【精品讲义】二次函数一般式、顶点式、交点式

二次函数一般式、顶点式、交点式 这节课我们学什么 1. 会用待定系数法求二次函数的解析式； 2. 会平移二次函数 的图象得到二次函数 的图象； 了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 3. 根据交点求解解析式． 知识点梳理 向下 直线 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．           1、顶点式： 的图像与性质 2、交点式： 的图像与性质 、 分别是二次函数与 轴的两个交点坐标，如果二次函数与 轴的交点坐标已知，则我们可以设解析式为 ，然后再根据条件求出 即可； 3、一般式 的性质 对于一般式： ，我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标呢？ 将一般式配方成顶点式： = = = = 所以，任意二次函数，其对称轴方程为：直线 ；顶点坐标为 1． 当 时，抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ． 当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大； 2． 当 时，抛物线开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ． 当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小； 典型例题分析 1、 二次函数一般式； 例1、抛物线 的对称轴是直线        ． 【答案： 】 例2、抛物线 的顶点坐标是        ． 【答案： 】 例3、二次函数 ，当 时，自变量 的取值范围是        ． 【答案：根据一般式，画出图像，求出与 轴的两个交点，位于 轴下方的部分就是 ； 】 例4、已知二次函数 的图象如图，则 、 、 的正负性分别是        ． 【答案： ； ； 】 例5、如果 ， 为二次函数 的图像上的两点，试判断 与 的大小为          ． 【答案： 】 例6、若二次函数 的图象经过原点，则 的值为    ． 【答案： 】 例7、 二次函数 的图像如图所示，那么 值为正数的有      个． 【答案：2】 例8、已知二次函数 的图象与 轴交于点 、 且 ，与 轴的正半轴的交点在 的下方．下列结论： ① ；② ；③ ；④ ． 其中正确结论的是        ． 【答案：①正确，将 即可；②正确，将 代入得： ； ③错误，将 代入得： ； ④正确，将 代入得： ，将 代入得： ，所以 ，整理得： 】 例9、已知二次函数 的顶点是 ，与 轴的两个交点为 、 （ 点在 点的左侧）与y轴的交点为 ，求四边形 的面积． 【答案： ； ； ； ；面积为 】 2、 二次函数顶点式； 例10、把二次函数 的图像向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得图像的解析式为：              ． 【答案： 或 】 例11、如果抛物线 的顶点在 轴上，那么           ． 【答案： 或 】 例12、抛物线 上有一点 ，平移该抛物线，使其顶点落在点 处，这时，点 落在点 处，则点 的坐标为            ． 【答案： ，原函数顶点坐标是 】 例13、将函数 写成 的形式为_______________． 【答案： 】 例14、已知函数 是关于 的二次函数，求： （1） 满足条件的 的值； （2） 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，当 为何值时， 随 的增大而增大； （3） 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当 为何值时， 随 的增大而减小？ 【答案：（1） 或 ； （2） ， ；当 时， 有最小值为 ，当 ， 随 的增大而增大（3） ， ；当 时， 有最大值为 ，当 ， 随 的增大而减小】 例15、（1）若抛物线 的顶点在 轴右侧，求 的取值范围；        （2）已知抛物线 的顶点在 轴上，求 的值；        （3）若抛物线 的顶点在 轴，求 的值． 【答案：（1） ；（2） 或 ；（3） 】 3、 二次函数交点式； 例16、抛物线 经过点 和 ，那么抛物线的解析式是      ． 【答案： 】 例17、二次函数的图像经过点 ， ，且最大值是 ，求二次函数的解析式． 【答案： 】 例18、已知抛物线 与 轴的两交点的横坐标分别是 和 ，与 轴交点的纵坐标是 ；（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标． 【答案：（1） ；（2）开口向上；对称轴：直线 ；顶点坐标 】 课后练习 练1． 抛物线 的顶点坐标为        ． 【答案： 】 练2． 已知一元二次方程 的一根为 ，在二次函数 的图象上有三点 、 、 ， 、 、 的大小关系是    ． 【答案： 】 练3． 已知函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是    ． 【答案： 】 练4． 若二次函数 图象的顶点在 轴上，则         ． 【答案： 】 练5． 抛物线 在点 处达到最高点，抛物线与 轴交点的纵坐标为 ，则它的解析式为            ． 【答案： 】 练6． 已知抛物线 经过 、 两点，它在 轴上截得线段的长为 ．求此抛物线的函数解析式． 【答案： 或 】 练7． 已知抛物线 与直线 相交于 两点，点 、点 的横坐标分别是7和－2． 求：（1） 两点的坐标； （2）直线和抛物线的解析式； （3）若坐标原点是O，求 的面积． 【答案：（1） ， ；（2） ； ； （3） 】 练8． 抛物线 过点 与点 ，顶点在直线 上， ，求此二次函数的解析式． 【答案： 】 练9． 已知二次函数图象与 轴交于 ， 两点，且函数有最大值是2． （1） 求二次函数的图象的解析式； （2） 设次二次函数的顶点为 ，求 的面积． 【答案：（1） ；（2） 】 练10． 已知抛物线 ． （1）求证此抛物线与 轴有两个不同的交点； （2）若 是整数，抛物线 与 轴交于整数点，求 的值； （3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为 ，抛物线与 轴的两个交点中右侧交点为 若 为坐标轴上一点，且 ，求点 的坐标． 【答案：（1） ； （2） ；（3） 或 】 课后小测验 1. 将抛物线 向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为        ，再向右平移3个单位得到的抛物线的解析式为          ，并分别写出这两个函数的顶点坐标        、          ． 【答案： ； ； ； 】 2. 抛物线 的顶点坐标为_________． 【答案： 】 3. 二次函数 的图象沿 轴向左平移2个单位，再沿 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为 ，则 与 分别等于________． 【答案：－6，6】 4. 已知抛物线的顶点坐标为 ，且抛物线过原点，则抛物线的关系式是        ．  【答案： 】 5. 抛物线 与 轴的正半轴交于点 、 两点，与 轴交于点 ，且线段 的长为1， 的面积为1，则 的值为______． 【答案： 】 本章小结