初升高衔接初中一元二次方程教案

一元二次方程教案 一、一元二次方程的概念： 问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 （1）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？ 如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______． 整理，得：________． 归纳： （1）只含一个未知数x；（2）最高次数是2次的；（3）整式方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 例2．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 练习:判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3    (2) x2=4    (3) 3x2- =0    (4) x2-4=(x+2) 2     (5) ax2+bx+c=0 例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 练习: 一、选择题 1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（  ）． ①3x2+7=0    ②ax2+bx+c=0    ③（x-2）（x+5）=x2-1    ④3x2- =0 A．1个    B．2个    C．3个    D．4个 2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）． A．2，3，-6    B．2，-3，18    C．2，-3，6    D．2，3，6 3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（  ）． A．p=1    B．p>0    C．p≠0    D．p为任意实数 二、填空题 1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________． 2．一元二次方程的一般形式是__________． 3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________． 三、综合提高题 1、a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）= x-（x+1）是一元二次方程？ 2、关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？ 3、方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 4、当m为何值时,方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程 二、一元二次方程的解： 复习：方程的解 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．（只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根） 例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值 练习:关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值 例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-64=0    （2）3x2-6=0    （3）x2-3x=0 三、一元二次方程的解法 （一）、直接开平 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 问题1．填空 （1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2． 问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？ 方程x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？ 例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5      (2)x 2+6x+9=2    (3)x 2-2x+4=-1 例2．市政府 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率． 解一元二次方程的共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．这种思想称为“降次转化思想”． 由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=± 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=± ，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解 练习：一、选择题 1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（  ）． A．p=4，q=2    B．p=4，q=-2    C．p=-4，q=2    D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根为（  ）． A．3      B．-3      C．±3    D．无实数根 二、填空题 1．若8x2-16=0，则x的值是_________． 2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________． 3．如果a、b为实数，满足 +b2-12b+36=0，那么ab的值是_______． 三、综合提高题 1．解关于x的方程（x+m）2=n． （二）、配方法 1、解下列方程 （1）3x2-1=5  （2）4（x-1）2-9=0  （3）4x2+16x+16=9  (4) 4x2+16x=-7 上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得 x=± 或mx+n=± （p≥0）． 如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗? 2、要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？ 转化： x2+6x-16=0移项→x2+6x=16 两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2+6x+32=16+9 左边写成平方形式 → （x+3）2=25 降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5  解一次方程→x1=2，x2= -8 可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m. 像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．通过配方使左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程 配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)将方程化为一般形式；（2）二次项系数化为1；（3）常数项移到右边； （4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； （5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． 例1．用配方法解下列关于x的方程 （1）x2-8x+1=0        （2）x2-2x- =0    例2．解下列方程 （1）2x2+1=3x      （2）3x2-6x+4=0        （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0 例3求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0 例4、用配方法解方程 ：ax2+bx+c=0（a≠0） 练习：     一、选择题 1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（  ）． A．（x-2）2+3    B．（x-2）2-3    C．（x+2）2+3    D．（x+2）2-3 2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（  ）． 3．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（  ）． A．1      B．-1      C．1或9      D．-1或9 4．配方法解方程2x2- x-2=0应把它先变形为（  ）． A．（x- ）2=     B．（x- ）2=0      C．（x- ）2=     D．（x- ）2= 5．下列方程中，一定有实数解的是（  ）． A．x2+1=0          B．（2x+1）2=0      C．（2x+1）2+3=0    D．（ x-a）2=a 6．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（  ）． A．1    B．2    C．-1      D．-2 二、填空题    1．方程x2+4x-5=0的解是________． 2．代数式 的值为0，则x的值为________． 3．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________． 4．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______． 三、综合提高题 1．用配方法解方程． （1）9y2-18y-4=0                        （2）x2+3=2 x 2．已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求 的值． 3．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长． 4．如果x2-4x+y2+6y+ +13=0，求（xy）z的值． 5、求证：无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数 （三）公式法 由上例4可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x= 就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。) （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． A．x2-8x+（-4）2=31    B．x2-8x+（-4）2=1      C．x2+8x+42=1          D．x2-4x+4=-11 例1．用公式法解下列方程． （1）2x2-x-1=0      （2）x2+1.5=-3x          (3) x2- x+ =0      例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1） +（m-2）x-1=0提出了下列问题． 若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程． 应用公式法解一元二次方程的步骤: 1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0. 2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。 3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解， 4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。 练习： 一、选择题 1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（  ）． A．x=     B．x=     C．x=     D．x= 2．方程 x2+4 x+6 =0的根是（  ）． A．x1= ，x2=     B．x1=6，x2= C．x1=2 ，x2=     D．x1=x2=- 3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（  ）． A．4    B．-2    C．4或-2    D．-4或2 二、填空题 1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________． 2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4． 3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____． 三、综合提高题 1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0． 2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=- ，x1·x2= ； （2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值． 四、因式分解法: 例题： Eg1、3x2－ x=0                    Eg2、 Eg3、         Eg4、       Eg5、       Eg6 Ex1、(1－ )x2=(1+ )x            ex2、     ex3、           ex4、2x2+7x=4 五、选用适当的方法: 2(x－1)2=8            2x2+4x=0                            4(2x+1)2=3(4x2－1)                (x－5)(x+3)+(x－2)(x+4)=49      (x2－x+1)(x2－x+2)=12  x2+12x－15=0 六、综合题: 1、已知｜x2－3xy－4y2｜+ =0，求3x+6y的值。 2、方程                              ,  m取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解。