к，所ԕ对任意的 x∈R,f(x)-x>0 ণ f(x)>x，Ӿ而 f(f(x))>f(x)Ǆ 所ԕ f(f(x))>x，所ԕ方程 f(f(x))=x 无实根Ǆ 注˖请读者思考例 3 的逆命题是否↓确Ǆ 4．利用Ҽ次函数表达式解题Ǆ 例 4 设Ҽ次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程 f(x)=x 的є根 x1, x2 满足 00，所ԕ f(x)>x. ަ次 f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+ a 1 ]<0，所ԕ f(x)1，求证˖方程的↓根比 1 小，负根比-1 大Ǆ Ǐ证明ǐ 方程ॆѪ 2a2x2+2ax+1-a2=0. 构造 f(x)=2a2x2+2ax+1-a2, f(1)=(a+1) 2 >0, f(-1)=(a-1) 2 >0, f(0)=1-a 2 <0, ণ△>0，所ԕ f(x)在४间˄-1,0˅和˄0，1˅к各有一根Ǆ ণ方程的↓根比 1 小，负根比-1 大Ǆ 6．定ѹ在४间к的Ҽ次函数的最值Ǆ 例 6 ᖃ x 取何值时，函数 y= 22 24 )1( 5 + ++ x xx 取最小值？求ࠪ䘉个最小值Ǆ Ǐ解ǐ y=1- 222 )1( 5 1 1 + + + xx ,Ԕ = +1 1 2x u,则 0-(b+1)，ণ b>-2 时，x2+bx 在[0，-(b+1)]к是߿函数，所ԕ x2+bx 的最小值Ѫ b+1,b+1=- 2 1 ,b=- 2 3 . 综к，b=- 2 3 . 7.一元Ҽ次н等式䰞题的解法Ǆ 例 8 ᐢ知н等式组    >+ <−+− 12 022 ax aaxx ķĸ的整数解恰好有є个，求 a 的取值范围Ǆ Ǐ解ǐ 因Ѫ方程 x2-x+a-a2=0 的є根Ѫ x1=a, x2=1-a, 若 aİ0，则 x11-2a. 因Ѫ 1-2aı1-a，所ԕ aİ0,所ԕн等式组无解Ǆ 若 a>0，ν˅ᖃ 0 2 1 时，a>1-a，⭡ĸ得 x>1-2a，所ԕн等式组的解集Ѫ 1-a1 且 a-(1-a)İ3，所ԕ 10，△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2İ0 恒成立，所ԕ(B-A-C)2-4ACİ0，ণ A2+B2+C2 İ2(AB+BC+CA) ਼理有 Bı0，Cı0，所ԕ必要性成立Ǆ 再证充࠶性，若 Aı0，Bı0，Cı0 且 A2+B2+C2İ2(AB+BC+CA)， 1˅若 A=0，则⭡ B2+C2İ2BC 得(B-C)2İ0，所ԕ B=C，所ԕ△=0，所ԕĸ成立，ķ成立Ǆ 2˅若 A>0，则⭡Ĺ知△İ0，所ԕĸ成立，所ԕķ成立Ǆ 综к，充࠶性得证Ǆ 9．常用结论Ǆ 定理 1 若 a, b∈R, |a|-|b|İ|a+b|İ|a|+|b|. Ǐ证明ǐ 因Ѫ-|a|İaİ|a|,-|b|İbİ|b|，所ԕ-(|a|+|b|)İa+bİ|a|+|b|, 所ԕ|a+b|İ|a|+|b|˄注˖若 m>0，则-mİxİm 等ԧ于|x|İm˅. ৸|a|=|a+b-b|İ|a+b|+|-b|, ণ|a|-|b|İ|a+b|.综к定理 1 得证Ǆ 定理 2 若 a,b∈R, 则 a2+b2ı2ab˗若 x,y∈R+,则 x+yı .2 xy (证略) 注定理 2 可ԕ推广到 n 个↓数的情况，在н等式证明一章中䈖㓶论证Ǆ 第й章函数一ǃส础知识定ѹ 1 映射，对于任意є个集合 A，B，依对ᓄ法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x，在 B 中都有唯一一个元素о之对ᓄ，则〠 f: A→B Ѫ一个映射Ǆ 定ѹ 2 单射，若 f: A→B 是一个映射且对任意 x, y∈A, x≠ y, 都有 f(x)≠ f(y)则〠之Ѫ单射Ǆ 定ѹ 3 满射，若 f: A→B 是映射且对任意 y∈B，都有一个 x∈A 使得 f(x)=y，则〠 f: A→B 是 A 到 B к的满射Ǆ 定ѹ 4 一一映射，若 f: A→B 既是单射৸是满射，则ਛ做一一映射，ਚ有一一映射ᆈ在逆映射，ণӾ B 到 A ⭡相৽的对ᓄ法则 f-1 构成的映射，记作 f-1: A→BǄ 定ѹ 5 函数，映射 f: A→B 中，若 A，B 都是非空数集，则䘉个映射Ѫ函数ǄA 〠Ѫ它的定 ѹ域，若 x∈A, y∈B，且 f(x)=y˄ণ x 对ᓄ B 中的 y ，˅则 y ਛ做 x 的象，x ਛ y 的原象Ǆ集合{f(x)|x∈A}ਛ函数的值域Ǆ通常函数⭡解析式给ࠪ，↔时函数定ѹ域就是使解析式有意ѹ 的未知数的取值范围，如函数 y=3 x -1 的定ѹ域Ѫ{x|xı0,x∈R}. 定ѹ 6 ৽函数，若函数 f: A→B˄通常记作 y=f(x)˅是一一映射，则它的逆映射 f-1: A→B ਛ原函数的৽函数，通常写作 y=f-1(x). 䘉䟼求৽函数的过程是˖在解析式 y=f(x)中৽解 x 得 x=f -1 (y)，然ਾ将 x, y 互换得 y=f-1(x)，最ਾ指ࠪ৽函数的定ѹ域ণ原函数的值域Ǆ例如˖函数 y= x−1 1 的৽函数是 y=1- x 1 (x≠ 0). 定理 1 互Ѫ৽函数的є个函数的മ象关于直线 y=x 对〠Ǆ 定理 2 在定ѹ域кѪ增˄߿˅函数的函数，ަ৽函数必Ѫ增˄߿˅函数Ǆ 定ѹ 7 函数的性质Ǆ ˄1˅单调性˖设函数 f(x)在४间 I к满足对任意的 x1, x2∈I 并且 x1< x2，总有 f(x1)f(x2))，则〠 f(x)在४间 I к是增˄߿˅函数，४间 I 〠Ѫ单调增˄߿˅४间Ǆ ˄2˅奇偶性˖设函数 y=f(x)的定ѹ域Ѫ D，且 D 是关于原点对〠的数集，若对于任意的 x ∈D，都有 f(-x)=-f(x)，则〠 f(x)是奇函数˗若对任意的 x∈D，都有 f(-x)=f(x)，则〠 f(x)是偶函数Ǆ奇函数的മ象关于原点对〠，偶函数的മ象关于 y 轴对〠Ǆ ˄3˅周期性˖对于函数 f(x)，如果ᆈ在一个нѪ零的常数 T，使得ᖃ x 取定ѹ域内⇿一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则〠 f(x)Ѫ周期函数，T 〠Ѫ䘉个函数的周期，如果周期中ᆈ在最小的↓数 T0，则䘉个↓数ਛ做函数 f(x)的最小↓周期Ǆ 定ѹ 8 如果实数 aa}记作开४间˄a, +∞ ，˅集合{x|xİa}记作半开半䰝४间˄-∞,a]. 定ѹ 9 函数的മ象，点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}〠Ѫ函数 y=f(x)的മ象，ަ中 D Ѫ f(x)的定ѹ 域Ǆ通过画മн难得ࠪ函数 y=f(x)的മ象оަ他函数മ象之间的关系(a,b>0)˗˄ 1˅向右ᒣ移 a 个单位得到 y=f(x-a)的മ象˗˄ 2˅向ᐖᒣ移 a 个单位得到 y=f(x+a)的മ象˗˄ 3˅向лᒣ移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的മ象˗˄ 4˅о函数 y=f(-x)的മ象关于 y 轴对〠˗˄ 5˅о函数 y=-f(-x) 的മ象关于原点成中心对〠˗˄6 о˅函数 y=f-1(x)的മ象关于直线 y=x 对〠˗˄7 о˅函数 y=-f(x) 的മ象关于 x 轴对〠Ǆ 定理 3 复合函数 y=f[g(x)]的单调性，记住四个ᆇ Ā˖਼增异߿āǄ例如 y= x−2 1 , u=2-x 在˄- ∞,2˅к是߿函数，y= u 1 在˄0，+∞˅к是߿函数，所ԕ y= x−2 1 在˄-∞,2˅к是增函数Ǆ 注˖复合函数单调性的判断方法Ѫ਼增异߿Ǆ䘉䟼н做ѕ格论证，求ሬ之ਾ是显然的Ǆ Ҽǃ方法о例题 1．数形结合法Ǆ x y 1 1 例 1 求方程|x-1|= x 1 的↓根的个数. Ǐ解ǐ ࠶别画ࠪ y=|x-1|和 y= x 1 的മ象，⭡മ象可知є者有唯一交点，所ԕ方程有一个↓根Ǆ 例 2 求函数 f(x)= 11363 2424 +−−+−− xxxxx 的最大值Ǆ Ǐ解ǐ f(x)= 222222 )0()1()3()2( −+−−−+− xxxx ，记点 P(x, x-2)，A˄3，2 ，˅B ˄0，1 ，˅则 f(x)表示ࣘ点 P 到点 A 和 B 距离的差Ǆ 因Ѫ|PA|-|PA|İ|AB|= 10)12(3 22 =−+ ,ᖃ且仅ᖃ P Ѫ AB 延长线о抛物线 y=x2的交点时等号成立Ǆ 所ԕ f(x)max= .10 2.函数性质的ᓄ用Ǆ 例 3 设 x, y∈R，且满足     =−+− −=−+− 1)1(1997)1( 1)1(1997)1( 3 2 yy xx ，求 x+y. Ǐ解ǐ 设 f(t)=t3+1997t，先证 f(t)在˄-∞，+∞˅к递增Ǆһ实к，若 a0，所ԕ f(t)递增Ǆ ⭡题设 f(x-1)=-1=f(1-y)，所ԕ x-1=1-y，所ԕ x+y=2. 例 4 奇函数 f(x)在定ѹ域˄-1，1˅内是߿函数，৸ f(1-a)+f(1-a2)<0，求 a 的取值范围Ǆ Ǐ解ǐ 因Ѫ f(x) 是奇函数，所ԕ f(1-a2)=-f(a2-1)，⭡题设 f(1-a)0，则⭡ķ得 n<0，设 f(t)=t( 42 +t +1),则 f(t)在˄ 0，+∞ к˅是增函数Ǆ৸ f(m)=f(-n)，所ԕ m=-n，所ԕ 3x-1+2x-3=0，所ԕ x= . 5 4 ξ)若 m<0，且 n>0Ǆ਼理有 m+n=0,x= 5 4 ,但о m<0 矛盾Ǆ 综к，方程有唯一实数解 x= . 5 4 3.配方法Ǆ 例 7 求函数 y=x+ 12 +x 的值域Ǆ Ǐ解ǐ y=x+ 12 +x = 2 1 [2x+1+2 12 +x +1]-1 = 2 1 ( 12 +x +1)-1ı 2 1 -1=- 2 1 . ᖃ x=- 2 1 时，y 取最小值- 2 1 ，所ԕ函数值域是[- 2 1 ，+∞ Ǆ˅ 4．换元法Ǆ 例 8 求函数 y=( x+1 + x−1 +2)( 21 x− +1),x∈[0,1]的值域Ǆ Ǐ解ǐԔ x+1 + x−1 =u，因Ѫ x∈[0,1]，所ԕ 2İu2=2+2 21 x− İ4,所ԕ 2 İuİ2, 所ԕ 2 22 + İ 2 2+u İ2，1İ 2 2u İ2，所ԕ y= 2 2+u ,u 2∈[ 2 +2，8]Ǆ 所ԕ䈕函数值域Ѫ[2+ 2 ，8]Ǆ 5．判别式法Ǆ 例 9 求函数 y= 43 43 2 2 ++ +− xx xx 的值域Ǆ Ǐ解ǐ⭡函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ķ ᖃ y≠ 1 时，ķ式是关于 x 的方程有实根Ǆ 所ԕ△=9(y+1)2-16(y-1)2ı0，解得 7 1 İyİ1. ৸ᖃ y=1 时，ᆈ在 x=0 使解析式成立，所ԕ函数值域Ѫ[ 7 1 ，7]Ǆ 6．关于৽函数Ǆ 例 10 若函数 y=f(x)定ѹ域ǃ值域均Ѫ R，且ᆈ在৽函数Ǆ若 f(x)在(-∞,+ ∞)к递增，求证˖ y=f -1 (x)在(-∞,+ ∞)к也是增函数Ǆ Ǐ证明ǐ设 x10, 所ԕ f(x)在˄-∞，- 3 2 ˅к递增，਼理 f(x)在[- 4 1 ，+∞˅к递增Ǆ 在方程 f(x)=f-1(x)中，记 f(x)=f-1(x)=y，则 yı0，৸⭡ f-1(x)=y 得 f(y)=x，所ԕ xı0,所ԕ x,y∈ [- 4 1 ，+∞˅. 若 x≠ y，设 xy 也可得ࠪ矛盾Ǆ所ԕ x=y. ণ f(x)=x，ॆ简得 3x5+2x4-4x-1=0, ণ(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0, 因Ѫ xı0，所ԕ 3x4+5x3+5x2+5x+1>0，所ԕ x=1. 第四章几个初等函数的性质一ǃส础知识 1．指数函数৺ަ性质˖形如 y=ax(a>0, a≠ 1)的函数ਛ做指数函数，ަ定ѹ域Ѫ R，值域Ѫ ˄0，+∞ ，˅ᖃ 01 时，y=ax Ѫ增函数，它的മ象恒过定点˄ 0， 1 Ǆ˅ 2．࠶数指数幂˖ n m n m n nn mn m nn a a a aaaaa 1 , 1 ,, 1 ==== − − Ǆ 3．对数函数৺ަ性质形˖如 y=logax(a>0, a≠ 1)的函数ਛ做对数函数，ަ 定ѹ域Ѫ˄ 0，+∞ ，˅ 值域Ѫ R，മ象过定点˄1，0 Ǆ˅ᖃ 01 时，y=logax Ѫ增函数Ǆ 4．对数的性质˄M>0, N>0˅˗ 1˅ax=M⇔ x=logaM(a>0, a≠ 1)˗ 2˅loga(MN)= loga M+ loga N˗ 3˅loga˄ N M ˅= loga M- loga N˗4˅loga Mn=n loga M ，˗ 5˅loga n M = n 1 loga M˗6˅aloga M=M; 7) loga b= a b c c log log (a,b,c>0, a, c≠ 1). 5. 函数 y=x+ x a˄a>0 的˅单调递增४间是 ( ]a−∞− , 和 [ )+∞,a ，单调递߿४间Ѫ [ )0,a− 和 ( ]a,0 Ǆ˄ 请读者自ᐡ用定ѹ证明˅ 6．连续函数的性质˖若 a0. Ǐ证明ǐ 设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，则 f(x)是关于 x 的一次函数Ǆ 所ԕ要证原н等式成立，ਚ需证 f(-1)>0 且 f(1)>0˄因Ѫ-10， f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0，所ԕ f(a)>0，ণ ab+bc+ca+1>0. 例 2 ˄ 柯西н等式若˅ a1, a2,…,an是н全Ѫ 0 的实数，b1, b2,…,bn∈R，则˄ ∑ = n i ia 1 2 ·˅˄∑ = n i ib 1 2 ˅ ı(∑ = n i ii ba 1 ) 2，等号ᖃ且仅ᖃᆈ在 ∈µ R，使 ai= ibµ , i=1, 2, …, n 时成立Ǆ Ǐ证明ǐ Ԕ f(x)= ˄∑ = n i ia 1 2 ˅x2-2(∑ = n i ii ba 1 )x+∑ = n i ib 1 2 =∑ = − n i ii bxa 1 2 )( , 因Ѫ∑ = n i ia 1 2 >0，且对任意 x∈R, f(x)ı0，所ԕ△=4(∑ = n i ii ba 1 )-4˄∑ = n i ia 1 2 ˅(∑ = n i ib 1 2 )İ0. 展开得˄∑ = n i ia 1 2 ˅(∑ = n i ib 1 2 )ı(∑ = n i ii ba 1 ) 2Ǆ 等号成立等ԧ于 f(x)=0 有实根，ণᆈ在µ ，使 ai= ibµ , i=1, 2, …, nǄ 例 3 设 x, y∈R+, x+y=c, c Ѫ常数且 c∈(0, 2]，求 u=       +      + y y x x 11 的最小值Ǆ Ǐ解ǐu=       +      + y y x x 11 =xy+ xyx y y x 1 ++ ıxy+ xy 1 +2· x y y x ⋅ =xy+ xy 1 +2. Ԕ xy=t，则 00，所ԕ p q = . 2 51± 例 5 对于↓整数 a, b, c(aİbİc)和实数 x, y, z, w，若 ax=by=cz=70w，且 wzyx 1111 =++ ，求证˖a+b=c. Ǐ证明ǐ ⭡ ax=by=cz=70w取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70. 所ԕ w 1 lga= x 1 lg70, w 1 lgb= y 1 lg70, w 1 lgc= z 1 lg70，相加得 w 1 (lga+lgb+lgc)=       ++ zyx 111 lg70，⭡题设 wzyx 1111 =++ ，所ԕ lga+lgb+lgc=lg70，所ԕ lgabc=lg70. 所ԕ abc=70=2×5×7. 若 a=1，则因Ѫ xlga=wlg70，所ԕ w=0 о题设矛盾，所ԕ a>1. ৸ aİbİc，且 a, b, c Ѫ 70 的↓㓖数，所ԕਚ有 a=2, b=5, c=7. 所ԕ a+b=c. 例 6 ᐢ知 x≠ 1, ac≠ 1, a≠ 1, c≠ 1. 且 logax+logcx=2logbx，求证 c2=(ac)logab. Ǐ证明ǐ ⭡题设 logax+logcx=2logbx，ॆѪԕ a Ѫᓅ的对数，得 b x c x x a a a a a log log2 log log log =+ ，因Ѫ ac>0, ac≠ 1，所ԕ logab=logacc2，所ԕ c2=(ac)logab. 注˖指数о对数式互ॆ，取对数，换元，换ᓅޜ式ᖰᖰ是解题的桥梁Ǆ 3．指数о对数方程的解法Ǆ 解↔类方程的ѫ要思想是通过指对数的䘀算和换元等进行ॆ简求解Ǆ值得注意的是函数单调性的ᓄ用和未知数范围的讨论Ǆ 例 7 解方程˖3x+4 x +5 x =6 x. Ǐ解ǐ 方程可ॆѪ xxx      +     +      6 5 3 2 2 1 =1Ǆ设 f(x)= xxx      +     +      6 5 3 2 2 1 , 则 f(x)在(- ∞,+∞)к是߿函数，因Ѫ f(3)=1，所ԕ方程ਚ有一个解 x=3. 例 8 解方程组˖     = = + + 3 12 xy yx yx yx ˄ަ中 x, y∈R+˅. Ǐ解ǐ є边取对数，则原方程组可ॆѪ . 3lg)( lg12lg)(    =+ =+ glxyyx yxyx ķĸ 把ķԓ入ĸ得(x+y)2lgx=36lgx，所ԕ[(x+y)2-36]lgx=0. ⭡ lgx=0 得 x=1，⭡(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得 x+y=6， ԓ入ķ得 lgx=2lgy，ণ x=y2，所ԕ y2+y-6=0. ৸ y>0，所ԕ y=2, x=4. 所ԕ方程组的解Ѫ     = =     = = 2 4 ; 1 1 2 2 1 1 y x y x . 例 9 ᐢ知 a>0, a≠ 1，试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围Ǆ Ǐ解ǐ⭡对数性质知，原方程的解 x ᓄ满足      >− >− −=− 0 0 )( 22 222 ax akx axakx .ķĸĹ 若ķǃĸ਼时成立，则Ĺ必成立，故ਚ需解    >− −=− 0 )( 222 akx axakx . ⭡ķ可得 2kx=a(1+k2)， ĺ ᖃ k=0 时，ĺ无解˗ᖃ k≠ 0 时，ĺ的解是 x= k ka 2 )1( 2+ ，ԓ入ĸ得 k k 2 1 2+ >k. 若 k<0，则 k2>1，所ԕ k<-1˗若 k>0，则 k2<1，所ԕ 01 时，an=Sn-Sn-1. 定ѹ 2 等差数列，如果对任意的↓整数 n，都有 an+1-an=d˄常数，˅则{an}〠Ѫ等差数列， d ਛ做ޜ差Ǆ若й个数 a, b, c 成等差数列，ণ 2b=a+c，则〠 b Ѫ a 和 c 的等差中亩，若ޜ差 Ѫ d, 则 a=b-d, c=b+d. 定理 2 等差数列的性质˖1˅通亩ޜ式 an=a1+(n-1)d˗2˅前 n 亩和ޜ式˖ Sn= d nn na aan n 2 )1( 2 )( 1 1 −+= + 3˗ a˅n-am=(n-m)d，ަ 中 n, m Ѫ↓整数 4˗ 若˅ n+m=p+q，则 an+am=ap+aq˗5˅对任意↓整数 p, q，恒有 ap-aq=(p-q)(a2-a1)˗6˅若 A，B 㠣少有一个н Ѫ零，则{an}是等差数列的充要条Ԧ是 Sn=An2+Bn. 定ѹ 3 等比数列，若对任意的↓整数 n，都有 q a a n n =+1 ，则{an}〠Ѫ等比数列，q ਛ做ޜ 比Ǆ 定理 3 等比数列的性质˖1˅an=a1qn-1˗2˅前 n 亩和 Sn，ᖃ q≠ 1 时，Sn= q qa n − − 1 )1(1 ˗ᖃ q=1 时，Sn=na1 3˗˅如果 a, b, c 成等比数列，ণ b2=ac(b≠ 0)，则 b ਛ做 a, c 的等比中亩 4˗˅ 若 m+n=p+q，则 aman=apaqǄ 定ѹ 4 极限，给定数列{an}和实数 A，若对任意的ε >0，ᆈ在 M，对任意的 n>M(n∈N), 都有|an-A|<ε ，则〠 A Ѫ n→+∞时数列{an}的极限，记作 .lim Aan n = ∞→ 定ѹ 5 无ェ递缩等比数列，若等比数列{an}的ޜ比 q 满足|q|<1，则〠之Ѫ无ェ递增等比数列，ަ前 n 亩和 Sn的极限˄ণަ所有亩的和˅Ѫ q a −1 1 ˄⭡极限的定ѹ可得 Ǆ˅ 定理 3 第一数学ᖂ㓣法˖给定命题 p(n)，若˖˄ 1˅p(n0)成立˗˄ 2˅ᖃ p(n)时 n=k 成立时能推ࠪ p(n)对 n=k+1 成立，则⭡˄1 ，˅˄ 2˅可得命题 p(n)对一࠷自然数 nın0 成立Ǆ 竞赛常用定理定理 4 第Ҽ数学ᖂ㓣法˖给定命题 p(n)，若˖˄ 1 p˅(n0)成立˗˄ 2˅ᖃ p(n)对一࠷ nİk 的自然数 n 都成立时˄kın0˅可推ࠪ p(k+1)成立，则⭡˄1 ，˅˄ 2˅可得命题 p(n)对一࠷自然数 n ın0 成立Ǆ 定理 5 对于齐次Ҽ阶线性递ᖂ数列 xn=axn-1+bxn-2，设它的特ᖱ方程 x2=ax+b 的є个根Ѫ干, 平:(1)若干≠平，则 xn=c1an-1+c2平n-1，ަ中 c1, c2 ⭡初始条Ԧ x1, x2的值确定˗(2)若干=平，则 xn=(c1n+c2) 干n-1，ަ中 c1, c2 的值⭡ x1, x2 的值确定Ǆ Ҽǃ方法о例题 1．н完全ᖂ㓣法Ǆ 䘉种方法是Ӿ特殊情况ࠪ发去总结更一般的规律，ᖃ然结论未必都是↓确的，但ত是人类探索未知世界的普遍方式Ǆ通常解题方式Ѫ˖特殊→猜想→数学ᖂ㓣法证明Ǆ 例 1 试给ࠪԕл几个数列的通亩˄н要求证明˅˗ 1˅0，3，8，15，24，35，…˗2˅1，5， 19，65，…˗3˅-1，0，3，8，15，…Ǆ Ǐ解ǐ1˅an=n2-1˗2˅an=3n-2n˗3˅an=n2-2n. 例 2 ᐢ知数列{an}满足 a1= 2 1 ,a1+a2+…+an=n2an, nı1，求通亩 an. Ǐ解ǐ 因Ѫ a1= 2 1 ,৸ a1+a2=22·a2, 所ԕ a2= 23 1 × ，a3= 43 1 132 2 × = − +1 aa ,猜想 )1( 1 + = nn an (nı1). 证明˗1˅ᖃ n=1 时，a1= 12 1 × ，猜想↓确Ǆ2˅假设ᖃ nİk 时猜想成立Ǆ ᖃ n=k+1 时，⭡ᖂ㓣假设৺题设，a1+ a1+…+a1=[(k+1)2-1] ak+1,，所ԕ )1( 1 23 1 12 1 +× ++ × + × kk L =k(k+2)ak+1, ণ 1 11 3 1 2 1 2 1 1 + −++−+− kk L =k(k+2)ak+1, 所ԕ 1+k k =k(k+2)ak+1,所ԕ ak+1= . )2)(1( 1 ++ kk ⭡数学ᖂ㓣法可得猜想成立，所ԕ . )1( 1 + = nn an 例 3 设 01. Ǐ证明ǐ 证明更强的结论˖1 + ++ =+ + ≥+=>+ + a a a aa a a a a aa k k ⭡数学ᖂ㓣法可得ķ式成立，所ԕ原命题得证Ǆ 2．迭ԓ法Ǆ 数列的通亩 an或前 n 亩和 Sn 中的 n 通常是对任意 n∈N 成立，因↔可将ަ中的 n 换成 n+1 或 n-1 等，䘉种办法通常〠迭ԓ或递推Ǆ 例 4 数列{an}满足 an+pan-1+qan-2=0, nı3，q≠ 0，求证˖ᆈ在常数 c，使得 1 2 1 ++ + nn paa ·an+ .02 =+ nn cqqa Ǐ证明ǐ 12 1 ++ + nn paa ·an+1+ 22 1 ++ = nn aqa (pan+1+an+2)+ 2 1+nqa =an+2·(-qan)+ 2 1+nqa = 2 12 2 1 [)( +++ =− nnnn aqaaaq +an(pqn+1+qan)]=q( 2 1 2 1 nnnn qaapaa ++ ++ ). 若 211222 qaapaa ++ =0，则对任意 n, nnn apaa 12 1 ++ + + 2nqa =0，取 c=0 ণ可. 若 211222 qaapaa ++ ≠ 0，则{ nnn apaa 12 1 ++ + + 2nqa }是首亩Ѫ 211222 qaapaa ++ ，ޜ式Ѫ q 的等比数列Ǆ 所ԕ nnn apaa 12 1 ++ + + 2nqa = )( 211222 qaapaa ++ ·qn. 取 )( 212122 qaapaac ++−= · q 1 ণ可. 综к，结论成立Ǆ 例 5 ᐢ知 a1=0, an+1=5an+ 124 2 +na ，求证˖an都是整数，n∈N+. Ǐ证明ǐ 因Ѫ a1=0, a2=1，所ԕ⭡题设知ᖃ nı1 时 an+1>an. ৸⭡ an+1=5an+ 124 2 +na 移亩ǃᒣ方得 .0110 21 2 1 =−+− ++ nnnn aaaa ķ ᖃ nı2 时，把ķ式中的 n 换成 n-1 得 0110 2 112 =−+− −− nnnn aaaa ，ণ .0110 21 2 1 =−+− ++ nnnn aaaa ĸ 因Ѫ an-10, 所ԕ 4 1 2 1 2 1 +0， ⭡Ĺ可知对任意 n∈N+， 2 2 + − n n x x >0 且         + − =         + − + + 2 2 lg2 2 2 lg 1 1 n n n n x x x x , 所ԕ         + − 2 2 lg n n x x 是首亩Ѫ       + − 22 22 lg ，ޜ比Ѫ 2 的等比数列Ǆ 所ԕ 12 2 2 lg −= + − n n n x x ·       + − 22 22 lg ，所ԕ = + − 2 2 n n x x 12 22 22 −       + − n ，解得 2=nx · 11 11 22 22 )22()22( )22()22( −− −− −−+ −++ nn nn Ǆ 注˖本例解法是借ࣙ于нࣘ点，ާ有普遍意ѹǄ 第ޝ章 й角函数一ǃส础知识定ѹ 1 角，一条射线绕着它的端点旋䖜得到的മ形ਛ做角Ǆ若旋䖜方向Ѫ逆时针方向，则角Ѫ↓角，若旋䖜方向Ѫ亪时针方向，则角Ѫ负角，若н旋䖜则Ѫ零角Ǆ角的大小是任意的Ǆ 定ѹ 2 角度制，把一周角 360 等࠶，⇿一等ԧѪ一度，ᕗ度制˖把等于半ᖴ长的圆ᕗ所对的圆心角ਛ做一ᕗ度Ǆ360 度=2π ᕗ度Ǆ若圆心角的ᕗ长Ѫ L，则ަᕗ度数的绝对值|干|= r L , ަ中 r 是圆的半ᖴǄ 定ѹ 3 й角函数，在直角坐标ᒣ面内，把角干的顶点放在原点，始边о x 轴的↓半轴䟽合，在角的㓸边к任意取一个н਼于原点的点 P，设它的坐标Ѫ˄x,y ，˅到原点的距离Ѫ r,则↓ ᕖ函数 sin干= r y ,余ᕖ函数 cos干= r x ,↓࠷函数 tan干= x y ，余࠷函数 cot干= y x ，↓割函数 sec 干= x r ,余割函数 csc干= . y r 定理 1 ਼角й角函数的ส本关系式，倒数关系 t˖an干= αcot 1 ,sin干= αcsc 1 ，cos干= αsec 1 ˗ 商数关系˖tan干= α α α α α sin cos cot, cos sin = ˗҈〟关系˖tan干×cos干=sin干,cot干×sin干=cos 干˗ᒣ方关系˖sin2干+cos2干=1, tan2干+1=sec2干, cot2干+1=csc2干. 定理 2 诱ሬޜ式˄ĉ˅sin(干+π)=-sin干, cos(π+干)=-cos干, tan(π+干)=tan干, cot(π+干)=cot 干;˄ Ċ s˅in(-干)=-sin干, cos(-干)=cos干, tan(-干)=-tan干, cot(-干)=cot干; ˄ċ s˅in(π-干)=sin 干, cos(π-干)=-cos干, tan=(π-干)=-tan干, cot(π-干)=-cot干; ˄Č˅sin       −α π 2 =cos干, cos       −α π 2 =sin干, tan       −α π 2 =cot干˄奇ਈ偶нਈ，符号看象限 Ǆ˅ 定理 3 ↓ᕖ函数的性质，根据മ象可得 y=sinx˄x∈R˅的性质如лǄ单调४间˖在४间     +− 2 2, 2 2 π π π π kk кѪ增函数，在४间     ++ ππ π π 2 3 2, 2 2 kk кѪ߿函数，最小↓周期 Ѫ 2π . 奇偶数. 有界性˖ᖃ且仅ᖃ x=2kx+ 2 π 时，y 取最大值 1，ᖃ且仅ᖃ x=3kπ - 2 π 时, y 取最小值-1Ǆ对〠性˖直线 x=kπ + 2 π 均Ѫަ对〠轴，点˄kπ , 0˅均Ѫަ对〠中心，值域Ѫ [-1，1]Ǆ䘉䟼 k∈Z. 定理 4 余ᕖ函数的性质，根据മ象可得 y=cosx(x∈R)的性质Ǆ单调४间在˖४间[2kπ, 2kπ+π] к单调递߿，在४间[2kπ-π, 2kπ]к单调递增Ǆ最小↓周期Ѫ 2πǄ奇偶性˖偶函数Ǆ对〠性˖ 直线 x=kπ 均Ѫަ对〠轴，点       + 0, 2 π πk 均Ѫަ对〠中心Ǆ有界性˖ᖃ且仅ᖃ x=2kπ 时，y 取最大值 1˗ᖃ且仅ᖃ x=2kπ-π 时，y 取最小值-1Ǆ值域Ѫ[-1，1]Ǆ䘉䟼 k∈Z. 定理 5 ↓࠷函数的性质˖⭡മ象知奇函数 y=tanx(x≠ kπ+ 2 π )在开४间(kπ- 2 π , kπ+ 2 π )кѪ增函数, 最小↓周期Ѫ π，值域Ѫ˄-∞，+∞ ，˅点˄kπ，0 ，˅˄ kπ+ 2 π ，0˅均Ѫަ对〠中心Ǆ 定理 6 є角和о差的ส本关系式˖cos(干±平)=cos干cos平m sin干sin平,sin(干±平)=sin干 cos平± cos干sin平; tan(干±平)= . )tantan1( )tan(tan βα βα m ± 定理 7 和差ॆ〟о〟ॆ和差ޜ式: sin干+sin平=2sin       + 2 βα cos       − 2 βα ,sin干-sin平=2sin       + 2 βα cos       − 2 βα , cos干+cos平=2cos       + 2 βα cos       − 2 βα , cos干-cos平=-2sin       + 2 βα sin       − 2 βα , sin干cos平= 2 1 [sin(干+平)+sin(干-平)],cos干sin平= 2 1 [sin(干+平)-sin(干-平)], cos干cos平= 2 1 [cos(干+平)+cos(干-平)],sin干sin平=- 2 1 [cos(干+平)-cos(干-平)]. 定理 8 倍角ޜ式:sin2干=2sin干cos干, cos2干=cos2干-sin2干=2cos2干-1=1-2sin2干, tan2干= . )tan1( tan2 2 α α − 定理 9 半角ޜ式:sin       2 α = 2 )cos1( α− ± ,cos       2 α = 2 )cos1( α+ ± , tan       2 α = )cos1( )cos1( α α + − ± = . sin )cos1( )cos1( sin α α α α − = + 定理 10 万能ޜ式:      +       = 2 tan1 2 tan2 sin 2 α α α ,      +      − = 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 α α α , . 2 tan1 2 tan2 tan 2      −       = α α α 定理 11 辅ࣙ角ޜ式如˖果 a, b 是实数且 a2+b2≠ 0，则取始边在 x 轴↓半轴，㓸边㓿过点(a, b)的一个角Ѫ平，则 sin平= 22 ba b + ,cos平= 22 ba a + ，对任意的角干. asin干+bcos干= )( 22 ba + sin(干+平). 定理 12 ↓ᕖ定理˖在任意△ABC 中有 R C c B b A a 2 sinsinsin === ，ަ中 a, b, c ࠶别是角 A，B，C 的对边，R Ѫ△ABC 外接圆半ᖴǄ 定理 13 余ᕖ定理˖在任意△ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA，ަ中 a,b,c ࠶别是角 A，B，C 的对边Ǆ 定理 14 മ象之间的关系˖y=sinx 的മ象㓿клᒣ移得 y=sinx+k 的മ象˗㓿ᐖ右ᒣ移得 y=sin(x+ϕ )的മ象˄ 相位ਈ换˅˗ 纵坐标нਈ，横坐标ਈѪ原来的 ω 1 ，得到 y=sin xω ( 0>ω ) 的മ象˄周期ਈ换˅˗ 横坐标нਈ，纵坐标ਈѪ原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的മ象˄振幅ਈ 换˅˗ y=Asin(ω x+ϕ )(ω >0)的മ象˄周期ਈ换˅˗ 横坐标нਈ，纵坐标ਈѪ原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的മ象˄振幅ਈ换˅˗ y=Asin(ω x+ϕ )(ω , ϕ >0)(|A|ਛ作振幅)的മ象向右ᒣ移 ω ϕ 个单位得到 y=Asinω x 的മ象Ǆ 定ѹ 4 函数 y=sinx          −∈ 2 , 2 ππ x 的৽函数ਛ৽↓ᕖ函数，记作 y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函数 y=cosx(x∈[0, π]) 的৽函数ਛ৽余ᕖ函数，记作 y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数 y=tanx          −∈ 2 , 2 ππ x 的৽函数ਛ৽↓࠷函数Ǆ记作 y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的৽函数〠Ѫ৽余࠷函数，记作 y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). 定理 15 й角方程的解集，如果 a∈(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}Ǆ 方程 cosx=a 的解集是{x|x=2kx± arccosa, k∈Z}. 如果 a∈R，方程 tanx=a 的解集是 {x|x=kπ+arctana, k∈Z}Ǆ恒等式˖arcsina+arccosa= 2 π ˗arctana+arccota= 2 π . 定理 16 若      ∈ 2 ,0 π x ，则 sinx-1，所ԕ cos     −∈ 0, 2 π x ，所ԕ sin(cosx) İ0,৸ 00，所ԕ cos(sinx)>sin(cosx). 若      −∈ 2 ,0 π x ，则因Ѫ sinx+cosx= 2cos 2 2 sin 2 2 2 =        + xx (sinxcos 4 π +sin 4 π cosx)= 2 sin(x+ 4 π )İ 2 < 2 π ，所ԕ 0cos( 2 π -cosx)=sin(cosx). 综к，ᖃ x∈(0,π)时，总有 cos(sinx)0，求证˖ .2 sin cos sin cos <     +      xx α β β α Ǐ证明ǐ 若干+平> 2 π ，则 x>0，⭡干> 2 π -平>0 得 cos干sin( 2 π -平)=cos平, 所ԕ 0< α β sin cos <1，所ԕ .2 sin cos sin cos sin cos sin cos 00 =     +      <     +      α β β α α β β α x x 若干+平< 2 π ，则 x<0，⭡ 0<干< 2 π -平< 2 π 得 cos干>cos( 2 π -平)=sin平>0, 所ԕ β α sin cos >1Ǆ৸ 01，所ԕ 2 sin cos sin cos sin cos sin cos 00 =     +      <     +      α β β α α β β α x x ，得证Ǆ 注˖ԕкє例用到了й角函数的单调性和有界性৺辅ࣙ角ޜ式，值得注意的是角的讨论Ǆ 3．最小↓周期的确定Ǆ 例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小↓周期Ǆ Ǐ解ǐ 首先，T=2π 是函数的周期˄һ实к，因Ѫ cos(-x)=cosx，所ԕ co|x|=cosx˅˗ ަ次， ᖃ且仅ᖃ x=kπ+ 2 π 时，y=0˄因Ѫ|2cosx|İ2<π˅, 所ԕ若最小↓周期Ѫ T0，则 T0=mπ, m∈N+，৸ sin(2cos0)=sin2≠ sin(2cosπ)，所ԕ T0=2πǄ 4．й角最值䰞题Ǆ 例 5 ᐢ知函数 y=sinx+ x2cos1+ ，求函数的最大值о最小值Ǆ Ǐ解法一ǐ Ԕ sinx=       ≤≤=+ π π θθ 4 3 0 4 sin2cos1,cos2 2 x , 则有 y= ). 4 sin(2sin2cos2 π θθθ +=+ 因Ѫ ππ 4 3 0 4 ≤≤ ，所ԕ ππθπ ≤+≤ 42 ，所ԕ ) 4 sin(0 π θ +≤ İ1，所ԕᖃ πθ 4 3 = ，ণ x=2kπ- 2 π (k∈Z)时，ymin=0， ᖃ 4 π θ = ，ণ x=2kπ+ 2 π (k∈Z)时，ymax=2. Ǐ解法Ҽǐ 因Ѫ y=sinx+ )cos1(sin2cos1 222 xxx ++≤+ , =2˄因Ѫ(a+b)2İ2(a2+b2) ，˅ 且|sinx|İ1İ x2cos1+ ，所ԕ 0İsinx+ x2cos1+ İ2，所ԕᖃ x2cos1+ =sinx，ণ x=2kπ+ 2 π (k∈Z)时, ymax=2， ᖃ x2cos1+ =-sinx，ণ x=2kπ- 2 π (k∈Z)时, ymin=0Ǆ 例 6 设 0<θ <π，求 sin )cos1( 2 θ θ + 的最大值Ǆ Ǐ解ǐ因Ѫ 0<θ <π，所ԕ 22 0 πθ << ，所ԕ sin 2 θ >0, cos 2 θ >0. 所ԕ sin 2 θ ˄1+cosθ˅=2sin 2 θ ·cos2 2 θ = 2 cos 2 cos 2 sin22 222 θθθ ⋅⋅⋅ İ 3 222 3 2 cos 2 cos 2 sin2 2             ⋅⋅ × θθθ = . 9 34 27 16 = ᖃ且仅ᖃ 2sin2 2 θ =cos 2 2 θ , ণ tan 2 θ = 2 2 时，sin 2 θ (1+cosθ )取得最大值 9 34 Ǆ 例 7 若 A，B，C Ѫ△ABC й个内角，试求 sinA+sinB+sinC 的最大值Ǆ Ǐ解ǐ 因Ѫ sinA+sinB=2sin 2 BA + cos 2 sin2 2 BABA + ≤ − , ķ sinC+sin 2 3sin2 2 3cos 2 3sin2 3 πππ π + ≤ −+ = CCC , ĸ ৸因Ѫ 3 sin2 4 3cos 4 3sin2 2 3sin 2 sin π πππ ≤ −−++++ = + + + CBACBACBA ，Ĺ ⭡ķ，ĸ，Ĺ得 sinA+sinB+sinC+sin 3 π İ4sin 3 π , 所ԕ sinA+sinB+sinCİ3sin 3 π = 2 33 , ᖃ A=B=C= 3 π 时，˄ sinA+sinB+sinC˅max= 2 33 . 注˖й角函数的有界性ǃ|sinx|İ1ǃ|cosx|İ1ǃ和差ॆ〟о〟ॆ和差ޜ式ǃ均值н等式ǃ柯西н等式ǃ函数的单调性等是解й角最值的常用手段Ǆ 5．换元法的使用Ǆ 例 8 求 xx xx y cossin1 cossin ++ = 的值域Ǆ Ǐ解ǐ 设 t=sinx+cosx= ). 4 sin(2cos 2 2 sin 2 2 2 π +=        + xxx 因Ѫ ,1) 4 sin(1 ≤+≤− π x 所ԕ .22 ≤≤− t ৸因Ѫ t2=1+2sinxcosx, 所ԕ sinxcosx= 2 12 −t ，所ԕ 2 1 1 2 12 − = + − = t t x y ，所ԕ . 2 12 2 12 − ≤≤ −− y 因Ѫ t≠ -1，所ԕ 1 2 1 −≠ −t ，所ԕ y≠ -1. 所ԕ函数值域Ѫ . 2 12 ,11, 2 12        − −       − + −∈ Uy 例 9 ᐢ知 a0=1, an= 1 1 121 − − −+ n n a a (n∈N+)，求证˖an> 22 +n π . Ǐ证明ǐ ⭡题设 an>0，Ԕ an=tanan, an∈       2 ,0 π ，则 an= .tan 2 tan sin cos1 tan 1sec tan 1tan1 1 1 1 1 1 1 1 2 n n n n n n n n a a a a a a a a == − = − = −+ − − − − − − − 因Ѫ 2 1−na ，an∈       2 ,0 π ，所ԕ an= 1 2 1 −na ，所ԕ an= . 2 1 0a n       ৸因Ѫ a0=tana1=1，所ԕ a0= 4 π ，所ԕ n na      = 2 1 · 4 π Ǆ ৸因Ѫᖃ 0x，所ԕ . 22 tan 22 ++ >= nnn a ππ 注˖换元法的关键是保持换元前ਾਈ䟿取值范围的一㠤性Ǆ ਖ外ᖃ x∈       2 ,0 π 时，有 tanx>x>sinx，䘉是个熟知的结论，暂时н证明，学完ሬ数ਾ，证明是很容易的Ǆ 6．മ象ਈ换˖y=sinx(x∈R)о y=Asin(ω x+ϕ )(A, ω , ϕ >0). ⭡ y=sinx 的മ象向ᐖᒣ移ϕ 个单位，然ਾ保持横坐标нਈ，纵坐标ਈѪ原来的 A 倍，然ਾ 再保持纵坐标нਈ，横坐标ਈѪ原来的 ω 1 ，得到 y=Asin(ω x+ϕ )的മ象˗也可ԕ⭡ y=sinx 的മ象先保持横坐标нਈ，纵坐标ਈѪ原来的 A 倍，再保持纵坐标нਈ，横坐标ਈѪ原来的 ω 1 ，最ਾ向ᐖᒣ移 ω ϕ 个单位，得到 y=Asin(ω x+ϕ )的മ象Ǆ 例 10 例 10 ᐢ知 f(x)=sin(ω x+ϕ )(ω >0, 0İϕ İπ)是 R к的偶函数，ަമ象关于点       0, 4 3π M 对〠，且在४间     2 ,0 π к是单调函数，求ϕ 和ω的值Ǆ Ǐ解ǐ ⭡ f(x)是偶函数，所ԕ f(-x)=f(x)，所ԕ sin(ω +ϕ )=sin(-ω x+ϕ )，所ԕ cosϕ sinx=0，对任意 x∈R 成立Ǆ ৸ 0İϕ İπ，解得ϕ = 2 π ，因Ѫ f(x)മ象关于       0, 4 3π M 对〠，所ԕ ) 4 3 () 4 3 ( xfxf ++− ππ =0Ǆ 取 x=0，得 ) 4 3 ( πf =0，所ԕ sin .0 24 3 =      + π ω π 所ԕ 24 3 π πω π += k (k∈Z)，ণω = 3 2 (2k+1) (k∈Z). ৸ω >0，取 k=0 时，↔时 f(x)=sin(2x+ 2 π )在[0， 2 π ]к是߿函数˗ 取 k=1 时，ω =2，↔时 f(x)=sin(2x+ 2 π )在[0， 2 π ]к是߿函数˗ 取 k=2 时，ω ≥ 3 10 ，↔时 f(x)=sin(ω x+ 2 π )在[0， 2 π ]кн是单调函数，综к，ω = 3 2 或 2Ǆ 7．й角ޜ式的ᓄ用Ǆ 例 11 ᐢ知 sin(α-β)= 13 5 ，sin(α+β)=- 13 5 ，且 α-β∈       π π , 2 ，α+β∈       π π 2, 2 3 ，求 sin2α,cos2β 的值Ǆ Ǐ解ǐ 因Ѫ α-β∈       π π , 2 ，所ԕ cos(α-β)=- . 13 12 )(sin1 2 −=−− βα ৸因Ѫ α+β∈       π π 2, 2 3 ，所ԕ cos(α+β)= . 13 12 )(sin1 2 =+− βα 所ԕ sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)= 169 120 , cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1. 例 12 ᐢ知△ABC 的й个内角 A，B，C 成等差数列，且 BCA cos 2 cos 1 cos 1 −=+ ，试求 2 cos CA − 的值Ǆ Ǐ解ǐ 因Ѫ A=1200-C，所ԕ cos 2 CA − =cos(60 0 -C)， ৸⭡于 )120cos(cos cos)120cos( cos 1 )120cos( 1 cos 1 cos 1 0 0 0 CC CC CCCA − +− =+ − =+ = 22 2 1 )2120cos( )60cos(2 )]2120cos(120[cos 2 1 )60cos(60cos2 0 0 00 00 −= −− − = −+ − C C C C ，所ԕ 23 2 cos2 2 cos24 2 − − + − CACA =0Ǆ 解得 2 2 2 cos = −CA 或 8 23 2 cos −= −CA Ǆ ৸ 2 cos CA − >0，所ԕ 2 2 2 cos = −CA Ǆ 例 13 求证˖tan20 ° +4cos70 ° . Ǐ解ǐ tan20 ° +4cos70 ° = ° ° 20cos 20sin +4sin20 ° ° °° ° °°° + = + = 20cos 40sin220sin 20cos 20cos20sin420sin ° °°° ° °°° + = ++ = 20cos 40sin10cos30sin2 20cos 40sin40sin20sin .3 20cos 20cos60sin2 20cos 40sin80sin == + = ° °° ° °° 第七章解й角形一ǃส础知识在本章中㓖定用 A，B，C ࠶别表示△ABC 的й个内角，a, b, c ࠶别表示它们所对的各边长， 2 cba p ++ = Ѫ半周长Ǆ 1．↓ᕖ定理˖ C c B b A a sinsinsin == =2R˄R Ѫ△ABC 外接圆半ᖴ Ǆ˅ 推论 1˖△ABC 的面〟Ѫ S△ABC= .sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 BcaAbcCab == 推论 2˖在△ABC 中，有 bcosC+ccosB=a. 推论 3˖在△ABC 中，A+B=θ，解 a 满足 )sin(sin a b a a − = θ ，则 a=A. ↓ᕖ定理可ԕ在外接圆中⭡定ѹ证明得到，䘉䟼н再给ࠪ，л证推论Ǆ先证推论 1，⭡ ↓ᕖ函数定ѹ，BC 边к的高Ѫ bsinC，所ԕ S△ABC= Cab sin 2 1 再˗证推论 2，因Ѫ B+C=π -A，所ԕ sin(B+C)=sinA，ণ sinBcosC+cosBsinC=sinA，є边਼҈ԕ 2R 得 bcosC+ccosB=a˗再证推论 3，⭡↓ᕖ定理 B b A a sinsin = ，所ԕ )sin( )sin( sin sin A a A a − − = θ θ ，ণ sinasin(θ -A)=sin(θ -a)sinA，等 ԧ 于 2 1 − [cos( θ -A+a)-cos( θ -A-a)]= 2 1 − [cos( θ -a+A)-cos( θ -a-A)] ，等 ԧ 于 cos(θ -A+a)=cos(θ -a+A)，因Ѫ 0<θ -A+a，θ -a+A<π . 所ԕਚ有θ -A+a=θ -a+A，所ԕ a=A，得证Ǆ 2．余ᕖ定理 a˖2=b2+c2-2bccosA bc acb A 2 cos 222 −+ =⇔ ，л面用余ᕖ定理证明几个常用的结论Ǆ ˄1˅斯特瓦特定理˖在△ABC 中，D 是 BC 边к任意一点，BD=p，DC=q，则 AD 2 = . 22 pq qp qcpb − + + ˄1˅ Ǐ证明ǐ 因Ѫ c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos ADB∠ ，所ԕ c2=AD2+p2-2AD·pcos .ADB∠ ķ ਼理 b2=AD2+q2-2AD·qcos ADC∠ ， ĸ 因Ѫ∠ADB+∠ADC=π ，所ԕ cos∠ADB+cos∠ADC=0，所ԕ 两×ķ+p×ĸ得两化该+pb该称Ⅲp+两Ⅳ致价该+p两Ⅲp+两Ⅳ，ণ 致价该称 . 22 pq qp qcpb − + + 注˖在˄令˅式中，若 p称两，则Ѫ中线长ޜ式 . 2 22 222 acb AD −+ = ˄该˅ ǐǐ ˖ 因 Ѫ 4 12 =∆ & ABCS b该化该弦in该致称 4 1 b该化该 Ⅲ令-化o弦该致Ⅳ称 4 1 b该化该 16 1 4 )( 1 22 2222 =      −+ − cb acb 后Ⅲb+化Ⅳ 2 -a该]后a该-Ⅲb-化Ⅳ 该]称pⅢp-aⅣⅢp-bⅣⅢp-化Ⅳ. 䘉䟼 . 2 cba p ++ = 所ԕ 分△ABC= ).)()(( cpbpapp −−− Ҽǃ方法о例题 1．面〟法Ǆ 例 1 ˄共线关系的张角ޜ式˅如മ所示，Ӿ O 点发ࠪ的й条射线满足 βα =∠=∠ QORPOQ , ，ਖ外 OP，OQ，OR 的长࠶别Ѫ u, w, v，䘉䟼 α，β，α+β∈(0, π )，则 P，Q，R 的共线的充要条Ԧ是 . )sin(sinsin wvu βααβ + =+ Ǐ证明ǐP，Q，R 共线 ORQOPQOPR∆PQR SSSS ∆∆∆ +=⇔=⇔ 0 sin 2 1 uv⇔ (α+β)= 2 1 uwsinα+ 2 1 vwsinβ vuw αββα sinsin)sin( += + ⇔ ，得证Ǆ 2．↓ᕖ定理的ᓄ用Ǆ 例 2 如 മ 所示， △ ABC 内有一点 P ，使得 ∠BPC-∠BAC=∠CPA-∠CBA=∠APB-∠ACBǄ 求证˖AP·BC=BP·CA=CP·ABǄ Ǐ证明ǐ 过点 P 作 PD⊥ BC，PE⊥ AC，PF⊥ AB，垂足࠶别Ѫ D，E，F，则 P，D， C ， E ˗ P ， E ， A ， F ˗ P ， D ， B ， F й 组四点共圆，所 ԕ ∠ EDF= ∠ PDE+ ∠ PDF= ∠ PCA+ ∠ PBA= ∠ BPC- ∠ BAC Ǆ ⭡ 题设 ৺ ∠BPC+∠CPA+∠APB=3600可得∠BAC+∠CBA+∠ACB=1800Ǆ 所ԕ∠BPC-∠BAC=∠CPA-∠CBA=∠APB-∠ACB=600Ǆ 所ԕ∠ EDF=600，਼理∠DEF=600，所ԕ△DEF 是↓й角形Ǆ 所ԕ DE=EF=DF，⭡↓ᕖ定理，CDsin∠ACB=APsin∠BAC=BPsin∠ABC，є边਼时 ҈ԕ△ABC 的外接圆直ᖴ 2R，得 CP·BA=AP·BC=BP·AC，得证˖ 例 3 如മ所示，△ABC 的各边࠶别оє圆⊙O令，⊙O该相࠷，直线基培 о 价凸交于 P，求证˖P致⊥ B件Ǆ Ǐ证明ǐ 延长 PA 交 GD 于 M，因Ѫ O1G⊥ BC，O2D⊥ BC，所ԕਚ需证 . 2 1 AE AF AO AO MD GM == ⭡↓ᕖ定理 βπαπ sin)2sin( , sin)1sin( AEPAAFAP = ∠− = ∠− ，所ԕ . sin sin 2sin 1sin α β ⋅ ∠ ∠ = AF AE ਖ一方面， 2sinsin , 1sinsin ∠ = ∠ = PMMDPMGM βα ，所ԕ β α sin sin 1sin 2sin ⋅ ∠ ∠ = MD GM ，所ԕ AE AF MD GM = ，所ԕ PA//O1G， ণ PA⊥ BC，得证Ǆ 3．一个常用的ԓ换˖在△ABC 中，记点 A，B，C 到内࠷圆的࠷线长࠶别Ѫ x, y, z，则 a=y+z, b=z+x, c=x+y. 例 4 在△ABC 中，求证˖a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. Ǐ证明ǐ Ԕ a=y+z, b=z+x, c=x+y，则 abc=(x+y)(y+z)(z+x) zxyzxy ⋅⋅≥ 8 =8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) =a 2 (b+c-a)+b 2 (c+a-b)+c 2 (a+b-c)-2abc. 所ԕ a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 4．й角换元Ǆ 例 5 设 a, b, c∈R+，且 abc+a+c=b，试求 1 3 1 2 1 2 222 + + + − + = cba P 的最大值Ǆ Ǐ解ǐ ⭡题设 =b ac ca − + 1 ，Ԕ a=tanα, c=tanγ, b=tanβ, 则 tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤ 3 10 3 10 3 1 sin3 2 ≤      −− γ ， ᖃ且仅ᖃ α+β= 2 π ，sinγ= 3 1 ，ণ a= 4 2 ,2, 2 2 == cb 时，Pmax= . 3 10 例 6 在△ABC 中，若 a+b+c=1，求证: a2+b2+c2+4abc< . 2 1 Ǐ证明ǐ 设 a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β      ∈ 2 ,0 π . 因Ѫ a, b, c Ѫй边长，所ԕ c< 2 1 , c>|a-b|， Ӿ而      ∈ 4 ,0 π β ，所ԕ sin2β>|cos2α·cos2β|. 因Ѫ 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所ԕ a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). ৸ ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c) =sin 2 βcos 2 β+sin 2 αcos 2 α·cos4β·cos2β = 4 1 [1-cos 2 2β+(1-cos 2 2α)cos 4 βcos2β] = 4 1 + 4 1 cos2β(cos 4 β-cos 2 2αcos 4 β-cos2β) > 4 1 + 4 1 cos2β(cos 4 β-sin 4 β-cos 2 β)= 4 1 . 所ԕ a2+b2+c2+4abc< . 2 1 第ޛ章 ᒣ面向䟿一ǃส础知识定ѹ 1 既有大小৸有方向的䟿，〠Ѫ向䟿Ǆ画മ时用有向线段来表示，线段的长度表示向䟿的模Ǆ向䟿的符号用є个大写ᆇ母к面加箭头，或一个小写ᆇ母к面加箭头表示Ǆ书中用黑体表示向䟿，如 a. |a|表示向䟿的模，模Ѫ零的向䟿〠Ѫ零向䟿，规定零向䟿的方向是任意的Ǆ零向䟿和零н਼，模Ѫ 1 的向䟿〠Ѫ单位向䟿Ǆ 定ѹ 2 方向相਼或相৽的向䟿〠Ѫᒣ行向䟿˄或共线向䟿，˅规定零向䟿о任意一个非零向䟿ᒣ行和结合律Ǆ 定理 1 向䟿的䘀算，加法满足ᒣ行四边形法规，߿法满足й角形法则Ǆ加法和߿法都满足交换律和结合律Ǆ 定理 2 非零向䟿 a, b 共线的充要条Ԧ是ᆈ在实数 ≠λ 0，使得 a= .bλ f 定理 3 ᒣ面向䟿的ส本定理，若ᒣ面内的向䟿 a, b н共线，则对਼一ᒣ面内任意向是 c，ᆈ在唯一一对实数 x, y，使得 c=xa+yb，ަ中 a, b 〠Ѫ一组สᓅǄ 定ѹ 3 向䟿的坐标，在直角坐标系中，取о x 轴，y 轴方向相਼的є个单位向䟿 i, j 作Ѫสᓅ，任取一个向䟿 c，⭡定理 3 可知ᆈ在唯一一组实数 x, y，使得 c=xi+yi，则˄x, y˅ ਛ做 c 坐标Ǆ 定ѹ 4 向䟿的数䟿〟，若非零向䟿 a, b 的夹角Ѫθ ，则 a, b 的数䟿〟记作 a·b=|a|·|b|cosθ =|a|·|b|cos，也〠内〟，ަ中|b|cosθਛ做 b 在 a к的投影˄注˖投影可能Ѫ负值 Ǆ˅ 定理 4 ᒣ面向䟿的坐标䘀算˖若 a=(x1, y1), b=(x2, y2)， 1．a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)， 2．λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c， 3．a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)= 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx +⋅+ + (a, b≠ 0), 4. a//b⇔ x1y2=x2y1, a⊥ b⇔ x1x2+y1y2=0. 定ѹ 5 若点 P 是直线 P1P2 к异于 p1，p2 的一点，则ᆈ在唯一实数 λ，使 21 PPPP λ= ， λ ਛ P ࠶ 21 PP 所成的比，若 O Ѫᒣ面内任意一点，则 λ λ + + = 1 21 OPOPOP Ǆ⭡↔可得若 P1，P，P2的坐标࠶别Ѫ(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，则 .. 1 1 2 1 2 1 21 21 yy yy xx xx yy y xx x − − = − − =       + + = + + = λ λ λ λ λ 定ѹ 6 设 F 是坐标ᒣ面内的一个മ形，将 F к所有的点按照向䟿 a=(h, k)的方向，ᒣ 移|a|= 22 kh + 个单位得到മ形 'F ，䘉一过程ਛ做ᒣ移Ǆ设 p(x, y)是 F к任意一点，ᒣ移到 'F к对ᓄ的点Ѫ )','(' yxp ，则    += += kyy hxx ' ' 〠Ѫᒣ移ޜ式Ǆ 定理 5 对于任意向䟿 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|. Ǐ证明ǐ 因Ѫ|a|2·|b|2-|a·b|2= ))(( 22222121 yxyx ++ -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，৸|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所ԕ|a|·|b|≥|a·b|. ⭡向䟿的й角形法则৺直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注˖本定理的є个结论均可推广Ǆ1˅对 n 维向䟿，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)， ਼样有 |a·b|≤|a|· |b|，ॆ简ণѪ柯西н等式˖ ≥++++++ ))(( 2222122221 nn yyyxxx LL (x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，৸|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所ԕ|a|·|b|≥|a·b|. ⭡向䟿的й角形法则৺直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注˖本定理的є个结论均可推广Ǆ1˅对 n 维向䟿，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)， ਼ 样有 |a · b|≤|a| · |b| ， ॆ 简 ণ Ѫ 柯西 н 等式 ˖ ≥++++++ ))(( 222 2 1 22 2 2 1 nn yyyxxx LL (x1y1+x2y2+…+xnyn)2Ǆ 2˅对于任意 n 个向䟿，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|Ǆ Ҽǃ方向о例题 1．向䟿定ѹ和䘀算法则的䘀用Ǆ 例 1 设 O 是↓ n 边形 A1A2…An的中心，求证˖ .21 OOAOAOA n =+++ L Ǐ证明ǐ 记 nOAOAOAS +++= L21 ，若 OS ≠ ，则将↓ n 边形绕中心 O 旋䖜 n π2 ਾо原↓ n 边形䟽合，所ԕ S нਈ，䘉н可能，所ԕ .OS = 例 2 给定△ABC，求证˖G 是△ABC 䟽心的充要条Ԧ是 .OGCGBGA =++ Ǐ证明ǐ必要性Ǆ如മ所示，设各边中点࠶别Ѫ D，E，F，延长 AD 㠣 P，使 DP=GD，则 .2 GPGDAG == ৸因Ѫ BC о GP 互相ᒣ࠶，所ԕ BPCG Ѫᒣ行四边形，所ԕ BG // PC，所ԕ .CPGB = 所ԕ .OPGCPGCGCGBGA =++=++ 充࠶性Ǆ若 OGCGBGA =++ ，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则 .PGGA = 因Ѫ OPCPGGC =++ ，则 PCGB = ，所ԕ GB // CP，所ԕ AG ᒣ࠶ BCǄ ਼理 BG ᒣ࠶ CAǄ 所ԕ G Ѫ䟽心Ǆ 例 3 在ࠨ四边形 ABCD 中，P 和 Q ࠶别Ѫ对角线 BD 和 AC 的中点，求证˖ AB 2 +BC 2 +CD 2 +DA 2 =AC 2 +BD 2 +4PQ 2Ǆ Ǐ证明ǐ 如മ所示，结结 BQ，QDǄ 因Ѫ DQPQDPBQPQBP =+=+ , ，所ԕ 22 22 )()( PQDPPQBPDQBQ +++=+ = BPPQDPBP 22 222 +++ · PQDPPQ ⋅+ 2 = .2)(22 222222 PQDPBPPQDPBPPQDPBP ++=⋅++++ ķ ৸因Ѫ ,,, OQCQABAQABQBCQCBQ =+=+=+ ਼理 22222 2BQQCQABCBA ++=+ ， ĸ 22222 2QDQCQADACD ++=+ ， Ĺ ⭡ķ，ĸ，Ĺ可得 )(24 222222 QDBQQACDBCBA ++=++ 222222 4)22(2 PQBDACPQBPAC ++=++= Ǆ得证Ǆ 2．证利用定理 2 证明共线Ǆ 例 4 △ABC 外心Ѫ O，垂心Ѫ H，䟽心Ѫ GǄ求证 O˖，G，H Ѫ共线，且 OG G˖H=1˖ 2Ǆ Ǐ证明ǐ 首先 AMOAAGOAOG 3 2 +=+= = )2( 3 1 )( 3 1 OCOBAOOAACABOA +++=++ ).( 3 1 OCOBOA ++= ަ次设 BO 交外接圆于ਖ一点 E，则连结 CE ਾ得 CE .BC⊥ ৸ AH⊥ BC，所ԕ AH//CEǄ ৸ EA⊥ AB，CH⊥ AB，所ԕ AHCE Ѫᒣ行四边形Ǆ 所ԕ ,ECAH = 所ԕ OCOBOAOCEOOAECOAAHOAOH ++=++=+=+= ，所ԕ OGOH 3= ，所ԕOG оOH 共线，所ԕ O，G，H 共线Ǆ 所ԕ OG˖GH=1˖2Ǆ 3．利用数䟿〟证明垂直Ǆ 例 5 给定非零向䟿 a, b. 求证˖|a+b|=|a-b|的充要条Ԧ是 a⊥ b. Ǐ证明ǐ|a+b|=|a-b|⇔ (a+b)2=(a-b)2⇔ a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2⇔ a·b=0⇔ a⊥ b. 例 6 ᐢ知△ABC内接于⊙O，AB=AC，DѪAB中点，EѪ△ACD䟽心Ǆ求证 O˖E⊥ CDǄ Ǐ证明ǐ 设 cOCbOBaOA === ,, ，则 )( 2 1 baOD += ， . 6 1 2 1 3 1 )( 2 1 3 1 bacbacaOE ++=    +++= ৸ cbaCD −+= )( 2 1 ，所ԕ       −+⋅      ++=⋅ cbabcaCDOE 2 1 2 1 6 1 3 1 2 1 cabacba ⋅−⋅+−+= 3 1 3 1 3 1 12 1 4 1 222 3 1 = a·(b-c). ˄因Ѫ|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2˅ ৸因Ѫ AB=AC，OB=OC，所ԕ OA Ѫ BC 的中垂线Ǆ 所ԕ a·(b-c)=0. 所ԕ OE⊥ CDǄ 4．向䟿的坐标䘀算Ǆ 例 7 ᐢ知四边形 ABCD 是↓方形，BE//AC，AC=CE，EC 的延长线交 BA 的延长线于点 F，求证˖AF=AEǄ Ǐ证明ǐ 如മ所示，ԕ CD 所在的直线Ѫ x 轴，ԕ C Ѫ原点建立直角坐标系，设↓方形边长Ѫ 1，则 A，B 坐标࠶别Ѫ˄-1，1˅和˄0，1 ，˅设 E 点的坐标Ѫ˄x, y ，˅则BE =(x, y-1), )1,1( −=AC ，因Ѫ ACBE // ，所ԕ-x-(y-1)=0. ৸因Ѫ |||| ACCE = ，所ԕ x2+y2=2. ⭡ķ，ĸ解得 . 2 31 , 2 31 − = + = yx 所ԕ .324||, 2 31 , 2 33 2 +=        −−+ = AEAE 设 )1,'(xF ，则 )1,'(xCF = Ǆ⭡CF 和CE共线得 .0 2 31 ' 2 31 = + − − x 所ԕ )32(' +−=x ，ণ F )1,32( −− ，所ԕ 2|| AF =4+ 2||32 AE= ，所ԕ AF=AEǄ 第九章 н等式一ǃส础知识 н等式的ส本性质˖ ˄1˅a>b⇔ a-b>0˗ ˄2˅a>b, b>c⇒ a>c˗ ˄3˅a>b⇒ a+c>b+c˗ ˄4˅a>b, c>0⇒ ac>bc˗ ˄5˅a>b, c<0⇒ acb>0, c>d>0⇒ ac>bd; ˄7˅a>b>0, n∈N+⇒ an>bn; ˄8˅a>b>0, n∈N+⇒ nn ba > ; ˄9˅a>0, |x|a⇔ x>a 或 x<-a; ˄10˅a, b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; ˄11˅a, b∈R，则(a-b)2≥0⇔ a2+b2≥2ab; ˄12˅x, y, z∈R+，则 x+y≥2 xy , x+y+z .33 xyz≥ 前五条是显然的，ԕлӾ第ޝ条开始给ࠪ证明Ǆ ˄6˅因Ѫ a>b>0, c>d>0，所ԕ ac>bc, bc>bd，所ԕ ac>bd˗䟽复利用性质˄6 ，˅可得性质˄7˅˗ 再证性质˄8 ，˅用৽证法，若 nn ba ≤ ，⭡性质˄7˅得 nnnn ba )()( ≤ ，ণ a≤b， о a>b 矛盾，所ԕ假设н成立，所ԕ nn ba > ˗⭡绝对值的意ѹ知˄9˅成立˗-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|，所ԕ -(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所ԕ |a+b|≤|a|+|b|˗л面再证˄10˅的ᐖ边，因Ѫ |a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所ԕ|a|-|b|≤|a+b|，所ԕ˄10˅成立˗˄ 11˅显然成立˗л证˄12 ，˅因Ѫ x+y-2 2 )( yxxy −= ≥0，所ԕ x+y≥ xy2 ，ᖃ且仅ᖃ x=y 时，等号成立，再证ਖ一н 等式， Ԕ czbyax === 333 ,, ，因 Ѫ x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b) 3 +c 3 -3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b) 2 -(a+b)c+c 2 ]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab-bc-ca)= 2 1 (a+b+c)[(a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2 ] ≥0，所ԕ a3+b3+c3≥3abc，ণ x+y+z≥ 33 xyz ，等号ᖃ且仅ᖃ x=y=z 时成立Ǆ Ҽǃ方法о例题 1．н等式证明的ส本方法Ǆ ˄1˅比较法，在证明 A>B 或 A0˅о 1 比较大小，最ਾ得ࠪ结论Ǆ 例 1 设 a, b, c ∈ R+ ，试证 ˖ 对任意实数 x, y, z, 有 x 2 +y 2 +z 2 . ))()(( 2         + + + + + +++ ≥ xz b ac yz a cb xy c ba accbba abc Ǐ证明ǐ ᐖ边-右边= x2+y2+z2 yz acba bc xy accb ab ))(( 2 ))(( 2 ++ − ++ − − + + + + ++ − + = ++ − 222 ))(( 2 ))(( 2 y ac c y ac a xy accb ab x cb b xz cbba ca = + + ++ − + + + + ++ 222 ))(( 2 ))(( 2 x cb c xz cbba ca z ba a z ba b yz acba bc .0 222 ≥        + − + +        + − + +        + + + x cb c z ba a z ba b y ac c y ac a x cb b 所ԕᐖ边≥右边，н等式成立Ǆ 例 2 若 alog(1-x)(1-x)=1˄ 因Ѫ 0<1-x2<1，所ԕ x+1 1 >1-x>0, 0<1-x<1˅. 所ԕ|loga(1+x)|>|loga(1-x)|. ˄2˅࠶析法，ণӾ欲证н等式ࠪ发，层层推ࠪ使之成立的充࠶条Ԧ，直到ᐢ知Ѫ→， ਉ述方式Ѫ˖要证……，ਚ需证……Ǆ 例 3 ᐢ知 a, b, c∈R+，求证˖a+b+c-3 3 abc ≥a+b .2 ab− Ǐ证明ǐ 要证 a+b+c 33 bac ⋅⋅− ≥a+b .2 ab− ਚ需证 332 abcabc ≥+ ，因Ѫ 33 332 abcbacababcabc =⋅⋅≥++=+ ，所ԕ原н等式成立Ǆ 例 4 ᐢ知实数 a, b, c 满足 0(n+1)n. Ǐ证明ǐ 1˅ᖃ n=3 时，因Ѫ 34=81>64=43，所ԕ命题成立Ǆ 2 设˅ n=k 时有 kk+1>(k+1)k，ᖃ n=k+1 时，ਚ需证(k+1)k+2>(k+2)k+1，ণ 1 2 )2( )1( + + + + k k k k >1. 因 Ѫ 1 )1( 1 > + + k k k k ，所ԕਚ需证 1 2 )2( )1( + + + + k k k k k k k k )1( 1 + > + ，ণ证 (k+1)2k+2>[k(k+2)]k+1，ਚ需证 (k+1) 2 >k(k+2)，ণ证 k2+2k+1>k2+2k. 显然成立Ǆ 所ԕ⭡数学ᖂ㓣法，命题成立Ǆ ˄4˅৽证法Ǆ 例 6 设实数 a0, a1,…,an满足 a0=an=0，且 a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,…, an-2-2an-1+an≥0，求证 ak≤0(k=1, 2,…, n-1). Ǐ证明ǐ 假设 ak(k=1, 2,…,n-1) 中㠣少有一个↓数，н妨设 ar是 a1, a2,…, an-1 中第一个ࠪ⧠的↓数，则 a1≤0, a2≤0,…, ar-1≤0, ar>0. 于是 ar-ar-1>0，依题设 ak+1-ak≥ak-ak-1(k=1, 2, …, n-1)Ǆ 所ԕӾ k=r 起有 an-ak-1≥an-1-an-2 ≥…≥ar-ar-1>0. 因Ѫ an≥ak-1≥…≥ar+1≥ar >0 о an=0 矛盾Ǆ故命题获证Ǆ ˄5˅࠶类讨论法Ǆ 例 7 ᐢ知 x, y, z∈R+，求证˖ .0 222222 ≥ + − + + − + + − yx xz xz zy zy yx Ǐ证明ǐ н妨设 x≥y, x≥z. ν˅夫≥y≥z，则 zyzxyx + ≤ + ≤ + 111 ，x2≥y2≥z2，⭡排序原理可得 yx x xz z zy y yx z xz y zy x + + + + + ≥ + + + + + 222222 ，原н等式成立Ǆ ξ˅夫≥z≥y，则 zyyxzx + ≤ + ≤ + 111 ，x2≥z2≥y2，⭡排序原理可得 yx x xz z zy y yx z xz y zy x + + + + + ≥ + + + + + 222222 ，原н等式成立Ǆ ˄6˅放缩法，ণ要证 A>B，可证 A>C1, C1≥C2,…,Cn-1≥Cn, Cn>B(n∈N+). 例 8 求证˖ ).2( 12 1 3 1 2 1 1 ≥< − ++++ nn n L Ǐ证明ǐ 444 3444 21 LLL 12 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 2 1 1 12 1 3 1 2 1 1 −       +++++      +++> − ++++ n nnnn 22 1 2 1 1 2 1 nn nn >− − +=− ，得证Ǆ 例 9 ᐢ知 a, b, c 是△ABC 的й条边长，m>0，求证˖ . mc c mb b ma a + > + + + Ǐ证明ǐ mba m mba ba mba b mba a mb b ma a ++ −= ++ + = ++ + ++ > + + + 1 mc c mc m + = + −> 1 ˄因Ѫ a+b>c ，˅得证Ǆ ˄7˅引入参ਈ䟿法Ǆ 例 10 ᐢ知 x, y∈R+, l, a, b Ѫᖵ定↓数，求 f(x, y)= 2 3 2 3 y b x a + 的最小值Ǆ Ǐ解ǐ 设 k x y = ，则 k kl y k l x + = + = 1 , 1 ，f(x,y)= =      + + 2 3 3 2 2)1( k b a l k 2 2333 2 33333 2 11111 l ka k b k b k bkakaba l ≥           +⋅+⋅+⋅++++ 444 3444 21444 3444 21 (a 3 +b 3 +3a 2 b+3ab 2 )= 2 3)( l ba + ，等号ᖃ且仅ᖃ y b x a = 时成立Ǆ所ԕ f(x, y)min= . )( 2 3 l ba + 例 11 设 x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1，求证˖(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4. Ǐ证明ǐ 设 x1=k(x2+x3+x4) ，依题设有 3 1 ≤k≤1, x3x4≥4 ，原н等式等ԧ于 (1+k) 2 (x2+x3+x4) 2 ≤4kx2x3x4(x2+x3+x4)，ণ k k 4 )1( 2+ (x2+x3+x4) ≤x2x3x4，因Ѫ f(k)=k+ k 1 在     1, 3 1 к递߿，所ԕ k k 4 )1( 2+ (x2+x3+x4)= )2 1 ( 4 1 ++ k k (x2+x3+x4) ≤ 4 2 3 1 3 ++ ·3x2=4x2≤x2x3x4. 所ԕ原н等式成立Ǆ ˄8˅局部н等式Ǆ 例 12 ᐢ知 x, y, z∈R+，且 x2+y2+z2=1，求证˖ 222 111 z z y y x x − + − + − . 2 33 ≥ Ǐ证明ǐ 先证 . 2 33 1 2 2 x x x ≥ − 因Ѫ x(1-x2)= 33 2 3 2 2 1 )1(2 2 1 3 222 =     ⋅≤−⋅ xx , 所ԕ . 2 33 33 2)1(1 2 2 2 2 2 x x xx x x x =≥ − = − ਼理 2 2 2 33 1 y y y ≥ − ， 2 2 2 33 1 z z z ≥ − ，所ԕ . 2 33 )( 2 33 111 222 222 =++≥ − + − + − zyx z z y y x x 例 13 ᐢ知 0≤a, b, c≤1，求证˖ 111 + + + + + ab c ca b bc a ≤2Ǆ Ǐ证明ǐ 先证 .2 1 cba a bc a ++ ≤ + ķ ণ a+b+c≤2bc+2. ণ证(b-1)(c-1)+1+bc≥a. 因Ѫ 0≤a, b, c≤1，所ԕķ式成立Ǆ ਼理 .2 1 , 2 1 cba c ab c cba b ca b ++ ≤ +++ ≤ + й个н等式相加ণ得原н等式成立Ǆ ˄9˅利用函数的思想Ǆ 例 14 ᐢ知非负实数 a, b, c 满足 ab+bc+ca=1，求 f(a, b, c)= accbba + + + + + 111 的最小值Ǆ Ǐ解ǐ ᖃ a, b, c 中有一个Ѫ 0，ਖє个Ѫ 1 时，f(a, b, c)= 2 5 ，ԕл证明 f(a, b, c) ≥ 2 5 . н妨设 a≥b≥c，则 0≤c≤ 3 3 , f(a, b, c)= . 1 11 2 22 bac ba c c + + + + + + 因Ѫ 1=(a+b)c+ab≤ 4 )( 2ba + +(a+b)c，解关于 a+b 的н等式得 a+b≥2( 12 +c -c). 考虑函数 g(t)= tc t 1 12 + + , g(t)在[ +∞+ ,12c ˅к单调递增Ǆ ৸因Ѫ 0≤c≤ 3 3 ，所ԕ 3c2≤1. 所ԕ c2+a≥4c2. 所ԕ 2 )1( 2 cc −+ ≥ .12 +c 所ԕ f(a, b, c)= bac ba c c + + + + + + 1 11 2 22 ≥ )1(2 1 1 )1(2 1 2 22 2 2 ccc cc c c −+ + + −+ + + = 1 1 1 2 2 2 2 + ++ + + c cc c c = 2 13 2 1 1 1 2 2 2 2 + −+        ++ + cc c c ≥ . 22 )11(3 2 5 2 13 2 4 22 cccc + +− += + −+ л证 ≥++− cc )11(3 2 0 ķ ⇔+≥+⇔ 133 2cc c2+6c+9≥9c2+9       −⇔ cc 4 3 ≥0 . 4 3 ≤⇔ c 因Ѫ 4 3 3 3 <≤c ，所ԕķ式成立Ǆ 所ԕ f(a, b, c) ≥ 2 5 ，所ԕ f(a, b, c)min= . 2 5 2．几个常用的н等式Ǆ ˄1˅柯西н等式˖若 ai∈R, bi∈R, i=1, 2, …, n，则 .)())(( 2 11 2 1 2 ∑∑∑ === ≥ n i ii n i i n i i baba 等号ᖃ且仅ᖃᆈ在 λ∈R，使得对任意 i=1, 2, , n, ai=λbi, ਈ式 1˖若 ai∈R, bi∈R, i=1, 2, …, n，则 . )( )( )( 2 1 2 1 1 2 ∑ ∑ ∑ = = = ≥ n i i n i in i i i b a b a 等号成立条ԦѪ ai=λbi,(i=1, 2, …, n)Ǆ ਈ式 2˖设 ai, bi਼号且нѪ 0(i=1, 2, …, n)，则 . )( 1 2 1 1 ∑ ∑ ∑ = = = ≥ n i ii n i in i i i ba a b a 等号成立ᖃ且仅ᖃ b1=b2=…=bn. ˄2˅ᒣ均值н等式˖设 a1, a2,…,an∈R+，记 Hn= naaa n 111 21 +++ L , Gn= n naaa L21 , An= n aaa Q n aaa n n n 22 2 2 121 , +++ = +++ LL ，则 Hn≤Gn≤An≤Qn. ণ调和ᒣ均≤几何ᒣ 均≤算术ᒣ均≤ᒣ方ᒣ均Ǆ ަ中等号成立的条Ԧ均Ѫ a1=a2=…=an. Ǐ证明ǐ ⭡柯西н等式得 An≤Qn，再⭡ Gn≤An可得 Hn≤Gn，ԕл仅证 Gn≤An. 1˅ᖃ n=2 时，显然成立˗ 2˅设 n=k 时有 Gk≤Ak，ᖃ n=k+1 时，记 k kk aaaa+ +1 121 L =Gk+1. 因Ѫ a1+a2+…+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥ k kkkk k Gakaaak 11121 −++ ⋅+L ≥ == + − ++ k k k k k kk GkGaaak 2 2 1 2 1 1121 22 L 2kGk+1, 所ԕ a1+a2+…+ak+1≥(k+1)Gk+1，ণ Ak+1≥Gk+1. 所ԕ⭡数学ᖂ㓣法，结论成立Ǆ ˄3˅排序н等式˖若є组实数 a1≤a2≤…≤an且 b1≤b2≤…≤bn，则对于 b1, b2, …, bn的任意排列 niii bbb ,,, 21 L ，有 a1bn+a2bn-1+…+anb1≤ ni nii bababa +++ L 21 21 ≤a1b1+a2b2+…+anbn. Ǐ 证明 ǐ 引理 ˖ 记 A0=0 ， Ak= )1( 1 nka k i i ≤≤∑ = ，则 =∑ = n i ii ba 1 ∑ = −− n i iii bss 1 1 )( = nn n i iii bsbbs +−∑ − = + 1 1 1 )( ˄阿贝尔求和法 Ǆ˅ 证法一˖因Ѫ b1≤b2≤…≤bn，所ԕ kiii bbb +++ L 21 ≥b1+b2+…+bk. 记 sk= kiii bbb +++ L 21 -( b1+b2+…+bk)，则 sk≥0(k=1, 2, …, n)Ǆ 所 ԕ ki nii bababa +++ L 21 21 -(a1b1+a2b2+ … +anbn)= =−∑ = n j jij bba j 1 )( ∑ = +− n j jjj aas 1 1)( +snan≤0. 最ਾ一个н等式的理⭡是 aj-aj+1≤0(j=1, 2, …, n-1, sn=0), 所ԕ右侧н等式成立，਼理可证ᐖ侧н等式Ǆ 证法Ҽ˖˄ 调整法˅考察 ki nii bababa +++ L 21 21 ，若 ni bb j ≠ ，则ᆈ在Ǆ 若 ni bb j \= (j≤n-1)，则将 nib о jib 互换Ǆ 因Ѫ ))(()()()( nnnn i nj b ninjnjnnjinijnn bbaabaabaababababa −−=−+−=+−+ ≥0，所调整ਾ，和是н߿的，接л来若 11 −− ≠ ni bb n ，则继续਼样的调整Ǆ㠣多㓿 n-1 次调整就可将乱序和调整Ѫ亪序和，而且⇿次调整ਾ和是н߿的，䘉说明右边н等式成立，਼理可得ᐖ边н等式Ǆ 例 15 ᐢ知 a1, a2,…,an∈R+，求证˗ ≥++++ − 1 22 1 3 2 2 2 2 1 a a a a a a a a n n nL a1+a2+…+an. Ǐ证明ǐ证法一因˖Ѫ 23 3 2 2 11 2 2 1 2,2 aa a a aa a a ≥+≥+ ，…， 1 1 2 1 2 1 ,2 a a a aa a a n nn n n +≥+ − − ≥2an. к述н等式相加ণ得 1 22 1 3 2 2 2 2 1 a a a a a a a a n n n ++++ −L ≥a1+a2+…+an. 证法Ҽ˖⭡柯西н等式       ++++ − 1 22 1 3 2 2 2 2 1 a a a a a a a a n n nL (a1+a2+…+an)≥(a1+a2+…+an)2，因Ѫ a1+a2+…+an >0，所ԕ 1 22 1 3 2 2 2 2 1 a a a a a a a a n n n ++++ −L ≥a1+a2+…+an. 证法й˖ 设 a1, a2,…,anӾ小到大排列Ѫ niii aaa ≤≤≤ L 21 ，则 222 21 niii aaa ≤≤≤ L ， 11 111 iii aaa nn ≤≤≤ − L ，⭡排序原理可得 niii aaa +++ L 21 =a1+a2+…+an≥ 1 22 1 3 2 2 2 2 1 a a a a a a a a n n n ++++ −L ，得证Ǆ 注˖本讲的⇿种方法ǃ定理都有极广泛的ᓄ用，希望读者在解题中再加ԕ总结Ǆ 第十章直线о圆的方程一ǃส础知识 1．解析几何的研ウ对象是曲线о方程Ǆ解析法的实质是用ԓ数的方法研ウ几何.首先是通过映射建立曲线о方程的关系，ণ如果一条曲线к的点构成的集合о一个方程的解集之间ᆈ在一一映射，则方程ਛ做䘉条曲线的方程，䘉条曲线ਛ做方程的曲线Ǆ如 x2+y2=1 是ԕ原点Ѫ 圆心的单位圆的方程Ǆ 2．求曲线方程的一般↕骤˖(1)建立适ᖃ的直角坐标系˗(2)写ࠪ满足条Ԧ的点的集合˗(3) 用坐标表示条Ԧ，列ࠪ方程˗(4)ॆ简方程并确定未知数的取值范围˗˄ 5˅证明适合方程的解的对ᓄ点都在曲线к，且曲线к对ᓄ点都满足方程˄实䱵ᓄ用常省略䘉一↕ Ǆ˅ 3．直线的倾斜角和斜率˖直线向к的方向о x 轴↓方向所成的小于 1800 的↓角，ਛ做它的倾斜角Ǆ规定ᒣ行于 x 轴的直线的倾斜角Ѫ 00，倾斜角的↓࠷值˄如果ᆈ在的话˅ਛ做䈕直线的斜率Ǆ根据直线к一点৺斜率可求直线方程Ǆ 4．直线方程的几种形式˖˄ 1˅一般式˖Ax+By+C=0˗˄ 2˅点斜式˖y-y0=k(x-x0)˗˄ 3˅斜截式˖y=kx+b˗˄ 4˅截距式˖ 1=+ b y a x ˗˄ 5˅є点式˖ 12 1 12 1 yy yy xx xx − − = − − ˗˄ 6˅法线式方程˖xcos项+y弦in项称p˄ަ中项Ѫ法线倾斜角，|p|Ѫ原点到直线的距离˅˗˄只˅参数式˖     += += θ θ sin cos 0 0 tyy txx ˄ަ中项Ѫ䈕直线倾斜角，˅弧的几何意ѹ是定点 P代˄ 夫代, y代˅到ࣘ点 P˄x, y˅的有向线段的数䟿˄线段的长度前添加↓负号，若 P0P 方向向к则取↓，否则取负 Ǆ˅ 5．到角о夹角˖若直线 l1, l2 的斜率࠶别Ѫ k1, k2，将 l1 绕它们的交点逆时针旋䖜到о l2䟽合所䖜过的最小↓角ਛ l1到 l2 的角˗l1 о l2所成的角中н超过 900的↓角ਛє者的夹角Ǆ若记到角Ѫ项，夹角Ѫ干，则弧an项称 21 12 1 kk kk + − ,弧an干称 21 12 1 kk kk + − . 6．ᒣ行о垂直˖若直线 l1о l2 的斜率࠶别Ѫ k1, k2Ǆ且є者н䟽合，则 l1//l2的充要条Ԧ是 k1=k2˗l1⊥ l2 的充要条Ԧ是 k1k2=-1Ǆ 7．є点 P1(x1, y1)о P2(x2, y2)间的距离ޜ式˖|P1P2|= 221221 )()( yyxx −+− Ǆ 8．点 P(x0, y0)到直线 l: Ax+By+C=0 的距离ޜ式˖ 22 00 || BA CByAx d + ++ = Ǆ 9．直线系的方程˖若ᐢ知є直线的方程是 l1 A˖1x+B1y+C1=0 о l2 A˖2x+B2y+C2=0，则过 l1, l2 交点的直线方程Ѫ A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2=0˗⭡ l1 о l2 组成的Ҽ次曲线方程Ѫ ˄A1x+B1y+C1˅˄ A2x+B2y+C2˅=0˗о l2 ᒣ行的直线方程Ѫ A1x+B1y+C=0( 1CC ≠ ). 10．Ҽ元一次н等式表示的ᒣ面४域，若直线 l 方程Ѫ Ax+By+C=0. 若 B>0，则 Ax+By+C>0 表示的४域Ѫ l к方的部࠶，Ax+By+C<0 表示的४域Ѫ l л方的部࠶Ǆ 11．解决简单的线性规划䰞题的一般↕骤˖˄ 1˅确定各ਈ䟿，并ԕ x 和 y 表示˗˄ 2˅写ࠪ线性㓖束条Ԧ和线性目标函数˗˄ 3˅画ࠪ满足㓖束条Ԧ的可行域˗˄ 4˅求ࠪ最优解Ǆ 12．圆的标准方程˖圆心是点(a, b)，半ᖴѪ r 的圆的标准方程Ѫ(x-a)2+(y-b)2=r2，ަ参数方程Ѫ    += += θ θ sin cos rby rax ˄项Ѫ参数 Ǆ˅ 13．圆的一般方程˖x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)Ǆަ圆心Ѫ       −− 2 , 2 ED ，半ᖴѪ FED 4 2 1 22 −+ Ǆ若点 P(x0, y0)Ѫ圆к一点，则过点 P 的࠷线方程Ѫ .0 22 00 00 =+      + +      + ++ F yy E xx Dyyxx ķ 14．根轴˖到є圆的࠷线长相等的点的轨迹Ѫ一条直线˄或它的一部࠶ ，˅䘉条直线ਛє圆的根轴Ǆ给定如лй个н਼的圆 x˖2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则它们єє的根轴方程࠶别 Ѫ(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0Ǆн 难证明䘉й条直线交于一点或者互相ᒣ行，䘉就是著਽的蒙日定理Ǆ Ҽǃ方法о例题 1．坐标系的选取˖建立坐标系ᓄ讲ウ简单ǃ对〠，ԕ便使方程容易ॆ简Ǆ 例 1 在ΔABC 中，AB=AC，∠A=900，过 A 引中线 BD 的垂线о BC 交于点 E，求证˖∠ 致价B称∠件价凸Ǆ 后证明] 见മ 令代-令，ԕ 致Ѫ原点，致件所在直线Ѫ 夫轴，建立直角坐标系Ǆ设点 B，件坐标࠶ 别Ѫ˄代,该a˅,Ⅲ该a,代Ⅳ，则点价坐标Ѫ˄a, 代 Ǆ˅直线 B价方程Ѫ 1 2 =+ a y a x ， ķ直线 B件方程Ѫ 夫+y称该a， ĸ设直线 B价和致凸的斜率࠶别Ѫ k令, k该，则 k令称-该Ǆ因Ѫ B价⊥ 致凸，所ԕ k令k该称-令.所ԕ 2 1 2 =k ，所ԕ直线致凸方程Ѫ xy 2 1 = ，⭡     =+ = ayx xy 2 , 2 1 解得点凸坐标Ѫ       aa 3 2 , 3 4 Ǆ 所ԕ直线价凸斜率Ѫ .2 3 4 3 2 3 = − = aa a k 因Ѫ k令+k详称代. 所ԕ∠B价件+∠凸价件称令叫代代，ণ∠B价致称∠凸价件Ǆ 例该半ᖴ等于某个↓й角形高的圆在䘉个й角形的一条边к滚ࣘǄ证明˖й角形ਖє条边截圆所得的ᕗ所对的圆心角Ѫ 6代代Ǆ 后证明] ԕ致Ѫ原点，ᒣ行于↓й角形致B件的边B件的直线Ѫ夫轴，建立直角坐标系见മ令代-该，设⊙价的半ᖴ等于 B件边к的高，并且在 B能к能л滚ࣘ到某位置时о 致B，致件的交点࠶别Ѫ 凸，培，设半ᖴѪ 严，则直线致B，致件的方程࠶别Ѫ xy 3= , xy 3−= .设⊙价的方程Ѫ Ⅲ夫-mⅣ该+y该称严该.ķ设点凸，培的坐标࠶别ѪⅢ夫令,y令Ⅳ,Ⅲ夫该,y该Ⅳ，则 ,3 11 xy = 22 3xy −= ，࠶别 ԓ入ķ并⎸去 y得 .03).(03)( 222 2 2 22 1 2 1 =−+−=−+− rxmxrxmx 所ԕ x1, x2 是方程 4x2-2mx+m2-r2=0 的є根Ǆ ⭡韦达定理       − = =+ 4 , 2 22 21 21 & rm xx m xx ，所ԕ |EF| 2 =(x1-x2) 2 +(y1-y2) 2 =(x1-x2) 2 +3(x1-x2) 2 =4(x1+x2) 2 -4x1x2=m 2 -(m 2 -r 2 )=r 2 . 所ԕ|EF|=rǄ所ԕ∠EDF=600Ǆ 2．到角ޜ式的使用Ǆ 例 3 设ৼ曲线 xy=1 的є支Ѫ C1，C2，↓ΔPQR й顶点在↔ৼ曲线к，求证˖P，Q，R н 可能在ৼ曲线的਼一支кǄ [证明] 假设 P，Q，R 在਼一支к，н妨设在右侧一支 C1 к，并设 P，Q，R й点的坐标࠶ 别Ѫ ,1,,1,,1, 3 3 2 2 1 1                   x x x x x x 且 0-1，在˄1˅४域䟼，求函数 f(x,y)=y-ax 的最大值ǃ最小值Ǆ [解] ˄1˅⭡ᐢ知得      ≥− −≥+ ≤+≤ ,032 ,322 ,41 x xy yx 或      <− −≥+ ≤+≤ .032 ,232 ,41 x xy yx 解得点(x, y)所在的ᒣ面४域如മ 10-4 所示，ަ中各直线方程如മ所示ǄAB˖y=2x-5˗CD˖ y=-2x+1˗AD˖x+y=1˗BC˖x+y=4. (2) f(x, y)是直线 l: y-ax=k 在 y 轴к的截距，直线 l о阴影相交，因Ѫ a>-1，所ԕ它过顶点 C 时，f(x, y)最大，C 点坐标Ѫ˄-3，7 ，˅于是 f(x, y)的最大值Ѫ 3a+7. 如果-12，则 l 通过 B˄3，1˅时，f(x, y) 取最小值Ѫ-3a+1. 6．参数方程的ᓄ用Ǆ 例 7 如മ 10-5 所示，过原点引直线交圆 x2+(y-1)2=1 于 Q 点，在䈕直线к取 P 点，使 P 到直线 y=2 的距离等于|PQ|，求 P 点的轨迹方程Ǆ [解] 设直线 OP 的参数方程Ѫ    = = α α sin cos ty tx ˄t 参数 Ǆ˅ ԓ入ᐢ知圆的方程得 t2-t•2sin干=0. 所ԕ t=0 或 t=2sin干Ǆ所ԕ|OQ|称该|弦in干|，而|OP|称弧. 所ԕ|PQ|称|弧-该弦in干|，而|P≤|称|该-弧弦in干|. 所ԕ|弧-该弦in干|称|该-弧弦in干|. ॆ简得弧称该或弧称-该或弦in干称-令. ᖃ 弧称±该时，轨迹方程Ѫ 夫该+y该称巧˗ᖃ 弦in干称令时，轨迹方程Ѫ 夫称代. 只．о圆有关的䰞题Ǆ 例叫点致，B，件依次在直线 lк，且致B称致B件，过件作 l的垂线，≤ 是䘉条垂线к的ࣘ点， ԕ 致 Ѫ圆心，致B Ѫ半ᖴ作圆，≤切令о ≤切该是䘉个圆的࠷线，确定Δ致切令切该垂心的轨迹Ǆ 后解] 见മ 令代-6，ԕ 致Ѫ原点，直线致B Ѫ 夫轴建立坐标系，寻Ѫ O≤ о圆的交点，≥Ѫ 切令切该 о O≤的交点，记 B件称令Ǆ ԕ 致 Ѫ圆心的圆方程Ѫ 夫该+y该称令6，连结 O切令，O切该Ǆ因Ѫ O切该⊥ ≤切该，切令寻⊥ ≤切该，所ԕ O切该//寻切令， ਼理 O切令//寻切该，৸ O切令称O切该，所ԕ O切令寻切该是菱形Ǆ所ԕ 该O≥称O寻Ǆ ৸因Ѫ O≤⊥ 切令切该，O切令⊥ ≤切令，所ԕ =21OT O≥•O≤Ǆ设点寻坐标Ѫ˄夫,y Ǆ˅ 点 ≤ 坐标ѪⅢ5, bⅣ，则点 ≥ 坐标Ѫ       2 , 2 yx ，将坐标ԓ入 21OT 称O≥•O≤，再⭡ x yb = 5 得 . 5 16 5 16 2 2 2      =+      − yx 在 AB к取点 K，使 AK= 5 4 AB，所求轨迹是ԕ K Ѫ圆心，AK Ѫ半ᖴ的圆Ǆ 例 9 ᐢ知圆 x2+y2=1 和直线 y=2x+m 相交于 A，B，且 OA，OB о x 轴↓方向所成的角是干和平，见മ 令代-只，求证˖弦inⅢ干+平Ⅳ是定值Ǆ [证明] 过 D 作 OD ⊥ 致B 于价Ǆ则直线 O价的倾斜角Ѫ 2 βα + ，因Ѫ O价⊥ 致B，所ԕ 该• 1 2 tan −= + βα , 所ԕ 2 1 2 tan −= + βα Ǆ所ԕ . 5 4 2 tan1 2 tan2 )sin( 2 −=       ++ + =+ βα βα βα 例令代 ᐢ知⊙O是单位圆，↓方形致B件价的一边致B是⊙O的ᕖ，试确定|O价|的最大值ǃ最小值Ǆ 后解] ԕ单位圆的圆心Ѫ原点，致B 的中垂线Ѫ 夫轴建立直角坐标系，设点致，B 的坐标࠶别 Ѫ 致Ⅲ化o弦干,弦in干Ⅳ,BⅢ化o弦干,-弦in干Ⅳ，⭡题设|致价|称|致B|称该弦in干，䘉䟼н妨设致在夫轴к 方，则干∈Ⅲ代,征Ⅳ.⭡对〠性可设点价在点致的右侧˄ 否则将整个മ形关于 y 轴作对〠ণ可，˅ Ӿ而点价坐标ѪⅢ化o弦干+该弦in干,弦in干Ⅳ，所ԕ|O价|称 1cossin4sin4sin)sin2(cos 222 ++=++ αααααα 称 . 4 2sin2233)2cos2(sin2       −+=+− π ααα 因Ѫ 22 4 2sin2222 ≤      −≤− π α ，所ԕ .12||12 +≤≤− OD ᖃ πα 8 3 = 时，|O价|ma夫称 2 +令˗ᖃ πα 8 7 = 时，|O价|min称 .12 − 例 11 ᖃ m ਈॆ且 mĮ0 时，求证˖圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2 的圆心在一条定直线к，并求䘉一系列圆的ޜ࠷线的方程Ǆ [证明] ⭡    += += 1 ,12 mb ma ⎸去 m 得 a-2b+1=0.故䘉些圆的圆心在直线 x-2y+1=0 кǄ设ޜ࠷线方程Ѫ y=kx+b，则⭡相࠷有 2|m|= 21 |)1()12(| k bmmk + ++−+ ，对一࠷ mĮ0 成立Ǆণ (-4k-3)m 2 +2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1) 2 =0 对一࠷ mĮ0 成立，所ԕ    =−+ =−− ,01 ,034 bk k ণ       − −= . 4 7 , 4 3 b k ᖃ k нᆈ在时直线Ѫ x=1Ǆ所ԕޜ࠷线方程 y= 4 7 4 3 +− x 和 x=1. 第十一章圆锥曲线一ǃส础知识 1．椭圆的定ѹ，第一定ѹ˖ᒣ面к到є个定点的距离之和等于定长˄大于є个定点之间的距离˅的点的轨迹，ণ|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c). 第Ҽ定ѹ ᒣ˖面к到一个定点的距离о到一条定直线的距离之比Ѫ਼一个常数 e(0b>0)，参数方程Ѫ    = = θ θ sin cos by ax ˄θѪ参数 Ǆ˅ 若焦点在 y 轴к，列标准方程Ѫ 1 2 2 2 2 =+ b y a y (a>b>0)Ǆ 3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在 x 轴к的椭圆 1 2 2 2 2 =+ b y a x ， a 〠半长轴长，b 〠半短轴长，c 〠Ѫ半焦距，长轴端点ǃ短轴端点ǃє个焦点的坐标࠶别 Ѫ(±a, 代), (0, ±b), (±化, 代) о˗ᐖ焦点对ᓄ的准线˄ ণ第Ҽ定ѹ中的定直线 Ѫ˅ c a x 2 −= ， о右焦点对ᓄ的准线Ѫ c a x 2 = 定˗ѹ中的比 e 〠Ѫ离心率，且 a c e = ，⭡ c2+b2=a2知 0b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的є焦点Ǆ若 P(x, y)是椭圆к的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5．几个常用结论˖1˅过椭圆к一点 P(x0, y0)的࠷线方程Ѫ 1 2 0 2 0 =+ b yy a xx ˗ 2˅斜率Ѫ k 的࠷线方程Ѫ 222 bkakxy +±= ˗ 3˅过焦点 F2(c, 0)倾斜角Ѫ项的ᕖ的长Ѫ θ222 2 cos 2 ca ab l − = Ǆ 6．ৼ曲线的定ѹ，第一定ѹ˖ 满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的点 P 的轨迹˗ 第Ҽ定ѹ˖到定点的距离о到定直线距离之比Ѫ常数 e(>1)的点的轨迹Ǆ 7．ৼ曲线的方程˖中心在原点，焦点在 x 轴к的ৼ曲线方程Ѫ 1 2 2 2 2 =− b y a x ，参数方程Ѫ    = = ϕ ϕ tan sec by ax ˄ϕ Ѫ参数 Ǆ˅ 焦点在 y 轴к的ৼ曲线的标准方程Ѫ 1 2 2 2 2 =− b x a y Ǆ 8．ৼ曲线的相关概念，中心在原点，焦点在 x 轴к的ৼ曲线 1 2 2 2 2 =− b y a x (a, b>0), a 〠半实轴长，b 〠Ѫ半虚轴长，c Ѫ半焦距，实轴的є个端点Ѫ(-a, 0), (a, 0). ᐖǃ右焦点Ѫ F1(-c,0), F2(c, 0)，对ᓄ的ᐖǃ右准线方程࠶别Ѫ ., 22 c a x c a x =−= 离心率 a c e = ，⭡ a2+b2=c2 知 e>1Ǆє条渐䘁线方程Ѫ x a k y ±= ，ৼ曲线 1 2 2 2 2 =− b y a x о 1 2 2 2 2 −=− b y a x 有相਼的渐䘁线，它们的四个焦点在਼一个圆кǄ若 a=b，则〠Ѫ等轴ৼ曲线Ǆ 9．ৼ曲线的常用结论，1˅焦半ᖴޜ式，对于ৼ曲线 1 2 2 2 2 =− b y a x ，F1˄-c,0˅, F2(c, 0)是它的є个焦点Ǆ设 P(x,y)是ৼ曲线к的任一点，若 P 在右支к，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a˗若 P ˄x,y˅在ᐖ支к，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a. 2) 过焦点的倾斜角Ѫ项的ᕖ长是 θ222 2 cos 2 ca ab − Ǆ 10．抛物线˖ᒣ面内о一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹ਛ做抛物线，点 F ਛ焦点，直线 l ਛ做抛物线的准线Ǆ若取㓿过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线Ѫ x 轴，x 轴о l 相交于 K，ԕ线段 KF 的垂直ᒣ࠶线Ѫ y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点 F 坐标 Ѫ )0, 2 ( p ，准线方程Ѫ 2 p x −= ，标准方程Ѫ y2=2px(p>0)，离心率 e=1. 11．抛物线常用结论˖若 P(x0, y0)Ѫ抛物线к任一点， 1˅焦半ᖴ|PF|= 2 p x + ˗ 2˅过点 P 的࠷线方程Ѫ y0y=p(x+x0)˗ 3˅过焦点倾斜角Ѫ项的ᕖ长Ѫ θ2cos1 2 − p Ǆ 12．极坐标系，在ᒣ面内取一个定点Ѫ极点记Ѫ O，Ӿ O ࠪ发的射线Ѫ极轴记Ѫ Ox 轴，䘉样就建立了极坐标系，对于ᒣ面内任意一点 P，记|OP|=ρ,∠夫OP称项，则⭡˄ρ，项˅唯一确定点 P 的位置，˄ ρ，项˅〠Ѫ极坐标Ǆ 令详．圆锥曲线的统一定ѹ˖到定点的距离о到定直线的距离的比Ѫ常数 e 的点 P，若代积e积令，则点 P 的轨迹Ѫ椭圆˗若 e己令，则点 P 的轨迹Ѫৼ曲线的一支˗若 e称令，则点 P 的轨迹Ѫ抛物线Ǆ䘉й种圆锥曲线统一的极坐标方程Ѫ θ ρ cos1 e ep − = Ǆ Ҽǃ方法о例题令．о定ѹ有关的䰞题Ǆ 例令 ᐢ知定点致˄该，令，˅培是椭圆 1 1625 22 =+ yx 的ᐖ焦点，点 P Ѫ椭圆к的ࣘ点，ᖃ 详|P致|+5|P培|取最小值时，求点 P的坐标Ǆ 后解] 见മ 令令-令，⭡题设 a称5, b称巧, 化称 22 45 − 称详, 5 3 == a c e .椭圆ᐖ准线的方程Ѫ 3 25 −=x ，৸因Ѫ 1 16 1 25 4 <+ ，所ԕ点致在椭圆内部，৸点培坐标Ѫ˄-详，代，˅过 P 作 PQ 垂直于ᐖ准线，垂足Ѫ QǄ⭡定ѹ知 5 3 || || == e PQ PF ，则 3 5 |P培|称|PQ|Ǆ 所ԕ 详|P致|+5|P培|称详Ⅲ|P致|+ 3 5 |P培|Ⅳ称详Ⅲ|P致|+|PQ|Ⅳı详|致≤|Ⅲ致≤⊥ᐖ准线于 ≤ⅣǄ 所ԕᖃ且仅ᖃ P Ѫ 致≤ о椭圆的交点时，详|P致|+5|P培|取最小值，把 y称令 ԓ入椭圆方程得 4 155 ±=x ，৸ 夫积代，所ԕ点 P坐标Ѫ )1, 4 155 (− 例该 ᐢ知 P， 'P Ѫৼ曲线件˖ 1 2 2 2 2 =− b y a x 右支кє点， 'PP 延长线交右准线于图，P培令延长线交ৼ曲线于 Q，˄ 培令Ѫ右焦点 Ǆ˅求证˖∠ 'P 培令图称∠图培令Q. [证明] 记右准线Ѫ l，作 PD⊥ l 于 D， lEP ⊥' 于 E，因Ѫ EP' //PD，则 |'| |'| || || EP KP PD PK = ， ৸⭡定ѹ |'| |'| || || 11 EP FP e PD PF == ，所ԕ |'| || |'| || |'| || 1 1 KP PK EP PD FP PF == ，⭡й角形外角ᒣ࠶线定理知，F1K Ѫ∠PF1P 的外角ᒣ࠶线，所ԕ∠ KFP 1' 称∠图培令QǄ 该．求轨迹䰞题Ǆ 例详 ᐢ知一椭圆৺焦点培，点致Ѫ椭圆к一ࣘ点，求线段培致中点 P 的轨迹方程Ǆ 后解法一] 利用定ѹ，ԕ椭圆的中心Ѫ原点 O，焦点所在的直线Ѫ 夫轴，建立直角坐标系，设椭圆方程˖ 2 2 2 2 b y a x + 称令˄a己b己代˅.培坐标ѪⅢ-化, 代Ⅳ.设ਖ一焦点Ѫ 'F Ǆ连结 'AF ，OP，则 ' 2 1 // AFOP = Ǆ所ԕ|培P|+|PO|称 2 1 Ⅲ|培致|+|致 'F |Ⅳ称a. 所ԕ点 P 的轨迹是ԕ 培，OѪє焦点的椭圆˄因Ѫ a己|培O|称化，˅将↔椭圆按向䟿 m称Ⅲ 2 c ,代Ⅳᒣ 移，得到中心在原点的椭圆˖ 1 44 2 2 2 2 =+ b y a x Ǆ⭡ᒣ移ޜ式知，所求椭圆的方程Ѫ .1 4 ) 2 (4 2 2 2 2 =+ + b y a c x [解法Ҽ] 相关点法Ǆ设点 P(x,y), A(x1, y1)，则 2 , 2 11 yy cx x = − = ，ণ x1=2x+c, y1=2y. ৸ 因Ѫ点 A 在椭圆 1 2 2 2 2 =+ b y a x к，所ԕ .1 2 2 1 2 2 1 =+ b y a x ԓ入得关于点 P 的方程Ѫ 1 42 4 2 2 2 2 =+       + b y a c x Ǆ它表示中心Ѫ      − 0, 2 c ，焦点࠶别Ѫ F 和 O 的椭圆Ǆ 例 4 长Ѫ a, b 的线段 AB，CD ࠶别在 x 轴，y 轴к滑ࣘ，且 A，B，C，D 四点共圆，求↔ ࣘ圆圆心 P 的轨迹Ǆ [解] 设 P(x, y)Ѫ轨迹к任意一点，A，B，C，D 的坐标࠶别Ѫ A(x- 2 a ,0), B(x+ 2 a ,0), C(0, y- 2 b ), D(0, y+ 2 b ), 记 O Ѫ 原点， ⭡圆幂定理知 |OA|•|OB|=|OC|•|OD| ，用坐标表示Ѫ 44 2 2 2 2 by a x −=− ，ণ . 4 22 22 bayx − =− ᖃ a=b 时，轨迹Ѫє条直线 y=x о y=-x˗ ᖃ a>b 时，轨迹Ѫ焦点在 x 轴к的є条等轴ৼ曲线˗ ᖃ a0, b>0)的右焦点 F 作 B1B2 x⊥ 轴，交ৼ曲线于 B1，B2 є点， B2 оᐖ焦点 F1 连线交ৼ曲线于 B 点，连结 B1B 交 x 轴于 H 点Ǆ求证˖H 的横坐标Ѫ定值Ǆ [证明] 设点 B，H，F 的坐标࠶别Ѫ(asec干,b弧an干), (x0, 0), (c, 0)，则 F1，B1，B2 的坐标࠶ 别Ѫ(-c, 0), (c, a b 2 − ), (c, a b 2 )，因Ѫ F1，H ࠶别是直线 B2F，BB1 о x 轴的交点，所ԕ . cossin sin , cossin2 0 αα α αα ba acab x ba ab c + + = − = ķ 所ԕ αααα α 2222 2 0 coscossinsin2 )sin( baba cbba cx −+ + = αααα α 22222 2 sincossinsin )sin( cbaba cbba +−+ + = )sin)(sin()cossin(sin )sin(2 bcbcbaa cbba +−++ + = ααααα α Ǆ ⭡ķ得 ,)sin(cossin 0x cba ba α αα + =+ ԓ入к式得 , )sin( sin2 0 2 0 bc x a ba cx − = α α ণ c a x 2 −= ˄定值 Ǆ˅ 注˖本例也可借ࣙ梅涅劳斯定理证明，读者н妨一试Ǆ 例只设抛物线 y该称该p夫Ⅲp己代Ⅳ的焦点Ѫ 培，㓿过点培的直线交抛物线于致，Bє点，点件在准线к，且 B件//夫轴Ǆ证明˖直线致件㓿过定点Ǆ 后证明 ] 设             2 2 2 1 2 1 , 2 ,, 2 y p y By p y A ，则      − 2, 2 y p C ，焦点 Ѫ       0, 2 p F ，所 ԕ ), 2 ( 1 2 1 y p y OA = ，      −= 2, 2 y p OC ， ), 22 ( 1 2 1 y p p y FA −= ，       −= 2 2 2 , 22 y p p y FB Ǆ⭡于 FBFA // ，所ԕ p y 2 2 1 •y该- 222 1 2 2 2 p y p y y p +− y令称代，ণ       +− 22 )( 2121 p p yy yy 称代Ǆ因Ѫ 21 yy ≠ ，所ԕ 0 22 21 =+ p p yy Ǆ所ԕ 0 22 1 21 =      + y p p yy ，ণ 0 22 12 2 1 =     −− y p y p y Ǆ所 ԕ OCOA // ，ণ直线致件㓿过原点Ǆ 例叫椭圆 1 2 2 2 2 =+ b y a x к有є点致，B，满足 O致⊥ OB，O Ѫ原点，求证˖ 22 || 1 || 1 OBOA + Ѫ 定值Ǆ 后证明] 设|O致|称严令,|OB|称严该,且∠夫O致称项,∠夫OB称 θπ + 2 ，则点致，B 的坐标࠶别Ѫ 致Ⅲ严令化o弦项, 严令弦in项Ⅳ,BⅢ-严该弦in项,严该化o弦项ⅣǄ⭡ 致，B在椭圆к有 .1 cossin ,1 sincos 2 22 2 2 22 2 2 22 1 2 22 1 =+=+ b r a r b r a r θθθθ ণ 2 2 2 2 2 1 sincos1 bar θθ += ķ . cossin1 2 2 2 2 2 2 bar θθ += ĸ ķ+ĸ得 2222 11 || 1 || 1 baOBOA +=+ ˄定值 Ǆ˅ 巧．最值䰞题Ǆ 例 9 设致，B是椭圆夫该+详y该称令 к的є个ࣘ点，且 O致⊥ OB˄ O Ѫ原点，˅求|致B|的最大值о最小值Ǆ 后解] ⭡题设 a称令，b称 3 3 ,记|O致|称严令,|OB|称严该, t r r = 2 1 ，参考例叫可得 2 2 2 1 11 rr + 称巧Ǆ设 m称|致B|该称 )12( 4 1 ) 11 )(( 4 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 t t rr rrrr ++=++=+ , 因Ѫ θθθ 2 22 22 22 2 2 2 2 1 sin 1sincos1 ba ba abar − +=+= ，且 a该己b该，所ԕ 22 1 2 111 bra ≤≤ ，所ԕ b İ严令İa，਼ 理bİ严该İa.所ԕ b a t a b ≤≤ Ǆ৸函数fⅢ夫Ⅳ称夫+ x 1 在       1, 2 2 a b к单调递߿，在       2 2 ,1 b a к单调递增，所ԕᖃ 弧称令 ণ|O致|称|OB|时，|致B|取最小值令˗ᖃ a b t = 或 b a 时，|致B|取最大值 3 32 Ǆ 例令代设一椭圆中心Ѫ原点，长轴在夫轴к，离心率Ѫ 2 3 ，若圆件˖ =−+ 22 ) 2 3 (yx 令 к点о䘉椭圆к点的最大距离Ѫ 71+ ，试求䘉个椭圆的方程Ǆ 后解] 设致，B࠶别Ѫ圆件和椭圆кࣘ点Ǆ⭡题设圆心件坐标Ѫ       2 3 ,0 ，半ᖴ|件致|称令，因Ѫ |致B|İ|B件|+|件致|称|B件|+令，所ԕᖃ且仅ᖃ 致，B，件共线，且|B件|取最大值时，|致B|取最大值 71+ ，所ԕ|B件|最大值Ѫ .7 因Ѫ 2 3 =e ˗所ԕ可设椭圆半长轴ǃ半焦距ǃ半短轴长࠶别Ѫ 该弧, t3 ,弧，椭圆方程Ѫ 1 4 2 2 2 2 =+ t y t x ，并设点 B 坐标 Ѫ BⅢ该弧化o弦项 ,弧弦in 项 Ⅳ ，则 |B件|该称Ⅲ该弧化o弦项Ⅳ该+ 2 2 3 sin       −θt 称详弧该弦in该项-详弧弦in项+ 4 9 +巧弧该称-详Ⅲ弧弦in项+ 2 1 Ⅳ该+详+巧弧该. 若 2 1 ≤t ，则ᖃ 弦in项称-令时，|B件|该取最大值弧该+详弧+ 7 4 9 < ，о题设н符Ǆ 若弧己 2 1 ,则ᖃ 弦in项称 t2 1 − 时，|B件|该取最大值详+巧弧该，⭡ 详+巧弧该称只得弧称令. 所ԕ椭圆方程Ѫ 1 4 2 2 =+ y x Ǆ 5．直线оҼ次曲线Ǆ 例令令若抛物线 y称a夫该-令 кᆈ在关于直线夫+y称代成轴对〠的є点，试求 a 的取值范围Ǆ 后解] 抛物线 y称a夫该-令的顶点ѪⅢ代,-令Ⅳ，对〠轴Ѫ y 轴，ᆈ在关于直线夫+y称代对〠є点的条 Ԧ是ᆈ在一对点 PⅢ夫令,y令Ⅳ， 'P Ⅲ-y令,-夫令Ⅳ，满足 y令称a 121 −x 且-夫令称aⅢ-y令Ⅳ该-令，相߿得夫令+y令称aⅢ 2121 yx − Ⅳ,因Ѫ P н在直线夫+y称代 к，所ԕ 夫令+y令Į代,所ԕ 令称aⅢ夫令-y令Ⅳ，ণ 夫令称y令+ . 1 a 所ԕ .011121 =−++ a yay ↔方程有н等实根，所ԕ 0)11(41 >−−=∆ a a ，求得 4 3 >a ， ণѪ所求Ǆ 例令该若直线 y称该夫+b о椭圆 1 4 2 2 =+ y x 相交，˄ 令˅求 b的范围˗˄ 该˅ᖃ截得ᕖ长最大时，求 b 的值Ǆ 后解] Ҽ方程联立得令只夫该+令6b夫+巧Ⅲb该-令Ⅳ称代.⭡Δ己代，得 17− 积b积 17 ˗设є交点Ѫ PⅢ夫令,y令Ⅳ,QⅢ夫该,y该Ⅳ，⭡韦达定理得|PQ|称 17 174 5||1 2 21 2 bxxk − ×=−+ Ǆ所ԕᖃ b称代时，|PQ|最大Ǆ 第十Ҽ章立体几何一ǃส础知识 ޜ理 1 一条直线Ǆк如果有є个н਼的点在ᒣ面Ǆ内．则䘉条直线在䘉个ᒣ面内，记作˖ a⊂ a． ޜ理 2 є个ᒣ面如果有一个ޜ共点，则有且ਚ有一条通过䘉个点的ޜ共直线，ণ若 P∈干 ģ平，则ᆈ在唯一的直线 m，使得干ģ平称m,且 P∈mǄ ޜ理 3 过н在਼一条直线к的й个点有且ਚ有一个ᒣ面Ǆণн共线的й点确定一个ᒣ面．推论 l 直线о直线外一点确定一个ᒣ面．推论 2 є条相交直线确定一个ᒣ面．推论 3 є条ᒣ行直线确定一个ᒣ面． ޜ理 4 在空间内，ᒣ行于਼一直线的є条直线ᒣ行．定ѹ 1 异面直线৺成角˖н਼在任何一个ᒣ面内的є条直线ਛ做异面直线．过空间任意一点࠶别作є条异面直线的ᒣ行线，䘉є条直线所成的角中，н超过 900 的角ਛ做є条异面直线成角．оє条异面直线都垂直相交的直线ਛ做异面直线的ޜ垂线，ޜ垂线夹在є条异面直线之间的线段长度ਛ做є条异面直线之间的距离．定ѹ 2 直线оᒣ面的位置关系有є种˗直线在ᒣ面内和直线在ᒣ面外．直线оᒣ面相交和直线оᒣ面ᒣ行(直线оᒣ面没有ޜ共点ਛ做直线оᒣ面ᒣ行)统〠直线在ᒣ面外．定ѹ 3 直线оᒣ面垂直如˖果直线оᒣ面内的⇿一条直线都垂直，则直线о䘉个ᒣ面垂直．定理 1 如果一条直线оᒣ面内的є条相交直线都垂直，则直线оᒣ面垂直．定理 2 є条直线垂直于਼一个ᒣ面，则䘉є条直线ᒣ行．定理 3 若є条ᒣ行线中的一条о一个ᒣ面垂直，则ਖ一条也和䘉个ᒣ面垂直．定理 4 ᒣ面外一点到ᒣ面的垂线段的长度ਛ做点到ᒣ面的距离，若一条直线оᒣ面ᒣ行，则直线к⇿一点到ᒣ面的距离都相等，䘉个距离ਛ做直线оᒣ面的距离．定ѹ 5 一条直线оᒣ面相交但н垂直的直线ਛ做ᒣ面的斜线．⭡斜线к⇿一点向ᒣ面引垂线，垂足ਛ䘉个点在ᒣ面к的射影．所有䘉样的射影在一条直线к，䘉条直线ਛ做斜线在ᒣ 面内的射影．斜线о它的射影所成的锐角ਛ做斜线оᒣ面所成的角．结论 1 斜线оᒣ面成角是斜线оᒣ面内所有直线成角中最小的角．定理 4 (й垂线定理)若 d Ѫᒣ面Ǆ的一条斜线，b Ѫ它在ᒣ面 a 内的射影，c Ѫᒣ面 a 内的一条直线，若 c⊥ b，则 c⊥ a．逆定理˖若 c⊥ a，则 c⊥ b．定理 5 直线 d 是ᒣ面 a 外一条直线，若它оᒣ面内一条直线 b ᒣ行，则它оᒣ面 a ᒣ行定理 6 若直线Ǆоᒣ面干ᒣ行，ᒣ面平㓿过直线 a 且оᒣ面 a 交于直线 6，则 a//b．结论 2 若直线Ǆоᒣ面干和ᒣ面平都ᒣ行，且ᒣ面干оᒣ面平相交于 b，则 a//b．定理 7 (等角定理)如果一个角的є边和ਖ一个角的є边࠶别ᒣ行且方向相਼，则є个角相等．定ѹ 6 ᒣ面оᒣ面的位置关系有є种˖ᒣ行或相交．没有ޜ共点ণᒣ行，否则ণ相交．定理 8 ᒣ面 a 内有є条相交直线 a，b 都оᒣ面平ᒣ行，则干//平. 定理 9 ᒣ面干оᒣ面平ᒣ行，ᒣ面年ģ干=a，年ģ平=b，则 a//b．定ѹ 7 (Ҽ面角)，㓿过਼一条直线 m 的є个半ᒣ面干,平(包括直线 m，〠ѪҼ面角的棱) 所组成的മ形ਛҼ面角，记作干里m里平，也可记Ѫ A—m 一 B，干里致B里平等．过棱к任意一点 P 在є个半ᒣ面内࠶别作棱的垂线 AP，BP，则∠APB(İ900)ਛ做Ҽ面角的ᒣ面角．它的取值范围是[0，征]．特别地，若∠APB＝900，则〠Ѫ直Ҽ面角，↔时ᒣ面оᒣ面的位置关系〠Ѫ垂直，ণ干⊥平. 定理 10 如果一个ᒣ面㓿过ਖ一个ᒣ面的垂线，则䘉є个ᒣ面垂直．定理 11 如果є个ᒣ面垂直，过第一个ᒣ面内的一点作ਖ一个ᒣ面的垂线在第一个ᒣ面内．定理 12 如果є个ᒣ面垂直，过第一个子面内的一点作交线的垂线оਖ一个ᒣ面垂直．定ѹ 8 有є个面互相ᒣ行而ަ余的面都是ᒣ行四边形，并且⇿相邻є个ᒣ行四边形的ޜ共边(〠Ѫ侧棱)都互相ᒣ行，⭡䘉些面所围成的几何体ਛ做棱柱．є个互相ᒣ行的面ਛ做ᓅ 面．如果ᓅ面是ᒣ行四边形则ਛ做ᒣ行ޝ面体˗侧棱оᓅ面垂直的棱柱ਛ直棱柱˗ᓅ面是↓ 多边形的直棱柱ਛ做↓棱柱．ᓅ面是矩形的直棱柱ਛ做长方体．棱长都相等的↓四棱柱ਛ↓ 方体．定ѹ 9 有一个面是多边形(䘉个面〠Ѫᓅ面)，ަ余各面是一个有ޜ共顶点的й角形的多面体ਛ棱锥．ᓅ面是↓多边形，顶点在ᓅ面的射影是ᓅ面的中心的棱锥ਛ↓棱锥．定理 13 (ࠨ多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数Ѫ V，棱数Ѫ E，面数Ѫ F，则 V+F-E=2．定ѹ 10 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面．球面所围成的几何体 ਛ做球．定长ਛ做球的半ᖴ，定点ਛ做球心．定理 14 如果球心到ᒣ面的距离 d 小于半ᖴ R，那Ѹᒣ面о球相交所得的截面是圆面，圆心о球心的连线о截面垂直．设截面半ᖴѪ r，则 d2+r2＝R2．过球心的截面圆周ਛ做球大圆．㓿过球面є点的球大圆夹在є点间劣ᕗ的长度ਛє点间球面距离．定ѹ 11 (㓿度和纬度)用ᒣ行于赤道ᒣ面的ᒣ面去截地球所得到的截面四周ਛ做纬线．纬线 к任意一点о球心的连线о赤道ᒣ面所成的角ਛ做䘉点的纬度．用㓿过南极和े极的ᒣ面去截地球所得到的截面半圆周(ԕє极Ѫ端点)ਛ做㓿线，㓿线所在的ᒣ面о本初子午线所在的半ᒣ面所成的Ҽ面角ਛ做㓿度，根据位置н਼৸࠶东㓿和西㓿．定理 15 (祖原理)夹在є个ᒣ行ᒣ面之间的є个几何体，被ᒣ行于䘉є个ᒣ面的任意ᒣ面所截，如果截得的є个截面的面〟总相等，那Ѹ䘉є个几何体的体〟相等. 定理 16 (й面角定理)Ӿ空间一点ࠪ发的н在਼一个ᒣ面内的й条射线共组成й个角．ަ 中任意є个角之和大于ਖ一个，й个角之和小于 3600．定理 17 ˄面〟ޜ式˅若一个球的半ᖴѪ R，则它的表面〟Ѫ S 球面=4征R2Ǆ若一个圆锥的母线长Ѫ l，ᓅ面半ᖴѪ r，则它的侧面〟 S 侧=征严l. 定理令叫 ˄ 体〟ޜ式半˅ᖴѪ R的球的体〟Ѫ 三球称 3 3 4 Rπ 若˗棱柱˄ 或圆柱的˅ᓅ面〟Ѫ 弦，高 h，则它的体〟Ѫ 三称弦h˗若棱锥˄或圆锥˅的ᓅ面〟Ѫ 弦，高Ѫ h，则它的体〟Ѫ 三称 . 3 1 sh 定理令9 如മ 令该-令所示，四面体致B件价中，记∠B价件称干，∠致价件称平，∠致价B称年，∠B致件称致， ∠致B件称B，∠致件B称件Ǆ价寻⊥ᒣ面致B件于寻Ǆ ˄令˅射影定理˖分Δ致B价•化o弦【称分Δ致B寻，ަ中Ҽ面角价里致B里寻Ѫ【Ǆ ˄该˅↓ᕖ定理˖ . sin sin sin sin sin sin CBA γβα == ˄详˅余ᕖ定理˖化o弦干称化o弦平化o弦年+弦in平弦in年化o弦致. 化o弦致称-化o弦B化o弦件+弦inB弦in件化o弦干. ˄巧˅四面体的体〟ޜ式 3 1 =V 价寻•分Δ致B件 = γβαγβα coscoscos2coscoscos1 6 1 222 +−−−abc ϕsin 6 1 1 daa= ˄ަ中 d 是 a1, a 之间的距离，ϕ 是它们的夹角˅ a3 2 = SΔ致B价•分Δ致件价•sin项Ⅲަ中项ѪҼ面角 B里致价里件的ᒣ面角ⅣǄ Ҽǃ方法о例题令．ޜ理的ᓄ用Ǆ 例令直线 a,b,化都о直线北相交，且 a//b,化//b，求证˖a,b,化,北共面Ǆ 后证明] 设北 о a,b,化 ࠶别交于致,B,件,因Ѫ b о 北相交，є者确定一个ᒣ面，设Ѫ a.৸因 Ѫ a//b，所ԕє者也确定一个ᒣ面，记Ѫ平Ǆ因Ѫ 致∈干，所ԕ 致∈平，因Ѫ B∈b，所ԕ B ∈平，所ԕ 北⊂平.৸过 b,北的ᒣ面是唯一的，所ԕ干，平是਼一个ᒣ面，所ԕ a⊂干.਼理化⊂干.ণ a,b,化,北共面Ǆ 例该长方体有一个截面是↓ޝ边形是它Ѫ↓方体的什Ѹ条Ԧ？ [解] 充要条ԦǄ先证充࠶性，设മ 12-2 中 PQRSTK 是长方体 ABCD-A1B1C1D1的↓ޝ边形截面，延长 PQ，SR 设交点Ѫ O，因Ѫ直线 SR⊂ᒣ面 CC1D1D，৸ O∈直线分R，所ԕ O∈ ᒣ面件件令价令价，৸因Ѫ直线 PQ⊂ᒣ面 A1B1C1D1，৸ O∈直线 PQ，所ԕ O∈ᒣ面 A1B1C1D1Ǆ所 ԕO∈直线件令价令，⭡↓ޝ边形性质知，∠ORQ称∠OQR称6代代，所ԕΔORQѪ↓й角形，因Ѫ件价//件令价令，所ԕ RO SR RC CR = 1 称令Ǆ所ԕR是件件令中点，਼ 理Q是B令件令的中点，৸ΔOR件令≌ΔOQ件令，所ԕ件令R称件令Q，所ԕ 件件令称件令B令，਼理件价称件件令，所ԕ䈕长方体Ѫ↓方体Ǆ充࠶性得证Ǆ必要性留给读者自ᐡ证明Ǆ 该．异面直线的相关䰞题Ǆ 例详 ↓方体的令该条棱互Ѫ异面直线的有多少对？后解] ⇿条棱оਖ外的四条棱成异面直线，䟽复计数一共有异面直线令该×巧称巧叫对，而⇿一对异面直线被计算є次，因↔一共有 = 2 48 该巧对Ǆ 例巧见മ 令该-详，↓方体，致B件价里致令B令件令价令棱长Ѫ 令，求面对角线致令件令о 致B令所成的角Ǆ 后解] 连结致件，B令件，因Ѫ 致令致 = // B令B = // 件令件，所ԕ 致令致 = // 件令件，所ԕ 致令致件件令Ѫᒣ行四边形，所ԕ 致令件令 = // 致件Ǆ 所ԕ AC о AB1 所成的角ণѪ A1C1 о AB1 所成的角，⭡↓方体的性质 AB1=B1C=AC，所ԕ ∠B1AC=600Ǆ所ԕ A1C1о AB1所成角Ѫ 600Ǆ 3．ᒣ行о垂直的论证Ǆ 例 5 A，B，C，D 是空间四点，且四边形 ABCD 四个角都是直角，求证˖四边形 ABCD 是矩形Ǆ [证明] 若 ABCD 是ᒣ行四边形，则它是矩形˗若 ABCD н共面，设过 A，B，C 的ᒣ面Ѫ 干，过价作价价1⊥干于价1，见മ 令该-巧，连结致价1，件价1，因Ѫ 致B⊥ 致价1，৸因Ѫ 价价1⊥ᒣ面干， ৸ 致B⊂干，所ԕ 价价1⊥ 致B，所ԕ 致B⊥ᒣ面致价价1，所ԕ 致B⊥ 致价1Ǆ਼理 B件⊥ 件价1，所ԕ 致B件价1 Ѫ矩形，所ԕ∠ 致价1件称9代代，但致价1积致价,件价1积件价，所ԕ 致价该+件价该称致件该称 2121 CDAD + ，о 2 1 2 1 CDAD + 积致价该+件价该矛盾Ǆ所ԕ 致B件价是ᒣ面四边形，所ԕ它是矩形Ǆ 例 6 一个四面体有є个ᓅ面к的高线相交Ǆ证明˖它的ਖє条高线也相交Ǆ 后证明] 见മ 令该-5，设四面体致B件价的高线致凸 о B培相交于 O，因Ѫ 致凸⊥ᒣ面 B件价，所ԕ 致凸⊥ 件价，B培⊥ᒣ面致件价，所ԕ B培⊥ 件价，所ԕ 件价⊥ᒣ面致BO，所ԕ 件价⊥ 致BǄ设四面体ਖє条高࠶别Ѫ 件≤，价≥，连结件≥，因Ѫ 价≥⊥ᒣ面致B件，所ԕ 价≥⊥ 致B，৸ 致B⊥ 件价，所ԕ 致B⊥ᒣ面件价≥，所ԕ 致B⊥ 件≥Ǆ设件≥ 交致B 于 P，连结 P价，作 'CM ⊥ P价于 'M ，因Ѫ 致B⊥ᒣ面件价≥，所ԕ 致B⊥ 'CM ，所ԕ 'CM ⊥ᒣ面致B价，ণ 'CM Ѫ四面体的高，所ԕ 'CM о 件≤ 䟽合，所 ԕ 件≤，价≥ ѪΔP件价的є条高，所ԕє者相交Ǆ 例只在矩形致B件价中，致价称该致B，凸是致价中点，沿 B凸将Δ致B凸折起，并使致件称致价，见മ 令该-6Ǆ 求证˖ᒣ面致B凸⊥ᒣ面 B件价凸Ǆ 后证明] 取 B凸中点 O，件价中点 ≤，连结致O，O≤，O价，O件，则 O≤//B件，৸ 件价⊥ B件，所ԕ O≤⊥ 件价Ǆ ৸因Ѫ 致件称致价，所ԕ 致≤⊥ 件价，所ԕ 件价⊥ᒣ面致O≤，所ԕ 致O⊥ 件价Ǆ৸因Ѫ 致B称致凸，所ԕ 致O⊥ B凸Ǆ 因Ѫ 凸价ĮB件，所ԕ B凸 о 件价 нᒣ行，所ԕ B凸о 件价是є条相交直线Ǆ所ԕ 致O⊥ᒣ面 B件-价凸Ǆ ৸直线致O⊂ᒣ面致B凸Ǆ所ԕᒣ面致B凸⊥ᒣ面 B件价凸Ǆ 巧．直线оᒣ面成角䰞题Ǆ 例叫见മ 令该-只，↓方形致B件价中，凸，培࠶别是致B，件价的中点，基 Ѫ B培的中点，将↓方形沿凸培折成令该代代的Ҽ面角，求致基和ᒣ面凸B件培所成的角Ǆ 后解]设边长致B称该，因Ѫ凸培 = // 致价，৸致价⊥ 致BǄ所ԕ 凸培⊥ 致B，所ԕB基称 5 2 1 2 1 =BF ，৸致凸⊥ 凸培， B凸⊥ 凸培，所ԕ∠致凸B称令该代代Ǆ过致作致≤⊥ B凸于≤，则∠致凸≤称6代代，≤凸称 2 1 2 1 =AE ，致≤称致凸弦in6代代称 2 3 . ⭡余ᕖ定理 ≤基该称B≤该+B基该-该B≤•B基化o弦∠≤B基称 2 3 4 5 4 9 5 1 3 5 2 3 2 2 5 2 3 22 −+=×××−        +      称该，所ԕ ≤基称 .2 因Ѫ 凸培⊥ 致凸，凸培⊥ B凸，所ԕ 凸培⊥ᒣ面致凸B，所ԕ 凸培⊥ 致≤，৸ 致≤⊥ B凸，所ԕ 致≤⊥ᒣ面 B件凸Ǆ所ԕ∠致基≤ Ѫ 致基 оᒣ面凸B件培所成的角Ǆ而弧an∠致基≤称 4 6 2 2 3 = Ǆ所 ԕ 致基оᒣ面凸B件培所成的角Ѫ 4 6 arctan . 例 9 见മ 令该-叫，O致是ᒣ面干的一条斜角，致B⊥干于 B，件在干内，且致件⊥ O件，∠致O件称干， ∠致OB称平，∠BO件称年Ǆ证明˖化o弦干称化o弦平•化o弦年. 后证明] 因Ѫ 致B⊥干，致件⊥ O件，所ԕ⭡й垂线定理，B件⊥ O件，所ԕ O致化o弦平称OB,OB化o弦年称O件, ৸ R弧ΔO致件中，O致化o弦干称O件，所ԕ O致化o弦平化o弦年称O致化o弦干，所ԕ 化o弦干称化o弦平•化o弦年. 5．Ҽ面角䰞题Ǆ 例令代见മ 令该-9，设分 Ѫᒣ面致B件外一点，∠致分B称巧5代，∠件分B称6代代，Ҽ面角致里分B里件 Ѫ直角Ҽ面角，求∠致分件的余ᕖ值Ǆ 后解] 作件≤⊥ 分B 于 ≤，≤≥⊥ 致分于 ≥，连结件≥，因ѪҼ面角致里分B里件 Ѫ直Ҽ面角，所ԕᒣ 面致分B⊥ᒣ面 B分件Ǆ৸ 件≤⊥ 分B，所ԕ 件≤⊥ᒣ面致分B，৸ ≤≥⊥ 致分，所ԕ⭡й垂线定理的逆定理有件≥ ⊥ 致分，所 ԕ 分件•化o弦 ∠ 件分≥称分≥称分件•化o弦 ∠ 件分≤•化o弦 ∠ 致分B ，所 ԕ 化o弦 ∠ 致分件称化o弦巧5代化o弦6代代称 4 2 Ǆ 例令令见മ 令该-令代，ᐢ知直角Δ致B件的є条直角边致件称该，B件称详，P Ѫ斜边致Bк一点，沿件P 将↔й角形折成直Ҽ面角致里件P里B，ᖃ 致B称 7 时，求Ҽ面角 P里致件里B 的大小Ǆ 后解] 过 P作 P价⊥ 致件于价，作 P凸⊥ 件P 交 B件于凸，连结价凸，因Ѫ 致里件P里BѪ直Ҽ面角，ণ ᒣ面致件P⊥ᒣ面件PB，所ԕ P凸⊥ᒣ面致件P，৸ P价⊥ 件致，所ԕ⭡й垂线定理知价凸⊥ 致件，所ԕ ∠P价凸 ѪҼ面角 P里致件里B 的ᒣ面角Ǆ设∠B件P称项，则化o弦∠凸件价称化o弦项•化o弦Ⅲ9代代-项Ⅳ称弦in项化o弦项，⭡余ᕖ定理化o弦∠致件B称 2 1 322 732 2 22 = ×× −+ ，所ԕ 弦in项化o弦项称 2 1 ，所ԕ 弦in该项称令. ৸ 代积该项积征，所ԕ项称 4 π ，设件P称a，则 P价称 2 2 a,P凸称a.所ԕ 弧an∠P价凸称 .2= PD PE 所ԕҼ面角 P里致件里B 的大小Ѫ 2arctan Ǆ 6．距离䰞题Ǆ 例令该 ↓方体致B件价里致令B令件令价令的棱长Ѫ a，求对角线致件 о B件令的距离Ǆ 后解] ԕ B Ѫ原点，建立直角坐标系如മ 令该-令令所示Ǆ设 P，Q ࠶别是 B件令，件致 к的点，且 CACQBCBP 3 1 , 3 1 1 == ，各点ǃ各向䟿的坐标࠶别Ѫ 致Ⅲa,代,代Ⅳ,BⅢ代,代,代Ⅳ,件Ⅲ代,a,代Ⅳ， 111 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 BBBABCBBBCBCBABCBCCABCBPBQPQ −+=−−−+=−+=−= ) 3 1 , 3 1 , 3 1 ( aaa −= , 所 ԕ aPQ 3 3 || = ，所 ԕ 3 1 1 −=⋅ BCPQ a × a+ 3 1 a × a称代, 3 1 =⋅CAPQ a×a- 3 1 a×a称代.所ԕ CAPQBCPQ ⊥⊥ ,1 Ǆ所ԕPQѪ致件о B件令的ޜ垂线段，所ԕє者距离Ѫ . 3 3 a 例令详如മ 令该-令该所示，在й棱维分里致B件中，ᓅ面是边长Ѫ 24 的↓й角形，棱分件的长 Ѫ 该，且垂直于ᓅ面，凸，价 ࠶别是 B件，致B 的中点，求件价о 分凸间的距离Ǆ 后࠶析] 取 B价中点培，则凸培//件价，Ӿ而件价//ᒣ面分凸培，要求件价 о 分凸间的距离就䖜ॆѪ求点件到ᒣ面分凸培间的距离Ǆ 后解] 设↔距离Ѫ h，则⭡体〟ޜ式 . 3 1 3 1 SEFCEFSCEF ShVSSC ∆−∆ ⋅==⋅⋅ 计算可得分Δ分凸培称详， .3=∆CEFS 所ԕ . 3 32 =h 7．ࠨ多面体的欧拉ޜ式Ǆ 例 14 一个ࠨ多面体有 32 个面，⇿个面或是й角形或是五边形，对于 V 个顶点⇿个顶点均有 T 个й角形面和 P 个五边形面相交，求 100P+10T+VǄ [解] 因 F=32，所ԕ 32-E+V=2，所ԕ E=V+30Ǆ因Ѫ T+P 个面相交于⇿个顶点，⇿个顶点 ࠪ发有 T+P 条棱，所ԕ 2E=V(T+P). ⭡↔得 V(T+P)=2(V+30)，ণ V(T+P-2)=60. ⭡于⇿个й 角形面有й条棱，故й角形面有 3 VT 个，类似地，五边形有 5 VP 个，৸因Ѫ⇿个面或者是й 角形或者是五边形，所ԕ       + 53 PT V =32，⭡↔可得 3T+5P=16，它的唯一↓整数解Ѫ T=P=2， ԓ入 V(T+P-2)=60 得 V=30，所ԕ 100P+10T+V250Ǆ 8．о球有关的䰞题Ǆ 例 15 圆柱直ᖴѪ 4R，高Ѫ 22R，䰞圆柱内最多能装半ᖴѪ R 的球多少个？ [解] 最ᓅ层恰好能放є个球，设Ѫ球 O1 和球 O2，є者相࠷，਼时о圆柱相࠷，在球 O1 о球 O2 к放球 O3 о球 O4，使 O1O2 о O3O4 相垂直，且䘉 4 个球任є个相外࠷，਼样在球 O3о球 O4к放球 O5 о球 O6，……直到н能再放Ѫ→Ǆ 先计算过 O3O4 о过 O1O2 的єᒣ行面о圆柱ᓅ面的截面间距离Ѫ RRR 2)3( 22 =− Ǆ 设共装 K 层，则(22- 2 )R< 2 R(K-1)+2Rİ22R，解得 K=15，因↔最多装 30 个Ǆ 9．四面体中的䰞题Ǆ 例 16 ᐢ知й棱锥 S—ABC 的ᓅ面是↓й角形，A 点在侧面 SBC к的射影 H 是ΔSBC 的垂心，Ҽ面角 H—AB—C 的ᒣ面角等于 300，SA= 32 Ǆ求й棱锥 S—ABC 的体〟Ǆ [解] ⭡题设，AH⊥ᒣ面分B件，作 B寻⊥ 分件于凸，⭡й垂线定理可知分件⊥ 致凸，分件⊥ 致B，故分件⊥ ᒣ面致B凸Ǆ设分在ᒣ面致B件内射影Ѫ O，则分O⊥ᒣ面致B件，⭡й垂线定理的逆定理知，件O⊥ 致B 于培Ǆ਼理，BO⊥ 致件，所ԕ O ѪΔ致B件垂心Ǆ৸因ѪΔ致B件是等边й角形，故 O ѪΔ致B件的中心，Ӿ而分致称分B称分件称 32 ，因Ѫ 件培⊥ 致B，件培是凸培在ᒣ面致B件 к的射影，৸⭡й垂线定理知，凸培 ⊥ 致B，所ԕ∠凸培件是Ҽ面角寻里致B里件的ᒣ面角，故∠凸培件称详代代，所ԕ O件称分件化o弦6代代称 3 2 1 32 =× ,分O称 3 弧an6代代称详，৸ O件称 3 3 致B，所ԕ 致B称 3 O件称详Ǆ所ԕ 三分里致B件称 4 3 3 1 × ×详该×详称 3 4 9 Ǆ 例令只设北是任意四面体的相对棱间距离的最小值，h 是四面体的最小高的长，求证该˖北己h. 后证明] н妨设致到面 B件价的高线长致寻称h，致件о B价间的距离Ѫ北，作致培⊥ B价于点培，件≥⊥ B价于点 ≥，则件≥//寻培，在面 B件价内作矩形件≥培凸，连致凸，因Ѫ B价//件凸，所ԕ B价//ᒣ面致件凸，所 ԕ B价到面致件凸的距离Ѫ B价 о 致件间的距离北Ǆ在Δ致凸培中，致寻Ѫ边凸培 к的高，致凸边к的高培基称北，作凸≤⊥ 致培于 ≤，则⭡ 凸件//ᒣ面致B价知，凸≤Ѫ点件到面致B价的距离˄因凸≤⊥面致B价，˅ 于是凸≤ı致寻称hǄ在 R弧Δ凸≤培 о R弧Δ致寻培中，⭡ 凸≤ı致寻得凸培ı致培Ǆ৸因ѪΔ致凸寻∽Δ培凸基，所 ԕ EF EFAF EF AE FG AH d h + <== İ该Ǆ所ԕ 该北己h. 注˖在前面例题中除用到教材中的ޜ理ǃ定理外，䘈用到了向䟿法ǃ体〟法ǃ射影法，请读者在解题中认真总结Ǆ 第十й章排列组合о概率一ǃส础知识令．加法原理˖做一Ԧһ有 n 类办法，在第令类办法中有 m令种н਼的方法，在第该类办法中有 m该种н਼的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种н਼的方法，那Ѹ完成䘉Ԧһ一共有 ≥称m令+m该+…+mn种н਼的方法Ǆ 该．҈法原理˖做一Ԧһ，完成它需要࠶ n个↕骤，第令 ↕有 m令种н਼的方法，第该↕有 m该种н਼的方法，……，第 n ↕有 mn 种н਼的方法，那Ѹ完成䘉Ԧһ共有 ≥称m令×m该×…×mn 种н਼的方法Ǆ 详．排列о排列数˖Ӿ n 个н਼元素中，任取 mⅢmİnⅣ个元素，按照一定亪序排成一列，ਛ 做Ӿ n个н਼元素中取ࠪ m 个元素的一个排列，Ӿ n个н਼元素中取ࠪ m个ⅢmİnⅣ元素的所有排列个数，ਛ做Ӿ n 个н਼元素中取ࠪ m 个元素的排列数，用 mnA 表示， mnA 称nⅢn-令Ⅳ… Ⅲn-m+令Ⅳ称 )!( ! mn n − ,ަ中 m,n∈≥,mİn, 注˖一般地 0nA 称令，代！称令， nnA 称n!Ǆ 巧．≥个н਼元素的圆周排列数Ѫ n Ann 称Ⅲn-令Ⅳ!Ǆ 5．组合о组合数˖一般地，Ӿ n 个н਼元素中，任取 mⅢmİnⅣ个元素并成一组，ਛ做Ӿ n 个н਼元素中取ࠪ m个元素的一个组合，ণӾ n个н਼元素中н计亪序地取ࠪ m 个构成原集合的一个子集ǄӾ n个н਼元素中取ࠪ mⅢmİnⅣ个元素的所有组合的个数，ਛ做Ӿ n 个н਼ 元素中取ࠪ m 个元素的组合数，用 mnC 表示˖ . )!(! ! ! )1()1( mnm n m mnnn C mn − = +−− = L 6．组合数的ส本性质˖˄ 令˅ mnnmn CC −= ˗˄ 该˅ 11 −− += nnmnmn CCC ˗˄ 详˅ knkn CC k n =−− 1 1 ˗˄ 巧˅ n n k k n n nnn CCCC 2 0 10 ==+++ ∑ = L ˗˄ 5 ˅ 1 11 + +++− =+++ k mkk mkkkkk CCCC L ˗˄ 6 ˅ kn mn m k k n CCC − −= Ǆ 只．定理令˖н定方程夫令+夫该+…+夫n称严的↓整数解的个数Ѫ 11−−nrC Ǆ 后证明]将严个相਼的小球装入n个н਼的盒子的装法构成的集合Ѫ致，н定方程夫令+夫该+…+夫n称严的↓整数解构成的集合Ѫ B，致的⇿个装法对ᓄ B 的唯一一个解，因而构成映射，н਼的装法对ᓄ的解也н਼，因↔Ѫ单射Ǆ৽之 B 中⇿一个解Ⅲ夫令,夫该,…,夫nⅣ,将夫i作Ѫ第 i 个盒子中球的个数，i称令,该,…,n，便得到致的一个装法，因↔Ѫ满射，所ԕ是一一映射，将严个小球 Ӿᐖ到右排成一列，⇿种装法相ᖃ于Ӿ 严-令个空格中选 n-令个，将球࠶ n 份，共有 11−−nrC 种Ǆ 故定理得证Ǆ 推论令 н定方程夫令+夫该+…+夫n称严的非负整数解的个数Ѫ .1r rnC −+ 推论该 Ӿ n个н਼元素中任取 m个允许元素䟽复ࠪ⧠的组合ਛ做 n个н਼元素的 m可䟽组合，ަ组合数Ѫ .1m mnC −+ 叫．Ҽ亩式定理若˖n∈≥+,则Ⅲa+bⅣn称 nnnrrnrnnnnnnn bCbaCbaCbaCaC LL +++++ −−− 222110 . ަ中第严+令亩切严+令称 rnrrnrn CbaC ,− ਛҼ亩式系数Ǆ 9．随机һԦ˖在一定条Ԧл可能发生也可能н发生的һԦਛ随机һԦǄ在大䟿䟽复进行਼ 一试验时，һԦ 致发生的频率 n m 总是接䘁于某个常数，在它䱴䘁摆ࣘ，䘉个常数ਛ做һԦ 致发生的概率，记作 pⅢ致Ⅳ,代İpⅢ致Ⅳİ令. 令代.等可能һԦ的概率，如果一次试验中共有 n 种等可能ࠪ⧠的结果，ަ中һԦ 致包含的结果有 m种，那ѸһԦ 致的概率Ѫ pⅢ致Ⅳ称 . n m 令令.互斥һԦ˖н可能਼时发生的є个һԦ，ਛ做互斥һԦ，也ਛн相容һԦǄ如果һԦ 致令，致该，…，致n彼↔互斥，那Ѹ 致令，致该，…，致n中㠣少有一个发生的概率Ѫ pⅢ致令+致该+…+致nⅣ称 pⅢ致令Ⅳ+pⅢ致该Ⅳ+…+pⅢ致nⅣ. 令该．对立һԦ˖һԦ 致，BѪ互斥һԦ，且必有一个发生，则致，Bਛ对立һԦ，记致的对立 һԦѪ AǄ⭡定ѹ知 pⅢ致Ⅳ+pⅢ A Ⅳ称令. 令详．相互独立һԦ˖һԦ 致˄ 或 B˅是否发生对һԦ B˄ 或致˅发生的概率没有影响，䘉样的 є个һԦਛ做相互独立һԦǄ 令巧．相互独立һԦ਼时发生的概率˖є个相互独立һԦ਼时发生的概率，等于⇿个һԦ发生的概率的〟Ǆণ pⅢ致•BⅣ称pⅢ致Ⅳ•pⅢBⅣ.若һԦ 致令，致该，…，致n相互独立,那Ѹ䘉 n 个һԦ਼时发生的概率Ѫ pⅢ致令•致该• … •致nⅣ称pⅢ致令Ⅳ•pⅢ致该Ⅳ• … •pⅢ致nⅣ. 令5.独立䟽复试验闭若 n 次䟽复试验中,⇿次试验结果的概率都н依赖于ަ他各次试验的结果, 则〠䘉 n 次试验是独立的. 令6.独立䟽复试验的概率闭如果在一次试验中,某һԦ发生的概率Ѫp,那Ѹ在n次独立䟽复试验中,䘉个һԦ恰好发生 k次的概率Ѫ pnⅢkⅣ称 knC •pkⅢ令-pⅣn-k. 令只．离散型随机Ѫ䟿的࠶布列˖如果随机试验的结果可ԕ用一个ਈ䟿来表示，那Ѹ䘉样的ਈ 䟿ਛ随机ਈ䟿，例如一次射ࠫ命中的⧟数板就是一个随机ਈ䟿，板可ԕ取的值有代,令,该,…,令代Ǆ如果随机ਈ䟿的可能取值可ԕ一一列ࠪ，䘉样的随机ਈ䟿ਛ离散型随机ਈ䟿Ǆ 一般地，设离散型随机ਈ䟿板可能取的值Ѫ 夫令,夫该,…,夫i,…,板取⇿一个值夫iⅢi称令,该,…Ⅳ的概率 pⅢ板称夫iⅣ称pi，则〠表板夫令夫该夫详 … 夫i … p p令 p该 p详 … pi … Ѫ随机ਈ䟿板的概率࠶布，简〠板的࠶布列，〠凸板称夫令p令+夫该p该+…+夫npn+…Ѫ板的数学期望或 ᒣ均值ǃ均值ǃ简〠期望，〠价板称Ⅲ夫令-凸板Ⅳ该•p令+Ⅲ夫该-凸板Ⅳ该•p该+…+Ⅲ夫n-凸板Ⅳ该pn+…Ѫ板的均方差，简〠方差Ǆ ξD ਛ随机ਈ䟿板的标准差Ǆ 令叫．Ҽ亩࠶布˖如果在一次试验中某һԦ发生的概率是 p，那Ѹ在 n次独立䟽复试验中，䘉个һԦ恰好发生 k 次的概率Ѫ pⅢ板称kⅣ称 knkkn qpC − , 板的࠶布列Ѫ 板代令 … 夫i … ≥ p nn qpC 00 111 −nn qpC … knkkn qpC − … nnn pC ↔时〠板服ӾҼ亩࠶布，记作板～BⅢn,pⅣ.若板～BⅢn,pⅣ，则凸板称np,价板称np两,ԕк 两称令-p. 令9.几何࠶布˖在独立䟽复试验中，某һԦ第一次发生时所做试验的次数板也是一个随机ਈ 䟿，若在一次试验中䈕һԦ发生的概率Ѫ p，则 pⅢ板称kⅣ称两k-令pⅢk称令,该,…Ⅳ，板的࠶布服Ӿ几何࠶布，凸板称 p 1 ，价板称 2 p q Ⅲ两称令-pⅣ. Ҽǃ方法о例题令．҈法原理Ǆ 例令有该n 个人参加收发电报ษ训，⇿є个人结Ѫ一对互发互收，有多少种н਼的结对方式？后解] 将整个结对过程࠶ n ↕，第一↕，考虑ަ中任意一个人的配对者，有该n-令种选则˗ 䘉一对结好ਾ，再Ӿ余л的该n-该人中任意确定一个Ǆ第Ҽ↕考虑他的配对者，有该n-详种选择，……䘉样一直进行л去，㓿 n ↕恰好结 n对，⭡҈法原理，н਼的结对方式有 Ⅲ该n-令Ⅳ×Ⅲ该n-详Ⅳ×…×详×令称 . )!(2 )!2( n n n ⋅ 该．加法原理Ǆ 例该 മ 令详-令所示中没有电流通过电流表，ަ原因仅因Ѫ电阻断路的可能性共有几种？后解] 断路共࠶ 巧类˖令˅一个电阻断路，有令种可能，ਚ能是 R巧˗该˅有该个电阻断路，有 2 4C -令称5 种可能˗详˅详个电阻断路，有 34C 称巧种˗巧˅有巧个电阻断路，有令种ǄӾ而一共有令+5+巧+令称令令种可能Ǆ 详．插空法Ǆ 例详令代个节目中有 6 个演唱巧个舞蹈，要求⇿є个舞蹈之间㠣少安排一个演唱，有多少种 н਼的安排节目演ࠪ亪序的方式？后解] 先将 6 个演唱节目任意排成一列有 66A 种排法，再Ӿ演唱节目之间和前ਾ一共只个位置中选ࠪ 巧个安排舞蹈有 47A 种方法，故共有 4766 AA × 称6代巧叫代代种方式Ǆ 巧．映射法Ǆ 例巧如果Ӿ 令，该，…，令巧中，按Ӿ小到大的亪序取ࠪ a令,a该,a详使਼时满足 a˖该-a令ı详,a详-a该 ı详，那Ѹ所有符合要求的н਼取法有多少种？后解] 设分称{令,该,…,令巧}， 'S 称{令，该，…，令代}˗切称{Ⅲa令,a该,a详Ⅳ| a令,a该,a详∈分,a该-a令ı详,a详-a该 ı 详}, 'T 称{Ⅲ '3'2'1 ,, aaa Ⅳ ∈ '3'2'1'3'2'1 ,',,|' aaaSaaaS <<∈ }, 若 '),,( '3'2'1 Taaa ∈ ， Ԕ 4,2, '33 ' 22 ' 11 +=+== aaaaaa ，则Ⅲa令,a该,a详Ⅳ∈切,䘉样就建立了Ӿ 'T 到切的映射，它显然是单射，ަ次若Ⅲa令,a该,a详Ⅳ∈切,Ԕ 4,2, '33'22'11 −=−== aaaaaa ，则 '),,( '3'2'1 Taaa ∈ ， Ӿ而↔映射也是满射，因↔是一一映射，所ԕ|切|称 310|'| CT = 称令该代，所ԕн਼取法有令该代种Ǆ 5．贡献法Ǆ 例 5 ᐢ知集合致称{令，该，详，…，令代}，求致的所有非空子集的元素个数之和Ǆ 后解] 设所求的和Ѫ 夫，因Ѫ 致的⇿个元素 a，含 a 的致的子集有该9个，所ԕ a对夫的贡献 Ѫ 该9，৸|致|称令代Ǆ所ԕ 夫称令代×该9. 后ਖ解] 致的 k 元子集共有 kC10 个，k称令,该,…,令代，因↔，致的子集的元素个数之和Ѫ =+++=+++ )(10102 99 1 9 0 9 10 10 2 10 1 10 CCCCCC LL 令代×该9Ǆ 6．容斥原理Ǆ 例 6 ⭡数ᆇ 令，该，详组成 n 位数Ⅲnı详Ⅳ，且在 n位数中，令，该，详⇿一个㠣少ࠪ⧠ 令次，䰞˖䘉样的 n 位数有多少个？后解] 用导表示⭡ 令，该，详组成的 n 位数集合，则|导|称详n，用致令，致该，致详࠶别表示н含令， н含该，н含详的⭡ 令，该，详组成的 n 位数的集合，则|致令|称|致该|称|致详|称该n ， |致令I 致该|称|致该I 致详|称|致令I 致详|称令Ǆ|致令I 致该I 致详|称代Ǆ 所ԕ⭡容斥原理|致令U 致该U 致详|称 |||||| 321 3 1 AAAAAA ji ji i i III +−∑∑ ≠= 称详×该n-详.所ԕ满足条Ԧ的 n位数有|导|-|致令U 致该U 致详|称详n-详×该n+详个Ǆ 只．递推方法Ǆ 例只用令，该，详й个数ᆇ来构造 n 位数，但н允许有є个紧挨着的令 ࠪ⧠在 n 位数中，䰞˖ 能构造ࠪ多少个䘉样的 n位数？后解] 设能构造 an个符合要求的 n 位数，则 a令称详，⭡҈法原理知 a该称详×详-令称叫.ᖃ nı详时˖ 令˅如果 n位数的第一个数ᆇ是该或详，那Ѹ䘉样的 n位数有该an-令˗该˅如果 n位数的第一个数ᆇ是令，那Ѹ第Ҽ位ਚ能是该或详，䘉样的 n 位数有该an-该，所ԕ an称该Ⅲan-令+an-该ⅣⅢnı详Ⅳ.䘉䟼数列{an}的特ᖱ方程Ѫ 夫该称该夫+该，它的є根Ѫ 夫令称令+ 3 ,夫该称令- 3 ,故 an称化令Ⅲ令+ 3 Ⅳn+ 化该Ⅲ令+ 3 Ⅳn, ⭡ a令称详,a该称叫得 32 23 , 32 32 21 − = + = cc ，所 ԕ ].)31()31[( 34 1 22 ++ −−+= nnna 叫．算є次Ǆ 例叫 m,n,严∈≥+，证明˖ .022110 mrnrmnrmnrmnr CCCCCCCCC mn ++++= −−+ L ķ 后证明] Ӿ n 位ཚཚо m位先生中选ࠪ 严位的方法有 r mnC + 种˗ਖ一方面，Ӿ䘉 n+m 人中选 ࠪ k 位ཚཚо 严-k 位先生的方法有 krmkn CC − 种，k称代,令,…,严Ǆ所ԕӾ䘉 n+m 人中选ࠪ 严位的方法有 0110 mrnrmnrmn CCCCCC +++ − L 种Ǆ综合є个方面，ণ得ķ式Ǆ 9．母函数Ǆ 例 9 一副й色牌共有详该张，红ǃ黄ǃ蓝各令代张，编号Ѫ 令，该，…，令代，ਖ有大ǃ小王各一张，编号均Ѫ 代ǄӾ䘉副牌中任取若ᒢ张牌，按如л规则计算࠶值˖⇿张编号Ѫ k的牌计 Ѫ 该k࠶，若它们的࠶值之和Ѫ 该代代巧，则〠䘉些牌Ѫ一个Ā好牌ā组，求好牌组的个数Ǆ 后解] 对于 n∈{令,该,…,该代代巧},用 an 表示࠶值之和Ѫ n 的牌组的数目，则 an 等于函数 fⅢ夫Ⅳ称Ⅲ令+ 02x Ⅳ该•Ⅲ令+ 12x Ⅳ详••••…•Ⅲ令+ 102x Ⅳ详的展开式中夫n 的系数˄㓖定|夫|积令，˅⭡于 fⅢ夫Ⅳ称 x+1 1 后 Ⅲ令+ 02x ⅣⅢ令+ 12x Ⅳ• … •Ⅲ令+ 102x Ⅳ]详称 )1( )1)(1( 1 112 3 x xx − −+ 详称 )1( )1)(1( 1 112 22 x xx − −− 详Ǆ 而代İ 该代代巧积该令令，所ԕ an 等于 22 )1)(1( 1 xx −− 的展开式中夫n 的系数，৸⭡于 22 )1)(1( 1 xx −− 称 21 1 x− • 2 )1( 1 x− 称Ⅲ令+夫该+夫详+…+夫该k+…Ⅳ后令+该夫+详夫该+…+Ⅲ该k+令Ⅳ夫该k+…],所ԕ 夫该k在展开式中的系数Ѫ a该k称令+详+5++Ⅲ该k+令Ⅳ称Ⅲk+令Ⅳ该,k称令,该,…,Ӿ而，所求的Ā好牌ā组的个数Ѫ a该代代巧称令代代详该称令代代6代代9. 令代．组合数 knC 的性质Ǆ 例令代证明˖ kmC 12 − 是奇数Ⅲkı令Ⅳ. 后证明 ] kmC 12 − 称 ⋅ − ⋅⋅ − ⋅ − = ⋅⋅⋅ +−−−− k k k k mmmmmm 2 2 22 1 12 21 )112()22)(12( L L L Ԕ i称 it2 •piⅢ令İiİkⅣ，piѪ奇数，则 i i tm i t i tm p p p pm i i i i i − = − = − −2 2 222 ，它的࠶子ǃ࠶母均 Ѫ奇数，因 kmC 12 − 是整数，所ԕ它ਚ能是若ᒢ奇数的〟，ণѪ奇数Ǆ 例令令对 nı该,证明˖ .42 2 nnnn C << 后证明] 令˅ᖃ n称该时，该该积 24C 称6积巧该˗该˅假设 n称k 时，有该k积 kkC2 积巧k,ᖃ n称k+令时，因Ѫ . 1 )12(2 !)!1( )!12(2 )!1()!1( )]!1(2[ 2 1 )1(2 k k k k C k k kk k kk k C ⋅ + + = ⋅+ +× = ++ + =+ + ৸ 1 )12(2 2 + + < k k 积巧，所ԕ 该k+令积 121 )1(22 442 ++ + <<< kkkk kkk CCC . 所ԕ结论对一࠷ nı该成立Ǆ 令令．Ҽ亩式定理的ᓄ用Ǆ 例令该若 n∈≥, nı该，求证˖ .3112 <      +< n n 后证明 ] 首先 ,211111 2 210 >⋅++⋅+⋅+=      + n n nnnn n n C n C n CC n L ަ 次因 Ѫ )2( 1 1 1 )1( 1 ! 1 ! )1()1(1 ≥− − = − ≤< ⋅ +−− =⋅ k kkkkkkn knnn n C kk k n L ，所 ԕ =      + n n 1 1 该+ .3131 1 1 3 1 2 1 2 1 1 1 2 11 2 2 <−=− − ++−+−+<⋅++⋅ nnnn C n C n n nn LL 得证Ǆ 例令详证明˖ ).(11 0 nmhCCC mn h k n k hm kn ≤≤=⋅ + + = − −∑ 后证明] 首先，对于⇿个确定的 k，等式ᐖ边的⇿一亩都是є个组合数的҈〟，ަ 中 hm knC −− 是 Ⅲ令+夫Ⅳn-k 的展开式中夫m-h 的系数Ǆ hkC 是Ⅲ令+yⅣk 的展开式中 yk 的系数ǄӾ而 hm knC −− • hkC 就是 Ⅲ令+夫Ⅳn-k•Ⅲ令+yⅣk的展开式中夫m-hyh的系数Ǆ 于是， hk n k hm kn CC ⋅∑ = − − 0 就是∑ = − ++ n k kkn yx 0 )1()1( 展开式中夫m-hyh的系数Ǆ ਖ 一方面， ∑ = − ++ n k kkn yx 0 )1()1( 称 yx yCxC yx yx n k kk n n k kk nnn − − = +−+ +−+ ∑∑ + = + + = +++ 1 0 1 1 0 111 )1()1( )1()1( 称 ∑ + = + 1 0 1 n k kk n xC • yx yx kk − − =∑ + = + 1 0 1 n k k nC (x k-1 +x k-2 y+…+yk-1)，к式中，xm-hyh亩的系数恰Ѫ 11++mnC Ǆ 所ԕ .11 0 + + = − − =⋅∑ mn n k h k hm kn CCC 12．概率䰞题的解法Ǆ 例 14 如果某批产品中有 a Ԧ次品和 b Ԧ↓品，采用有放回的抽样方式Ӿ中抽取 n Ԧ产品，䰞˖恰好有 k Ԧ是次品的概率是多少？ [解] 把 k Ԧ产品进行编号，有放回抽 n 次，把可能的䟽复排列作Ѫส本һԦ，总数Ѫ(a+b)n ˄ণ所有的可能结果 Ǆ˅设һԦ A 表示取ࠪ的 n Ԧ产品中恰好有 k Ԧ是次品，则һԦ A 所包含的ส本һԦ总数Ѫ knC •akbn-k，故所求的概率Ѫ p(A)= . )( n knkk n ba baC + − 例 15 将一枚硬币掷 5 次，↓面朝к恰好一次的概率нѪ 0，而且о↓面朝к恰好є次的概率相਼，求恰好й次↓面朝к的概率Ǆ [解] 设⇿次抛硬币↓面朝к的概率Ѫ p，则掷 5 次恰好有 k 次↓面朝к的概率Ѫ kk pC5 (1-p) 5-k (k=0,1,2,…,5)，⭡题设 4153225 )1()1( ppCppC −=− ，且 0 制度关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc 盘点制度下载 л，⭢获胜的可能性大？ [解] ˄1˅如果采用й局є胜制，则⭢在л列є种情况л获胜˖A1—2˖0˄⭢净胜Ҽ局，˅ A2—2˖1˄前Ҽ局⭢一胜一负，第й局⭢胜˅. p(A1)=0.6×代.6称代.详6,pⅢ致该Ⅳ称 12C ×代.6×代.巧 ×代.6称代.该叫叫. 因Ѫ 致令о 致该互斥，所ԕ⭢胜概率Ѫ pⅢ致令+致该Ⅳ称代.6巧叫. Ⅲ该Ⅳ如果采用五局й胜制，则⭢在л列й种情况л获胜˖B令里详˖代˄⭢净胜详局，˅B该里详˖令 ˄前详局⭢ 该胜令负，第四局⭢胜，˅B详里详˖该˄前四局各胜该局，第五局⭢胜 Ǆ˅因Ѫ B令， B该，B该互斥，所ԕ⭢胜概率Ѫ pⅢB令+B该+B详Ⅳ称pⅢB令Ⅳ+pⅢB该Ⅳ+pⅢB详Ⅳ称代.6详+ 23C ×代.6该×代.巧×代.6+ 24C ×代.6该×代.巧该×代.6称代.6叫该56. ⭡˄令，˅˄ 该˅可知在五局й胜制л，⭢获胜的可能性大Ǆ 例令只有致，Bє个口袋，致袋中有 6张卡片，ަ中令张写有代，该张写有令，详张写有该˗B 袋中有只张卡片，ަ中巧张写有代，令张写有令，该张写有该ǄӾ 致袋中取ࠪ 令张卡片，B袋中取该张卡片，共详张卡片Ǆ求˖˄ 令˅取ࠪ 详张卡片都写代的概率˗˄ 该˅取ࠪ的详张卡片数 ᆇ之〟是巧的概率˗˄ 详˅取ࠪ的详张卡片数ᆇ之〟的数学期望Ǆ 后解]˄令˅ 21 1 2 7 1 6 2 4 1 1 = ⋅ ⋅ = CC CC p ˗˄ 该˅ 63 4 2 7 1 6 1 2 1 1 1 3 2 2 1 2 = ⋅ ⋅⋅+⋅ = CC CCCCC p ˗˄ 详˅记板Ѫ取ࠪ的详张卡片的数ᆇ之〟，则板的࠶布Ѫ 板代该巧叫 p 42 37 63 2 63 4 42 1 所ԕ . 63 32 42 1 8 63 4 4 63 2 2 42 37 0 =×+×+×+×=ξE 第十四章极限оሬ数一ǃส础知识令．极限定ѹ˖˄ 令˅若数列{un}满足，对任意给定的↓数究，总ᆈ在↓数 m，ᖃ n己m 且 n∈≥ 时，恒有|un-致|积究成立˄致 Ѫ常数，˅则〠致 Ѫ数列 unᖃ n 趋向于无ェ大时的极限，记Ѫ )(lim),(lim xfxf xx −∞→+∞→ ，ਖ外 )(lim 0 xf xx +→ 称致表示夫大于夫代且趋向于夫代时 fⅢ夫Ⅳ极限Ѫ 致，〠右极限Ǆ类似地 )(lim 0 xf xx −→ 表示夫小于夫代且趋向于夫代时 fⅢ夫Ⅳ的ᐖ极限Ǆ 该．极限的四则䘀算˖如果 0 lim xx→ fⅢ夫Ⅳ称a, 0 lim xx→ gⅢ夫Ⅳ称b，那Ѹ 0 lim xx→ 后fⅢ夫Ⅳ±gⅢ夫Ⅳ]称a±b, 0 lim xx→ 后fⅢ夫Ⅳ•gⅢ夫Ⅳ]称ab, 0 lim xx→ ).0( )( )( ≠= b b a xg xf 详.连续如˖果函数 fⅢ夫Ⅳ在夫称夫代处有定ѹ，且 0 lim xx→ fⅢ夫Ⅳᆈ在，并且 0 lim xx→ fⅢ夫Ⅳ称fⅢ夫代Ⅳ，则〠 fⅢ夫Ⅳ 在夫称夫代处连续Ǆ 巧．最大值最小值定理˖如果 fⅢ夫Ⅳ是䰝४间后a,b]к的连续函数，那Ѹ f(x)在[a,b]к有最大值和最小值Ǆ 5．ሬ数˖若函数 f(x)在 x0 䱴䘁有定ѹ，ᖃ自ਈ䟿 x 在 x0 处取得一个增䟿Δ夫时˄Δ夫充࠶ 小，˅因ਈ䟿 y 也随之取得增䟿ΔyⅢΔy称fⅢ夫代+Δ夫Ⅳ-fⅢ夫代ⅣⅣ.若 x y x ∆ ∆ →∆ 0 lim ᆈ在，则〠 fⅢ夫Ⅳ在夫代处可ሬ，↔极限值〠Ѫ fⅢ夫Ⅳ在点夫代处的ሬ数˄ 或ਈॆ率，˅记作 'f Ⅲ夫代Ⅳ或 0' xxy = 或 0x dx dy ， ণ 0 0 0 )()( lim)(' 0 xx xfxf xf xx − − = → Ǆ⭡定ѹ知 fⅢ夫Ⅳ在点夫代连续是 fⅢ夫Ⅳ在夫代可ሬ的必要条ԦǄ 若 fⅢ夫Ⅳ在४间导 к有定ѹ，且在⇿一点可ሬ，则〠它在↔敬意к可ሬǄሬ数的几何意ѹ是˖ fⅢ夫Ⅳ在点夫代处ሬ数 'f Ⅲ夫代Ⅳ等于曲线 y称fⅢ夫Ⅳ在点 PⅢ夫代,fⅢ夫代ⅣⅣ处࠷线的斜率Ǆ 6．几个常用函数的ሬ数˖˄ 令˅ )'(c 称代˄化 Ѫ常数˅˗˄该˅ 1)'( −= aa axx ˄a Ѫ任意常数˅˗˄详˅ ;cos)'(sin xx = Ⅲ巧Ⅳ xx sin)'(cos −= 问Ⅲ5Ⅳ aaa xx ln)'( = 问Ⅲ6Ⅳ xx ee =)'( 问 ˄ 只 ˅ )'(log xa x x alog 1 = ˗˄ 叫˅ .1)'(ln x x = 只．ሬ数的䘀算法则˖若 uⅢ夫Ⅳ,vⅢ夫Ⅳ在夫处可ሬ，且 uⅢ夫ⅣĮ代,则 ˄ 令˅ )(')(')]'()([ xvxuxvxu ±=± ˗˄ 该˅ )(')()()(')]'()([ xvxuxvxuxvxu += ˗˄ 详˅ )(')]'([ xucxcu ⋅= ˄化Ѫ常数˅˗˄ 巧˅ )( )(' ]' )( 1 [ 2 xu xu xu − = ˗˄5˅ )( )()(')(')( ]' )( )( [ 2 xu xvxuxvxu xu xu − = Ǆ 叫．复合函数求ሬ法˖设函数 y称fⅢuⅣ,u称ϕ Ⅲ夫Ⅳ，ᐢ知ϕ Ⅲ夫Ⅳ在夫处可ሬ，fⅢuⅣ在对ᓄ的点 uⅢu称ϕ Ⅲ夫ⅣⅣ处可ሬ，则复合函数 y称f后ϕ Ⅲ夫Ⅳ]在点夫处可ሬ，且˄ f后ϕ Ⅲ夫Ⅳ] )'称 )(')]([' xxf ϕϕ . 9.ሬ数о函数的性质˖˄ 令˅若 fⅢ夫Ⅳ在४间导 к可ሬ，则 fⅢ夫Ⅳ在导 к连续˗˄ 该˅若对一࠷ 夫 ∈Ⅲa,bⅣ有 0)(' >xf ，则 fⅢ夫Ⅳ在Ⅲa,bⅣ单调递增˗˄ 详˅若对一࠷ 夫∈Ⅲa,bⅣ有 0)(' xf ，则 fⅢ夫Ⅳ在夫代处取得极小值˗˄ 该˅ 若 0)('' 0 xf ,则曲线 y称fⅢ夫Ⅳ在导内是лࠨ的˗˄ 该如˅果对任意夫∈导, 0)('' +∞→ a a a n n n ˗˄ 详˅         + ++ + + +∞→ nnnnn 222 1 2 1 1 1 lim L ˗˄ 巧˅ ).1(lim nnn n −+ ∞→ 后解]˄令˅       +++ ∞→ 222 21 lim n n nnn L 称 =+ ∞→ 22 )1( lim n nn n 2 1 2 2 2 1 lim =      + ∞→ nn ˗ ˄该˅ᖃ a己令时， .1 1 1 lim 1 1 1 1 lim 1 lim = +      = +      = + ∞→ ∞→∞→ n n nnn n n aa a a ᖃ 代积a积令时， .0 01 0 lim1 lim 1 lim = + = + = + ∞→ ∞→ ∞→ n n n n n n n a a a a ᖃ a称令时， . 2 1 11 1 lim 1 lim = + = + ∞→∞→ nn n n a a ˄详˅因Ѫ . 1 1 2 1 1 1 22222 + < + ++ + + + < + n n nnnnnn n L 而 ,1 1 1 1 lim 1 1 lim,1 1 1 1 limlim 2 22 = + = + = + = + ∞→∞→∞→∞→ n n n nn n nnnn 所ԕ .11 2 1 1 1 lim 222 =        + ++ + + +∞→ nnnnn L ˄巧˅ . 2 1 1 1 1 1 lim 1 lim)1(lim = ++ = ++ =−+ ∞→∞→∞→ n nn n nnn nnn 例该求л列极限˖˄ 令˅ ∞→n lim (1+x)(1+x2)(1+ 22x )…(1+ nx 2 )(|x|<1)˗ ˄2˅       − − −→ xxx 1 1 1 3 lim 31 ˗˄ 3˅ xx x x +−− − → 13 1 lim 2 1 Ǆ [解] ˄1˅ ∞→n lim (1+x)(1+x2)(1+ 22x )…(1+ nx 2 ) = . 1 1 1 1 lim 1 )1()1)(1)(1( lim 1222 xx x x xxxx nn nn − = − − = − +++− + ∞→∞→ L ˄该˅       − −+− =      − −−− =      − − − →→→ 3 2 13 2 131 1 11 lim 1 13 lim 1 1 1 3 lim x xx x xx xx xxx 称 .1 1 2 lim 1 )2)(1( lim 2131 = ++ + =      − +− →→ xx x x xx xx ˄详˅ )13)(13( )13)(1( lim 13 1 lim 2 1 2 1 xxxx xxx xx x xx ++−+−− ++−− = +−− − →→ 称 2 )13)(1( lim )1(2 )13)(1)(1( lim 11 xxx x xxxx xx ++−+− = − ++−+− →→ .22−= 该．连续性的讨论Ǆ 例详设 fⅢ夫Ⅳ在Ⅲ-∞,+∞Ⅳ内有定ѹ，且恒满足 fⅢ夫+令Ⅳ称该fⅢ夫Ⅳ，৸ᖃ 夫∈后代,令Ⅳ时， fⅢ夫Ⅳ称夫Ⅲ令-夫Ⅳ该，试讨论 fⅢ夫Ⅳ在夫称该处的连续性Ǆ 后解] ᖃ 夫∈后代,令Ⅳ时，有 fⅢ夫Ⅳ称夫Ⅲ令-夫Ⅳ该，在 fⅢ夫+令Ⅳ称该fⅢ夫Ⅳ中Ԕ 夫+令称弧，则夫称弧-令，ᖃ 夫∈ 后令,该Ⅳ时，利用 fⅢ夫+令Ⅳ称该fⅢ夫Ⅳ有 fⅢ弧Ⅳ称该fⅢ弧-令Ⅳ，因Ѫ 弧-令∈后代,令Ⅳ,再⭡ fⅢ夫Ⅳ称夫Ⅲ令-夫Ⅳ该得 fⅢ弧-令Ⅳ称Ⅲ弧-令ⅣⅢ该-弧Ⅳ该,Ӿ而弧∈后令,该Ⅳ时,有 fⅢ弧Ⅳ称该Ⅲ弧-令Ⅳ•Ⅲ该-弧Ⅳ该˗਼理，ᖃ 夫∈后令,该Ⅳ时，Ԕ 夫+令称弧，则 ᖃ 弧 ∈ 后该,详Ⅳ 时，有 fⅢ弧Ⅳ称该fⅢ弧-令Ⅳ称巧Ⅲ弧-该ⅣⅢ详-弧Ⅳ该. Ӿ 而 fⅢ夫Ⅳ称 [ ) [ )    ∈−− ∈−− .3,2,)3)(2(4 ;2,1,)2)(1(2 2 2 xxx xxx 所ԕ 0)3)(2(4lim)(lim,0)2)(1(2lim)(lim 2 22 2 22 =−−==−−= +→+→−→−→ xxxfxxxf xxxx ，所 ԕ −→2 lim x fⅢ夫Ⅳ称 +→2 lim x fⅢ夫Ⅳ称fⅢ该Ⅳ称代，所ԕ fⅢ夫Ⅳ在夫称该处连续Ǆ 详．利用ሬ数的几何意ѹ求曲线的࠷线方程Ǆ 后解] 因Ѫ点Ⅲ该,代Ⅳн在曲线к，设࠷点坐标ѪⅢ夫代,y代Ⅳ，则 0 0 1 x y = ，࠷线的斜率Ѫ 2 0 1 |' 0 x x x −= ，所ԕ࠷线方程Ѫ y-y代称 )(1 02 0 xx x −− ，ণ )(11 02 00 xx xx y −−=− Ǆ৸因Ѫ↔ ࠷线过点˄ 该,代，˅所ԕ )2(11 02 00 x xx −−=− ，所ԕ 夫代称令，所ԕ所求的࠷线方程Ѫ y称-Ⅲ夫-该Ⅳ， ণ 夫+y-该称代. 巧．ሬ数的计算Ǆ 例 5 求л列函数的ሬ数˖˄ 令˅y称弦inⅢ详夫+令Ⅳ˗˄ 该˅ x xxx y −+ = 35 2 ˗˄ 详˅y称e化o弦该夫˗˄ 巧˅ )1ln( 2 −+= xxy ˗˄ 5˅y称Ⅲ令-该夫Ⅳ夫Ⅲ夫己代且 2 1 + −= x axx xf ，因Ѫ 夫己代,a己代，所ԕ ⇔> 0)(' xf 夫该+Ⅲ该a-巧Ⅳ夫+a该己代˗ ⇔< 0)(' xf 夫该+Ⅲ该a-巧Ⅳ夫+a+积代. ˄令˅ᖃ a己令时，对所有夫己代，有夫该+Ⅲ该a-巧Ⅳ夫+a该己代，ণ 'f Ⅲ夫Ⅳ己代,fⅢ夫Ⅳ在Ⅲ代,+∞Ⅳк单调递增˗ ˄该˅ᖃ a称令时，对夫Į令,有夫该+Ⅲ该a-巧Ⅳ夫+a该己代，ণ 0)(' >xf ，所ԕ fⅢ夫Ⅳ在˄代，令˅内单调递增，在˄令，+∞˅内递增，৸ fⅢ夫Ⅳ在夫称令处连续，因↔ fⅢ夫Ⅳ在Ⅲ代,+∞Ⅳ内递增˗˄ 详˅ᖃ 代积a积令时，Ԕ 0)(' >xf ，ণ 夫该+Ⅲ该a-巧Ⅳ夫+a该己代，解得夫积该-a- a−12 或夫己该-a+ a−12 ，因 ↔，fⅢ夫Ⅳ在Ⅲ代,该-a- a−12 Ⅳ内单调递增，在Ⅲ该-a+ a−12 ,+∞Ⅳ内也单调递增，而ᖃ 该-a- a−12 积夫积该-a+ a−12 时，夫该+Ⅲ该a-巧Ⅳ夫+a该积代， ণ 0)(' =⋅>+ xx x x x ˄ 因 Ѫ 代积化o弦夫积令 ˅ ，所 ԕ )(' xf 称化o弦夫+弦e化该夫-该称化o弦夫+ 02 cos 1 2 >− x .৸ fⅢ夫Ⅳ在       2 ,0 π к连续，所ԕ fⅢ夫Ⅳ在       2 ,0 π к单调递增，所ԕᖃ 夫∈       2 ,0 π 时，fⅢ夫Ⅳ己fⅢ代Ⅳ称代，ণ 弦in夫+弧an夫己该夫. 只.利用ሬ数讨论极值Ǆ 例叫设 fⅢ夫Ⅳ称aln夫+b夫该+夫在夫令称令和夫该称该处都取得极值，试求 a о b 的值，并指ࠪ䘉时 fⅢ夫Ⅳ 在夫令о 夫该处是取得极大值䘈是极小值Ǆ 后解] 因Ѫ fⅢ夫Ⅳ在Ⅲ代,+∞Ⅳк连续，可ሬ，৸ fⅢ夫Ⅳ在夫令称令，夫该称该处取得极值，所ԕ 0)2(')1(' == ff ，৸ x a xf =)(' +该b夫+令，所ԕ     =++ =++ ,014 2 ,012 b a ba 解得       −= −= . 6 1 , 3 2 b a 所ԕ x xx x x xfxxxxf 3 )2)(1( 1 3 1 3 2 )(', 6 1 ln 3 2 )( 2 −− =+−−=+−−= . 所ԕᖃ 夫∈Ⅲ代,令Ⅳ时， 0)(' xf ，所ԕ fⅢ夫Ⅳ在后令，该]к递增˗ ᖃ 夫∈Ⅲ该,+∞Ⅳ时， 0)(' − − − x x xy xy ， ৸因Ѫ 0sin )1( 2 2 >⋅ − x x y y ，所ԕᖃ 夫∈Ⅲ代,征Ⅳ,y∈Ⅲ代,令Ⅳ时，fⅢ夫,yⅣ己代. ަ次，ᖃ 夫称代时，fⅢ夫,yⅣ称代˗ᖃ 夫称征时，fⅢ夫,yⅣ称Ⅲ令-yⅣ弦inⅢ令-yⅣ征ı代. ᖃ y称令时，fⅢ夫,yⅣ称-弦in夫+弦in夫称代˗ᖃ y称令时，fⅢ夫,yⅣ称弦in夫ı代. 综к，ᖃ且仅ᖃ 夫称代或 y称代或夫称征且 y称令时，fⅢ夫,yⅣ取最小值代Ǆ 第十五章复数一ǃส础知识令．复数的定ѹ˖设 iѪ方程夫该称-令的根，i〠Ѫ虚数单位，⭡ iо实数进行加ǃ߿ǃ҈ǃ除等䘀算Ǆ便产生形如 a+bi˄a,b∈R˅的数，〠Ѫ复数Ǆ所有复数构成的集合〠复数集Ǆ通常用件来表示Ǆ 该．复数的几种形式Ǆ对任意复数 z称a+bi˄ a,b∈R ，˅a 〠实部记作 ReⅢzⅣ,b 〠虚部记作导mⅢzⅣ. z称ai 〠Ѫԓ数形式，它⭡实部ǃ虚部є部࠶构成˗若将Ⅲa,bⅣ作Ѫ坐标ᒣ面内点的坐标，那 Ѹ z о坐标ᒣ面唯一一个点相对ᓄ，Ӿ而可ԕ建立复数集о坐标ᒣ面内所有的点构成的集合之间的一一映射Ǆ因↔复数可ԕ用点来表示，表示复数的ᒣ面〠Ѫ复ᒣ面，夫轴〠Ѫ实轴， y 轴去掉原点〠Ѫ虚轴，点〠Ѫ复数的几何形式˗如果将Ⅲa,bⅣ作Ѫ向䟿的坐标，复数 z ৸ 对ᓄ唯一一个向䟿Ǆ因↔坐标ᒣ面内的向䟿也是复数的一种表示形式，〠Ѫ向䟿形式˗ਖ外设 z 对ᓄ复ᒣ面内的点名，见മ 令5-令，连接 O名，设∠夫O名称项,|O名|称严，则 a称严化o弦项,b称严弦in 项,所ԕ z称严Ⅲ化o弦项+i弦in项Ⅳ，䘉种形式ਛ做й角形式Ǆ若 z称严Ⅲ化o弦项+i弦in项Ⅳ，则项〠Ѫ z 的䗀角Ǆ若代İ项积该征，则项〠Ѫ z 的䗀角ѫ值，记作项称致严gⅢzⅣ. 严〠Ѫ z 的模，也记作|z|， ⭡勾股定理知|z|称 22 ba + .如果用 ei项表示化o弦项+i弦in项，则 z称严ei项，〠Ѫ复数的指数形式Ǆ 详．共䖝о模，若 z称a+bi，˄ a,b∈R˅,则 =z a-bi 〠Ѫ z 的共䖝复数Ǆ模о共䖝的性质有˖ ˄令˅ 2121 zzzz ±=± ˗˄ 该˅ 2121 zzzz ⋅=⋅ ˗˄ 详˅ 2|| zzz =⋅ ˗˄ 巧˅ 2 1 2 1 z z z z =      ˗˄ 5˅ |||||| 2121 zzzz ⋅=⋅ ˗˄ 6˅ || || || 2 1 2 1 z z z z = ˗˄ 只˅||z令|-|z该||İ|z令±z该|İ|z令|+|z该|˗˄ 叫˅ |z令+z该|该+|z令-z该|该称该|z令|该+该|z该|该˗˄ 9˅若|z|称令，则 z z 1 = Ǆ 巧．复数的䘀算法则˖˄ 令˅按ԓ数形式䘀算加ǃ߿ǃ҈ǃ除䘀算法则о实数范围内一㠤，䘀算结果可ԕ通过҈ԕ共䖝复数将࠶母࠶Ѫ实数˗˄ 该˅按向䟿形式，加ǃ߿法满足ᒣ行四边形和й角形法则˗˄ 详˅按й角形式，若 z令称严令Ⅲ化o弦项令+i弦in项令Ⅳ, z该称严该Ⅲ化o弦项该+i弦in项该Ⅳ，则 z令••z该称严令严该后化o弦Ⅲ项令+项该Ⅳ+i弦inⅢ项令+项该Ⅳ]˗若 2 1 2 1 2 ,0 r r z z z =≠ 后化o弦Ⅲ项令-项该Ⅳ+i弦inⅢ项令-项该Ⅳ]，用指数形式记Ѫ z令z该称严令严该eiⅢ项令+项该Ⅳ, .)( 2 1 2 1 21 θθ −= ie r r z z 5.棣莫弗定理˖后严Ⅲ化o弦项+i弦in项Ⅳ]n称严nⅢ化o弦n项+i弦inn项Ⅳ. 6. 开方 ˖ 若 =nw 严Ⅲ化o弦项 +i弦in 项 Ⅳ ，则 )2sin2(cos n k i n k rw n πθπθ + + + = ， k称代,令,该,…,n-令Ǆ 只．单位根若˖ 太n称令，则〠太 Ѫ 令的一个 n次单位根，简〠单位根，记名令称 n i n ππ 2 sin 2 cos + ，则全部单位根可表示Ѫ 令, 1Z , 1121 ,, −nZZ L .单位根的ส本性质有˄䘉䟼记 kk ZZ 1= ， k称令,该,…,n-令˅˖˄令˅对任意整数 k，若 k称n两+严,两∈名,代İ严İn-令，有名n两+严称名严˗˄ 该˅对任意整数 m，ᖃ nı该时，有 mnmm ZZZ 1211 −++++ L 称    ,|, ,|,0 mnn mn ᖃ ᖃ 特别令+名令+名该+…+名n-令称代˗˄ 详˅ 夫n-令+夫n-该+…+夫+令称Ⅲ夫-名令ⅣⅢ夫-名该Ⅳ…Ⅲ夫-名n-令Ⅳ称Ⅲ夫-名令ⅣⅢ夫- 21Z Ⅳ…Ⅲ夫- 11 −nZ Ⅳ. 叫.复数相等的充要条Ԧ˖˄ 令˅є个复数实部和虚部࠶别对ᓄ相等˗˄ 该˅є个复数的模和䗀角 ѫ值࠶别相等Ǆ 9．复数 z是实数的充要条Ԧ是 z称 z 问z 是纯虚数的充要条Ԧ是˖z+ z 称代˄且 zĮ代˅. 令代.ԓ数ส本定理˖在复数范围内，一元 n次方程㠣少有一个根Ǆ 令令．实系数方程虚根成对定理˖实系数一元 n 次方程的虚根成对ࠪ⧠，ণ若 z称a+biⅢbĮ代Ⅳ 是方程的一个根，则 z 称a-bi 也是一个根Ǆ 令该．若 a,b,化∈R,aĮ代，则关于夫的方程 a夫该+b夫+化称代，ᖃΔ称b该-巧a化积代时方程的根Ѫ . 2 2,1 a ib x ∆−±− = Ҽǃ方法о例题令．模的ᓄ用Ǆ 例令求证˖ᖃ n∈≥+时，方程Ⅲz+令Ⅳ该n+Ⅲz-令Ⅳ该n称代 ਚ有纯虚根Ǆ 后证明] 若 z 是方程的根，则Ⅲz+令Ⅳ该n称-Ⅲz-令Ⅳ该n，所ԕ|Ⅲz+令Ⅳ该n|称|-Ⅲz-令Ⅳ该n|,ণ|z+令|该称|z-令|该, ণⅢz+令ⅣⅢ z +令Ⅳ称Ⅲz-令ⅣⅢ z -令Ⅳ，ॆ简得 z+ z 称代，৸ z称代 н是方程的根，所ԕ z 是纯虚数Ǆ 例该设 fⅢzⅣ称z该+az+b,a,b Ѫ复数，对一࠷|z|称令，有|fⅢzⅣ|称令，求 a,b 的值Ǆ 后解] 因Ѫ 巧称Ⅲ令+a+bⅣ+Ⅲ令-a+bⅣ-Ⅲ-令+ai+bⅣ-Ⅲ-令-ai+bⅣ 称|fⅢ令Ⅳ+fⅢ-令Ⅳ-fⅢiⅣ-fⅢ-iⅣ| ı|fⅢ令Ⅳ|+|fⅢ-令Ⅳ|+|fⅢiⅣ|+|fⅢ-iⅣ|称巧，ަ中等号成立Ǆ 所ԕ fⅢ令Ⅳ,fⅢ-令Ⅳ,-fⅢiⅣ,-fⅢ-iⅣ四个向䟿方向相਼，且模相等Ǆ 所ԕ fⅢ令Ⅳ称fⅢ-令Ⅳ称-fⅢiⅣ称-fⅢ-iⅣ，解得 a称b称代. 该.复数相等Ǆ 例详设λ∈R，若Ҽ次方程Ⅲ令-iⅣ夫该+Ⅲλ+iⅣ夫+令+λi称代有є个虚根，求λ满足的充要条ԦǄ 后解] 若方程有实根，则方程组     =−− =++ 0 01 2 2 λ λ xx xx 有实根，⭡方程组得Ⅲλ+令Ⅳ夫+λ+令称代.若λ 称-令，则方程夫该-夫+令称代中Δ积代无实根，所ԕλĮ-令Ǆ所ԕ 夫称-令, λ称该.所ԕᖃλĮ该时，方程无实根Ǆ所ԕ方程有є个虚根的充要条ԦѪλĮ该Ǆ 详．й角形式的ᓄ用Ǆ 例巧设 nİ该代代代,n∈≥，且ᆈ在项满足Ⅲ弦in项+i化o弦项Ⅳn称弦inn项+i化o弦n项，那Ѹ䘉样的 n有多少个？后解] ⭡题设得 ) 2 sin() 2 cos() 2 sin() 2 (cos)] 2 sin() 2 [cos( θ π θ π θ π θ π θ π θ π ninini n −+−=−+−=−+− ，所ԕ n称巧k+令.৸因Ѫ 代İnİ该代代代，所ԕ 令İkİ5代代，所ԕ䘉样的 n有 5代代个Ǆ 巧．Ҽ亩式定理的ᓄ用Ǆ 例 5 计算˖˄ 令˅ 100100410021000100 CCCC +−+− L ˗˄ 该˅ 99100510031001100 CCCC −−+− L 后解 ] Ⅲ令+iⅣ令代代称后Ⅲ令+iⅣ该]5代称Ⅲ该iⅣ5代称-该5代, ⭡ Ҽ 亩式定理 Ⅲ令+iⅣ令代代称 100100 100 9999 100 22 100 1 100 0 100 iCiCiCiCC +++++ L 称 100100410021000100( CCCC +−+− L Ⅳ+Ⅲ 99 100 5 100 3 100 1 100 CCCC −−+− L Ⅳi，比较实部和虚部，得 100100410021000100 CCCC +−+− L 称-该5代， 99 100 5 100 3 100 1 100 CCCC −−+− L 称代Ǆ 5．复数҈法的几何意ѹǄ 例 6 ԕ定长线段 B件 Ѫ一边任作Δ致B件，࠶别ԕ 致B，致件 Ѫ腰，B，件 Ѫ直角顶点向外作等腰直角Δ致B≤ǃ等腰直角Δ致件≥Ǆ求证˖≤≥ 的中点Ѫ定点Ǆ 后证明] 设|B件|称该a，ԕ B件中点 O Ѫ原点，B件Ѫ 夫轴，建立直角坐标系，确定复ᒣ面，则 B，件对ᓄ的复数Ѫ-a,a,点致，≤，≥ 对ᓄ的复数Ѫ z令,z该,z详, azBAazCA +=−= 11 , ，⭡复数 ҈法的几何意ѹ得˖ )( 13 aziazCN −−=−= ，ķ )( 12 aziazBM −−=+= ，ĸ⭡ķ+ ĸ得 z该+z详称iⅢz令+aⅣ-iⅢz令-aⅣ称该ai.设 ≤≥ 的中点Ѫ P，对ᓄ的复数 z称 aizz =+ 2 32 ,Ѫ定值，所ԕ ≤≥ 的中点 P Ѫ定点Ǆ 例只设致，B，件，价 Ѫᒣ面к任意四点，求证˖致B•致价+B件•致价ı致件•B价Ǆ 后证明] 用致，B，件，价表示它们对ᓄ的复数，则Ⅲ致-BⅣⅢ件-价Ⅳ+ⅢB-件ⅣⅢ致-价Ⅳ称Ⅲ致-件ⅣⅢB-价Ⅳ，因 Ѫ|致-B|•|件-价|+|B-件|•|致-价|ıⅢ致-BⅣⅢ件-价Ⅳ+ⅢB-件ⅣⅢ致-价Ⅳ. 所 ԕ |致-B|•|件-价|+|B-件|•|致-价| ı |致-件|•|B-价|, Ā 称 ā 成立 ᖃ 且仅 ᖃ )()( DC CB Arg AD AB Arg − − = − − ，ণ )()( CD CB Arg AB AD Arg − − + − − 称征，ণ 致，B，件，价共圆时成立Ǆн等式得证Ǆ 6．复数о轨迹Ǆ 例叫 Δ致B件的顶点致表示的复数Ѫ 详i，ᓅ边 B件在实轴к滑ࣘ，且|B件|称该，求Δ致B件的外心轨迹Ǆ 后解]设外心 ≤ 对ᓄ的复数Ѫ z称夫+yiⅢ夫,y∈RⅣ，B，件点对ᓄ的复数࠶别是 b,b+该.因Ѫ外心 ≤ 是й边垂直ᒣ࠶线的交点，而致B的垂直ᒣ࠶线方程Ѫ|z-b|称|z-详i|，B件的垂直ᒣ࠶线的方程Ѫ|z-b|称|z-b-该|，所ԕ点 ≤ 对ᓄ的复数 z 满足|z-b|称|z-详i|称|z-b-该|，⎸去 b 解得 ). 3 4 (62 −= yx 所ԕΔ致B件的外心轨迹是轨物线Ǆ 只．复数ой角Ǆ 例 9 ᐢ知化o弦干+化o弦平+化o弦年称弦in干+弦in平+弦in年称代，求证˖化o弦该干+化o弦该平+化o弦该年称代Ǆ 后证明] Ԕ z令称化o弦干+i弦in干,z该称化o弦平+i弦in平,z详称化o弦年+i弦in年，则 z令+z该+z详称代Ǆ所ԕ .0321321 =++=++ zzzzzz ৸因Ѫ|zi|称令,i称令,该,详. 所ԕ zi• iz 称令，ণ . 1 i i z z = ⭡ z令+z该+z详称代得 .0222 133221232221 =+++++ zzzzzzxxx ķ ৸ .0)(111 321321 321 321132321 =++=      ++=++ zzzzzz zzz zzzzzzzzz 所ԕ .0232221 =++ zzz 所ԕ 化o弦该干+化o弦该平+化o弦该年+iⅢ弦in该干+弦in该平+弦in该年Ⅳ称代. 所ԕ 化o弦该干+化o弦该平+化o弦该年称代Ǆ 例令代求和˖分称化o弦该代代+该化o弦巧代代+…+令叫化o弦令叫×该代代. 后解 ] Ԕ 太称化o弦该代代+i弦in该代代, 则太令叫称令， Ԕ P称弦in该代代+该弦in巧代代+ … +令叫弦in令叫 × 该代代, 则分+iP称太+该太该+… +令叫太令叫. ķ⭡ķ×太得太Ⅲ分+iPⅣ称太该+该太详+… +令只太令叫+令叫太令9 ，ĸ⭡ķ-ĸ得 Ⅲ令-太ⅣⅢ分+iPⅣ称太+太该+…+太令叫-令叫太令9称 19 18 18 1 )1( w w ww − − − ，所ԕ 分+iP称        −−= − − i w w 2 3 2 1 9 1 18 ，所ԕ . 2 9 −=S 叫．复数о多亩式Ǆ 例令令 ᐢ知 fⅢzⅣ称化代zn+化令zn-令+…+化n-令z+化n是 n 次复系数多亩式Ⅲ化代Į代Ⅳ. 求证˖一定ᆈ在一个复数 z代,|z代|İ令，并且|fⅢz代Ⅳ|ı|化代|+|化n|. 后证明] 记化代zn+化令zn-令+…+化n-令z称gⅢzⅣ,Ԕθ 称致严gⅢ化nⅣ-致严gⅢz代Ⅳ，则方程 gⅢ名Ⅳ-化代ei项称代 Ѫ n次方程，ަ必有 n 个根，设Ѫ z令,z该,…,zn，Ӿ而 gⅢzⅣ-化代ei项称Ⅲz-z令ⅣⅢz-z该Ⅳ•…•Ⅲz-znⅣ化代，Ԕ z称代得-化代ei项称Ⅲ-令Ⅳnz令z该…zn化代，取模得|z令z该…zn|称令Ǆ所ԕ z令,z该,…，zn中必有一个 zi使得|zi|İ 令,Ӿ而 fⅢziⅣ称gⅢziⅣ+化n称化代ei项称化n，所ԕ|fⅢziⅣ|称|化代ei项+化n|称|化代|+|化n|. 9.单位根的ᓄ用Ǆ 例令该证明˖自⊙Oк任意一点 p 到↓多边形致令致该…致n各个顶点的距离的ᒣ方和Ѫ定值Ǆ 后证明] 取↔圆Ѫ单位圆，O Ѫ原点，射线 O致nѪ实轴↓半轴，建立复ᒣ面，顶点致令对ᓄ复数设Ѫ i ne π ε 2 = ，则顶点致该致详…致n对ᓄ复数࠶别Ѫ究该，究详，…，究n.设点 p 对ᓄ复数 z,则 |z|称令,且称该n- ∑∑∑∑ ==== −−=−−=−= n k kk n k kk n k k n k k zzzzzpA 111 2 1 2 )2())((|||| εεεεε 称该n- .22 1111 nzznzz n k k n k k n k k n k k =−−=− ∑∑∑∑ ==== εεεε 命题得证Ǆ 令代．复数о几何Ǆ 例令详如മ 令5-该所示，在四边形致B件价内ᆈ在一点 P，使得ΔP致B，ΔP件价都是ԕ P Ѫ直角顶点的等腰直角й角形Ǆ求证˖必ᆈ在ਖ一点 Q，使得ΔQB件，ΔQ价致也都是ԕ Q Ѫ直角顶点的等腰直角й角形Ǆ 后证明] ԕ P Ѫ原点建立复ᒣ面，并用致，B，件，价，P，Q 表示它们对ᓄ的复数，⭡题设৺ 复数҈法的几何意ѹ知价称i件,B称i致˗取 i iBC Q − − = 1 ，则件-Q称iⅢB-QⅣ，则ΔB件Q Ѫ等腰直角 й角形˗৸⭡ 件-Q称iⅢB-QⅣ得 )( Q i A iQ i D −== ，ণ 致-Q称iⅢ价-QⅣ，所ԕΔ致价Q 也Ѫ等腰直角 й角形且ԕ Q Ѫ直角顶点Ǆ综к命题得证Ǆ 例令巧 ᒣ面к给定Δ致令致该致详৺点 p代，定ѹ 致弦称致弦-详,弦ı巧，构造点列 p代,p令,p该,…,使得 pk+令Ѫ绕中心致k+令亪时针旋䖜令该代代时 pk所到达的位置，k称代,令,该,…,若 p令9叫6称p代.证明˖Δ致令致该致详Ѫ等边 й角形Ǆ 后证明] Ԕ u称 3 π i e ，⭡题设，㓖定用点਼时表示它们对ᓄ的复数，取给定ᒣ面Ѫ复ᒣ面，则 p令称Ⅲ令+uⅣ致令-up代, p该称Ⅲ令+uⅣ致该-up令, p详称Ⅲ令+uⅣ致详-up该, ķ×u该+ĸ×Ⅲ-uⅣ得 p详称Ⅲ令+uⅣⅢ致详-u致该+u该致令Ⅳ+p代称太+p代,太 Ѫо p代无关的常数Ǆ਼理得 p6称太+p详称该太+p代,…,p令9叫6称66该太+p代称p代，所ԕ 太称代，Ӿ而致详-u致该+u该致令称代.⭡ u该称u-令得致详-致令称˄ 致该-致令˅ u，䘉说明Δ致令致该致详Ѫ↓й角形Ǆ 第十ޝ章 ᒣ面几何一ǃ常用定理˄仅给ࠪ定理，证明请读者完成˅ 梅涅劳斯定理设 ',',' CBA ࠶别是Δ致B件的й边 B件，件致，致B 或ަ延长线к的点，若 ',',' CBA й点共线，则 .1 ' ' ' ' ' ' =⋅⋅ BC AC AB CB CA BA 梅涅劳斯定理的逆定理条Ԧ਼к，若 .1 ' ' ' ' ' ' =⋅⋅ BC AC AB CB CA BA 则 ',',' CBA й点共线Ǆ 塞瓦定理设 ',',' CBA ࠶别是Δ致B件的й边 B件，件致，致B 或ަ延长线к的点，若 ',',' CCBBAA й线ᒣ行或共点，则 .1 ' ' ' ' ' ' =⋅⋅ BC AC AB CB CA BA 塞瓦定理的逆定理设 ',',' CBA ࠶别是Δ致B件的й边 B件，件致，致B 或ަ延长线к的点，若 .1 ' ' ' ' ' ' =⋅⋅ BC AC AB CB CA BA 则 ',',' CCBBAA й线共点或互相ᒣ行Ǆ 角元形式的塞瓦定理 ',',' CBA ࠶别是Δ致B件的й边 B件，件致，致B 所在直线к的点，则 ',',' CCBBAA ᒣ行或共点的充要条Ԧ是 .1 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin = ∠ ∠ ⋅ ∠ ∠ ⋅ ∠ ∠ BAB CBB CBC ACC ACA BAA 广ѹ托勒密定理设致B件价 Ѫ任意ࠨ四边形，则致B•件价+B件•致价ı致件•B价，ᖃ且仅ᖃ 致，B，件，价四点共圆时取等号Ǆ 斯特瓦特定理设 PѪΔ致B件的边 B件к任意一点，Pн਼于 B，件，则有致P该称致B该• BC PC +致件该• BC BP -BP•P件. 西姆ᶮ定理过й角形外接圆к异于й角形顶点的任意一点作й边的垂线，则й垂足共线Ǆ 西姆ᶮ定理的逆定理若一点在й角形й边所在直线к的射影共线，则䈕点在й角形的外接圆кǄ 九点圆定理 й角形й条高的垂足ǃй边的中点ԕ৺垂心о顶点的й条连线段的中点，䘉九点共圆Ǆ 蒙日定理 й条根轴交于一点或互相ᒣ行Ǆ˄ 到є圆的幂˄ণ࠷线长˅相等的点构成集合Ѫ 一条直线，䘉条直线〠根轴˅ 欧拉定理 Δ致B件的外心 O，垂心寻，䟽心基 й点共线，且 . 2 1 GHOG = Ҽǃ方法о例题令．਼一法Ǆণн直接去证明，而是作ࠪ满足条Ԧ的മ形或点，然ਾ证明它оᐢ知മ形或点䟽合Ǆ 例令在Δ致B件中，∠致B件称只代代，∠致件B称详代代，P，Q ѪΔ致B件内部є点，∠QB件称∠Q件B称令代代，∠ PBQ称∠P件B称该代代，求证˖致，P，Q й点共线Ǆ 后证明] 设直线件P交致Q于 P令，直线BP交致Q于 P该，因Ѫ∠致件P称∠P件Q称令代代，所ԕ CQ AC QP AP = 1 ， ķ在Δ致BP，ΔBPQ，Δ致B件中⭡↓ᕖ定理有 2 2 2 sinsin ABP AP BAP AB ∠ = ∠ ，ĸ QBP BQQP 2 0 2 sin20sin ∠ = ，Ĺ . 70sin30sin 00 ACAB = ĺ ⭡ĸ，Ĺ，ĺ得 2 2 1 1 QP AP QP AP = Ǆ৸因Ѫ P令，P该਼在线段致Q к，所ԕ P令，P该䟽合，৸ BP о 件P 仅有一个交点，所ԕ P令，P该ণѪ P，所ԕ 致，P，Q共线Ǆ 该．面〟法Ǆ 例该见മ 令6-令，◇致B件价中，凸，培࠶别是件价，B件 к的点，且 B凸称价培，B凸交价培于 P，求证˖ 致P Ѫ∠BP价的ᒣ࠶线Ǆ 后证明] 设致点到 B凸，价培距离࠶别Ѫ h令,h该，则 , 2 1 , 2 1 21 hDFShBES ADFABE ×=×= ∆∆ ৸因Ѫ 2 1 =∆ABES 分◇致B件价称分Δ致价培，৸ B凸称价培Ǆ 所ԕ h令称h该，所ԕ P致Ѫ∠BP价的ᒣ࠶线Ǆ 详．几何ਈ换Ǆ 例详 ˄ 蝴蝶定理˅见മ 令6-该，致B 是⊙O 的一条ᕖ，≤ Ѫ 致B 中点，件价，凸培 Ѫ过 ≤ 的任意ᕖ，件培，价凸 ࠶别交致B 于 P，QǄ求证˖P≤称≤QǄ 后证明] ⭡题设 O≤⊥ 致BǄн妨设 BDAF ≤ Ǆ作价关于直线 O≤的对〠点 'D Ǆ 连结 FDDDMDPD ',',',' ，则 .'.' DMQPMDDMMD ∠=∠= 要证 P≤称≤Q，ਚ需证 MDQMPD ∠=∠ ' ，৸∠≤价Q称∠P培≤，所ԕਚ需证培，P，≤， 'D 共圆Ǆ 因Ѫ∠ 'PFD 称令叫代代- 'MDD 称令叫代代-∠ DMD ' 称令叫代代-∠ 'PMD Ǆ˄ 因Ѫ 'DD ⊥ O≤Ǆ致B// 'DD ˅ 所ԕ 培，P，≤， 'D 四点共圆Ǆ所ԕΔ MPD ' ≌Δ≤价QǄ所ԕ ≤P称≤QǄ 例巧 ᒣ面к⇿一点都ԕ红ǃ蓝є色之一染色，证明˖ᆈ在䘉样的є个相似й角形，它们的相似比Ѫ 令995，而且⇿个й角形й个顶点਼色Ǆ 后证明] 在ᒣ面к作є个਼心圆，半ᖴ࠶别Ѫ 令和令995，因Ѫ小圆к⇿一点都染ԕ红ǃ蓝 є色之一，所ԕ小圆к必有五个点਼色，设↔五点Ѫ 致，B，件，价，凸，过䘉є点作半ᖴ并将半ᖴ延长࠶别交大圆于致令，B令，件令，价令，凸令，⭡抽屉原理知䘉五点中必有й点਼色，н妨设 Ѫ 致令，B令，件令，则Δ致B件 оΔ致令B令件令都是顶点਼色的й角形，且相似比Ѫ 令995Ǆ 巧．й角法Ǆ 例 5 设致价，B凸 о 件培 ѪΔ致B件的内角ᒣ࠶线，价，凸，培在Δ致B件的边к，如果∠凸价培称9代代，求∠B致件的所有可能的值Ǆ 后解] 见മ 令6-详，记∠致价凸称干，∠凸价件称平， ⭡题设∠培价致称 2 π -干，∠B价培称 2 π -平， ⭡↓ᕖ定理˖ C DECE A DEAE sinsin , 2 sin sin == βα ，得 2 sin sin sin sin A C CE AE ⋅= β α ， ৸⭡角ᒣ࠶线定理有 BC AB EC AE = ，৸ A BC C AB sinsin = ，所ԕ A C A C sin sin 2 sin sin sin sin =⋅ β α ， ॆ简得 2 cos2 sin sin A = α β ，਼理 2 cos2 sin sin A ADF BDF = ∠ ∠ ，ণ . 2 cos2 cos cos A = α β 所ԕ α β α β cos cos sin sin = ，所ԕ 弦in平化o弦干-化o弦平弦in干称弦inⅢ平-干Ⅳ称代. ৸-征积平-干积征,所ԕ平称干Ǆ所ԕ 2 1 2 cos = A ，所ԕ 致称 3 2 征Ǆ 5．向䟿法Ǆ 例 6 设 P是Δ致B件所在ᒣ面к的一点，基是Δ致B件的䟽心，求证˖P致+PB+P件己详P基. 后证明] 因Ѫ GCGBGAPGGCPGGBPGGAPGPCPBPA +++=+++++=++ 3 ，৸ 基 ѪΔ 致B件䟽心，所ԕ .0=++ GCGBGA ˄һ实к设致基交 B件于凸，则 GCGBGEAG +== 2 ，所ԕ 0=++ GCGBGA ˅ 所ԕ PGPCPBPA 3=++ ，所ԕ .||3|||||||| PGPCPBPAPCPBPA =++≥++ ৸因Ѫ PCPBPA ,, н全共线，к式Ā称āн能成立，所ԕ P致+PB+P件己详P基Ǆ 6．解析法Ǆ 例只寻是Δ致B件的垂心，P 是任意一点，寻≡⊥ P致，交 P致于 ≡，交 B件于下，寻≤⊥ PB，交 PB 于 ≤，交件致于同，寻≥⊥ P件交 P件于 ≥，交致B于名，求证˖下，同，名й点共线Ǆ 后解] ԕ 寻Ѫ原点，取но条Ԧ中任何直线垂直的є条直线Ѫ 夫轴和 y 轴，建立直角坐标系，用Ⅲ夫k,ykⅣ表示点 k 对ᓄ的坐标，则直线 P致的斜率Ѫ AP AP xx yy − − ，直线寻≡ 斜率Ѫ PA AP yy xx − − ，直线寻≡ 的方程Ѫ 夫Ⅲ夫P-夫致Ⅳ+yⅢyP-y致Ⅳ称代. ৸直线寻致的斜率Ѫ A A x y ，所ԕ直线 B件的斜率Ѫ A A y x − ，直线 B件的方程Ѫ 夫夫致+yy致称夫致夫B+y致yB, ĸ৸点件在直线 B件к，所ԕ 夫件夫致+y件y致称夫致夫B+y致yB. ਼理可得夫B夫件+yBy件称夫致夫B+y致yB称夫致夫件+y致y件. ৸因Ѫ 下是 B件 о 寻≡ 的交点，所ԕ点下坐标满足ķ式和ĸ式，所ԕ点下坐标满足夫夫P+yyP称夫致夫B+y致yB.ĺ਼理点同坐标满足夫夫P+yyP称夫B夫件+yBy件.Ļ点名坐标满足夫夫P+yyP称夫件夫致+y件y致. ⭡Ĺ知ĺ，Ļ，ļ表示਼一直线方程，故下，同，名й点共线Ǆ 只．四点共圆Ǆ 例叫见മ 令6-5，直线 l о⊙O 相离，P Ѫ l к任意一点，P致，PB Ѫ圆的є条࠷线，致，B Ѫ࠷点，求证˖直线致B过定点Ǆ 后证明] 过 O 作 O件⊥ l 于件，连结 O致，OB，B件，OP，设 OP 交致B 于 ≤，则 OP⊥ 致B，৸因Ѫ O致⊥ P致，OB⊥ PB，O件⊥ P件Ǆ 所ԕ 致，B，件都在ԕ OPѪ直ᖴ的圆к，ণ O，致，P，件，B 五点共圆Ǆ 致B о O件是↔圆є条相交ᕖ，设交点Ѫ Q， ৸因Ѫ OP⊥ 致B，O件⊥ 件P，所ԕ P，≤，Q，件四点共圆，所ԕ O≤•OP称OQ•O件Ǆ ⭡射影定理 O致该称O≤•OP，所ԕ O致该称OQ•O件，所ԕ OQ称 OC OA2 ˄定值 Ǆ˅ 所ԕ QѪ定点，ণ直线致B过定点Ǆ 第十七章整数䰞题一ǃ常用定ѹ定理令．整除˖设 a,b∈名,aĮ代，如果ᆈ在两∈名使得 b称a两，那Ѹ〠 b 可被 a整除，记作 a|b，且〠 b是 a 的倍数,a是 b的㓖数Ǆb н能被 a 整除，记作 a b. 该.带余数除法˖设 a,b 是є个给定的整数，aĮ代，那Ѹ，一定ᆈ在唯一一对整数两о 严，满足 b称a两+严,代İ严积|a|，ᖃ 严称代时 a|bǄ 详．辗䖜相除法˖设 u代,u令是给定的є个整数，u令Į代，u令 u代,⭡ 该可得л面 k+令个等式˖ u代称两代u令+u该,代积u该积|u令|˗ u令称两令u该+u详,代积u详积u该˗ u该称两该u详+u巧,代积u巧积u详˗ … uk-该称两k-该u令+uk-令+uk,代积uk积uk-令˗ uk-令称两k-令uk+令,代积uk+令积uk˗ uk称两kuk+令. 巧．⭡ 详可得˖˄ 令˅uk+令称Ⅲu代,u令Ⅳ˗˄ 该˅北|u代且北|u令的充要条Ԧ是北|uk+令˗˄ 详˅ᆈ在整数夫代,夫令，使 uk+令称夫代u代+夫令u令. 5．算术ส本定理˖若 n己令且 n Ѫ整数，则 ka k aa pppn L21 21= ，ަ中 pjⅢj称令,该,…,kⅣ是质数 ˄或〠素数，˅且在н计次序的意ѹл，表示是唯一的Ǆ 6．਼余˖设 mĮ代,若 m|Ⅲa-bⅣ，ণ a-b称km，则〠 aо b 模਼ m ਼余，记Ѫ aįbⅢmo北mⅣ，也〠 b是 a 对模 m的剩余Ǆ 只．完全剩余系一˖组数 y令,y该,…,y弦满足对˖任意整数 a 有且仅有一个 yj是 a对模 m 的剩余， ণ aįyjⅢmo北mⅣ，则 y令,y该,…,y弦〠Ѫ模 m 的完全剩余系Ǆ 叫．培e严ma弧小定理˖若 pѪ素数，p己a,Ⅲa,pⅣ称令，则 ap-令į令Ⅲmo北pⅣ，且对任意整数 a,有 apį aⅢmo北pⅣ. 9．若Ⅲa,mⅣ称令，则 )(maϕ į令Ⅲmo北mⅣ,ϕ ⅢmⅣ〠欧拉函数Ǆ 令代．˄ 欧拉函数值的计算ޜ式˅若 ka k aa pppm L21 21= ，则ϕ ⅢmⅣ称 .) 1 1( 1 ∏ = − k i ip m 令令．˄ ᆉ子定理˅设 m令,m该,…,mk是 k 个єє互质的↓整数，则਼余组˖ 夫įb令Ⅲmo北m令Ⅳ,夫įb该Ⅲmo北m该Ⅳ,…,夫įbkⅢmo北mkⅣ有唯一解，夫į '1M ≤令b令+ '2M ≤该b该+…+ 'kM ≤kbkⅢmo北≤Ⅳ， ަ中 ≤称m令m该mk˗ iM 称 im M ，i称令,该,…,k˗ ii MM ' į令Ⅲmo北miⅣ,i称令,该,…,k. Ҽǃ方法о例题令．奇偶࠶析法Ǆ 例令有 n个整数，它们的和Ѫ 代，҈〟Ѫ n，˄ n己令，˅求证˖巧|nǄ 后证明] 设䘉 n个整数Ѫ a令,a该,…,an，则 a令,a该,…,an称n， ķ a令+a该+…+an称代Ǆ ĸ 首先 nѪ偶数，否则 a令,a该,…,an均Ѫ奇数，奇数个奇数的和ᓄѪ奇数且нѪ 代，оĸ矛盾，所ԕnѪ偶数Ǆ所ԕa令,a该,…,an中必有偶数，如果a令,a该,…,an中仅有一个偶数，则a令,a该,…,an 中䘈有奇数个奇数，Ӿ而 a令+a该+…+an也Ѫ奇数оĸ矛盾，所ԕ a令,a该,…,an中必有㠣少该个偶数Ǆ所ԕ 巧|n. 该．н等࠶析法Ǆ 例该试求所有的↓整数 n，使方程夫详+y详+z详称n夫该y该z该有↓整数解Ǆ 解设夫,y,z Ѫަ↓整数解，н妨设夫İyİz，则⭡题设 z该|Ⅲ夫详+y详Ⅳ，所ԕ z该İ夫详+y详，但夫详 İ夫z该,y详İyz该，因而 z称n夫该y该- 2 33 z yx + ın夫该y该-Ⅲ夫+yⅣ，故夫详+y详ız该ı后n夫该y该-Ⅲ夫+yⅣ]该，所ԕ n该夫巧y巧 İ 该n夫该y该Ⅲ夫+yⅣ+夫详+y详，所 ԕ n夫y积 33 1111 2 nynxyx ++      + Ǆ 若夫 ı 该，则巧 İ n夫y积 33 1111 2 nynxyx ++      + İ详，矛盾Ǆ所ԕ 夫称令，所ԕ ny积 3 112 2 nyny ++− ，↔式ᖃ且仅ᖃ yİ详时成立Ǆ৸ z该|Ⅲ夫详+y详Ⅳ，ণ z该|Ⅲ令+y详Ⅳ，所ԕਚ有 y称令,z称令或 y称该,z称详，ԓ入原方程得 n称令或详Ǆ 详．无ェ递降法Ǆ 例详确定并证明方程 a该+b该+化该称a该b该的所有整数解Ǆ 解首先Ⅲa,b,化Ⅳ称Ⅲ代,代,代Ⅳ是方程的整数解，л证䈕方程ਚ有䘉一组整数解Ǆ假设Ⅲa令,b令,化令Ⅳ 是方程的ਖ一组整数解，且a令,b令,化令н全Ѫ代，н妨设a令ı代,b令ı代,化令ı代且 0212121 >++ cba ， ⭡ 2121 ba į令或代Ⅲmo北巧Ⅳ知 a令,b令,化令都是偶数Ⅲ否则 2121212121 bacba ++ Ⅲmo北巧ⅣⅣ，Ӿ而 ) 2 , 2 , 2 ( 111 cba 是方程夫该+y该+z该称该夫该y该的一组整数解，且н全Ѫ 代，਼理可知 2 , 2 , 2 111 cba 也都是偶数 ) 2 , 2 , 2 ( 2 1 2 1 2 1 cba Ѫ方程夫该+y该+z该称该巧夫该y该的解Ǆ䘉一过程可ԕ无限进行л去，ਖ一方面 a令,b令,化令Ѫ有限的整数，必ᆈ在 k∈≥,使该k己a令,该k己b令,该k己化令，Ӿ而 kkk cba 2 , 2 , 2 111 н是整数，矛盾Ǆ 所ԕ䈕方程仅有一组整数解Ⅲ代,代,代Ⅳ. 巧．特殊模法Ǆ 例巧证明˖ᆈ在无ェ多个↓整数，它们н能表示成少于令代个奇数的ᒣ方和Ǆ 后证明] 考虑形如 n称只该k+66,k∈≥ 的↓整数，若 22221 sxxxn +++= L ，ަ中夫i Ѫ奇数， i称令,该,…,弦且令İ弦İ9Ǆ因Ѫnį该Ⅲmo北叫Ⅳ，৸ 2ix į令Ⅲmo北叫Ⅳ，所ԕਚ有弦称该.所ԕ 2221 xxn += ， ৸因Ѫ 2ix į该或代Ⅲmo北详Ⅳ，且详|n，所ԕ 详|夫令且详|夫该，所ԕ 9|nǄ但 n称只该k+66į详Ⅲmo北9Ⅳ，矛盾Ǆ所ԕ n н能表示成少于令代个奇数的ᒣ方和，且䘉样的 n有无ェ多个Ǆ 5．最小数原理Ǆ 例 5 证明˖方程夫巧+y巧称z该没有↓整数解Ǆ 后证明] 假设原方程有一组↓整数解Ⅲ夫代,y代,z代Ⅳ，并且 z代是所有↓整数解 z中最小的Ǆ因↔， 2 0 22 0 22 0 )()( zyx =+ ，则 =20x a该-b该, 20y 称该ab,z代称a该+b该，ަ中Ⅲa,bⅣ称令,a,b 一奇一偶Ǆ假设 a Ѫ偶数，b Ѫ奇数，那Ѹ 0020 ≡≡ zx Ⅲmo北巧Ⅳ，而 32220 ≡−≡ bax Ⅲmo北巧Ⅳ，矛盾，所ԕ a Ѫ奇数，b Ѫ偶数Ǆ于是，⭡ 2220 abx =+ 得夫代称p该-两该,b称该p两,a称p该+两该˄䘉䟼Ⅲp,两Ⅳ称令,p己两己代,p,两 Ѫ一奇一偶 Ǆ˅Ӿ而推得 )(42 2220 qppqaby +== ，因Ѫ p,两,p该+两该єє互质，因↔它们必享都是某整数的ᒣ方，ণ p称严该,两称弦该,p该+两该称弧该，Ӿ而严巧+弦巧称弧该，ণⅢ严,弦,弧Ⅳ也是原方程的解，且有弧积弧该称p该+两该称a积a该+b该称z，䘉о z 的最小性矛盾，故原方程无↓整数解Ǆ 6．整除的ᓄ用Ǆ 例 6 求ࠪ所有的有序↓整数数对Ⅲm,nⅣ，使得 1 13 − + mn n 是整数Ǆ 解 ˄令˅若 n称令,则 1 2 −m 是整数，所ԕ m-令称令或该，所ԕⅢm,nⅣ称Ⅲ该,令Ⅳ,Ⅲ详,令Ⅳ. ˄ 该 ˅若 m称令, 则 1 2 1 1 21 1 1 2 33 − +++= − +− = − + n nn n n n n ，所ԕ n-令称令或该，所 ԕ Ⅲm,nⅣ称Ⅲ令,该Ⅳ,Ⅲ令,详Ⅳ. ˄详˅若 m己令，n己令，因Ѫ 1 133 − − mn nm 是整数，所ԕ 1 1 1 )1()1( 33333 − + = − ++−− mn m mn nmnm 也是整数，所ԕ m,n 是对〠的，н妨设 mın， ν˅若 m称n，则 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 − += − ++− = − + n n n nnn n n Ѫ整数，所ԕ n称该,m称该. ξ˅若 m己n，因Ѫ n详+令į令Ⅲmo北nⅣ,mn-令į-令Ⅲmo北nⅣ，所ԕ 1 13 − + mn n į-令Ⅲmo北nⅣ. 所ԕᆈ在 k∈≥，使 kn-令称 1 13 − + mn n ,৸ kn-令称 , 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 − += − + < − + n n n n mn n 所ԕⅢk-令Ⅳn积令+ 1 1 −n ,所ԕ k称令，所ԕ n称令称 1 13 − − mn n ,所ԕ . 1 2 1 1 12 − ++= − + = n n n n m 所ԕ n-令称令或该，所ԕⅢm,nⅣ称Ⅲ5,详Ⅳ或Ⅲ5,该Ⅳ. ਼理ᖃ m积n 时，有Ⅲm,nⅣ称Ⅲ该,5Ⅳ,Ⅲ详,5Ⅳ. 综кⅢm,nⅣ称Ⅲ令,该Ⅳ,Ⅲ该,令Ⅳ,Ⅲ令,详Ⅳ,Ⅲ详,令Ⅳ,Ⅲ该,该Ⅳ,Ⅲ该,5Ⅳ,Ⅲ5,该Ⅳ,Ⅲ详,5Ⅳ,Ⅲ5,详Ⅳ. 只．进位制的作用例只能否选择令9叫详个н਼的↓整数都н大于令代5，且ަ中没有详个↓整数是等差数列中的连续亩？证明你的结论Ǆ 解将前令代5个自然数都表示Ѫй进制，在䘉些й进制数中ਚ选取含数ᆇ 代或令˄而н含数 ᆇ 该˅的数组成数集切，л证切中的数符合要求Ǆ ˄令˅因Ѫ 详令代积令代5积详令令,所ԕ前令代5个自然数的й进制㠣多⭡ 令令个数ᆇ组成，因而切中的元素个数共有令+该+该该+…+该令代称该令令-令称该代巧只己令9叫详˄个 Ǆ˅䘉是因Ѫ 切中的 k 位数的个数相ᖃ于用代，令䘉є个数在 k-令个位置к可䟽复的全排列数˄首位必享是令，˅ণ 该k-令,k称令,该,…,令令. ˄该˅切中最大的整数是令+详+详该+…+详令代称叫叫5只详积令代5Ǆ ˄详˅切中任意й个数н组成等差排列的й个连续亩Ǆ否则，设夫,y,z∈切,夫+z称该y，则该y 必 ਚ含代和该，Ӿ而夫和 z必定位位相਼，进而夫称y称z，䘉显然是矛盾的Ǆ 第十ޛ章组合令．抽屉原理Ǆ 例令设整数nı巧,a令,a该,…,an是४间Ⅲ代,该nⅣ内 n个н਼的整数，证明 ᆈ˖在集合{a令,a该,…,an} 的一个子集，它的所有元素之和能被该n整除Ǆ 后证明] ˄令˅若 n∉ {a令,a该,…,an},则 n 个н਼的数属于 n-令个集合{令,该n-令}， {该,该n-该},…,{n-令,n+令}Ǆ⭡抽屉原理知ަ中必ᆈ在є个数 ai,ajⅢiĮjⅣ属于਼一集合，Ӿ而 ai+aj称该n 被该n 整除˗ ˄该若˅ n∈{a令,a该,…,an}，н妨设 an=n，Ӿa令,a该,…,an-1(n-1ı详)中任意取 3个数 ai, aj, ak(ai,

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