空间解析几何与向量代数

第七章 空间解析几何与向量代数 向量代数部分 一． 填空题 1． 已知向量 是两两垂直的单位向量，且 ，其中 是常数，则 2． 向量 在向量 上的投影为__________________. 3． 已知向量 是两两垂直，且 则 与 的夹角是__________________. 4． 已知向量 和 之间的夹角是 ， 则 5． 设 且 ，则 6． 三向量 的混合积 的几何意义是____________________________. 7． 已知向量 ，其中 又 ，又 则 =___________. 8． 三棱锥的顶点是 则它的体积为__________. 9． 空间四个点 是否是在同一个平面上？_________. 10． 设 =2，则 二． 选择题 1． 设向量 相互平行，但方向相反，则当 时必有______. (A)                   (B) (C)                   (D) 2．已知向量 和 之间的夹角是 且 则| (A) 1；          (B)             (C) 2；          (D) 3．已知非零向量 满足 则必______. (A)                         (B) (C)                           (D) 4.设三向量 满足关系式 ，则 (A)         (B)             (C)         (D) 5.已知平行四边形的四个顶点 ,点D是与点B相对的点，记 则 为_____. (A)         (B)         (C)      (D) 6．已知向量 和 的模分别为 且 ，则 (A) 2；          (B)             (C)1；            (D) 7．设向量 与三个坐标面 的夹角分别为 ，则 ______. (A) 0；          (B)1；              (C)2；            (D) 3. 8．设 ，则垂直于 且垂直于 轴的单位向量为_____. (A)                   (B) (C)                       (D) 9. 已知非零向量 满足 ,则 之间的夹角为_____. (A)           (B)             (C)           (D) 10.已知梯形 若 则 (A)         (B)             (C)        (D) 三．解答题 1．从点 沿向量 的方向取线段|AB|=34，求B点的坐标. 2．一直线通过点 且与向量 平行，求点 到此直线的距离d. 3.一直线通过点 和 ，求点 到此直线的距离d. 4．已知三角形的一个顶点 及两边的向量 和 ，求其余的顶点以及向量 和 5．已知 问系数 为何时，向量 与 垂直？ 6．已知单位向量 与三个坐标轴的夹角相等，点 是点 关于 的对称点，求 . 7．三角形的三个顶点是 ，求该三角形的面积. 8．判断下列四点是否共面： ， ， ， ， ， ， 9．设四面体以点 ， ， ， 为其顶点，求它的体积，并计算三角形 的面积和由点 引向该面的高. 10．单位圆的圆周上有相异的两点 和 ，向量 与 的夹角为 ，设a,b为正常数，求极限 . 四．证明题 1．设三角形ABC的形心为G，任一点O到三角形三顶点的向量分别为 ， ，证明： . 2．设一直线通过点 且平行于向量，证明点 到该直线的距离为d= ，其中 3．设非零向量 中的任意两个向量不共线，而 与 共线， 与 共线，证明： . 4．已知三点A，B，C的向径分别为 ， ，证明A，B，C三点共线. 5．试证向量 ， 在同一平面上，并沿 和 分解 6．若三向量p ,q ,r不共面，求证： 必共面. 7．已知 是xoy平面上的三点，试用向量的方法证明：三角形ABC的面积为 空间解析几何部分 一． 填空题 1. 已知直线L过点 且与两条直线 都垂直，则直线L的方程是_______________________________. 2．直线 上与点(3,2,6)的距离最近的点是_________________. 3．直线 和直线 间的最短距离是________. 4．曲线 在xoy坐标面上的投影曲线是________________________. 5．过点 且与直线 垂直的平面是______________________. 6．已知直线 ， ，则过 且平行于 的平面方程为________________________. 7．已知直线L: 及平面 ，则直线 与平面 的位置关系是_____________. 8．在由平面 和平面 所决定的平面束内，有两个相互垂直的平面，其中一个平面经过点 ,这两个平面的方程分别是_________________________________________________. 9．以曲线 为母线，以z轴为旋转轴的旋转曲面的方程为___________. 10．方程 在空间Oxyz中的图形是____________________________. 二． 选择题 1． 设空间两直线 ， 相交于一点，则 (A) 1；          (B)0；            (C) ；            (D) 2．空间三直线 ， 则必有_____. (A) ；                        (B) ；            (C) ；                      (D) 3．设空间直线 与 的位置关系为_____. (A)平行不重合；                    (B)相交于一点；            (C)重合；                          (D) 异面. 4．过点(0,2,4)且与平面 及 都平行的直线是_____. (A) ；              (B) ；            (C) ；              (D) . 5．曲线 在xoy坐标面上的投影柱面是_____. (A)           (B) ；            (C) ；      (D) . 三．  解答题 1．已知三点 ，求一平面平行于三角形 所在的平面且与它的距离等于2. 2．求点 在平面 上的投影点. 3．求点 在平面 上的对称点. 4．试在平面 与三个坐标面所构成的四面体内求一点，使之与四面体各面的距离相等，并求内切于四面体的球面方程. 5．求直线 在平面 上的投影直线l的方程，并求l绕y轴旋转一周而得到的曲面方程. 6．求过直线 且与平面 的夹角为 的平面方程. 7．求一平面，使其垂直于平面 ，且通过点 到直线l： 的垂线. 8．求 (1)点 到直线l： 的距离； (2)过点 且垂直相交于直线l的直线方程. 9．设直线l在三点 ， ， 所确定的平面上，且与直线 垂直相交，求直线l的方程. 10．求与直线 及直线 相交，且与直线 平行的直线方程. 综合习题 一．  填空题 1．在空间直角坐标系中，方程 是_______________面. 2．位于直线 或直线 上且与点 的距离为 的点是__________________________. 3．求直线 与直线 之间的距离为______. 4．以直线 为对称轴，半径为1的圆柱面方程为____________________. 5．设 是两非零向量，且 ，则极限 二．  选择题 1．圆 的中心坐标是_____. (A)       (B)         (C)         (D) 2．已知直线 过点 且平行于x轴， 过点 且垂直于xoz平面，则到这两直线等距离点的轨迹是_____. (A)                     (B)     (C)                     (D) 3*．设 ， ， ，则三条平面直线 ， ， （ ）交于一点的充要条件是______. (A) , , 线性相关；        (B) , , 线性无关；    (C) 秩 =秩     (D) , , 线性相关， , 线性无关. 4. 设 ，则直线 与直线 ______. (A)相交于一点；      (B)重合；      (C)平行但不重合；    (D) 异面. 5. 三个平面： 经过同一条直线的充要条件是_____. (A)                   (B)     (C)               (D) 三．  解答题 1. 求 的最小值. 2. 已知点 与 ，在平面 上求一点 使得 |PM|+|MQ|最小. 3. 求直线 绕z轴旋转一周而成的曲面方程，并就 的值讨论方程所表示的曲面. 4. 一柱面的准线为曲线L ，母线平行于向量a= ，求该柱面方程，并求曲线L在平面 上的投影曲线方程. 5. 求与四条直线 ， ， ， 都相交的直线方程. 6. 光线沿直线 投影到平面 上，求反射线所在的直线方程. 7. 求直线 和直线 间的最短距离. 8. 一直线过点 和点 ，现点B沿曲线 运动一周，求该直线运动所形成的轨迹曲面方程. 第七章自测题 一. 填空题（共20分） 1. 已知 ， ， ，则               . 2. 过点 ，平行于平面 ，且与直线 相交的直线方程为              . 3. 设一平面过原点和点 ，且与平面 垂直，则此平面方程为              . 4. 动点到两定点 ， 的距离之和为 （ ），则动点的轨迹方程为              . 5. 曲线 ： ， 关于 平面的投影柱面方程是            . 二.选择题（共20分） 1．已知单位向量 ， ， 满足 ，则 _____. (A) ；       (B) ；      (C) ；      (D) . 2．已知向量 的终点坐标是 ，模 ，其方向与向量 同向，则向量 的起点坐标是_____. (A) ；    (B) ； (C) ;  (D) . 3．设 ， ， 为三个任意向量，则下列等式正确的是______. (A) ；                (B). ； (C) ；          (D) . 4．平面 和 确定的直线的对称式方程为____. (A) ；              (B) ； (C) ；              (D) . 5．两平行平面 和 之间的距离为____. (A) ；        (B) ；      (C) ；        (D) . 三.计算题（每小题5分，共50分） 1. 已知向量 ， ，试求 角平分线上的单位向量. 2. 已知向量 及平面方程 ，求向量 在平面法线向量 上的投影和投影向量. 3. 过点 且与直线 垂直相交的直线的方程.