二、反函数的导数法则
定理1：设
为
的反函数，若
在
的某邻域内连续，严格单调，且
，则
在
（即
点有导数），且
。
证明：
所以
。
注1：
，因为
在
点附近连续，严格单调；
2：若视
为任意，并用
代替，使得
或
，其中
均为整体记号，各代表不同的意义；
3：
和
的“′”均表示求导，但意义不同；
4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数；
5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。
【例1】 求
的导数，
解：由于
，是
的反函数，由定理1得：
。
注1：同理可证：
；
2：
。
【例2】 求
的导数
。
解：利用指数函数的导数，自己做。
三、初等函数的求导公式
1、 常数和基本初等函数的求导公式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
（21）
（22）
四、复合函数的求导法则
复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。
定理2（复合函数求导法则）：如果
在
点可导，且
在
点也可导，那么，以
为外函数，以
为内函数，所复合的复合函数
在
点可导，且
，或
证明：
=
=
所以
。
注 1：若视
为任意，并用
代替，便得导函数：
，或
或
。
2：
与
不同，前者是对变量
求导，后者是对变量
求导，注意区别。
3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。
4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如：
等。
【例3】 求
的导数。
解：
可看成
与
复合而成，
，
，
。
【例4】 求
（
为常数）的导数。
解：
是
，
复合而成的。
所以
。
这就验证了前面§2、1的[例4]。
由此可见，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确。在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接写出结果。
【例5】
，求
。
解：
。
【例6】
，求
。
解：
。
【例7】
，求
。
解：
=
=
。
【例8】
，求
。
解：
。
【例9】
，
即
。同理，
。
【例10】
，求
。
解：
。
同理：
。
小结：
1 、函数的四则运算的求导法则：
设
，则
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
2、复合函数的求导法则：
设
的导数为：
或
或
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