《概率论与数理统计》(韩旭里-谢永钦版)习题四及答案

1习题四1.设随机变量X的分布律为X−1012P1/81/21/81/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】（1）11111()(1)012;82842EX=−×+×+×+×=（2）2222211115()(1)012;82844EX=−×+×+×+×=（3）1(23)2()32342EXEX+=+=×+=2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为X012345P5905100C0.583C=1410905100CC0.340C=2310905100CC0.070C=3210905100CC0.007C=4110905100CC0C=5105100C0C=故()0.58300.34010.07020.00730405EX=×+×+×+×+×+×0.501,=520()[()]iiiDXxEXP==−∑222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=−×+−×++−×="3.设随机变量X的分布律为X−101Pp1p2p3且已知E（X）=0.1,E（X2）=0.9,求P1，P2，P3.【解】因1231PPP++=……①,又12331()(1)010.1EXPPPPP=−++=−=ii……②,222212313()(1)010.9EXPPPPP=−++=+=iii……③　由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.PPP===4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则20(){|}{}NkPAPAXkPXk===∑i全概率公式001{}{}1().NNkkkPXkkPXkNNnEXNN========∑∑i5.设随机变量X的概率密度为f（x）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−<≤.,0,21,2,10,其他xxxx求E（X），D（X）.【解】12201()()dd(2)dEXxfxxxxxxx+∞−∞==+−∫∫∫213320111.33xxx⎡⎤⎡⎤=+−=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦122232017()()dd(2)d6EXxfxxxxxxx+∞−∞==+−=∫∫∫故221()()[()].6DXEXEX=−=6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.（1）U=2X+3Y+1；（2）V=YZ−4X.【解】（1）[](231)2()3()1EUEXYEXEY=++=++25311144.=×+×+=（2）[][4][]4()EVEYZXEYZEX=−=−,()()4()YZEYEZEX−i因独立1184568.=×−×=7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X−2Y），D（2X−3Y）.【解】（1）(32)3()2()33233.EXYEXEY−=−=×−×=（2）22(23)2()(3)412916192.DXYDXDY−=+−=×+×=8.设随机变量（X，Y）的概率密度为3f（x，y）=⎩⎨⎧<<<<.,0,0,10,其他xyxk试确定常数k，并求E（XY）.【解】因1001(,)dddd1,2xfxyxyxkyk+∞+∞−∞−∞===∫∫∫∫故k=2　100()(,)ddd2d0.25xEXYxyfxyxyxxyy+∞+∞−∞−∞===∫∫∫∫.9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为fX（x）=⎩⎨⎧≤≤;,0,10,2其他xxfY（y）=(5)e,5,0,.yy−−⎧>⎨⎩其他求E（XY）.【解】 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 一：先求X与Y的均值　102()2d,3EXxxx==∫i5(5)500()ed5eded516.zyyzzEYyyzzz+∞+∞+∞=−−−−−=+=+=∫∫∫令由X与Y的独立性，得2()()()64.3EXYEXEY==×=i方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为(5)2e,01,5,(,)()()0,,yXYxxyfxyfxfy−−⎧≤≤>==⎨⎩i其他于是11(5)2(5)50052()2edd2ded64.3yyEXYxyxxyxxyy+∞+∞−−−−===×=∫∫∫∫ii10.设随机变量X，Y的概率密度分别为fX（x）=⎩⎨⎧≤>−;0,0,0,22xxxefY（y）=⎩⎨⎧≤>−.0,0,0,44yyye求（1）E（X+Y）;（2）E（2X−3Y2）.【解】22-2000()()d2ed[e]edxxxXXxfxxxxxx+∞+∞+∞−−+∞−∞==−∫∫∫i201ed.2xx+∞−==∫401()()d4edy.4yYEYyfyyy+∞+∞−−∞==∫∫i22242021()()d4ed.48yYEYyfyyyy+∞+∞−−∞====∫∫i从而（1）113()()().244EXYEXEY+=+=+=4（2）22115(23)2()3()23288EXYEXEY−=−=×−×=11.设随机变量X的概率密度为f（x）=⎪⎩⎪⎨⎧<≥−.0,0,0,22xxcxxke求（1）系数c;（2）E（X）;（3）D（X）.【解】（1）由2220()ded12kxcfxxcxxk+∞+∞−−∞===∫∫得22ck=.（2）2220()()d()2edkxEXxfxxxkxx+∞+∞−−∞==∫∫i22220π2ed.2kxkxxk+∞−==∫（3）222222201()()d()2e.kxEXxfxxxkxk+∞+∞−−∞==∫∫i故　222221π4π()()[()].24DXEXEXkkk⎛⎞−=−=−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）.【解】设随机变量X 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知9{0}0.750,12PX===39{1}0.204,1211PX==×=329{2}0.041,121110PX==××=3219{3}0.005.1211109PX==×××=于是，得到X的概率分布表如下：X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.EX=×+×+×+×=22222222()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.EXDXEXEX=×+×+×+×==−=−=13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为f（x）=⎪⎩⎪⎨⎧≤>−.0,0,0,414xxxe为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和−200元　5/41/411{100}{1}ede4xPYPXx+∞−−==≥==∫1/4{200}{1}1e.PYPX−=−=<=−故1/41/41/4()100e(200)(1e)300e20033.64EY−−−=×+−×−=−=（元）.14.设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，n，记∑==niiSXnX12,1，S2=∑=−−niiXXn12)(11.（1）验证)(XE=μ，)(XD=n2σ；（2）验证S2=)(11122∑=−−niiXnXn；（3）验证E（S2）=σ2.【证】（1）1111111()()().nnniiiiiiEXEXEXEXnuunnnn===⎛⎞=====⎜⎟⎝⎠∑∑∑i22111111()()nnniiiiiiiDXDXDXXDXnnn===⎛⎞==⎜⎟⎝⎠∑∑∑i之间相互独立2221.nnnσσ==i（2）因222221111()(2)2nnnniiiiiiiiiXXXXXXXnXXX====−=+−=+−∑∑∑∑2222112nniiiiXnXXnXXnX===+−=−∑∑i故22211()1niiSXnXn==−−∑.（3）因2(),()iiEXuDXσ==,故2222()()().iiiEXDXEXuσ=+=+同理因2(),()EXuDXnσ==,故222()EXunσ=+.从而6222221111()()[()()]11nniiiiEsEXnXEXnEXnn==⎡⎤=−=−⎢⎥−−⎣⎦∑∑221222221[()()]11().1niiEXnEXnnununnσσσ==−−⎡⎤⎛⎞=+−+=⎢⎥⎜⎟−⎝⎠⎣⎦∑ii15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov（X,Y）=−1,计算：Cov（3X−2Y+1，X+4Y−3）.　【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()XYXYDXXYDY−++−=+−3210(1)8328=×+×−−×=−（因常数与任一随机变量独立，故Cov（X,3）=Cov（Y,3）=0,其余类似）.16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=221,1,π0,.xy⎧+≤⎪⎨⎪⎩其他试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】设22{(,)|1}Dxyxy=+≤.2211()(,)ddddπxyEXxfxyxyxxy+∞+∞−∞−∞+≤==∫∫∫∫2π1001=cosdd0.πrrrθθ=∫∫i同理E（Y）=0.而Cov(,)[()][()](,)ddXYxExyEYfxyxy+∞+∞−∞−∞=−−∫∫i222π1200111ddsincosdd0ππxyxyxyrrrθθθ+≤===∫∫∫∫,由此得0XYρ=,故X与Y不相关.下面讨论独立性，当|x|≤1时，22121112()d1.ππxXxfxyx−−−=−∫当|y|≤1时，22121112()d1ππyYyfyxy−−−=−∫.显然()()(,).XYfxfyfxy≠i7故X和Y不是相互独立的.17.设随机变量（X，Y）的分布律为−101−1011/81/81/81/801/81/81/81/8验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表X−101P382838Y−101P382838XY−101P284828由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.从而E（XY）=E（X）·E（Y）,再由相关系数性质知ρXY=0,即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.又331{1}{1}{1,1}888PXPYPXY=−=−=×≠==−=−i从而X与Y不是相互独立的.18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY.【解】如图，SD=12，故（X，Y）的概率密度为题18图2,(,),(,)0,xyDfxy∈⎧=⎨⎩其他.XY8()(,)ddDEXxfxyxy=∫∫11001d2d3xxxy−==∫∫i22()(,)ddDEXxfxyxy=∫∫112001d2d6xxxy−==∫∫从而222111()()[()].6318DXEXEX⎛⎞=−=−=⎜⎟⎝⎠同理11(),().318EYDY==而11001()(,)dd2ddd2d.12xDDEXYxyfxyxyxyxyxxyy−====∫∫∫∫∫∫所以1111Cov(,)()()()123336XYEXYEXEY=−=−×=−i.从而1Cov(,)1362()()111818XYXYDXDYρ−===−×i19.设（X，Y）的概率密度为f（x，y）=1ππsin(),0,0,2220.xyxy,⎧+≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其他求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρXY.【解】π/2π/2001π()(,)dddsin()d.24EXxfxyxyxxxyy+∞+∞−∞−∞==+=∫∫∫∫iππ22222001ππ()dsin()d2.282EXxxxyy=+=+−∫∫i从而222ππ()()[()]2.162DXEXEX=−=+−同理2πππ(),()2.4162EYDY==+−又π/2π/200π()dsin()dd1,2EXYxxyxyxy=+=−∫∫故2ππππ4Cov(,)()()()1.2444XYEXYEXEY−⎛⎞⎛⎞=−=−−×=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠i9222222π4Cov(,)(π4)π8π164.πππ8π32π8π32()()2162XYXYDXDYρ−⎛⎞−⎜⎟−−+⎝⎠===−=−+−+−+−i20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4111，试求Z1=X−2Y和Z2=2X−Y的相关系数.【解】由已知知：D（X）=1,D（Y）=4,Cov（X,Y）=1.从而12()(2)()4()4Cov(,)1444113,()(2)4()()4Cov(,)414414,DZDXYDXDYXYDZDXYDXDYXY=−=+−=+×−×==−=+−=×+−×=12Cov(,)Cov(2,2)ZZXYXY=−−2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)2()5Cov(,)2()2151245.XXYXXYYYDXXYDY=−−+=−+=×−×+×=故121212Cov(,)5513.26()()134ZZZZDZDZρ===×i21.对于两个随机变量V，W，若E（V2），E（W2）存在，证明：［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）.这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy−Schwarz）不等式.【证】令2(){[]},.gtEVtWtR=+∈显然22220()[()][2]gtEVtWEVtVWtW≤=+=++222[]2[][],.EVtEVWtEWtR=++∀∈ii可见此关于t的二次式非负，故其判别式Δ≤0，即2220[2()]4()()EVWEWEV≥Δ=−i2224{[()]()()}.EVWEVEW=−i故222[()]()()}.EVWEVEW≤i22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）.【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间X~E10（λ）,E（X）=1λ=5.依题意Y=min（X,2）.对于y<0,f（y）=P{Y≤y}=0.对于y≥2,F（y）=P（X≤y）=1.对于0≤y<2,当x≥0时，在（0,x）内无故障的概率分布为P{X≤x}=1−e−λx,所以F（y）=P{Y≤y}=P{min（X,2）≤y}=P{X≤y}=1−e−y/5.23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【解】（1）Z的可能取值为0，1，2，3，Z的概率分布为33336CC{}CkkPZk−==i,0,1,2,3.k=Z=k0123Pk120920920120因此，19913()0123.202020202EZ=×+×+×+×=（2）设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有30(){}{|}kPAPZkPAZk====∑i191921310.202062062064=×+×+×+×=24.假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ,1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系T=⎪⎩⎪⎨⎧>−≤≤<−.12,5,1210,20,10,1XXX若若若问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？【解】(){10}20{1012}5{12}ETPXPXPX=−<+≤≤−>{10}20{1012}5{12}(10)20[(12)(10)]5[1(12)]25(12)21(10)5.PXuuPuXuuPXuuuuuuuu=−−<−+−≤−≤−−−>−=−Φ−+Φ−−Φ−−−Φ−=Φ−−Φ−−故2/2d()125(12)(1)21(10)(1)0(()e),d2xETuuxuϕϕϕπ−=−×−−−×−=令这里11得22(12)/2(10)/225e21euu−−−−=　两边取对数有2211ln25(12)ln21(10).22uu−−=−−解得125111ln11ln1.1910.91282212u=−=−≈（毫米）　由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大.25.设随机变量X的概率密度为f（x）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤.,0,0,2cos21其他πxx对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，求Y2的数学期望.（2002研考）【解】令π1,,3(1,2,3,4)π0,3iXYi⎧>⎪⎪==⎨⎪≤⎪⎩X.则41~(4,)iiYYBp==∑.因为ππ{}1{}33pPXPX=>=−≤及π/30π11{}cosd3222xPXx≤==∫,所以111(),(),()42,242iiEYDYEY===×=2211()41()()22DYEYEY=××==−,从而222()()[()]125.EYDYEY=+=+=26.两台同样的自动 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仪，每台无故障工作的时间Ti（i=1,2）服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT（t），数学期望E（T）及方差D（T）.【解】由题意知：55e,0,()0,0titftt−⎧≥=⎨<⎩.因T1,T2独立，所以fT（t）=f1（t）*f2（t）.当t<0时，fT（t）=0;当t≥0时，利用卷积公式得55()5120()()()d5e5ed25etxtxtTftfxftxxxt+∞−−−−−∞=−==∫∫ii故得12525e,0,()0,0.tTttftt−⎧≥=⎨<⎩由于Ti~E（5）,故知E（Ti）=15,D（Ti）=125　（i=1,2）因此，有E（T）=E（T1+T2）=25.又因T1,T2独立，所以D（T）=D（T1+T2）=225.27.设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X−Y|的方差.【解】设Z=X−Y，由于2211~0,,~0,,22XNYN⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠且X和Y相互独立，故Z~N（0，1）.因22()()(||)[(||)]DXYDZEZEZ−==−22()[()],EZEZ=−而22/21()()1,(||)||ed2πzEZDZEZzz+∞−−∞===∫2/2022edπ2πzzz+∞−==∫，所以2(||)1πDXY−=−.28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p（0<p<1），各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X，求E（X）和D（X）.【解】记q=1−p,X的概率分布为P{X=i}=qi−1p,i=1,2,…，故12111()().1(1)iiiiqpEXiqppqpqqp∞∞−==′⎛⎞′=====⎜⎟−−⎝⎠∑∑又221211121()()iiiiiiEXiqpiiqpiqp∞∞∞−−−=====−+∑∑∑2232211()12112.(1)iiqpqqpqpqppqqpqppp∞=′′⎛⎞′′=+=+⎜⎟−⎝⎠+−=+==−∑13所以22222211()()[()].ppDXEXEXppp−−=−=−=题29图29.设随机变量X和Y的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布.（如图），试求随机变量U=X+Y的方差.【解】D（U）=D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2Cov（X,Y）=D（X）+D（Y）+2[E（XY）−E（X）·E（Y）].由条件知X和Y的联合密度为2,(,),(,)0,0.xyGfxyt∈⎧=⎨<⎩{(,)|01,01,1}.Gxyxyxy=≤≤≤≤+≥从而11()(,)d2d2.Xxfxfxyyyx+∞−∞−===∫∫因此11122300031()()d2d,()2d,22XEXxfxxxxEXxx=====∫∫∫22141()()[()].2918DXEXEX=−=−=同理可得31(),().218EYDY==11015()2dd2dd,12xGEXYxyxyxxyy−===∫∫∫∫541Cov(,)()()(),12936XYEXYEXEY=−=−=−i于是1121()().18183618DUDXY=+=+−=30.设随机变量U在区间[−2,2]上服从均匀分布，随机变量X=⎩⎨⎧−>−≤−，U，U1,11,1若若Y=⎩⎨⎧>≤−.1,11,1U，U若若试求（1）X和Y的联合概率分布；（2）D（X+Y）.【解】（1）为求X和Y的联合概率分布，就要计算（X，Y）的4个可能取值（−1,−1）,（−1,1）,（1,−1）及（1,1）的概率.P{x=−1,Y=−1}=P{U≤−1,U≤1}14112dd1{1}444xxPU−−−∞−=≤−===∫∫P{X=−1,Y=1}=P{U≤−1,U>1}=P{∅}=0,P{X=1,Y=−1}=P{U>−1,U≤1}11d1{11}44xPU−=−<≤==∫21d1{1,1}{1,1}{1}44xPXYPUUPU===>−>=>=∫.故得X与Y的联合概率分布为(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)~1110424XY−−−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦.（2）因22()[()][()]DXYEXYEXY+=+−+,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相应为202~111424XY−⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦,204()~1122XY⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦.从而11()(2)20,44EXY+=−×+×=211[()]042,22EXY+=×+×=所以22()[()][()]2.DXYEXYEXY+=+−+=31.设随机变量X的概率密度为f（x）=x−e21，（−∞<x<+∞）（1）求E（X）及D（X）；（2）求Cov（X,|X|）,并问X与|X|是否不相关？（3）问X与|X|是否相互独立，为什么？【解】（1）||1()ed0.2xEXxx+∞−−∞==∫i2||201()(0)ed0ed2.2xxDXxxxx+∞+∞−−−∞=−==∫∫i（2）Cov(,|)(||)()(||)(||)XXEXXEXEXEXX=−=iii||1||ed0,2xxxx+∞−−∞==∫i所以X与|X|互不相关.（3）为判断|X|与X的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域−∞<x<+∞中的子区间（0,+∞）上给出任意点x0，则有0000{}{||}{}.xXxXxXx−<<=<⊂<15所以000{||}{}1.PXxPXx<<<<<故由00000{,||}{||}{||}{}PXxXxPXxPXxPXx<<=<><<i得出X与|X|不相互独立.32.已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数ρXY=−1/2，设Z=23YX+.（1）求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X与Z的相关系数ρXZ；（3）问X与Z是否相互独立，为什么？【解】（1）1().323XYEZE⎛⎞=+=⎜⎟⎝⎠()2Cov,3232XYXYDZDD⎛⎞⎛⎞⎛⎞=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠11119162Cov(,),9432XY=×+×+××而1Cov(,)()()3462XYXYDXDYρ⎛⎞==−××=−⎜⎟⎝⎠i所以1()1463.3DZ=+−×=（2）因()()11Cov(,)Cov,Cov,Cov,3232XYXZXXXXY⎛⎞=+=+⎜⎟⎝⎠119()(6)3=0,323DX=+×−=-所以Cov(,)0.()()XZXZDXDZρ==i（3）由0XZρ==，得X与Z不相关.又因1~,3,~(1,9)3ZNXN⎛⎞⎜⎟⎝⎠，所以X与Z也相互独立.33.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次数.试求X和Y的相关系数XYρ.【解】由条件知X+Y=n，则有D（X+Y）=D（n）=0.再由X~B（n,p）,Y~B（n,q），且p=q=12,16从而有()()4nDXnpqDY===所以0()()()2()()XYDXYDXDYDXDYρ=+=++i2,24XYnnρ=+i故XYρ=−1.34.设随机变量X和Y的联合概率分布为−101010.070.180.150.080.320.20试求X和Y的相关系数ρ.【解】由已知知E（X）=0.6,E（Y）=0.2，而XY的概率分布为YX−101P0.080.720.2所以E（XY）=−0.08+0.2=0.12　Cov（X,Y）=E（XY）−E（X）·E（Y）=0.12−0.6×0.2=0　从而XYρ=0　35.对于任意两事件A和B，0<P（A）<1，0<P（B）<1,则称ρ=())()()()()()(BPAPBPAPBPAPABP⋅−为事件A和B的相关系数.试证：（1）事件A和B独立的充分必要条件是ρ=0；（2）|ρ|≤1.【证】（1）由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P（AB）−P（A）·P（B）=0.而这恰好是两事件A、B独立的定义，即ρ=0是A和B独立的充分必要条件.（2）引入随机变量X与Y为1,,0,AXA⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生;1,,0,BYB⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生.由条件知，X和Y都服从0−1分布，即01~1()()XPAPA⎧⎨−⎩01~1()()YPBPB⎧⎨−⎩从而有E（X）=P（A）,E（Y）=P（B）,D（X）=P（A）·P（A）,D（Y）=P（B）·P（B）,Cov（X,Y）=P（AB）−P（A）·P（B）所以，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1.36.设随机变量X的概率密度为YX17fX（x）=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<−.,0,20,41,01,21其他xx令Y=X2，F（x,y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求：（1）Y的概率密度fY（y）；（2）Cov（X,Y）;（3）1(,4)2F−.解：（1）Y的分布函数为2(){}{}YFyPYyPXy=≤=≤.当y≤0时，()0YFy=，()0Yfy=；当0＜y＜1时，3(){}{0}{0}4YFyPyXyPyXPXyy=−≤≤=−≤<+≤≤=，3()8Yfyy=；当1≤y<4时，11(){10}{0}24YFyPXPXyy=−≤<+≤≤=+1()8Yfyy=；当y≥4时，()1YFy=，()0Yfy=.故Y的概率密度为3,01,81()0,14,80,.Yyyfyyy⎧<<⎪⎪⎪=⎨≤<⎪⎪⎪⎩其他（2）0210111()()ddd244+XEX=xfxxxxxx∞∞=+=∫∫∫--,02222210115()()()ddd)246+XEY=EX=xfxxxxxx∞∞=+=∫∫∫--,02233310117()()()ddd248+XEXY=EY=xfxxxxxx∞∞=+=∫∫∫--,故Cov（X,Y）=2()()()3EXYEXEY=⋅-.18（3）2111(,4){,4}{,4}222FPXYPXX−=≤−≤=≤−≤11{,22}{2}22PXXPX=≤−−≤≤=−≤≤−11{1}24PX=−≤≤−=.