七年级数学2 几何图形的初步认识教学案冀教版

第二章　几何图形的初步认识 1.通过对丰富的实物和实例的抽象,进一步认识几何图形,尤其是点、线段、射线、直线和角,并会表示它们. 2.经历观察、测量、画图、折纸等活动,了解上述图形的有关性质,发展空间观念. 3.会比较线段的长短和角的大小,能估计线段的长短和角的大小. 4.认识角的度量单位,会进行角的换算. 5.会计算线段和角的和与差,能使用直尺和圆规作线段和角. 6.与角的认识相结合认识平面图形的旋转. 7.了解一些数学基本事实,掌握相关的图形关系,增强空间观念和几何直观. 1.通过各种几何图形的抽象过程和图形性质及图形关系的发现和确认,进一步发展学生的数学基本思想,并在这样的活动过程中,使学生积累数学活动经验. 2.通过本章的数学活动过程,培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力. 1.培养学生观察、操作、探究图形性质等合作意识. 2.培养学生在发现问题、解决问题过程中的创新精神. 本章的基本知识是:认识几何图形,了解线与角、线段与角的有关性质并学会计算,认识平面图形的旋转. 本章的基本技能是:画一条线段等于已知线段,画出两条线段的和或差,作一个角等于已知角,作两个角的和或差,能进行角的度数和线段长度的计算. 本章的基本数学思想是:几何图形生成过程中运用的抽象思想,图形关系发现和确认过程中运用的推理思想等. 本章内容的呈现方式及特点:在本章,空间观念、几何直观、推理能力、应用意识和创新意识这些核心概念的培养与发展,是教材设计的主导思想.加强发现和提出问题、分析和解决问题的能力的培养,是本章教材设计的又一重要指导思想. 【重点】 1.点、线段、射线、直线和角的有关性质. 2.比较线段和角的大小,按照相关要求作简单的线段和角. 【难点】 1.角的定义和计算. 2.利用直尺和圆规按要求作线段和角. 1.现实中的几何实例与教学中的几何对象是具体和抽象、特殊和一般的关系,在实际教学中,如何引导学生从具体的实例中抽象出事物的一般性,是教学中的一个难点,这方面的处理是否得当直接关系到学生能否准确地理解数学中的各种几何概念. 2.几何量的度量是几何中基础而重要的问题,是培养学生准确的几何观念的重要内容.教师通过让学生使用直尺、三角板、量角器和圆规等常用的数学工具,培养学生严谨的科学态度和基本的使用工具的能力,对于学生在日常生活中使用其他工具解决实际问题也很有帮助. 3.几何知识应该在几何的实际背景中讲授.本章内容包含了大量的生活实例,有利于学生克服数学中抽象而形式化的困难,对学生准确理解并掌握几何概念以及它们的一些简单性质十分有利. 2.1　从生活中认识几何图形 1课时 2.2　点和线 1课时 2.3　线段的长短 1课时 2.4　线段的和与差 1课时 2.5　角以及角的度量 1课时 2.6　角的大小 1课时 2.7　角的和与差 1课时 2.8　平面图形的旋转 1课时 回顾与反思 1课时 2.1　从生活中认识几何图形 1.进一步认识常见的几何图形,并能用自己的语言描述它们的特征. 2.体会点、线、面是几何图形的基本要素. 进一步经历几何图形的抽象过程. 培养学生从具体到抽象的思想方法. 【重点】　从实物背景中得到几何图形的特征. 【难点】　在小学的基础上进一步增强对几何图形的抽象认识. 【教师准备】　多媒体课件. 【学生准备】　立体图形的实物. 导入一: 从北京天坛主体建筑物的外观上看,它是由不同形状和大小的几何体构成的吗? [设计意图]　主题图是北京天坛的照片,它可以看作是由不同形状、不同大小、不同位置的几何体组成的.用此图导入可以比较好地帮助学生从生活中去认识几何图形的特征. 导入二: 物体的构成包含多种元素,几何图形也是如此.以长方体为例,我们来分析一下几何图形的构成元素. (1)观察长方体模型,如图所示,它有几个面?面与面相交的地方形成了几条线?棱与棱相交形成了几个顶点? (2)拿出三棱柱模型让学生思考以上问题. (3)你能说出构成几何图形的元素包含哪些吗? 学生思考交流,师生共同 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf :几何图形的构成元素包括点、线、面. [设计意图]　引导学生在已有知识的基础上,通过主动地观察、思考,体会几何图形是由点、线、面构成的,从构成元素的角度把握几何体的特征,从而引入点、线、面的概念. 　　[过渡语]　现实生活中的物体,它们的形状、大小及它们之间的位置关系,反映着它们本身的性质和彼此的关联,这正是人们需要探究清楚的问题. 活动1　观察与思考——认识几何图形 1.观察图片,思考下列问题: (1)如果用一个“形状”来描述地球或月球,你会用什么图形来概括? 预设:圆、椭圆等. (2)如果用一个“形状”来描述上图中的学具,你会用什么图形来概括? 预设:长方形、正方形、六边形等. [设计意图]　本问题不要求学生给出比较准确的答案,主要通过情境问题帮助学生体验从几何图形的角度观察生活中的物体. 2.几何图形 对于各种物体,如果不考虑它们的颜色、材料和质量等,而只关注它们的形状(如方的、圆的等)、大小(如长度、面积、体积等)和它们之间的位置关系(如垂直、平行、相交等),就得到几何图形. 图形的形状、大小和它们之间的位置关系是几何研究的主要内容. 活动2　做一做——深化对几何图形的认识 1.出示教材第63页问题及图片,让学生自主尝试连线. [设计意图]　帮助学生体会实物与几何图形之间的对应关系,为下一步学习做铺垫. 2.如图所示,请你把每个平面图形的名称写在它的下面. [处理方式]　(1)让学生自主填写.(2)思考:几何图形包括哪两种? 总结:几何图形包括立体图形(几何体)和平面图形.像正方体、长方体、棱柱、圆柱、圆锥、球等,它们都是立体图形.像线段、直线、三角形、长方形、梯形、六边形、圆等,它们都是平面图形. 活动3　几何体的基本要素 观察以下几何体: 1.几何体的面:可以看到,几何体都是由面围成的.如:长方体有六个面,这些面都是平的;圆柱有三个面,两个底面是平的,一个侧面是曲的;球有一个面,是曲的. 2.几何体的线: (1)长方体中,面与面交接(相交)的地方形成线.这样的线有几条?是直的还是曲的?(12条直线) (2)在圆柱中,两个底面与侧面交接(相交)的地方形成线.这样的线有几条?是直的还是曲的?(2条曲线) 3.几何体的点:在长方体中,线与线交接(相交)的地方形成点.这样的点有几个?(8个) 总结:包围着几何体的是面,面与面相交形成线,线与线相交形成点.点、线、面是几何图形的基本要素. [知识拓展]　立体图形与平面图形是两类不同的图形,但它们相互联系,立体图形上的某部分就是平面图形,立体图形是由平面图形组成的. 几何图形 1.下面各组图形都是平面图形的是 (　　) A.三角形、圆、球、圆锥 B.点、线、面、体 C.角、三角形、长方形、圆 D.点、相交线、线段、正方体 解析:A中球和圆锥是立体图形;B中体是立体图形;D中正方体是立体图形.故选C. 2.如图所示,把梯形绕虚线旋转一周形成一个几何体,与它相似的物体是 (　　) A.课桌　　　B.灯泡 C.篮球 D.水桶 解析:一个直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转一周后成为圆台.答案合适的为D.故选D. 3.下列四种说法:①平面上的线都是直线;②曲面上的线都是曲线;③两条直线相交只能得到一个交点;④两个平面相交只能得到一条交线.其中不正确的有 (　　) A.4个　　B.3个　　C.2个　　D.1个 解析:解答本题时注意:不可认为曲面上的线都是曲线,如圆柱的母线就是曲面上的直线,故②错误;平面上也有曲线,故①错误;③④正确.故选C. 2.1　从生活中认识几何图形 活动1　观察与思考——认识几何图形 活动2　做一做——深化对几何图形的认识 活动3　几何体的基本要素 一、教材作业 【必做题】 教材第64页练习第1,2题. 【选做题】 教材第65页习题A组第2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.下列物体中与足球形状类似的是 (　　) A.易拉罐　B.电脑显示器　C.烟囱　D.西瓜 2.下列有六个面的几何体的个数是 (　　) ①长方体;②圆柱;③四棱柱;④正方体;⑤三棱柱. A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4 3.天空中的流星划过后留下的光线,给我们以什么样的形象 (　　) A.点 B.线 C.面 D.体 4.对于棱柱与圆柱,围成的面中有曲面的是　　　　,有平面的是　　　　,面与面相交的线中有曲线的是　　　　,只有直线的是　　　　. 5.由生活中的物体抽象出几何图形,在后面的横线上填出对应的几何体的名称. (1)足球　　　　; (2)电视机　　　　; (3)漏斗　　　　; (4)砖块　　　　; (5)纸箱　　　　; (6)铁棒　　　　. 【能力提升】 6.如图所示的陀螺是由下列哪两个几何体组合而成的 (　　) A.长方体和圆锥 B.长方体和三棱锥 C.圆柱和三棱锥 D.圆柱和圆锥 7.在如图所示的几何体中,由三个面围成的几何体有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.下列判断正确的有 (　　) ①正方体是棱柱,长方体不是棱柱;②正方体是棱柱,长方体也是棱柱;③正方体是柱体,圆柱也是柱体;④正方体不是柱体,圆柱是柱体. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.滚动的保龄球的轨迹是一条直线,说明了　　　　;雨刷滑过汽车的车窗得到一个扇面,说明了　　　　;将一个长方形绕一边旋转得到圆柱,说明了　　　　. 10.如图所示,至少找出下列几何体的四个共同点. 【拓展探究】 11.一个多面体,若顶点数是4,面数为4,则棱数应为　　　　. 12.用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成　　　　个正三角形. 【答案与解析】 1.D(解析:西瓜和足球都类似于球.故选D.) 2.C(解析:长方体有6个面,圆柱有3个面,四棱柱有6个面,正方体有6个面,三棱柱有5个面,故有六个面的有3个.) 3.B(解析:天空中的流星划过后留下的光线,给我们以线的形象.) 4.圆柱　棱柱和圆柱　圆柱　棱柱(解析:圆柱由两个平面和一个曲面围成,相交的线为两条曲线;棱柱由几个长方形与两个多边形围成,相交的线均为直线.) 5.(1)球　(2)长方体　(3)圆锥　(4)长方体　(5)长方体　(6)圆柱 6.D(解析:上面是圆柱,下面是圆锥.) 7.C(解析:除三棱锥外都是由三个面围成的.) 8.B(解析:正方体和长方体都是四棱柱,棱柱和圆柱都是柱体,所以本题中②③正确.) 9.点动成线　线动成面　面动成体 10.解:(1)侧面都有长方形;(2)底面都是多边形;(3)每个面都是平的;(4)都是柱体;(5)经过每个顶点都有三条棱等. 11.6(解析:这是一个四面体,即三棱锥,棱数为6.) 12.4(解析:用6根火柴棒搭成正四面体,四个面都是正三角形,一共有4个.) 认识几何体和认识几何图形不是一个难点,难点是从几何图形中抽象出几何体.为了突破这个教学难点,本课时在教学的过程中,遵循学生的认知规律,采取了步步诱导的教学策略,帮助学生在思考过程中,从点、线、面三个层次加深了对几何体的认识. 在教学的过程中,过于依赖教材的素材,没有对课内的教材进行适度拓展. 在探讨几何体的组成时,可以选取学生身边熟悉的事物,比如黑板、课桌等,这样更能形象地帮助学生认识几何体的组成. 练习(教材第64页) 1.解:这个几何体有8个面,18条棱,12个顶点. 2.球　六棱柱　圆锥　三棱柱　圆柱 习题(教材第64页) A组 1.解:第一个几何体是三棱柱,平面图形有三角形(2个)、长方形(3个);第二个几何体是圆柱,平面图形有圆(2个);第三个几何体是圆锥,平面图形有圆(1个);第四个几何体是长方体,平面图形有长方形(6个).(画图略) 3.解:第一个几何体有4个面,6条线,4个点;第二个几何体有6个面,12条线,8个点;第三个几何体有9个面,16条线,9个点. B组 1.解:第一个物体可以看做是由几个圆柱构成的;第二个物体可以看做是球;第三个物体可以看做是由圆柱和圆锥构成的;第四个物体可以看做是圆锥. 2.解:第一个图片表示点动成线,第二个图片表示线动成面,第三个图片表示面动成体. 常见的立体图形 我们生活在三维的世界中,身边有各种各样的物体.我们要善于观察身边的事物,认识立体图形.生活中的立体图形有柱体、锥体、球体.柱体分为圆柱和棱柱,其中圆柱是由两个底面和一个侧面围成的,如图(2)所示,它的底面是两个大小相等且互相平行的圆面,侧面是一个曲面.棱柱是由两个底面和几个侧面围成的,它的底面是两个大小和形状都相同且互相平行的多边形,侧面是n个长方形,一个棱柱的底面是几边形,这个棱柱就是几棱柱.如:底面是三角形的棱柱叫做三棱柱,如图(6)所示;底面是四边形的棱柱叫做四棱柱,如图(1)所示.锥体分为圆锥和棱锥,其中圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它的底面是一个圆,侧面是一个曲面,如图(4) 所示;棱锥是由一个底面和几个侧面围成的,它的底面是一个多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形,一个棱锥的底面是几边形,这个棱锥就叫做几棱锥,如图(7)所示的棱锥是三棱锥,如图(5)所示的棱锥是四棱锥.球体是由一个曲面围成的封闭的几何体.球体的特征是球体表面上任意一点到球心的距离都相等,如图(3)所示的立体图形是球体. 2.2　点和线 1.了解点、线段、射线、直线的概念. 2.掌握点、线段、射线和直线的表示方法. 3.理解并掌握“两点可以确定一条直线”这个基本事实. 1.通过实际情境感知点和线,认识点、线段、射线和直线这些几何图形. 2.通过观察和画图了解线段、射线和直线的关系及其表示方法. 3.通过观察和操作,理解并掌握“两点可以确定一条直线”这个基本事实. 1.培养学生乐于思考,敢于创新的精神. 2.通过多姿多彩的活动,培养学生的创新意识和发散思维. 【重点】　点、线段、射线、直线的概念和表示方法. 【难点】　“两点可以确定一条直线”的基本事实. 【教师准备】　多媒体课件. 【学生准备】　复习上一节的知识. 导入一: 同学们见过这种电子显示屏吧?你知道显示屏上的数字和图形是由什么基本要素构成的吗? [设计意图]　通过生活情境,帮助学生感受“点”在几何图形中的作用. 导入二: 如图所示,用7根火柴棒可以摆出图中的“8”.你能去掉其中的若干根火柴棒,摆出0~9中其他的9个数字吗?这种用7条线段构成的数字称为“7画字”,它可以用在计算器或电梯的楼层显示屏上. [设计意图]　教师组织学生交流各自的答案.本题呈现了点、线段在生活和科技中的应用,使学生体会数学与现实世界的密切联系. 　　[过渡语]　点和线是两种最基本的几何图形,又是构成其他几何图形的基本要素. 活动1　点与线 1.出示课本图2 - 2 - 1,请在图上找出表示石刻园、展览中心、花卉园、茶餐厅和健身区的点,并用笔加重描出这个公园的边界线. [设计意图]　体会和感受点和线的关系,为深入理解几何上的点和线做认知准备. 2.请指出图中平面图形的顶点和边,立体图形的顶点和棱. [处理方式]　先让学生说出两个平面图形的顶点和边,初步让学生从几何的角度认识点和线的关系,随后让学生说出两个立体图形中点和棱的关系,可以让学生用笔描的方式画出一些点和棱. 3.点和线的关系的初步描述 点的形象随处可见,如地图上用来表示城市位置的点,绘画中表示天空中星星的点,几何图形中表示顶点的点等等.点运动的轨迹是线. 活动2　线段、射线和直线 思路一 1.线段及其表示方法 线段的直观形象是拉直的一段线.如跳高的横杆、直尺的边沿、一段铁轨等,都给我们以线段的形象. 点和线段的表示方法如图所示. 位于线段AB两端的点A,B,叫做这条线段的端点. 2.射线及其表示 如图所示,将线段AB沿AB方向(或BA方向)无限延伸所形成的图形叫做射线.点A(或点B)叫做射线的端点. 3.直线及其表示方法 如图所示,将线段AB沿这条线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线. [知识拓展]　直线、射线、线段的联系和区别: 名称 图形 表示方法 端点 延伸性 度量 线段 线段a 线段AB 线段BA 2个 不能延伸 可度量 射线 射线OA 1个 向一方无限延伸 不可度量 直线 直线l 直线AB 直线BA 无端点 向两个方向无限延伸 不可度量 　　思路二 问题:在数学里,我们常用字母表示图形.一个点可以用一个大写字母表示,如“·”这个点可以表示成点A,那么一条线段、一条射线、一条直线又该怎样表示呢?请同学们自主学习线段、射线、直线的表述方法.(阅读教材第66,67页) [处理方式]　学生自主学习,用自己的语言总结叙述线段、射线、直线的表示方法,教师补充并借助多媒体讲解. (1)线段的图形及表示方法: 用两个端点的大写字母来表示,或用一个小写字母表示,可以写成:线段AB;线段BA;线段a. (2)射线的图形及表示方法: 用它的端点和射线上的另一点来表示,可以写成:射线AB.注意:这两个字母的排列顺序不能互相交换,表示端点的字母必须写在另一个字母的前面,同时也不能用一个小写字母表示. (3)直线的图形及表示方法: 用直线上的两个点来表示或用一个小写字母来表示,可以写成:直线AB;直线BA;直线l. 提问:生活中有哪些物体可以近似地看作线段、射线、直线? 学生讨论后举例,如:吃饭的筷子、铅笔给我们线段的形象;手电筒、激光笔射出的光线都给我们以射线的形象;高速路上的白色实线等给我们直线的形象. [设计意图]　让学生充分交流,丰富线段、射线、直线的生活背景,进一步巩固所学的线段、射线、直线的知识,使学生感受现实生活中含有大量的数学信息,提高学习兴趣,培养学生分析问题、解决问题的能力. 活动3　两点确定一条直线 1.点与直线的关系 平面内的一点P与直线l可能有怎样的位置关系?请画出图形,并用相应的语言说明. 在同一个平面内,给定一个点与一条直线,它们的位置关系有两种情况. (1)第一种情况: 点P在直线l上(直线l经过点P) (2)第二种情况: 点P在直线l外(直线l不经过点P) [处理方式]　可以交给学生交流完成,然后强调:因为直线具有无限延长性,所以已知一个点在直线上,就可以断定不存在另一种情况.也就是说,一个点在平面内,要么在直线上,要么不在直线上,二者必居其一. 2.过直线外一点的直线 提问:(1)过一个点A可以画几条直线? (2)过两点A,B可以画几条直线? (3)如果将一个细木条固定在墙上,至少需要几个钉子?它的依据是什么? 提示:过一个已知点可画无数条直线,过两个已知点可以画出直线,但只能画一条直线. [处理方式]　引导学生动手画图,自主思考,相互讨论,描述从操作中所发现的结论,与学生共同总结直线的性质,并板书“经过两点有且只有一条直线”. 注意: (1)“有”表示存在性,“仅有”表示唯一性. (2)这个性质还可以说成“两点确定一条直线”. [设计意图]　学生通过动手画图,培养几何作图能力,并在作图过程中发现直线的某些性质. [知识拓展]　(1)线段无粗细之分,有两个端点.理解线段的概念要掌握它的三个特征:直的、有两个端点、可以度量. (2)射线:将线段向一个方向无限延长就形成了射线.手电筒、探照灯等射出来的光线可以近似地看做射线. (3)射线的特点:直的、有一个端点、向一方无限延伸. (4)直线的特点:直的、没有端点、向两方无限延伸.将线段向两个方向无限延伸就形成了直线. (5)经过两点有且只有一条直线可以简述为:两点确定一条直线.“有且只有”中的“有”表示存在性,“只有”表示唯一性,“确定”与“有且只有”的意义相同. 1.线段、射线、直线的概念. 2.线段、射线、直线的表示方法. 3.直线的性质:经过两点有且只有一条直线,可以简述为两点确定一条直线. 1.图中直线PQ、射线AB、线段MN能相交的是 (　　) 解析:根据直线可向两方无限延伸,射线可向一方无限延伸,线段有两个端点解答.只有D选项射线AB与直线PQ能够相交.故选D. 2.用一个钉子把一根细木条钉在墙上,木条能绕着钉子转动,这表明　　　　　　　　　　　　;用两个钉子把细木条钉在墙上,就能固定细木条,这表明　　　　　　　　　　　　. 解析:用一个钉子把一根细木条钉在墙上,木条能绕着钉子转动,说明过一点有无数条直线;用两个钉子把细木条钉在墙上,就能固定细木条,说明两点确定一条直线. 答案:过一点有无数条直线　两点确定一条直线 3.如图所示,四点A,B,C,D,按照下列语句画出图形: (1)画直线AB; (2)画射线BD; (3)线段AC和线段DB相交于点O. 解:如图所示. 2.2　点和线 活动1　点与线 活动2　线段、射线和直线 活动3　两点确定一条直线 经过两点有且只有一条直线 一、教材作业 【必做题】 教材第68页练习. 【选做题】 教材第68页习题A组第3题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.下列说法正确的是 (　　) A.直线CD和直线DC是一条直线 B.射线CD和射线DC是一条射线 C.线段CD和线段DC是两条线段 D.直线CD和直线a不能是同一条直线 2.下列说法正确的有 (　　) ①直线是射线长度的2倍;②线段为直线的一部分;③射线为直线长度的;④直线、射线、线段中,线段最短. A.4个　　　B.3个　　　C.2个　　　D.1个 3.同一平面内三条直线最多有m个交点,最少有n个交点,则m+n等于 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知平面内的四个点A,B,C,D,过其中两个点画直线可以画出几条?画图说明. 【能力提升】 5.如图所示,能读出的线段共有 (　　) A.8条 B.10条 C.6条 D.以上都错 6.下列说法中错误的是 (　　) A.经过一点的直线可以有无数条 B.经过两点的直线只有一条 C.一条直线只能用一个字母表示 D.线段CD和线段DC是同一条线段 7.如图所示,点A,B,C,D在同一直线上,那么这条直线上共有线段 (　　) A.3条 B.4条 C.5条 D.6条 【拓展探究】 8.一根绳子弯曲成如图(1)所示的形状.当用剪刀像图(2)那样沿虚线a把绳子剪断时,绳子被剪为5段;当用剪刀像图(3)那样沿虚线b(b∥a)把绳子再剪一次时,绳子就被剪为9段.若用剪刀在虚线a,b之间把绳子再继续剪(剪刀的方向与a平行),这样一共剪n次时绳子的段数是 (　　) A.4n+1 B.4n+2 C.4n+3 D.4n+5 9.一条直线将平面分成两部分,两条直线最多将平面分成四个部分,那么三条直线将平面最多分成几部分?四条直线将平面最多分成几部分?n条直线呢? 10.如图所示. (1)点A,B,C在直线l上,则直线l上共有几条线段? (2)如果直线l上有5个点,则直线l上共有几条线段? (3)如果直线l上有100个点,则直线l上共有几条线段? (4)如果直线l上有n个点,则直线l上共有几条线段? 【答案与解析】 1.A(解析:直线CD和直线DC都是由C,D这两点确定的,根据两点确定一条直线可知,这两条直线 是同一条直线.故选A.) 2.D(解析:没有真正体会直线、射线的延伸性,这种延伸性决定了直线、射线无长度,不能比较长短,所以①③④是错误的.故选D.) 3.B(解析:三条直线的位置关系有三种情况:三条直线互相平行,此时没有交点;三条直线交于一点;三条直线交于两点;三条直线交于三点.所以m=3,n=0,所以m+n=3.故选B.) 4.解:由于题目没有说明已知的四个点是否在一条直线上,所以应分类讨论.(1)当四个点A,B,C,D在同一直线上时,只可以画出一条直线,如图(1)所示;(2)当四个点A,B,C,D中有三个点在同一直线上时,可以画出4条直线,如图(2)所示;(3)当四个点A,B,C,D中任意的三个点都不在同一直线上时,可以画出6条直线,如图(3)所示. 5.A(解析:以A为顶点的线段有4条,以B为顶点的线段有4条,以C为顶点的线段有4条,以D为顶点的线段有4条,共16条,由于每条线段都被统计了2次,所以线段共有8条.) 6.C(解析:一条直线可以用一个小写字母表示,也可以用两个大写字母表示.) 7.D(解析:这条直线上有线段AB,AC,AD,BC,BD,CD,共六条.) 8.A(解析:每剪一刀,相当于在一条直线上增加了4个点,剪n次就相当于在这个绳子上增加4n个点.故选A.) 9.解:三条直线将平面最多分成7个部分,四条直线将平面最多分成11个部分,n条直线将平面最多分成个部分. 10.解:(1)3条.　(2)10条.　(3)4950条.　(4)条. 在这次教学活动中,利用多媒体为学生创设了生动、直观的活动情境,充分调动了学生的学习积极性.采用了探究式的教学模式,充分发挥了学生的主体作用,体现了学生自主学习、合作学习、探究学习、操作学习的数学学习策略,使学生真正成为课堂的主人. 虽然学生对基础知识掌握了,但做题的能力不一定行,还需要在练习中不断加以巩固和提高. 画图时要指导学生用直尺规范画图,一定要根据直线、射线、线段的特点画图,画线时某一点不是端点的时候一定要延长. 习题(教材第68页) A组 1.解:(1)如图(1)所示.　(2)如图(2)所示. 2.提示:根据“两点确定一条直线”可知只要知道两个树坑的位置,就能确定同一行的树坑所在的直线. 3.解:(1)如图(1)所示.　(2)如图(2),(3)所示,图(2)表示点C在直线l外,图(3)表示点C在直线l上. B组 1.解:(1)点P在直线l上,点Q在直线l外.　(2)直线AB,CD相交于点O,点P在直线AB,CD外.　(3)直线a,b,c相交于点Q. 2.解:如图所示. 　指出图中线段、射线、直线分别有多少条,并把线段表示出来. 〔解析〕　在表示射线时要特别注意字母的书写 位置;数线段时从一端数,不回头;数射线时找端点,一个端点两条射线. 解:线段有3条,分别为线段AB,线段AC,线段BC.射线有6条.直线有1条. [解题策略]　引导学生回想前面所学的线段、射线、直线表示方法的区别与联系,说一说怎样表示线段、射线、直线,然后让学生完成本道题的解答,最后教师提问、点拨怎样数线段、射线、直线. 2.3　线段的长短 1.了解比较线段长短的方法. 2.掌握用直尺和圆规作一条线段等于已知线段的方法. 3.理解和掌握“两点之间的所有连线中,线段最短”这一基本事实. 1.通过比较和操作了解比较线段长短的方法. 2.领会“两点之间的所有连线中,线段最短”这一基本事实. 1.培养学生乐于思考,敢于创新的精神. 2.通过多姿多彩的活动,培养学生的创新意识和发散思维. 【重点】　线段的大小比较. 【难点】　线段的比较,线段中点的应用和两点之间的距离. 【教师准备】　直尺和圆规、两根长短不一的小木棍. 【学生准备】　直尺和圆规. 导入一: 如图所示,两条线段a与b谁长谁短? 生1:a长. 生2:一样长. 师:看来这个问题很有迷惑性哦,实际上线段a与b一样长.在现实生活中有很多事情我们不能光凭眼睛的直觉,还需要用事实来说明,今天老师将和同学们一起来学习有关比较线段长短的方法. [设计意图]　让学生明确数学的严谨,不能只通过眼睛来看问题,引出比较线段长短的必要性. 导入二: 师:篮球明星姚明和小品明星潘长江相比,哪位明星的身高更高?姚明和易建联相比,谁的身高更高? 学生思考,交流. 问题:你是怎样得出结论的?若把人的身体看作线段,两条线段的长短又是怎样比较的? 教师板书:线段的长短. [设计意图]　引导学生探究发现,让学生感受线段的比较方法.从学生熟悉的人物开始,引入线段长短的比较,激发学生的学习热情. 导入三: 如图所示,小明从家到学校有4条路可走,其中路程最短的是哪一条?说明理由. [设计意图]　利用生活情境,从实际问题入手,帮助学生体验两点之间线段最短的基本事实. 　　[过渡语]　图形的大小是研究图形的主要内容之一.对于两条线段来说,它们的大小关系就表现为长短关系. 活动1　小明、小亮比身高 比较两名同学的身高,可以有几种比较方法?向大家说说你的想法. [处理方式]　让同学思考以下问题: (1)第一幅图根据什么比出两名同学的身高? (2)第二幅图根据什么比出两名同学的身高? (3)第三幅图根据什么比出同学的身高? (4)哪种比较身高的方法更能准确地判断两名同学的身高? [设计意图]　引导学生总结比较身高的三种方法:估测、对比、测量.为引入线段的测量作思想准备. 活动2　比较线段的长短 思路一 已知线段AB,CD(如图所示),比较AB,CD的长短,有两种方法: 方法1:用刻度尺分别量出线段AB,CD的长度,长度大的线段较长,长度小的线段较短,当长度相等时,两条线段相等. 方法2:将线段AB放到线段CD上,使点A和点C重合,点B和点D在点A(点C)的同侧. (1)如图所示,如果点B与点D重合,就说线段AB与CD相等,记作AB=CD. (2)如图所示,如果点B在线段CD上,就说线段AB小于CD,记作ABCD. 思路二 先让学生用自己的语言描述比较的过程,然后教师边演示边用规范的几何语言描述. 叠合法:把线段AB,CD放在同一直线上比较,步骤如下: ①将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合. ②将线段AB沿着线段CD的方向落下. ③若端点B与端点D重合,则得到线段AB等于线段CD,可记作:AB=CD(几何语言). ④若端点B落在D内,则得到线段AB小于线段CD,可记作:ABCD. 如图所示: 注意:讲此方法时,教师应采用圆规截取线段比较形象,还需向学生讲明从“形”的角度去比较线段的长短. 度量法:用刻度尺分别量出线段AB和线段CD的长度,再将长度进行比较. 总结:用度量法比较线段的大小,其实就是比较两个数的大小.(从“数”的角度去比较线段的长短) [知识拓展]　(1)利用叠合法比较长短时,应将两条线段的一个端点重合,另一个端点在这个点的同一侧. (2)叠合法是从“形”的方面来进行比较的,度量法是从“数”的方面来比较的,两者比较的结果是一致的. 活动3　作一条线段等于已知线段 　　[过渡语]　我们知道线段有长短,那么给你一条线段,你能画出一条线段等于已知线段吗? 学生讨论、交流想法. 生:用刻度尺测量线段的长度,然后画一条线段和已知线段的长度相等. 那么如果用没有刻度的直尺和圆规,应该怎样画一条线段等于已知线段呢? 说明:在数学中,我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图,这就是尺规作图. 教师让学生拿出直尺和圆规,边讲解边操作: 首先任意确定一条已知线段AB. (1)画射线A'C; (2)用圆规量出线段AB的长度; (3)在射线A'C上截取线段A'B'=AB.线段A'B'即为所求. 让学生独立操作,在练习本上再任意画一条线段,利用尺规作图作出与已知线段相等的线段,有问题可以小组交流. [设计意图]　让学生掌握尺规作图的方法,通过动手实践,培养学生解决问题的能力和自主创新的能力. 活动4　两点之间线段最短 　　[过渡语]　我们了解了比较线段长短的方法,那么线段有哪些性质呢? 如图所示的是从北京到济南的铁路线和公路线.请在图中画出连接这两个城市的线段.在这三条线中,哪一条最短? 预设:学生画出三条线,根据生活经验,指出哪条线段最短. 总结:两点之间的所有连线中,线段最短.简单地说:两点之间,线段最短. 请你举例说一说这条性质在生活中有哪些应用? 教师指出:两点之间线段的长度,叫做两点之间的距离. 强调两点之间线段的长度叫做两点之间的距离,而不是两点间的线段,线段是图形,线段的长度是数值. 你知道运动会上掷铅球的运动员的成绩是怎样测量的吗?它用到了哪些数学知识?你还能再举出一些例子吗? [设计意图]　通过对问题的解决,让学生掌握线段的性质以及两点之间的距离的定义,加深对知识的理解和掌握,培养学生的观察、发现、概括能力. [知识拓展]　借助生活中的具体情境,我们容易得到“两点之间,线段最短”这一基本事实,利用这一基本事实,可以帮助我们进行某些决策,从而达到最佳效果. 1.线段的长短比较有两种方法:一是度量法,用刻度尺量出线段的长度进行比较;二是叠合法,即把一条线段移动到另一条线段上. 2.利用两端点重合的方法,我们可以找到线段的中点,由线段的这一点分成的两条线段长度相等,并且都是整个线段的一半. 3.在实际生活中,我们往往要找最短路径,这是因为两点之间线段最短.而这两点之间线段的长度,就是这两点之间的距离. 1.下列说法正确的个数为 (　　) ①线段的长度比较可以由刻度尺测量; ②比较线段长度时,在同一条直线上,把一端点重合,再比较另一端点是否重合; ③线段的长度实质是两点间的距离; ④连接两点间的所有连线中,线段最短. A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4 解析:线段的长短比较有两种方法:一是度量法,二是叠合法.线段的长度实质是连接两点的线段的长度;两点之间,线段最短.故选D. 2.如图所示,从A地到B地有三条道路,若在A地有一只小狗,在B地有一些骨头,小狗看见骨头后,会沿哪一条路奔向B地,为什么? 解:会沿着第②条路奔向B地.因为第②条路是直的,根据两点之间,线段最短,可知小狗沿第②条路奔向B地. 3.如图所示,三角形ABC的三边可表示成线段AB,线段AC,线段BC,在下面的横线上填入“>”“<”或“=”,并说明理由. (1)AB+AC　　　　BC; (2)AB+BC　　　　AC; (3)BC+AC　　　　AB. 解:(1)>　(2)>　(3)> 理由:两点之间,线段最短. 2.3　线段的长短 活动1　小明、小亮比身高 活动2　比较线段的长短 活动3　作一条线段等于已知线段 活动4　两点之间线段最短 一、教材作业 【必做题】 教材第71页练习. 【选做题】 教材第71页习题A组第2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.连接两点的所有连线中 (　　) A.线段最短 B.直线最短 C.射线最短 D.圆弧最短 2.下列关于画图的语句中正确的是 (　　) A.画直线AB=10厘米 B.画射线OB=10厘米 C.已知A,B,C三点,过这三点画一条直线 D.过直线AB外一点画一条直线和直线AB相交 3.线段AB=5 cm,CD=30 mm,那么AB　　　　CD.(填“>”“<”或“=”). 4.把弯曲的河道改直,可以缩短航程是因为　　　　　　　　. 5.比较二人的身高,我们有两种方法:一种是直接用卷尺量出,另一种是让两人站在一块平地上,再量出差.这两种方法都是把身高看成一条线段.第一种是直接量出线段的　　　　,再作比较.第二种是把两条线段的一端　　　　,再观察另一个　　　　. 【能力提升】 6.下列说法错误的是 (　　) A.点A一定在线段AB上 B.两条直线相交只有一个交点 C.“点A在直线m上”和“直线m经过点A”意义相同 D.画一条8 cm长的直线 7.如图所示,在直线PQ上要找一点C,使得PC=3CQ,则点C应在 (　　) A.P,Q之间　　　B.在点P的左边 C.在点Q的右边 D.P,Q之间或在点Q的右边 8.(2015·新疆中考)如图所示,某同学的家在A处,书店在B处,星期日他到书店去买书,想尽快赶到书店,请你帮助他选择一条最近的路线 (　　) A.A→C→D→B B.A→C→F→B C.A→C→E→F→B D.A→C→M→B 9.如图所示,A,B是公路l两旁的两个村庄,若两村要在公路旁合修一个水站P,使它到A,B两村的距离和最小,试在图中标注出点P的位置,并说明理由. 10.平面上有A,B,C,D四个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池,不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H的位置,使它与四个村庄的距离之和最小(A,B,C,D四个村庄的地理位置如图所示),你能说明理由吗? 【拓展探究】 11.A,B是直线l上的两个定点,P是直线l上的任意一点,要使PA+PB的值最小,那么点P的位置应在(　　) A.线段AB的延长线上 B.线段AB的反向延长线上 C.直线l上 D.线段AB上 12.如图所示,在正方体两个相距最远的顶点处逗留着一只苍蝇和一只蜘蛛. (1)蜘蛛可以从哪条最短的路径爬到苍蝇处?说明你的理由; (2)如果蜘蛛要沿着棱爬到苍蝇处,那么最短的路线有几条? 【答案与解析】 1.A 2.D(解析:A.直线没有长短;B.射线也没有长短,C.A,B,C三点不一定在一条直线上.D正确.故选D.) 3.>(解析:因为AB=5 cm,CD=30 mm=3 cm,5 cm>3 cm,所以AB>CD.) 4.两点之间,线段最短 5.长度　重合　端点 6.D(解析:直线可以向两方无线延伸,直线没有长度.故选D.) 7.D(解析:点C可能在P,Q之间或在点Q的右边.故选D.) 8.B(解析:根据两点之间,线段最短,可知从点C到点B的最短路程为线段BC,故最短的路线为A→C→F→B.故选B.) 9.解:如图所示,作法是:连接AB,交直线l于点P,则点P为水站位置.理由是:两点之间,线段最短. 10.解:如图所示,连接AC,BD,它们的交点是H,点H就是修建蓄水池的位置,这一点到A,B,C,D四点的距离之和最小.理由:两点之间,线段最短. 11.D(解析:当P点在线段AB的延长线上时,PA+PB=PB+AB+PB=AB+2PB;当P点在线段AB的反向延长线上时,PA+PB=PA+AB+PA=AB+2PA;当P点在线段AB上时,PA+PB=AB.所以当P点在线段AB上时,PA+PB的值最小.故选D.) 12.解:(1)将上面的平面展开,与前面的平面连成一个平面,连接蜘蛛和苍蝇所在的两点,在这两个平面相交的棱上会有一个交点,然后连接蜘蛛所在的顶点和这个交点,再连接这个交点和苍蝇所在的顶点,即得到蜘蛛所走的路径.理由是:两点之间线段最短.　(2)有6条. 本课时的教学活动在学生体验、观察、思考的基础上,逐渐深入地解决了问题,学生的学习过程既顺理成章又水到渠成.学生在小学时只会用圆规画圆,不会用圆规去度量线段的长短以及截取线段,通过这节课,学生对圆规的用法有了一个新的认识,这为以后的尺规作图开了个好头. 比较线段长短的叠合法的教学时间有点长,在它的应用部分,练习题安排的较少. 加强将数形结合的思想渗透给学生,使学生对数与形的结合有一个初步的认识,为将来的学习打下基础. 练习(教材第71页) 解:(1)路程最短的是第3条.理由如下:两点之间,线段最短.　(2)采用度量法得第3条线段长2.8 cm(误差不超过0.1 cm),所以小明家到学校的实际距离约为2.8×100000=280000(cm),280000 cm=2.8 km. 习题(教材第71页) A组 1.解:码头应建在连接A,B两点的线段与l的交点C处.理由:两点之间,线段最短. 2.1.3　2.2　< B组 1.提示:(1)3条.　(2)6条.　(3)10条. 2.解:画出的点P,Q如图所示,且PA>PB,QAb.在直线l上画线段AB=a,BC=b,则线段AC就是线段a与b的和,即AC=a+b. 2.作线段的差 如图所示,在直线l上画线段AB=a,在AB上画线段AD=b,则线段DB就是线段a与b的差,即DB=a - b. 活动3　线段的中点 如图所示,已知线段a和直线l. (1)在直线l上依次画出线段AB=a,BC=a,CD=a,DE=a. (2)根据上述画法填空:AC=　　　　AB,AD=　　　　AB,AE=　　　　AB;AB=,AB=　　　　,AB=　　　　.(依次填:2,3,4,AC,AD,AE) 如图所示,线段AB上的一点M,把线段AB分成两条线段AM与MB.如果AM=MB,那么点M 就叫做线段AB的中点.此时,有AM=MB=AB,AB=2AM=2MB. 活动4　例题讲解 　(教材例1)如图所示,已知线段a,b. (1)画出线段AB,使AB=a+2b. (2)画出线段MN,使MN=3a - b. 解:(1)如图所示. 线段AB=a+2b. (2)如图所示. 线段MN=3a - b. 　(教材例2)如图所示,如果AB=CD,试说明线段AC和BD有怎样的关系? 解:因为AB=CD, 所以AB+BC=CD+BC. 所以AC=BD.(在等式的两边分别加上相等的量,等式仍然成立) [知识拓展]　线段的中点必须在线段上,中点将线段分成的两部分一定相等,但两条线段相等不一定会有中点.如图所示,AB=BC,但B不是AC中点. 线段的和与线段的差是数形结合思想的重要体现.线段的中点,是指同一条线段上的中点. 1.下列说法正确的是 (　　) A.两点之间的连线中,直线最短 B.若P是线段AB的中点,则AP=BP C.若AP=BP,则P是线段AB的中点 D.两点之间的线段叫做两点之间的距离 解析:A项应该是线段最短,直线没有长短;C项A,P,B三点不一定共线;D项中两点之间线段的长度叫距离.故选B. 2.如图所示,C,D,E为线段AB上的点,且AC=CD=DE=EB,那么图中线段的中点有 (　　) A.2个　　B.3个　　C.4个　　D.5个 解析:C为线段AD的中点,D为线段CE和线段AB的中点,E为线段DB的中点.故选B. 3.如图所示,线段AB上有两点C,D. (1)图中共有几条线段? (2)若AB=5 cm,CD=2 cm.求所有线段的和. 解:(1)6条线段. (2)AC+AD+AB+CD+CB+DB=(AC+CB)+(AD+DB)+AB+CD=5+5+5+2=17(cm). 4.已知A,B,C三点在同一条直线上,M,N分别为线段AB,BC的中点,且AB=60,BC=40,求MN的长. 解:题目虽然给出“A,B,C三点共线,AB=60,BC=40”,但是并没有交代点C在线段AB上还是在线段AB的延长线上,所以本题应该分两种情况讨论: (1)当点C在线段AB的延长线上时,如图(1)所示. (1) 因为M,N分别为线段AB,BC的中点,所以MB=AB,BN=BC, 因为AB=60,BC=40, 所以MN=MB+BN=AB+BC=30+20=50. 图(2) (2)当点C在线段AB上时,如图(2)所示. 因为M,N分别为线段AB,BC的中点,所以MB=AB,BN=BC, 因为AB=60,BC=40, 所以MN=MB - BN=AB - BC=30 - 20=10. 所以MN的长为10或50. 2.4　线段的和与差 活动1　线段的和与差 活动2　作线段的和与差 活动3　线段的中点 活动4　例题讲解 一、教材作业 【必做题】 教材第73页练习第1,2题. 【选做题】 教材第74页习题A组第1,2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.已知线段AB=6 cm,C是AB的中点,D是AC的中点,则DB等于 (　　) A.1.5 cm　 B.4.5 cm　 C.3 cm　 D.3.5 cm 2.已知点C是线段AB上的一点,下列不能确定点C是AB中点的条件是 (　　) A.AC=CB B.AC=AB C.AB=2CB D.AC+CB=AB 3.如图所示,点C是线段AB的中点,点D是线段BC的中点,下面等式不正确的是 (　　) A.CD=AD - BC B.CD=AC - DB C.CD=AB - BD D.CD=AB 4.如图所示,若C为线段AB的中点,D在线段CB上,DA=6,DB=4,则CD的长度是　　　　. 5.如图所示,AB=16 cm,C是AB上的一点,且AC=10 cm,D是AC的中点,E是BC的中点,求线段DE的长. 【能力提升】 6.已知线段AB,延长AB到C,使BC=AB,D为AC的中点,若DC=4 cm,则AB等于 (　　) A.3 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 7.C,D是线段AB上顺次两点,M,N分别是AC,BD的中点,若CD=a,MN=b,则AB的长为 (　　) A.2b - a B.b - a C.b+a D.2a+2b 8.如图所示,已知:线段a,b.画一条线段,使它等于a+2b,写出求作、作法. 9.如图所示,C,D两点将线段AB分成2∶3∶4的三部分,E为线段AB的中点,AD=10.求: (1)线段AB的长; (2)线段DE的长. 【拓展探究】 10.如图所示,已知C是线段AB的中点,D是BC的中点,E是AD的中点,F是AE的中点,那么线段AF是线段AC的 (　　) A. B. C. D. 11.已知A,B,C三点在同一条直线上,AB=100 cm,BC=AB,E是AC的中点,求BE的长. 12.如图所示,已知C,D是线段AB上的两个点,M,N分别为AC,BD的中点. (1)若AB=10 cm,CD=4 cm,求AC+BD的长及M,N的距离; (2)如果AB=a,CD=b,用含a,b的式子表示MN的长. 【答案与解析】 1.B(解析:因为AB=6 cm,C是AB的中点,所以CB=AB=3 cm,因为D是AC的中点,所以DC=AC=1.5 cm,所以DB=BC+CD=3+1.5=4.5(cm).) 2.D(解析:根据线段中点的定义对每一项分别进行分析,即可得出答案.A.若AC=BC,则C是线段AB的中点;B.若AC=AB,则C是线段AB的中点;C.若AB=2BC,则C是线段AB的中点;D.AC+BC=AB,C可以是线段AB上任意一点,故不能确定C是AB的中点.故选D.) 3.D(解析:由题意得CD=AD - AC=AD - BC,A正确;CD=BC - DB=AC - DB,B正确;CD=BC - BD=AB - BD,C正确;CD≠AB.故选D.) 4.1(解析:根据DA=6,DB=4,得出AB=10,由点C是AB的中点,可得出AC=5,所以CD=AD - AC=6 - 5=1.) 5.解:因为D是AC的中点,E是BC的中点,所以DC=AC,CE=BC,所以DE=DC+CE=AC+BC=(AC+BC)=AB=×16=8(cm).即DE的长为8 cm. 6.B(解析:如图所示,因为D为AC的中点,而DC=4 cm,所以AC=2DC=8 cm,因为BC=AB,所以AB+AB=AC=8 cm,所以AB=6 cm.) 7.A(解析:因为M是AC的中点,N是BD的中点,所以AC=2MC,BD=2DN,因为MN=b,CD=a,所以AB=AC+CD+BD=2MC+CD+2DN=2(MC+CD+DN) - CD=2MN - CD=2b - a.) 8.解:求作:线段AB,使AB=a+2b.作法:(1)作射线AY;(2)在射线AY上顺次截取线段AC,CD,DB,使AC=a,CD=DB=b.则线段AB即为所求作的线段,如图所示. 9.解:(1)由题意设AC=2x,CD=3x,BD=4x,因为AD=10,所以5x=10,解得x=2,所以AB=(2+3+4)×2=18.　(2)因为E为线段AB的中点,所以AE=9,因为AD=10,所以ED=AD - AE=10 - 9=1. 10.C(解析:设CD=a,首先根据D是BC的中点,得出BC=2a.由C是线段AB的中点,得出AC=BC=2a,进而求出AD=3a,再由E是AD的中点,得出AE=a.由F是AE的中点,得出AF=a.从而,即AF=AC.) 11.解:因为AB=100 cm,BC=AB,所以BC=60 cm.①当点C在AB的延长线上时,AC=AB+BC=160 cm.因为E是AC的中点,所以CE=AC=80 cm,所以BE=CE - BC=20 cm.②当点C在线段AB上时,AC=AB - BC=40 cm.因为E是AC的中点,所以CE=AC=20 cm,所以BE=BC+CE=80 cm.所以BE的长为80 cm或20 cm. 12.解:(1)因为AB=10 cm,CD=4 cm,所以AC+BD=AB - CD=10 - 4=6(cm),因为M,N分别为AC,BD的中点,所以AM+BN=AC+BD=(AC+BD)=3 cm,所以MN=AB - (AM+BN)=10 - 3=7(cm).　(2)根据(1)的结论,得AM+BN=(AC+BD)=(AB - CD)=(a - b),所以MN=AB - (AM+BN)=a - (a - b)=(a+b). 在充分了解学情和课时学习内容特点的基础上,在教学的过程中充分发挥了学生学习的自主性,从问题的探索到例题的完成,都充分体现了这一设计理念. 对线段的和与差的问题,忽略了从数形结合思想的角度对学生进行点拨. 对于线段的中点,可让学生借助折纸活动去体验,这样可以增加课堂活动的丰富性和趣味性. 练习(教材第73页) 1.解:DB=AC(或AC=2DB);DB=AD(或AD=3DB). 2.解:画法如下:(1)画直线MP,在直线MP上任取一点M;(2)在射线MP上截取线段ME=AB,在射线EP上截取线段EF=AC;(3)在射线FM上截取线段FN=BC.则线段MN即为所要求画出的线段,如图所示.得到的结论是:三角形的两边之和大于第三边. 习题(教材第74页) A组 1.提示:图略,AN=5.1 cm. 2.提示:(1)图略.　(2)CO=(5+2.4)=3.7(cm). 3.如图所示,线段MN=2a - b,线段PQ=2(a+2b). B组 1.解:(1)AC=BD.理由如下:由图可知AC=AD - CD,BD=BC - CD,因为AD=CB=7 cm,所以AC=BD.　(2)是.理由如下:因为M是CD的中点,所以CM=MD,由(1)知AC=BD,所以AC+CM=MD+BD,即AM=MB,所以M是AB的中点. 2.解:因为M,N分别是AB,CD的中点,所以AM=MB,CN=ND,所以AD=AM+MN+DN=MB+MN+CN=2MN - BC=2a - b. 　点A,B,C在同一条数轴上,其中点A,B表示的数分别为 - 3,1,若BC=2,则AC等于(　　) A.3　　　B.2　　　C.3或5　　D.2或6 〔解析〕　此题画图时会出现两种情况,即点C在线段AB内或点C在线段AB外,所以要分两种情况讨论.已知点A,B表示的数分别为 - 3,1,故AB=4.第一种情况:当点C在线段AB外时,如图(1)所示,AC=4+2=6.第二种情况:当点C在线段AB内时,如图(2)所示,AC=4 - 2=2.故选D. 2.5　角以及角的度量 1.通过丰富的实例进一步认识角及角的意义,了解角的表示方法. 2.认识角的度量单位:度、分、秒,会进行角度的换算. 通过生活实例感知角的存在和大小. 培养学生从具体到抽象、从直观到理性的思维过程. 【重点】 1.角的概念及其表示方法. 2.度、分、秒的概念和角度在不同单位之间的相互转换. 【难点】　正确使用量角器进行角度的测量. 【教师准备】　多媒体课件. 【学生准备】　复习小学学过的有关角的知识. 导入一: 1.观察实物和图片,你能发现其中有什么相同的图形吗? 2.你能把观察得到的图形画在本子或黑板上吗?这是一些什么图形? 3.从这些不同的图形中,你能归纳出它们的共同特征吗? [设计意图]　挖掘和利用现实生活中与角相关的背景,让学生在现实背景中认识角,培养学生的动手能力,引导学生观察并归纳角的特点. 导入二: 小学里我们已经学过与角有关的简单知识,也知道角也是一种基本图形,那么在我们现实生活中,你能举出一些角的实例吗? 其实我们周围的事物存在着各种各样的角.如:我们的门、窗、桌、椅、板凳都有直角,我们使用的三角板上有锐角、直角,钟表上时针和分针在不停地转动,它们有时组成锐角,有时组成直角,有时组成钝角,有时还可以组成平角和周角.如果仔细观察,就会很容易理解角的相关知识了. [设计意图]　让学生从生活中发现角,通过教师的举例和讲解,使学生认识到生活中处处存在着角,从而积极地投入到本节课的学习之中. 　　[过渡语]　我们对角已经有了初步的了解,现在,我们进一步来认识它. 活动1　角的相关概念 1.感知角的存在 下面左图是在地面上一点看大楼的底部和顶部的视线示意图,右图是铁路道口栏杆由下向上转动的示意图.你能指出图中的角吗?这些角是怎样形成的? 提示:左图是从视点看大楼的视角,两条视线可以看成从同一点出发的两条射线.右图是道口栏杆旋转形成角的示意图.这里需要强调视角是由射线形成的,为接下来引入角的概念做准备. 2.角的概念 思路一 (1)抽象出角的图形 从上面的图中可以得到如图所示的几何图形. 　　(2)角的定义 有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边.如上图所示,点O是角的顶点,射线OA和OB是角的边.角可以看做一条射线绕着端点旋转到另一个位置所形成的图形. (3)角的表示 通常用符号“∠”表示角,具体表示方法如图所示.在不作特别说明的情况下,今后我们说的角都是小于平角的角. 思路二 师:同学们见过剪裁相纸的裁纸刀吗?(多媒体展示裁纸刀图片) 我们如果把裁纸刀的手柄看成一条射线的话,在它开合的过程中就形成了角.(同时多媒体演示射线绕端点旋转成角的动画) 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的. 在教师通过展示裁纸刀图片和多媒体动画演示的过程中,让学生进一步体会角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的,同时向学生说明角的始边,终边及角的内部. [设计意图]　让学生感受角的动态定义,增加学生对角的认识,开阔学生的思路和视野. [知识拓展]　(1)不要混淆角的符号“∠”与小于号“<”. (2)角的几种表示方法的优缺点: ①用三个大写英文字母来表示适用于所有的角的表示,但比较繁琐; ②用顶点处一个字母来表示角时比较简便,但只能用来表示以这个点为顶点的角只有一个的情况; ③用数字或小写希腊字母来表示角比较简便,但需在图中标上相应的数字或小写希腊字母,另外,当要表示的角较多且较集中时,容易让人混乱. (3)在具体表示一个角时,首先用顶点字母表示,若不合适,再选用数字或小写希腊字母来表示,至于用三个大写英文字母来表示,一要会用,即顶点字母要放在三个英文字母的中间,二要少用,因为这种方法较为繁琐. 活动2　角的度量 (1)测量角的度数 我们知道,可以用“度”来度量角.观察下图,可以看出:∠AOB=40°. 提示:用量角器测量一个角的基本要领是角的一个边要和起始刻度对齐. (2)估测角的大小 先观察下图中的各角,估测各角的度数,再用量角器检验你估测的结果是否准确. (3)角的度量单位 为了更精细地度量角,我们引入更小的角的度量单位:分、秒.把1°的角等分成60份,每份叫做1分的角,1分记作1';把1'的角再等分成60份,每份叫做1秒的角,1秒记作1″. 1°=60',1'=60″; 1'=°,1″='. 活动3　例题讲解 　(教材例1)将57.32°用度、分、秒表示. 解:先把0.32°化为分: 0.32°=60'×0.32=19.2'. 再把0.2'化为秒: 0.2'=60″×0.2=12″. 所以57.32°=57°19'12″. 　(教材例2)将10°6'36″用度表示. 解:先把36″化为分: 36″='×36=0.6', 6'+0.6'=6.6'. 再把6.6'化为度: 6.6'=°×6.6=0.11°. 所以10°6'36″=10.11°. 1.定义 2.表示方法 3.角的度量 1.下列图形中,能用∠1,∠AOB,∠O三种方法表示同一个角的是 (　　) 解析:根据角的表示方法和图形逐个判断即可.只有B能用∠1,∠AOB,∠O三种方法表示同一个角.故选B. 2.如图所示,A,O,B三点共线,则图中小于180°的角共有 (　　) A.7个 B.9个 C.8个 D.10个 解析:以OA为始边的有3个,以OC为始边的有3个,以OD为始边的有2个,以OE为始边的有1个,共9个.故选B. 3.某校初一年级在下午3:00开展“阳光体育”活动.下午3:00这一时刻,时钟上分针与时针所夹的角等于　　　　度. 解析:下午3:00的时候,时针指着3,分针指着12,两针成直角,即90°. 4.(1)将18.32°用度、分、秒表示; (2)将12°36'18″用度表示. 解:(1)0.32°=0.32×60'=19.2', 0.2'=0.2×60″=12″, 所以18.32°=18°19'12″. (2)18″=(18÷60)'=0.3', 36.3'=(36.3÷60)°=0.605°, 所以12°36'18″=12.605°. 2.5　角以及角的度量 活动1　角的相关概念 活动2　角的度量 活动3　例题讲解 一、教材作业 【必做题】 教材第77页练习第1,2题. 【选做题】 教材第77页习题第1,5题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.下列说法正确的是 (　　) A.两条直线相交组成的图形叫角 B.两条有公共端点的线段组成的图形叫角 C.两条有公共端点的射线组成的图形叫角 D.两条射线组成的图形叫角 2.射线OA和射线OB是一个角的两边,这个角可记为 (　　) A.∠AOB　　　　　B.∠BAO C.∠OBA D.∠OAB 3.40°15'的一半是 (　　) A.20°　　B.20°7'　　C.20°8'　　D.20°7'30″ 4.由2点15分到2点30分,时钟的分针转过的角度是　　　　度. 5.观察图形. (1)图中能用顶点的一个大写字母表示的角有哪些? (2)以A为顶点的角有哪些? 【能力提升】 6.如图所示,下列说法错误的是 (　　) A.∠B也可以表示为∠ABC B.∠BAC也可以表示为∠A C.∠1也可以表示为∠C D.以C为顶点且小于180°的角有3个 7.下列说法:①角是由两条射线组成的图形;②角的边越长,角也越大;③以A为顶点的角可以表示为∠A;④一个角只有一个顶点.其中正确的个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 8.如图所示,必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有 (　　) A.10个 B.15个 C.20个 D.25个 9.如图所示,以B为顶点的角有几个?把它们表示出来.以D为顶点的角有几个(不算平角)?把它们表示出来. 10.(1)将°化成用度、分、秒表示的角; (2)将43°30'36″化成用度表示的角. 【拓展探究】 11.观察下列图形,并回答问题: (1)根据上图中的规律,从一个点出发,10条射线能构成　　　　个不同的角; (2)若从一个顶点出发n条射线呢?你能否推出相应的公式? 12.某火车站的钟楼上装有一个报时钟,在钟面的边界上,每分钟的刻度处都装有一只小彩灯,晚上九点三十五分二十秒时,时针与分针所夹的角内装有多少只小彩灯? 【答案与解析】 1.C(解析:根据角的定义可判断C选项是正确的.) 2.A(解析:由题意知,这个角的顶点是点O,两边分别是OA,OB,可记为∠AOB.) 3.D(解析:×40°15'=20°+7.5',0.5'=0.5×60″=30″,所以40°15'的一半是20°7'30″.) 4.90(解析:因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份,每一份是30°,从2点15分到2点30分分针转过了三份,所以分针转过的角度为90度.) 5.解:(1)能用一个大写字母表示的角有两个,分别是∠B,∠C.　(2)以A为顶点的角共有6个,分别是∠BAD,∠BAE,∠BAC,∠DAE,∠DAC,∠EAC. 6.C(解析:以C为顶点的角不是单独一个,不能用一个字母表示.) 7.A(解析:一个角都有一个顶点、两条边,只有④正确.) 8.C(解析:以点G,H,M,N,F为顶点的角都必须用三个大写字母表示,共20个.) 9.解:以B为顶点的角有3个,分别是:∠ABD,∠ABC,∠DBC;以D为顶点的角(不算平角)有4个,分别是:∠ADE,∠EDC,∠ADB,∠BDC. 10.解:(1)°=20°+°=20°+'=20°+30'=20°30'.　(2)43°30'36″=43°+°+'=43°+0.5°+0.6'=43.5°+°=43.5°+0.01°=43.51°. 11.解:(1)45　(2)从一个顶点出发n条射线能构成个不同的角. 12.解:每分钟的刻度上都装有彩灯,所以钟面上共装有60只小彩灯,且相邻两只彩灯夹角为6°.每走1分钟,分针转过6°,时针转过0.5°,晚上九时三十五分时针与分针的夹角为77.5°,20秒后分针走2°,时针走°,故两针夹角为77.5° - 2°+°≈75.67°,此角内部有≈12个小彩灯.即晚上九点三十五分二十秒时,时针和分针所夹的角内部装有12只小彩灯. 在教学过程中教师以图片引入,直观形象地刻画出角的形象,与小学阶段的角的形象相对应,自然地引入本节课的内容,给学生熟悉亲近的感觉.在探索过程中,借助多媒体生动形象地描绘出了角的另一种描述方式,以运动的观点来描述,通过多媒体展示运动的角,让学生从感性上接受角的另一种描述方式.关于角的度量换算的内容,充分发挥了学生的主观能动性. 学生对度、分、秒单位之间的换算练习不到位,导致在做题的过程中出现的错误较多. 在本节课的教学中,角的表示方法是个难点,教师应针对不同的图形强化练习,让学生掌握角的几种表示方法.另外对于角度单位的换算,应明确单位之间的进率与时、分、秒单位之间的进率相同,在换算时对典型题多练习,多指导,在课堂上学生没有完全掌握的知识,在习题之后可以再补充几题,不要局限于有限的资源. 练习(教材第77页) 1.解:图中的角有∠BAD(或∠A),∠ABC(或∠B),∠BCD(或∠C),∠ADC(或∠D). 2.30°　360°　90°　7.5° 习题(教材第77页) 1.解:∠ABC或∠B,∠DEF或∠E,∠AOB或∠O. 2.解:∠ABD,∠ABC,∠DBC.不能,因为用一个大写字母表示角时,在该顶点处必须只有一个角. 3.解:分别为∠A,∠FDB,∠BDC,∠ECB或∠ECA,∠DCE或∠FCE. 4.解:(1)0.78°=60'×0.78=46.8',0.8'=60″×0.8=48″,所以38.78°=38°46'48″.　(2)0.23°=60' ×0.23=13.8',0.8'=60″×0.8=48″,所以64.23°=64°13'48″.　(3)°=60'×=5'. 5.解:(1)42″='×42=0.7',20.7'=°×20.7=0.345°,所以118°20'42″=118.345°.　(2)30″='×30=0.5',40.5'=°×40.5=0.675°,所以50°40'30″=50.675°.　(3)1800'=°×1800=30°.　(4)3240″='×3240=54',54'=°×54=0.9°,所以3240″=0.9°. 正确理解角的含义 1.平角不是直线,周角不是射线. 平角、周角都是比较特殊的角,因为平角和周角都有顶点和两条边.平角的两条边成一条直线;周角 的两边重合成一条射线.平角和直线是两种不同的几何图形,同样周角与射线也是不同的几何图形.所以要注意它们之间的区别. 2.角和角的度数. 角是一个几何图形,而角的度数是用来反映角的大小的一个“量”,带有单位.不能把角和角的度数混为一谈. 2.6　角的大小 1.会用估测、测量、叠合等方法比较两个角的大小,特别要掌握叠合法. 2.能用直尺和圆规作一个角等于已知角. 1.经历利用已有知识解决新问题的探索过程. 2.培养学生的数感和对数学活动的兴趣,实际观察、操作,体会角的大小. 1.在独立思考的基础上,积极参与对数学问题的讨论. 2.敢于表达自己的观点,尊重和理解他人的见解,从而在交流中获益. 【重点】 1.叠合法比较角的大小. 2.用直尺和圆规作一个角等于已知角. 【难点】　用直尺和圆规作一个角等于已知角. 【教师准备】　直尺、三角板,多媒体课件. 【学生准备】　直尺、三角板. 导入一: 问题:以前我们学过线段的大小比较,那么怎样比较两个角的大小呢? 请同学们在透明纸上任意画两个角,然后想办法比较角的大小. [设计意图]　通过对线段大小的比较的类比,探究角的大小的比较方法,巩固旧知识,引入新知识. 导入二: 大家喜欢爬山吗?当你到达山顶时,是不是有一种一览众山小,无限风光在险峰,心旷神怡的感觉?(多媒体出示山的图片)其实,在学习上,成功永远属于肯攀登高峰的人.观察这座山,你会选择从哪面上山呢(演示山坡与平面所成的角)?这两个角哪个大呢?今天我们就一起来研究角的大小. [设计意图]　教师运用多媒体演示角的实际事例,充分利用学生的生活经验了解角的形象,激发学生的学习兴趣,使学生进一步体会数学知识来源于生活,服务于生活. 　　[过渡语]　线段有长短,角有大小.本节我们来比较两个角的大小. 活动1　角的大小的比较方法 思路一 1.观察法 (1)如图所示,三个角哪个最大? (2)∠AOB与∠A'O'B'的大小关系如何? 提示:直接观察,容易看出三个角中∠PQS最大,而∠AOB与∠A'O'B'的大小关系,只靠观察和估测,就难于准确判断了. 总结:一般地,可以分别量出∠AOB和∠A'O'B'的度数.哪个角的度数较大,哪个角就较大,当度数相等时,两个角相等. [设计意图]　通过学生的实际操作,加深领会角的大小和相等的概念,初步领会角的大小的比较方法,认识到观察法比较角的大小的不足. 2.叠合法 类比:线段的长短是怎么比较的? 操作方法:将∠A'O'B'叠合到∠AOB上来,比较∠AOB和∠A'O'B'的大小,应怎样进行呢? (1)∠A'O'B'的顶点O'应当放到什么位置? (2)∠A'O'B'的边O'B'应当放到什么位置? (3)∠A'O'B'的另一边O'A'应当放到哪一侧? (4)这时根据什么情况来判断∠A'O'B'与∠AOB的大小? 总结:把∠A'O'B'叠合在∠AOB上,使顶点O'和顶点O重合,边O'B'和边OB重合,边O'A'和OA落在重合边的同侧. 大小比较: (1)如果O'A'与OA重合,如图所示,那么这两个角相等,记作∠A'O'B'=∠AOB. (2)如果O'A'落在∠AOB的内部,如图所示,那么∠A'O'B'小于∠AOB,记作∠A'O'B'<∠AOB. (3)如果O'A'落在∠AOB的外部,如图所示,那么∠A'O'B'大于∠AOB,记作∠A'O'B'>∠AOB. 思路二 类比线段长短的比较方法,你认为该如何比较两个角的大小?在练习本上画两个角,比较它们的大小,并说明你是怎么比较的. 学生讨论解决问题的方法,学生代表展示交流. 学生展示交流后提问:比较角的大小的方法有几种?每种方法应注意的问题是什么? 教师在学生展示交流的基础上,利用多媒体演示用量角器量角、用叠合法比较角的大小的过程,归纳操作要点,量角器量角要注意:对中,重合,读数.叠合两角时要注意:(1)重合(两角的顶点及一边重合);(2)同旁(另一边落在第一条边的同旁). 追问:两个角的大小关系有几种?你能用图形和符号表示吗? 学生画出图形,并用符号表示(如图所示),指出两个角的大小关系有且仅有三种情况. 教师关注:学生运用度量法、叠合法比较角的大小操作的规范性;学生是否能体会两个角的大小关系有且仅有三种情况, [设计意图]　采用类比的方法,按照“几何模型——图形——文字——符号”的学习程序,学生动手操作,自主探究.建立线段比较长短与角比较大小之间知识与方法的联系,在对比中加深理解.指出对于两个角的大小关系和两个实数的大小关系一样,有且仅有三种情况:∠A>∠B,∠A=∠B,∠A<∠B,为以后分类研究一些有关角的问题奠定基础. 活动2　作一个角等于已知角 方法1:作一个角等于已知角,可以用量角器量出已知角的度数,再画出等于这个度数的角来. 方法2:用直尺和圆规来作. 在半透明的纸上,按下列步骤作一个角等于已知角: 步骤(1):以点O为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D. 步骤(2):画射线O'M. 步骤(3):以点O'为圆心,以OC为半径画弧,交O'M于点A'. 步骤(4):以点A'为圆心,以CD为半径画弧,与已画的弧交于点B'. 步骤(5):作射线O'B'.∠A'O'B'即为所求. [知识拓展]　(1)角的大小与它们的度数大小一致. (2)可以借助旋转观点来研究角的分类问题,当一条射线绕着它的端点旋转时,角逐渐由小变大,依次形成锐角、直角、钝角、平角、周角. 1.比较角的大小有两种方法: (1)度量法:即用量角器量出角的度数,角的度数越大,角越大. (2)叠合法:即将两个角叠合在一起比较,使两个角的顶点及一边重合. 2.类比作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角. 1.如图所示,如果∠AOD>∠BOC,那么下列说法正确的是 (　　) A.∠COD>∠AOB B.∠AOB>∠COD C.∠COD=∠AOB D.∠AOB与∠COD的大小关系不能确定 解析:因为∠AOD>∠BOC,所以∠AOD - ∠BOD>∠BOC - ∠BOD,所以∠AOB>∠COD.故选B. 2.借助一副三角尺,你能画出下面哪个度数的角 (　　) A.65°　　　B.75°　　　C.85°　　　D.95° 解析:一副三角尺只有30°,60°,45°,90°这四个角,75°=45°+30°,可以用45°和30°这两个角,把这两个角加起来就是75°.故选B. 3.若∠A=20°18',∠B=20°15'30″,∠C=20.25°,则 (　　) A.∠A>∠B>∠C B.∠B>∠A>∠C C.∠A>∠C>∠B D.∠C>∠A>∠B 解析:因为∠A=20°18',∠B=20°15'30″,∠C=20.25°=20°15',所以∠A>∠B>∠C.故选A. 2.6　角的大小 活动1　角的大小的比较方法 活动2　作一个角等于已知角 一、教材作业 【必做题】 教材第80页练习第1,2题. 【选做题】 教材第80页习题A组第1,2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.在三角形AOB内部任取一点C,作射线OC,则一定存在 (　　) A.∠AOB>∠AOC　　　　B.∠AOC>∠BOC C.∠BOC>∠AOC D.∠AOC=∠BOC 2.用一个放大10倍的放大镜看一个30°的角,看到的角的度数是 (　　) A.300°　　B.30°　　C.3°　　D.无法确定 3.如图所示,其中最大的角是　　　　,∠DOC,∠DOB,∠DOA的大小关系是　　　　　　　.(用“>”连接) 4.按下列要求画图,并回答问题: (1)用量角器分别量出图中∠A,∠B,∠C的度数; (2)延长AB到点D,用量角器量出∠CBD的度数; (3)根据量出的结果,你发现了什么? 【能力提升】 5.七年级一班同学小明在用一副三角板画角时,画出了许多不同度数的角,但下列哪个度数他画不出来(　　) A.15°　　　B.75°　　　C.105°　　　D.65° 6.已知∠AOB=20°,∠BOC=65°,∠AOC=45°,那么 (　　) A.射线OB在∠AOC外部 B.射线OB在∠AOC内部 C.射线OB与射线OA重合 D.射线OB与射线OC重合 7.若∠A=20°18',∠B=20.25°,则∠A　　　　∠B(填“>”“<”或“=”) 【拓展探究】 8.已知α,β是两个钝角,计算(α+β)的值,甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案,分别为24°,48°,76°,86°,其中只有一个答案是正确的,则正确的答案是 (　　) A.86° B.76° C.48° D.24° 9.如图所示,∠BOD=90°,∠COE=90°,解答下列问题: (1)图中有哪些小于平角的角?用适当的方法表示出它们; (2)比较∠AOC,∠AOD,∠AOE,∠AOB的大小,并指出其中的锐角、钝角、直角、平角; (3)找出图中所有相等的角. 【答案与解析】 1.A(解析:∠AOC与∠BOC的大小与点C的位置有关,但∠AOB一定大于∠AOC.) 2.B(解析:角的大小只与角的两边叉开的大小有关.故选B.) 3.∠AOD　∠DOA>∠DOB>∠DOC 4.解:(1)略.　(2)略.　(3)发现规律:∠CBD=∠A+∠C. 5.D(解析:15°=45° - 30°,75°=30°+45°,105°=60°+45°,只有D画不出来.) 6.A(解析:因为∠AOB+∠AOC=20°+45°=65°=∠BOC,所以射线OA在∠BOC的内部,射线OB在∠AOC外部.故选A.) 7.>(解析:因为18'÷60'=0.3°,所以∠A=20°18'=20.3°,因为20.3°>20.25°,所以∠A>∠B.故填>.) 8.C(解析:由题意知90°<α<180°,90°<β<180°,所以180°<α+β<360°,所以30°<(α+β)<60°,只有C符合要求.) 9.解:(1)图中小于平角的角有∠AOC,∠AOD,∠AOE,∠COD,∠COE,∠COB,∠DOE,∠DOB,∠EOB.　(2)由图可知,∠AOC<∠AOD<∠AOE<∠AOB,其中∠AOC为锐角,∠AOD为直角,∠AOE为钝角,∠AOB为平角. (3)∠AOC=∠DOE,∠COD=∠BOE,∠AOD=∠BOD=∠COE. 在教学过程中以实践操作和类比探索为线索,从回顾线段长短的比较方法开始引入角的大小比较.在进行角的比较时,引导学生类比线段长短的两种比较方法来进行角的大小比较,这种方法让学生不仅领会类比的数学思想,同时让学生体会到在学习新知识的时候要善于类比旧知识来解决问题. 进行角的大小比较时,利用叠合法的时候教师没有充分发挥多媒体的演示作用,让学生直观地观察到角的变化规律,而只是让学生自己画在练习本上,这样由于学生情况的不同,导致画的角的大小不一,对于问题的研究不利. 多媒体的应用可以节省时间,也可以再现生动的画面,让学生观看之后一目了然,对知识印象深刻,并且能吸引学生的注意.在这方面,要把作一个角等于已知角的过程动态地演示给学生. 练习(教材第80页) 提示:(1)图略.　(2)∠α<∠β. 习题(教材第80页) A组 1.解:(1)∠ABC=50°,∠BCD=130°,∠CDA=50°,∠DAB=130°.∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB.∠CDA<∠DAB,∠ABC<∠DAB,∠CDA<∠BCD,∠ABC<∠BCD.　(2)∠DAO=65°,∠BAO=65°,∠ABO=25°,∠CBO=25°.∠DAO=∠BAO,∠ABO=∠CBO. 2.解:(1)∠A=95°,∠B=37°,∠C=48°.　(2)∠A>∠C>∠B. B组 1.提示:画图略,∠ECD=∠B. 2.提示:画图略,三角形A'B'C'能与三角形ABC完全重合. 估计角的度数 活动内容:(1)估计∠AOB,∠DEF的度数;(2)量一量,验证你的估计. 　　[处理方式]　先让学生估计两个角的度数,并充分交流自己估计的方法.有些学生可能是直接借助三角尺等工具进行估计,也可能是直接观察估计度数,在交流的基础上再让学生通过测量验证自己的估计. [设计意图]　进一步熟悉锐角、钝角的大小范围,学会估计角的大小,并由此明确角的大小的估计方法也有多种,估计要做到有理有据,并不是盲目地随意估计. 2.7　角的和与差 1.结合具体图形,了解两个角的和与差的意义,并会进行角的和差计算. 2.了解角平分线,通过折纸活动,进一步理解角平分线的意义. 3.了解两角互余和两角互补的意义,通过探究了解同角(等角)的余角或补角相等. 1.经历利用已有知识解决新问题的探索过程. 2.培养学生的数感和对数学活动的兴趣,实际观察、操作,体会角的大小. 3.培养学生的观察思维能力. 1.在独立思考的基础上,积极参与对数学问题 的讨论. 2.敢于表达自己的观点,尊重和理解他人的见解,从而在交流中获益. 【重点】 1.角平分线的定义. 2.余角和补角的意义和计算. 【难点】 1.角平分线的定义. 2.复杂角度的计算. 【教师准备】　直尺、三角板. 【学生准备】　直尺、三角板. 导入一: 如图所示,图中共有几个角?它们之间有什么关系? 学生确定角的个数,明确角之间的和差关系. 教师关注:学生是否能发现角的和差关系,若学生仅说出它们的大小关系,教师可引导学生进一步观察图形,类比线段的和与差,发现角的和差关系. 学生完成上述问题后追问:你能用符号表示这些角之间的和差关系吗? 教师关注:学生能否理解角的和与差的意义. [设计意图]　以角的比较大小的图形为背景,提出角的和差问题,将知识由角的大小过渡到角的和与差,衔接自然流畅,同时针对同一图形变换审视角度提出问题,可以提高学生的识图能力.用符号表示角的和差关系,仍遵循“几何模型——图形——文字——符号”的学习过程,在图形与等式之间建立一种关系.从角的大小关系上研究角的和与差,突出反映角的和与差的意义与度数间的关系,加深对角的和与差概念的理解. 导入二: 观察图形,提出问题: (1)观察方格中的两个角,你能猜想∠1+∠2等于多少度吗? (2)如果∠1=144°,∠2=36°,那么∠1+∠2等于多少度? 学生活动:观察思考,小组交流,得出结论:都是180°. 教师活动:移动∠2,使∠1,∠2的顶点和一边重合,引导学生观察∠1,∠2的另一条边,观察到两角的另一条边成一条直线,验证学生的结论. [设计意图]　让学生通过观察、猜想、验证得到两个角之间的关系,从而顺利引入补角的概念. 　　[过渡语]　角可以比较大小,也可以进行和与差的运算. 活动1　用角的和与差表示第三个角 如图所示,在∠AOB的内部作射线OC,那么∠AOB,∠AOC,∠COB之间有什么关系? (1)∠AOB和∠AOC,∠COB之间是什么关系?(∠AOB=∠AOC+∠COB) (2)∠AOC和∠AOB,∠COB之间是什么关系?(∠AOC=∠AOB - ∠COB) (3)∠COB和∠AOB,∠AOC之间是什么关系?(∠COB=∠AOB - ∠AOC) 这就是用两个角的和或差表示第三个角. 活动2　角平分线 1.提出问题 如图所示,如果∠AOP=∠BOP,那么射线OP有什么特点?(射线OP把∠AOB平分为两部分) 2.角平分线的定义 特别地,如果从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成的两个角相等,那么这条射线叫做这个角的平分线. 如上图所示,如果∠AOP=∠BOP,那么射线OP是∠AOB的平分线.反之,如果射线OP是∠AOB的平分线,那么∠AOP=∠BOP. 3.折纸作角的平分线 按下列步骤进行操作: (1)在半透明的纸上画一个角; (2)折纸,使角的两边重合; (3)把纸展开,以点O为端点,沿折痕画射线OP(如图所示). 射线OP是∠AOB的平分线. 活动3　角平分线的判定和运用 1.如图所示,如果∠AOC=∠DOB,那么∠AOD与∠COB相等吗?说明理由. ∠AOD=∠COB.理由:因为∠AOC=∠DOB,所以∠AOC+∠COD=∠DOB+∠COD,所以∠AOD=∠COB. 2.如图所示,如果∠AOB=82°,OP是∠AOC的平分线,OQ是∠COB的平分线,请指明∠POQ的度数,并说明理由. ∠POQ=41°.理由:因为OP是∠AOC的平分线,所以∠POC=∠AOC.因为OQ是∠COB的平分线,所以∠COQ=∠BOC.所以∠POQ=∠POC+∠COQ=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠COB)=∠AOB=41°. 活动4　角的和与差的计算 　(教材例题)已知∠1=103°24'28″,∠2=30°54″,求∠1+∠2和∠1 - ∠2的度数. 解:∠1+∠2=103°24'28″+30°54″. 103° 24' 28″ + 30° 54″ 133° 24' 82″ 　(82″=1'22″) 所以∠1+∠2=133°25'22″. ∠1 - ∠2=103°24'28″ - 30°54″. 103° 24' 28″ - 30° 54″ 73° 23' 34″ 　(24'28″=23'88″) 所以∠1 - ∠2=73°23'34″. 思考:这里的计算方法和列式计算有什么相似之处? [知识拓展]　角的度、分、秒也可以进行加减乘除计算,在计算时要明确角的度量单位是60进制,需要借位时借1作60,需要进位时,满60进1.四种运算中,加减乘除都是相同单位间各自进行,最后进位,除法要从高位除起,余数化作下一级单位继续除. 活动5　角的互余和互补 1.角的互余和互补 已知∠α和∠β. 如果∠α+∠β=90°,那么我们就称∠α与∠β互为余角,简称互余.其中,∠α(∠β)叫做∠β(∠α)的余角. 如果∠α+∠β=180°,那么我们就称这两个角互为补角,简称互补.其中,∠α(∠β)叫做∠β(∠α)的补角. 2.余角和补角的计算 如果∠α=46°,那么它的余角是多少度?它的补角是多少度?(∠α的余角和补角分别为44°,134°) 如图(1)所示,∠AOB=90°.写出图中互为余角的角.(∠AOC与∠COB) (1) (2) 如图(2)所示,∠DSE=180°.写出图中互为补角的角.(∠DSF和∠FSE) 3.余角和补角的性质 (1)如果∠1和∠2都是∠α的余角,那么∠1和∠2相等吗? ∠1和∠2相等.因为∠1+∠α=90°,∠2+∠α=90°,所以∠1=90° - ∠α=∠2. (2)如果∠3和∠4都是∠β的补角,那么∠3和∠4相等吗? ∠3=∠4.因为∠3+∠β=180°,∠4+∠β=180°,所以∠3=180° - ∠β=∠4. 总结:同角(或等角)的余角相等,同角(或等角)的补角相等. [知识拓展]　(1)互余和互补都是两个角之间的数量关系的概念,不能单独说哪一个角是余角或补角. (2)两个角互余或互补只是两个角的和为90°或180°,跟位置无关. (3)当互补的两个角有公共顶点时,又称这两个角互为邻补角(简称邻补角). 角的和与差既有代数意义,也有几何意义. 同角(或等角)的余角相等,同角(或等角)的补角相等. 1.(2015·株洲中考)已知∠α=35°,那么∠α的余角等于 (　　) A.35°　　B.55°　　C.65°　　D.145° 解析:因为互为余角的两个角的和为90°,所以∠α的余角=90° - ∠α=90° - 35°=55°.故选B. 2.已知射线OA,OB,OC,且OC在∠AOB的内部,下列条件能判定OC是∠AOB的平分线的是(　　) A.∠AOC=∠BOC　　　B.∠AOB=2∠AOC C.∠BOC=∠AOB D.A,B,C都能 解析:因为OC在∠AOB的内部,由角平分线定义可知选项A,B,C都能判定OC是∠AOB的平分线.故选D. 3.如图所示,已知∠AOB=110°,∠AOC=∠BOD=70°,则∠COD的度数是　　　　. 解析:∠BOC=∠AOB - ∠AOC=110° - 70°=40°,则∠COD=∠BOD - ∠BOC=70° - 40°=30°.故填30°. 4.如图所示,∠AOB=35°,∠BOC=50°,∠COD=21°,OE平分∠AOD,求∠BOE的度数. 解:因为∠AOB=35°,∠BOC=50°,∠COD=21°,所以∠AOD=35°+50°+21°=106°, 因为OE平分∠AOD,所以∠AOE=∠AOD=53°, 所以∠BOE=∠AOE - ∠AOB=53° - 35°=18°. 2.7　角的和与差 活动1　用角的和与差表示第三个角 活动2　角平分线 活动3　角平分线的判定和运用 活动4　角的和与差的计算 活动5　角的互余和互补 一、教材作业 【必做题】 教材第83页练习第1,2题. 【选做题】 教材第84页习题A组第1,2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.(2015·防城港中考)如图所示,下面的角中,能与30°角互补的是 (　　) 2.如图所示,直线a,b相交于点O,若∠1等于40°,则∠2等于 (　　) A.50°　　B.60°　　C.140°　　D.160° 3.如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4,则下列结论正确的个数为 (　　) ①AD平分∠BAF;②AF平分∠BAC;③AE平分∠DAF;④AF平分∠DAC;⑤AE平分∠BAC. A.4 B.3 C.2 D.1 4.一个角的补角与它的余角的度数比是3∶1,则这个角是　　　　度. 5.下面是小马虎解的一道题. 题目:在同一平面上,若∠BOA=70°,∠BOC=15°,求∠AOC的度数. 解:根据题意可画出图形,如图所示,∠AOC=∠BOA―∠BOC=70°―15°=55°. 若你是老师,会判小马虎满分吗?如果会,说明理由;如果不会,请将小马虎的错误指出,并给出你认为正确的解法. 【能力提升】 6.已知两角的度数之比为2∶1,且这两角之和为直角,则这两个角的大小分别为 (　　) A.70°,20° B.60°,30° C.50°,40° D.55°,35° 7.把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM,FM为折痕,折叠后的C'点落在MB'的延长线上,那么∠EMF的度数是 (　　) A.85° B.90° C.95° D.100° 8.(2015·菏泽中考)将一副直角三角尺按如图所示的方式放置,若∠AOD=20°,则∠BOC的大小为(　　) A.140° B.160° C.170° D.150° 9.如图所示,∠AOB=180°,OD是∠COB的平分线,OE是∠AOC的平分线,设∠BOD=∠α,则与∠α的余角度数相等的角是(　　) A.∠COD B.∠COE C.∠DOA D.∠COA 10.如图所示,∠AOC为直角,OC是∠BOD的平分线,且∠AOB=35°,求∠AOD的度数. 【拓展探究】 11.如果∠1和∠2互余,∠1和∠3互补,∠2与∠3的和等于平角的,那么∠1,∠2,∠3的度数分别是 (　　) A.50°,40°,90° B.70°,20°,110° C.75°,15°,105° D.80°,10°,100° 12.如图所示,O是直线AB上一点,∠AOE=∠FOD=90°,OB平分∠COD,图中与∠DOE互余的角有哪些?与∠DOE互补的角有哪些? 13.(1)如图所示,已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求∠MON的度数; (2)如果(1)中∠AOB=m°,其他条件不变,求∠MON的度数; (3)如果(1)中∠BOC=n°(∠BOC为锐角),其他条件不变,求∠MON的度数. 【答案与解析】 1.D(解析:根据补角的定义可知30°角的补角是150°的角,是一个钝角.故选D.) 2.C(解析:∠1与∠2的和恰好组成平角,即180°,所以∠2=180° - 40°=140°.) 3.C(解析:由题意得AE是∠DAF和∠BAC的平分线,即③⑤正确.故选C.) 4.45(解析:设这个角为α,则它的补角为180° - α,余角为90° - α,根据题意得(180° - α)∶(90° - α)=3∶1,解得α=45°.故填45.) 5.解:不会.本题还有另一种情况,如图所示,此时∠AOC=∠BOA+∠BOC=70°+15°=85°,所以∠AOC的度数为55°或85°. 6.B(解析:设这两个角的度数分别为2x和x,则由题意得2x+x=90°,所以x=30°,2x=60°.) 7.B(解析:根据折叠前后相应角度的关系,不难求出∠EMF的度数等于90度.) 8.B(解析:因为∠AOD=20°,∠COD=∠AOB=90°,所以∠COA=∠BOD=90° - 20°=70°.所以∠BOC=∠COA+∠AOD+∠BOD=70°+20°+70°=160°.) 9.B(解析:因为∠AOB=180°,OD是∠BOC的平分线,OE是∠AOC的平分线,所以∠BOD=∠COD,∠EOC=∠EOA,所以∠EOC+∠COD=90°,所以与∠α的余角度数相等的角是∠EOC,∠EOA.故选B.) 10.解:因为∠BOC=∠AOC - ∠AOB=90° - 35°=55°,又OC平分∠BOD,所以∠COD=∠BOC=55°,所以∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+55°=145°. 11.C(解析:由题意知∠2=90° - ∠1,∠3=180° - ∠1,∠2+∠3=180°×=120°,所以90° - ∠1 +180° - ∠1=120°,解得∠1=75°,所以∠2=15°,∠3=105°.) 12.解:因为∠AOE=∠FOD=90°,所以∠AOF=∠DOE,∠AOF+∠EOF=90°,∠BOD+∠DOE=90°,∠DOE+∠EOF=90°,因为OB平分∠COD,所以∠BOD=∠BOC,所以与∠DOE互余的角是∠EOF,∠BOD,∠BOC.所以∠EOF=∠BOC,所以∠BOF=∠EOC.因为∠AOF+∠BOF=180°,所以∠DOE+∠BOF=180°,所以与∠DOE互补的角是∠BOF,∠EOC. 13.解:(1)因为ON平分∠BOC,所以∠NOC=∠BOC=15°,因为∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,所以∠MOC=(∠AOB+∠BOC)=60°,所以∠MON=∠MOC - ∠NOC=45°.　(2)因为ON平分∠BOC,所以∠NOC=∠BOC=15°.因为OM平分∠AOC,所以∠MOC=(∠AOB+∠BOC)=(m°+30°),所以∠MON=∠MOC - ∠NOC=(m°+30°) - 15°=m°.　(3)因为ON平分∠BOC,所以∠NOC=n°,因为OM平分∠AOC,所以∠MOC=(∠AOB+∠BOC)=(90°+n°),所以∠MON=∠MOC - ∠NOC=(90°+n°) - n°=45°. 通过类比线段的和与差学习角的和与差是本课时的重要教学设计理念.角的和与差不仅蕴含着代数的思想,也蕴含着几何思想.在本课时的教学过程中较好地渗透着这种设计理念,取得了较好的教学效果. 对角的和与差的训练较少,角平分线的折纸活动没有放手让学生自己去主动尝试. 多让学生自主探究,探究角平分线的性质. 练习(教材第83页) 1.解:如图所示,以O点为顶点,OB为一条边画∠BOC=90°,则∠AOC是∠AOB的一个余角;在射线OB的反向延长线上取点D,则∠AOD是∠AOB的一个补角. 2.解:∠1=∠2,∠3=∠4.理由如下:同角的余角相等. 习题(教材第84页) A组 1.提示:(1)101°20'.　(2)55°50'.　(3)60°. 2.(1)28°20'　(2)144°40' 3.提示:∠2=∠4.理由如下:等角的余角相等. B组 1.解:(1)∠2=∠3.理由如下:同角的补角相等.　(2)∠2=∠4.理由如下:等角的补角相等. 2.解:(1)∠AOM与∠MOB,∠COM与∠MOB,∠AOC与∠COB,∠BON与∠AON,∠CON与∠AON.　(2)因为OM平分∠AOC,ON平分 ∠COB,所以∠MOC=∠AOC,∠CON=∠COB,又因为∠AOC+∠COB=∠AOB=180°,所以∠MON=∠MOC+∠CON=∠AOC+∠COB=(∠AOC+∠COB)=×180°=90°.　(3)∠MOC与∠CON,∠AOM与∠CON,∠MOC与∠BON,∠AOM与∠BON.理由如下:等角的余角相等. 　如图所示,点A,O,B在同一直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,则图中哪些角互为余角? 解:因为点A,O,B在同一直线上,所以∠AOC和∠BOC互为补角. 又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,所以∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=90°. 所以∠COD和∠COE互为余角,同理∠AOD和∠BOE,∠AOD和∠COE,∠COD和∠BOE也互为余角. [解题策略]　(1)锐角∠α的余角是90° - ∠α,∠α的补角是180° - ∠α.(2)互余和互补是两个角的数量关系,与它们的位置无关. 2.8　平面图形的旋转 1.结合具体实例认识旋转. 2.发现并理解图形旋转的性质. 3.能够按照要求作出简单平面图形旋转后的图形. 1.经历探索和操作,发现并理解图形旋转的性质. 2.在旋转及其性质的获得过程中,通过观察、思考、抽象概括,进一步发展学生的空间观念. 培养学生观察、思考的探索精神,养成勤于思考、爱动脑的习惯. 【重点】　图形旋转的性质. 【难点】　按照要求作出简单平面图形旋转后的图形. 【教师准备】　多媒体课件. 【学生准备】　复习小学的旋转知识. 导入一: 分析下图中四个图形是怎样形成的. [设计意图]　引导学生从图形旋转的角度去认识和分析图形. 导入二: 观察图中的两个四边形,它们之间有哪些特殊的关系? [设计意图]　直接提出与本课时学习主题相关的内容,让学生尽早进入学习状态. 　　[过渡语]　射线绕其端点旋转,可形成角.这使我们联想到在小学学过的“图形旋转”. 活动1　旋转及其相关定义 1.生活中的旋转现象 钟表的指针及风力发电机的叶片在做什么样的运动?(教师用多媒体展示相关图片,学生用自己的语言表述) 2.用旋转描述角 如图所示,∠AOB可以看作由射线OA绕端点O按逆时针方向旋转到OB的位置所形成的.OA叫做∠AOB的始边,OB叫做∠AOB的终边. 3.线段的旋转 如图所示,线段AB绕点O按顺时针方向旋转到CD的位置. 4.旋转及其相关定义 像这样,在平面内,一个图形绕一个定点沿某个方向转过一个角度,这样的图形运动叫做旋转.这个定点叫做旋转中心,转过的这个角叫做旋转角. 如上图所示,线段AB绕点O旋转后成为线段CD.点A与点C叫做对应点,点B与点D也是对应点,线段AB与CD叫做对应线段. [设计意图]　通过观察生活中的物体的旋转现象,抽象概括出平面图形旋转后的图形. 活动2　旋转图形的性质 1.图形旋转的对应点和对应线段 如图所示,已知A,B是射线OM上的两点,且OA=1 cm,OB=2.5 cm. (1)当OM旋转到ON位置时,点A,B分别旋转到点A',B'的位置,请画出点A',B'. 提示:本题的关键是理解旋转前后点的对应问题,从位置关系看,在旋转后的图形上,点A'和B'的位置关系和旋转前点A和B的位置关系是对应的. (2)OA和OA',OB和OB'分别有怎样的数量关系?(相等) 提示:本问题的关键是理解旋转前后图形线段对应相等的关系. 2.旋转图形的旋转角 如图所示,三角形AOB绕点O按顺时针方向旋转后得到三角形COD,E是线段BA上一点. (1)对应线段OB与OD,OA与OC,AB与CD分别相等吗?(相等) (2)∠BOD与∠AOC相等吗?(相等) (3)画出点E的对应点F. 方法一:用圆规以C点为圆心,以线段AE长为半径画弧,与CD交于点F. 方法二:用圆规以D点为圆心,以线段BE长为半径画弧,与CD交于点F. 方法三:根据旋转角,通过射线旋转作出点F. 3.旋转的性质 在平面内,一个图形旋转后得到的图形与原来的图形之间有如下结果:对应点到旋转中心的距离相等;每对对应点与旋转中心连线所成的角都是相等的角,它们都等于旋转角. 旋转图形的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等. (2)每对对应点与旋转中心连线所成的角都是相等的角,它们都等于旋转角. 1.如图所示,三角形OAB绕点O逆时针旋转80°得到三角形OCD,若∠AOB=30°,则∠α的度数是 (　　) A.30°　　B.40°　　C.50°　　D.60° 解析:根据旋转的意义知∠AOC=80°,∠DOC=∠AOB=30°,则∠α=∠AOC - ∠DOC=50°.故选C. 2.如图所示,将三角形OAB绕点O按逆时针方向旋转得到三角形OA'B',使点B恰好落在边A'B'上.已知AB=4 cm,BB'=1 cm,则A'B的长是　　　　 cm. 解析:根据旋转的性质,得A'B'=AB=4 cm,所以A'B=A'B' - BB'=4 - 1=3(cm).故填3. 3.如图所示,四边形OACB绕点O旋转得到四边形ODFE,在这个旋转过程中,旋转中心是　　　　,旋转角是　　　　,AO与DO的关系是　　　　,∠AOD与∠BOE的关系是　　　　. 答案:点O　∠AOD(或∠BOE)　相等　相等 4.如图所示,图(2),(3),(4),(5)分别由图(1)变换而成,请你分析它们的形成过程. 解:(2)是由(1)旋转90°得到的;(3)是由(1)旋转180°得到的;(4)是由(1)旋转270°得到的;(5)是由(1)旋转360°得到的. 2.8　平面图形的旋转 活动1　旋转及其相关定义 活动2　旋转图形的性质 一、教材作业 【必做题】 教材第86页练习第1,2题. 【选做题】 教材第87页习题A组第1,2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.下列运动属于旋转的是 (　　) A.篮球的滚动 B.钟表的钟摆的摆动 C.气球升空的运动 D.一个图形沿某直线对折的过程 2.五角星是旋转对称图形,它要与自身重合,需要旋转 (　　) A.36°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.72° 3.如图所示,一块等腰直角三角板ABC在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到三角形A'B'C的位置,并使A,C,B'三点共线,那么旋转角度为　　　　. 4.如图所示,三角形ABC绕点C旋转后得到三角形DEC,则∠A的对应角是　　　　,∠B=　　　　,AB=　　　　,AC=　　　　. 5.如图所示的是一个三叶吊扇,回答下列问题: (1)吊扇正常工作(运转)时,其叶片的转动可以看成是一个旋转运动,试找出它的旋转中心. (2)当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时,它转过了多少度?转动到第三个叶片的位置时呢? (3)在转动过程中,叶片的大小和形状发生变化吗? 【能力提升】 6.(2015·广州中考)将右图所示的图案以圆心为中心,旋转180°后得到的图案是 (　　) 7.如图所示,在正方形网格中,将三角形ABC绕点A旋转后得到三角形ADE,则下列旋转方式中,符合题意的是 (　　) A.顺时针旋转90° B.逆时针旋转90° C.顺时针旋转45° D.逆时针旋转45° 8.如图所示,在直角三角形OAB中,∠AOB=30°,将三角形AOB绕点O逆时针旋转100°得到三角形OA1B1,则∠A1OB的度数为　　　　. 【拓展探究】 9.下列图案中,可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是 (　　) 10.将一副三角尺的两个直角顶点O重合在一起,按如图所示的方式摆放. (1)如果重叠在一起时,∠BOC=70°,则∠AOD=　　　　; (2)如果重叠在一起时,∠BOC=50°,那么∠AOD=　　　　; (3)猜想:不论旋转到何种位置,只要重叠在一起(重叠部分的角度大于0°且小于90°),∠BOC与∠AOD的和始终等于　　　　,并说明理由. 【答案与解析】 1.B(解析:根据旋转变换的概念,对选项进行一一分析,排除错误答案.A.篮球的滚动不是绕着某一个固定的点转动,不属于旋转;B.钟表的钟摆的摆动符合旋转的定义,属于旋转;C.气球升空的运动不属于旋转;D.一个图形沿某直线对折的过程不属于旋转.故选B.) 2.D(解析:将圆五等分,每一等份的圆心角是72°.故选D.) 3.135°(解析:根据旋转的性质可知,∠ACB=∠A'CB'=45°,那么旋转角度的大小为∠ACA'=180° - 45°=135°.) 4.∠D　∠E　DE　DC 5.解:(1)旋转中心是吊扇中间转盘的中心.　(2)转动到第二个叶片的位置时转过了120°,转动到第三个叶片的位置时转过了240°.　(3)不发生变化. 6.D(解析:根据旋转的性质:旋转前后图形不发生任何变化,绕中心旋转180°,即是对应点绕旋转中心旋转180°,观察各选项可知应选D.) 7.B(解析:根据图形可知:将三角形ABC绕点A逆时针旋转90°可得到三角形ADE.故选B.) 8.70°(解析:根据旋转的性质可以得到∠AOA1=100°,又∠AOA1=∠A1OB+∠BOA,所以∠A1OB=100° - 30°=70°.) 9.B(解析:根据旋转的性质可知,可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是B.) 10.解:(1)由题意得∠BOC和∠BOD互余,且∠BOC=70°,故∠BOD=20°,所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=110°.　(2)同(1)可得∠BOD=40°,故∠AOD=∠AOB+∠BOD=130°.　(3)180°.理由:由题意得∠AOB=90°,∠COD=90°,所以∠BOC+∠BOD=90°,所以∠BOD=90° - ∠BOC.所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+90° - ∠BOC=180° - ∠BOC,所以∠AOD+∠BOC=180°. 图形的旋转是前面所学图形知识的进一步深化,从静态的图形到动态的图形,体现了图形的变化.本课时的教学过程中,在培养学生抽象思维为主要理念的指导下,通过学生的观察、操作、思考得出旋转图形的相关性质. 对小学学习过的旋转知识没有进行复习,对旋转图形的认识主要是通过例题研讨进行的,课堂练习较少. 通过课件动态演示图形旋转变化的过程,帮助学生直观地理解旋转图形的性质. 练习(教材第86页) 1.提示:旋转了180°,旋转中心是表盘中心. 2.解:如图所示. 习题(教材第87页) A组 1.解:图形(2)是由图形(1)绕点O旋转后得到的. 2.解:图(1)的旋转中心为点A,旋转角为55°;图(2)的旋转中心为点P,旋转角为55°. B组 1.解:如图所示,(1)得到的是三角形A1OA4;(2)得到的是三角形A2OB2;(3)得到的是三角形BOB3;(4)得到的是三角形A4OB4;(5)得到的是三角形A5OB5. 2.解:如图所示,线段AB绕P点按顺时针方向旋转90°后得到的图形为线段A'B';三角形DEF绕D点按顺时针方向旋转90°后得到的图形为三角形DE'F'. 复习题(教材第90页) A组 1.解:图中有6条线段;8条射线. 2.AB　AD　CD　BD 3.提示:有4条不同的直线;线段有6条. 4.解:(1)如图(1)所示.　(2)如图(2)所示.　(3)如图(3)所示. 5.提示:(1)53°15',143°15'.　(2)126°45'. 6.解:一定是钝角,因为互补的两角之和为180°. 7.解:(1)如图所示. 　(2)如图(2)所示. 8.(1)49　54　(2)25.7　(3)46°4'19″　(4)85°47'40″ 9.(1)∠AOC　(2)∠COD　(3)∠BOC　(4)∠BOC 10.解:因为C是AB的中点,AB=6 cm,所以AC=CB=3 cm.又因为E是BC的中点,所以CE=EB=1.5 cm.因为CD=2AD,所以DC=AC=2 cm,所以DE=3.5 cm. 11.解:因为∠AOB=130°,∠FOB=90°,所以∠AOF=∠AOB - ∠BOF=130° - 90°=40°,因为OE平分∠AOB,所以∠AOE=∠AOB=×130°=65°,所以∠FOE=∠AOE - ∠AOF=65° - 40°=25°. 12.解:(1)因为OC是∠AOD的平分线,OE是∠BOD的平分线,所以∠COD=∠AOD,∠EOD=∠BOD,所以∠COE=∠COD+∠EOD=∠AOD+∠BOD=(∠AOD+∠BOD)=∠AOB=×130°=65°.　(2)因为OC平分∠AOD,且∠COD=20°,所以∠AOD=2∠COD=40°,所以∠BOD=∠AOB - ∠AOD=130° - 40°=90°.又因为OE是∠BOD的平分线,所以∠BOE=∠BOD=45°. B组 1.解:由题意得(90° - ∠A)+(180° - ∠A)=162°,解得∠A=54°. 2.解:利用量角器量得∠1=56°,∠2=42°,画∠PMQ=14°,则∠PMQ=∠1 - ∠2,如图(1)所示.画∠AOB=98°,则∠AOB=∠1+∠2,如图(2)所示. 3.解:(1)因为∠AOC+∠COB=180°,OD是∠AOC的平分线,OE是∠COB的平分线,所以∠DOC=∠AOC,∠COE=∠COB,所以∠DOE=∠DOC+∠COE=(∠AOC+∠COB)=90°.　(2)因为∠AOD+∠BOE=90°,所以∠BOE=90° - ∠AOD=90° - 51°17'=38°43'. 4.解:与∠DOE互余的角有:∠EOF,∠BOD,∠BOC;与∠COB互补的角有:∠AOC,∠AOD. 5.解:∠DOB=∠COA.理由如下:因为∠DOB+∠BOC=90°,∠COA+∠BOC=90°,所以∠DOB=∠COA(同角的余角相等). 6.解:(1)图略.BD>BC.理由如下:因为BA+AC>BC,AD=AC,所以BA+AD>BC,即BD>BC. (2)AC>EC.理由如下:因为AC>BC - AB,BE=AB,所以AC>BC - BE,即AC>EC. 7.解:(1)∠AOD与∠BOC互补.理由如下:因为∠AOB=∠COD=90°,所以∠BOD=90° - ∠BOC,所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+90° - ∠BOC=180° - ∠BOC,即∠AOD+∠BOC=180°,所以∠AOD与∠BOC互补.　(2)成立.理由如下:因为∠AOB=∠COD=90°,∠AOD+∠AOB+∠BOC+∠COD=360°,所以∠BOC+∠AOD=360° - ∠AOB - ∠COD=360° - 90° - 90°=180°. C组 1.解:∠MPN=90°.理由如下:因为∠BPB'+∠CPC'=180°,∠MPB'=∠BPB',∠NPB'=∠CPC',所以∠MPN=∠MPB'+∠NPB'=∠BPB'+∠CPC'=(∠BPB'+∠CPC')=×180°=90°. 2.解:(1)图(1)中有3条线段;图(2)中有6条线段;图(3)中有10条线段;当线段上有(n+1)个不相同的点时,共有条线段.　(2)图(1),图(2),图(3)中分别有3个角,6个角,10个角.当∠MON内有(n+1)条射线时,共有个角. (3)可以. 　国庆节前,市园林部门准备在文化广场特设直径均为4米的八个圆形花坛,在花坛内放置面积相同的两种颜色的盆栽花草,要求各个花坛内两种花草的摆设不能相同,如下图中的①和②,请你至少再设计出四种 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 . 解:如下图所示.答案不唯一. 1.通过回顾与反思,进一步理解有关概念,掌握有关技能,梳理出知识之间的联系,从整体上更好地掌握本章知识. 2.结合图形总结本章所学过的基本事实和有关几何性质,发展学生的几何直观能力. 反思知识的形成过程,进一步发展学生的抽象思维、空间观念,积累数学活动经验. 充分利用线段之间的数量关系和角之间的数量关系,进一步发展学生合情推理和初步推理的能力. 【重点】　线段、射线、角的概念及表示方法;线段、角的度量及大小比较. 【难点】　运用相关性质解决实际问题. 专题一　线段的有关计算 【专题分析】 线段求值问题是初中几何的一大类题目,主要运用线段间的和差倍分关系进行计算,解决此类问题注意结合图形及相关的条件,如线段的中点、三等分点等. 　如图所示,线段AB=12 cm,点O是线段AB中点,点C是线段AB上一点,且AC=BC,点P是线段AC的中点. (1)求线段OP的长; (2)若点C是直线AB上一点,其他条件不变,则线段OP还可以是多长?(画出示意图) 〔解析〕　(1)OP=AO - AP=AB - AC,结合题意可得出答案.(2)若点C是直线AB上一点,则点C可以在线段AB上,还可以在线段BA的延长线上. 解:(1)由题意得OP=AO - AP=AB - AC=AB - AB=AB=4 cm. (2)若点C是直线AB上一点,则点C还可以在线段BA的延长线上,如下图所示: 此时OP=AO+AP=AB+AC=AB+AB=AB=12 cm. 【针对训练1】　如图所示,C为AB的中点,AD=8 cm,CD=1 cm,求DB的长. 〔解析〕　要明确线段间的相互关系. 解:因为C为AB的中点,所以AC=BC. 因为AD=8 cm,CD=1 cm, 所以AC=8 - 1=7(cm), 所以AB=2AC=2×7=14(cm). 所以BD=AB - AD=14 - 8=6(cm). [解题策略]　利用中点转化线段之间的倍分关系是解题的关键,在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法有利于解题的简洁性.同时,灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点. 专题二　角的有关计算 【专题分析】 角的求值是初中几何另一类常见的题目,解决这类问题应注意结合图形和相关的概念、性质.运用的知识点有角平分线、互余和邻补角等.在计算角的时候,有时需要用方程的思想求解,这是解决这类题常见的思路. 　如图所示,已知∠AOB=114°,OF是∠AOB的平分线,∠1和∠2互余,求∠1的度数. 〔解析〕　首先根据∠AOB=114°,OF是∠AOB的平分线,求出∠2的度数,然后根据互余两角之和为90°求出∠1的度数. 解:因为OF是∠AOB的平分线, 所以∠AOF=∠FOB, 因为∠AOB=114°, 所以∠AOF=∠AOB=×114°=57°, 即∠2=57°, 又因为∠1和∠2互余, 所以∠1+∠2=90°, 所以∠1=90° - ∠2=90° - 57°=33°. [规律方法]　利用角平分线的定义可以得到两个角与整个角的关系,而互余和互补体现的也是角之间的数量关系,在解题的过程中要灵活地加以运用. 【针对训练2】　如图所示,点O是直线AB上的一点,OD是∠AOC的平分线,OE是∠COB的平分线,若∠AOD=14°,求∠DOE,∠BOE的度数. 解:因为OD是∠AOC的平分线,∠AOD=14°, 所以∠AOC=2∠AOD=2×14°=28°, 所以∠BOC=180° - ∠AOC=180° - 28°=152°, 因为OE是∠BOC的平分线, 所以∠BOE=∠BOC=×152°=76°, 所以∠DOE=∠BOC+∠AOC=76°+14°=90°. 专题三　平面图形的旋转 【专题分析】 图形的旋转是图形变换的另一种重要形式.图形的变换是今后继续深入研究几何和代数问题的重要关联点,也是各种考试中都重点关注的题型. 　(2015·贺州中考)如图所示,三角形ODC是由三角形OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形,若点D恰好落在AB上,且∠AOC的度数为100°,则∠DOB的度数是 (　　) A.34°　　B.36°　　C.38°　　D.40° 〔解析〕　本题考查的是旋转的性质,掌握旋转角、旋转方向和旋转中心的概念是解题的关键.根据旋转的性质求出∠AOD和∠BOC的度数,从而计算出∠DOB的度数.由题意得∠AOD=31°,∠BOC=31°,又∠AOC=100°,所以∠DOB=100° - 31° - 31°=38°.故选C. 【针对训练3】　如图所示,将三角形ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到三角形A'B'C,若∠A=40°,∠B'=110°,则∠BCA'的度数是 (　　) A.110° 　　B.80 ° C.40° 　　D.30° 〔解析〕　根据旋转的性质,可以得到∠B=∠B'=110°,又因为∠A+∠B+∠ACB=180°,所以∠ACB=30°,又由题意知∠ACA'=50°,所以∠BCA'=80°.故选B. 　如图所示,该图形围绕点O按下列角度旋转后,不能与其自身重合的是 (　　) A.72° 　　　B.108° C.144° 　　　D.216° 〔解析〕　本题考查旋转对称图形的概念.根据“对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角”,找出一对对应点,连接这一对对应点与旋转中心,两条线的夹角等于旋转角.该图形旋转72°的整数倍,就可以与自身重合,因而A,C,D都正确,不能与其自身重合的是B.故选B. 【针对训练4】　分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆,得到的图形如图所示.将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合,则这个旋转角的最小度数是　　　　度. 〔解析〕　先确定旋转中心,再确定一对对应点,找出对应点与旋转中心所连线段的夹角.正方形绕着其中心至少旋转90°后能与原来图形重合.当按照顺时针方向旋转时,左边的半圆与上边的半圆重合,依此类推.故填90. 专题四　分类讨论思想 【专题分析】 线段计算问题中,要注意点的位置位于已知线段上还是其延长线上;角度计算问题中,要注意两个角有无公共部分,即有一组边为公共边时,两个角的另外两边位于公共边的同侧还是两侧. 　已知∠COD=30°,∠AOC=90°,∠BOD=80°,OM平分∠AOD,ON平分∠BOC,求∠MON的度数. 〔解析〕　由于A,B,C,D,M,N的位置关系不能确定,故应根据题意画出图形,分四种情况进行讨论. 解:①当如图(1)所示时, ∠AOD=90°+30°=120°, 因为OM平分∠AOD, 所以∠AOM=∠MOD=×120°=60°, 所以∠AOB=120° - 80°=40°, 所以∠BOM=∠AOM - ∠AOB=60° - 40°=20°, 因为∠BOD=80°,∠COD=30°, 所以∠BOC=80° - 30°=50° 因为ON平分∠BOC, 所以∠BON=∠BOC=25°, 所以∠MON=∠BON - ∠BOM=25° - 20°=5°. ②当如图(2)所示时, 因为∠COD=30°,∠AOC=90°, 所以∠AOD=∠COD+∠AOC=30°+90°=120°, 因为OM平分∠AOD, 所以∠AOM=∠MOD=∠AOD=60°, 所以∠MOC=30°,因为∠BOD=80°, 所以∠BOC=80°+30°=110°, 因为ON平分∠BOC, 所以∠CON=∠BOC=×110°=55°, 所以∠MON=∠MOC+∠CON=30°+55°=85°. ③如图(3)所示,同(2)可得∠MON=∠MOC+∠CON=60°+25°=85°. ④如图(4)所示,同①可得∠MON=30° - 25°=5°. 综上,∠MON的度数为5°或85°. [易错提示]　在此类问题中,正确画图很重要,本类题渗透了分类讨论的思想,体现了思维的严密性,在今后解决类似的问题时,要防止漏解. 【针对训练5】　有两根木条,一根AB长为80 cm,另一根CD长为130 cm,在它们的中点处各有一个小圆孔M,N(圆孔直径忽略不计,M,N抽象成两个点),将它们的一端重合,放置在同一条直线上,此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是多少? 〔解析〕　本题没有给出图形,在画图时,应考虑到A,B,M,N四点之间的位置关系的多种可能,再根据题意正确地画出图形解题. 解:本题有两种情形: (1)当A,C(或B,D)重合,且剩余两端点在重合点同侧时,如图所示. MN=CN - AM=CD - AB=65 - 40=25(cm); (2)当B,C(或A,C)重合,且剩余两端点在重合 点两侧时,如图所示. MN=CN+BM=CD+AB=65+40=105(cm). 故两根木条的小圆孔之间的距离MN是25 cm或105 cm. 本章质量评估 (时间:90分钟　满分:120分) 一、选择题(第1~6小题各2分,第7~16小题各3分,共42分) 1.下列说法正确的是 (　　) ①教科书是长方形;②教科书是长方体,也是棱柱;③教科书的面是长方形. A.①②　　B.①③　　C.②③　　D.①②③ 2.下列说法中正确的是 (　　) A.延长直线AB B.射线OA的长度为5 C.直线AB与直线l不可能是同一条直线 D.延长线段AB到点C,使AB=BC 3.下列说法中,不正确的有 (　　) ①平面上的线都是直线;②曲面上的线都是曲线;③两条线相交只能得到一个交点;④两个面相交只能得到一条交线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.将三棱柱、正方形、长方体、六棱柱分为一类的根据是 (　　) A.它们都是几何体 B.它们都有底面 C.各面均为平面 D.棱互相平行 5.∠α的补角是135°12',则它的余角是 (　　) A.44°48 ' B.45°12 ' C.45°48 ' D.44°18' 6.如图所示,点A,B,C,D都在方格纸的格点上,若三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转到三角形COD的位置,则旋转的角度为 (　　) A.30° B.45° C.90° D.135° 7.如图所示,O是直线AB上的一点,OD是∠BOC的平分线,OE是∠AOC的平分线,则下列说法中错误的是 (　　) A.∠COE与∠BOE互补 B.∠EOC与∠BOD互余 C.∠COD与∠AOD互补 D.∠COD与∠BOD互余 8.如图所示,G是线段AC的中点,M是AB的中点,N是BC的中点,那么下列四个等式中不成立的是 (　　) A.MN=GC B.MG=(AC - AB) C.GN=(AC - CB) D.MN=(AC+GB) 9.(哈尔滨中考)如图所示,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,∠BCA=30°,三角形AB'C'可以由三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到(点B'与点B是对应点,点C'与点C是对应点),连接CC',则∠CC'B'的度数是 (　　) A.45° B.30° C.25° D.15° 10.已知一条射线OA,若从点O再引两条射线OB和OC,使∠AOB=80°,∠BOC=40°,则∠AOC等于 (　　) A.40° B.60°或120° C.120° D.120°或40° 11.已知直线AB上有两点M,N,且MN=8 cm,再找一点P,使MP+PN=10 cm,则P点的位置 (　　) A.只在直线AB上 B.只在直线AB外 C.在直线AB上或在直线AB外 D.不存在 12.如图所示,∠AOB=180°,OD是∠COB的平分线,OE是∠AOC的平分线,设∠BOD=∠α,则与∠α的余角相等的是 (　　) A.∠COD B.∠COE C.∠DOA D.∠COA 13.如图所示,点P,Q,C都在线段AB上,且P是AC的中点,Q是BC的中点,若AC=m,BC=n,则线段PQ的长为 (　　) A. B. C. D. 14.平面内的9条直线中任意两条都相交,交点数最多有m个,最少有n个,则m+n等于 (　　) A.36 B.37 C.38 D.39 15.如图所示,∠BAC=90°,∠B=60°,∠C=30°,∠2=∠3=90°,则图中互余的角有 (　　) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 16.某公司员工分别住在A,B,C三个住宅区,A区有30人,B区有15人,C区有10人,三个区在同一条直线上,位置如图所示.该公司的接送车打算在该处只设一个停靠点,为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小,则停靠点的位置应设在 (　　) A.A区 B.B区 C.C区 D.A,B两区之间 二、填空题(每小题3分,共12分) 17.如图所示,从A地到B地有三条路:①,②,③,每条路的路程分别为a,b,c,则a,b,c中最小的是　　　　. 18.一张长方形纸按如图所示的方式折叠后,若得到∠AOB'=70°,则∠B'OG=　　　　度. 19.计算:16°5'24″=　　　　°;47.28°=　　　　°　　　　'　　　　″. 20.如图所示,延长线段AB到C,使BC=3AB,点D是线段BC的中点,如果CD=3 cm,那么线段AC的长度是　　　　 cm. 三、解答题(共66分) 21.(10分)一个五棱柱如图所示,它的底面边长都是4 cm,侧棱长是6 cm.回答下列问题: (1)这个五棱柱有多少个顶点? (2)这个五棱柱一共有多少个面?它们分别是什么形状?哪些面的形状完全相同? (3)这个五棱柱一共有多少条棱?它们的长度分别是多少? 22.(10分)如图所示,A,B,C三棵树在同一直线上,量得树A与树B间的距离是40米,树B与树C间的距离是30米,小明正好站在A,C两棵树的正中间O处,请你计算一下,小明距树B多远? 23.(10分)知识是用来为人类服务的,我们应该把它们用于有意义的地方.下面有两个情境,请你作出评判. 情境一:如图(1)所示,从教学楼到图书馆,总有少数同学不走人行道而横穿草坪,这是为什么呢?试用所学的数学知识来说明这个问题. (1) (2) 情境二:如图(2)所示,A,B是河流l两旁的两个村庄,现要在河边修一个抽水站向两村供水,则抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短?请在图中表示出抽水站点P的位置,并说明你的理由. 24.(12分)观察图形,回答问题. 我们规定:如图(3)所示,它的顶点为A,B,C,D,E,共5个,区域为AED,ABE,BEC,CED,共4个,边为AE,EC,DE,EB,AB,BC,CD,DA,共8条. (1)按此规定将图(1),(2),(4)的顶点数、边数、区域数填入下列表格: 图 顶点数 边数 区域数 (1) (2) (3) 5 8 4 (4) (2)观察上表,请你归纳上述平面图形的顶点数、边数、区域数之间的数量关系; (3)若有一个平面图形满足(2)中归纳的数量关系,它共有9个区域,且从每一个顶点出发都有3条边,则这个平面图形共有多少条边? 25.(12分)如图所示,已知B,C两点把线段AD分成4∶5∶7三部分,E是线段AD的中点,CD=14 cm. (1)求线段EC的长; (2)点B是AE的中点吗?为什么? 26.(12分)如图(1)所示,已知∠AOB和∠COD都是直角. (1)试猜想∠AOD与∠COB在数量上是相等、互余,还是互补的关系,并用推理的方法说明你的猜想是否合理; (2)当∠AOB和∠COD的位置如图(2)所示时, (1)中的猜想还成立吗?请说明理由. 【答案与解析】 1.C(解析:教科书是一个空间实物体,是长方体,也是棱柱.教科书的面是一个长方形.) 2.D(解析:直线是无限延伸的,不能延长,故A错误;射线可以向一个方向无限延长,所以射线没有长度,故B错误;直线AB和直线l可能是同一条直线,故C错误;线段可向任一方向延长,并且有长度.故选D.) 3.D(解析:平面上的线不一定是直线,也可能是曲线;曲面上的线不一定是曲线,如圆锥侧面的母线就是一条直线;两条线相交不一定只有一个交点,比如两条曲线相交就可能得到两个或更多个交点;两个面相交也要考虑平面和曲面的情况,一个平面去截一个曲面,可能有多条交线.故选D.) 4.C 5.B(解析:由题意得∠α=180° - 135°12',则它的余角是90° - (180° - 135°12')=135°12' - 90°=45°12'.) 6.C(解析:根据旋转的性质,对应边的夹角∠BOD即为旋转角,所以旋转的角度为90°.故选C.) 7.D(解析:根据角平分线的性质,可得∠AOE=∠COE,∠COD=∠BOD,再根据余角和补角的定义求解即可.因为OD是∠BOC的平分线,OE是∠AOC的平分线,所以∠AOE=∠COE=∠AOC,∠COD=∠BOD=∠BOC,又因为∠AOC+∠COB=180°,所以∠COE+∠COD=90°,分析各选项可知D错误.) 8.D(解析:MN=GC=AG=AC.) 9.D(解析:由旋转的性质可知AC=AC',∠AC'B'=∠BCA=30°,由题意知∠CAC'=90°,所以三角形CAC'为等腰直角三角形,所以∠CC'A=45°,所以∠CC'B'=∠AC'C - ∠AC'B'=45° - 30°=15°.故选D.) 10.D(解析:如果射线OC在∠AOB内部,那么∠AOC=∠AOB - ∠BOC=40°,如果射线OC在∠AOB外部,那么∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°.故选D.) 11.C(解析:点P可能在直线AB上,也可能在直线AB外.) 12.B(解析:因为∠AOB=180°,OD是∠BOC的平分线,OE是∠AOC的平分线,所以∠BOD=∠COD,∠EOC=∠EOA,所以∠EOC+∠COD=90°,所以与∠α的余角相等的角是∠EOC,∠EOA.) 13.C(解析:由已知可得AP=PC=AC,QC=QB=BC,又因为AC=m,BC=n,所以PQ=PC+CQ=.) 14.B(解析:三条直线相交交点数最多的情况,就是第三条与前面两条都相交:1+2;四条直线相交交点数最多的情况,就是第四条与前面三条都相交:1+2+3;五条直线相交交点数最多的情况,就是第五条与前面四条都相交:1+2+3+4;…;九条直线相交交点数最多的情况,就是第九条与前面八条都相交:1+2+3+4+5+6+7+8=36.则m+n=36+1=37.故选B.) 15.D(解析:因为∠BAC=90°,所以∠1+∠DAC=90°,即∠1与∠DAC互余;因为∠B=60°,∠C=30°,所以∠B+∠C=90°,即∠B与∠C互余;因为∠2=∠3=90°,所以∠C+∠DAC=90°,∠B+∠1=90°,即∠C与∠DAC互余,∠B与∠1互余.所以图中互余的角有4对.故选D.) 16.A(解析:当停靠点在A区时,所有员工步行到停靠点的路程和是15×100+10×300=4500(m);当停靠点在B区时,所有员工步行到停靠点的路程和是30×100+10×200=5000(m);当停靠点在C区时,所有员工步行到停靠点的路程和是30×300+15×200=12000(m).所以当停靠点在A区时,所有员工步行到停靠点的路程和最小,故停靠点的位置应该设在A区.) 17.c(解析:观察图形可知①,②相等,③最短,故a,b,c的大小关系是:a=b>c.故填c.) 18.55(解析:由题意可得∠B'OG=∠BOG,则∠B'OG=(180° - ∠AOB')÷2=55°.故填55.) 19.16.09　47　16　48(解析:16°5'24″=16°+5'+'=16°+5.4'=16°+°=16.09°.47.28°=47°+0.28°=47°+0.28×60'=47°+16.8'=47°+16'+0.8×60″=47°+16'+48″=47°16'48″.) 20.8(解析:因为点D是线段BC的中点,CD=3 cm,所以BC=2CD=6 cm,因为BC=3AB,所以AB=BC=×6=2(cm),所以AC=AB+BC=2+6=8(cm).故填8.) 21.解:(1)这个五棱柱有10个顶点.　(2)这个五棱柱一共有7个面,其中5个侧面是长方形,2个底面是五边形,上、下两个底面的形状完全相同,所有侧面的形状完全相同.　(3)这个五棱柱一共有15条棱,其中有10条棱的长度是4 cm,有5条棱的长度是6 cm. 22.解:由题意得AB=40米,BC=30米,所以AC=70米,因为点O是AC的中点,所以OC=35米,所以OB=35 - 30=5(米),即小明距离树B 5米远. 23.解:情境一:两点之间的所有连线中,线段最短. 情境二:如图所示.理由:两点之间的所有连线中,线段最短. 24.解:(1)按此规定将图(1),(2),(4)的顶点数、边数、区域数填入表格,如下表所示: 图 顶点数 边数 区域数 (1) 3 3 1 (2) 4 4 1 (3) 5 8 4 (4) 10 15 6 (2)由表格得:顶点数+区域数=边数+1.　(3)设顶点数为x,则边数为x,由(2)可得x+9=x+1,解得x=16,所以x=24,即这个平面图形共有24条边. 25.解:由题意可设线段AB,BC,CD的长分别为4x cm,5x cm,7x cm.(1)因为CD=14 cm,所以7x=14,所以x=2,所以AB=4x=8 cm,BC=5x=10 cm,所以AD=AB+BC+CD=8+10+14=32(cm).所以EC=AD - CD=×32 - 14=2(cm).　(2)因为BC=10 cm,EC=2 cm,所以BE=BC - EC=10 - 2=8(cm),又因为AB=8 cm,所以AB=BE,即点B是AE的中点. 26.解:(1)∠AOD与∠COB互补.理由如下:因为∠AOB,∠COD都是直角,所以∠AOB=∠COD=90°,所以∠BOD=∠AOD - ∠AOB=∠AOD - 90°,又因为∠BOD=∠COD - ∠COB=90° - ∠COB,所以∠AOD - 90°=90° - ∠COB,所以∠AOD+∠COB=180°,所以∠AOD与∠COB互补.　(2)成立.理由如下:因为∠AOB,∠COD都是直角,所以∠AOB=∠COD=90°,因为∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°,所以∠AOD+∠COB=180°,所以∠AOD与∠COB互补. 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