高等代数知识点总结

总结*基本概念：次数：最基本的概念和工具整除：多项式之间最基本的关系带余除法：最基本的算法，判断整除.最大公因式：描述多项式之间关系的复杂程度互素：多项式之间关系最简单的情形既约多项式：最基本的多项式根：最重要的概念和工具*重要结论： 带余除法定理对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x)，有唯一的q(x)和r(x)使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)<degg(x). 最大公因式的存在和 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示定理任意两个不全为0的多项式都有最大公因式，且对于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x) 互素f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.* 因式分解唯一定理次数大于1的多项式都可分解成有限个既约多项式之积，且不计因子次序和常数因子倍时，分解唯一. 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 分解定理每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解其中a是非零常数,p1,…,pt,是互不相同的首一既约多项式,n1,…,nt是正整数.进一步,a,p1,…,pt,n1,…,nt由f唯一确定. 重因式f无重因式当且仅当f与其导式互素.*代数学基本定理：下列陈述等价， 复数域上次数≥1的多项式总有根 复数域上的n次多项式恰有n个根 复数域上的既约多项式恰为一次式 复数域上次数≥1的多项式可分解成一次式之积. 实数域上的次数＞1的既约多项式只有无实根的二次式 实数域上次数≥1的多项式可分解成一次式和二次式之积* 实数域上的标准分解定理在实数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解其中a是f的常数项,x1,…,xt是f全不互不相同的根,p1,…,pt是互异、首一、无实根的二次式. 复数域上的标准分解定理在复数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解其中a是f的常数项,x1,…,xt是f全部互不相同的根,n1,…,nt分别是这些根的重数.*多项式作为函数： 两个多项式相等(即对应系数相同)它们作为函数相等(即在每点的函数值相等)它们在k+1个点的函数值相等，这里k是它们次数的最大者. 设f(x)＝anxn+...+a1x+a0，若f(x)在n+1个点的函数值为0，则f(x)恒等于0.* Eisenstein判别法：设是整系数多项式，若有素数p使得则f(x)是有理数域上的既约多项式. 有理根：有理根的分母整除首项系数，分子整除常数项* 重要结论命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1.8.1若多项式的值全为0，则该多项式必为0.命题1.8.2每个n次多项式f均可唯一地表示成齐次多项式之和，fn≠0，且其中fi是0或i次齐次多项式，0≤i≤n，fi称为f的i次齐次分量. 基本概念：次数、齐次分量、字典序、首项、对称多项式对称多项式基本定理每个对称多项式，都可唯一地表示成初等对称多项式的多项式.*** 转置 取逆 伴随 行列式 秩数 加法 (A+B)T=AT+BT r(A+B)≤r(A)+r(B) 数乘 (kA)T=kAT (kA)1=k1A1 (kA)*=kn1A* |kA|=kn|A| r(kA)=r(A)(k≠0) 乘法 (AB)T=BTAT (AB)1=B1A1 (AB)*=B*A* |AB|=|A||B| r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤r(A),r(B) 转置 (AT)T=A (AT)1=(A1)T (AT)*=(A*)T |AT|=|A| r(AT)=r(A) 取逆 (A1)1=A (A1)*＝(A*)1 |A1|=|A|1 伴随 (A*)*=|A|n2A* |A*|=|A|n1 n,若r(A)=nr(A*)=1,若r(A)=n-10,若r(A)<n-1 其它 A-1=|A|-1A* AA*=A*A=|A|E当A可逆时，A*＝|A|A1 定义性质 若P,Q可逆，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)* 转置 取逆 伴随 加法 (A+B)T=AT+BT 数乘 (kA)T=kAT (kA)1=k1A1 (kA)*=kn1A* 乘法 (AB)T=BTAT (AB)1=B1A1 (AB)*=B*A* 转置 (AT)T=A (AT)1=(A1)T (AT)*=(A*)T 取逆 (A1)1=A (A1)*＝(A*)1 伴随 (A*)*=|A|n2A* 其它 A-1=|A|-1A* AA*=A*A=|A|I当A可逆时，A*＝|A|A1* 行列式 秩数 加法 r(A+B)≤r(A)+r(B) 数乘 |kA|=kn|A| r(kA)=r(A)(k≠0) 乘法 |AB|=|A||B| r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤r(A),r(B) 转置 |AT|=|A| r(AT)=r(A) 取逆 |A1|=|A|1 伴随 |A*|=|A|n1 n,若r(A)=nr(A*)=1,若r(A)=n10,若r(A)<n1 其它 定义性质 若P,Q可逆，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)；* 性质 公式 备注 转置不变性 |AT|=|A| 行列地位平等 反交换性 |.........|=|.........| 换法变换 交错性 |.........|=0 齐性 |...k...|=k|.......| 倍法变换 统称线性 加性 |...+...|=|......|+|......| 倍加不变性 |...+k......|=|.........| 消法变换 按第k行第k列展开 |aij|=ak1Ak1+…+aknAkn=a1kA1k+…+ankAnk aj1Ak1+…+ajnAkn=a1jA1k+…+anjAnk=jk|aij| Laplace定理 分块三角矩阵的行列式 Cauchy-Binet公式 Vandermonde行列式 定义 性质Laplace定理(按第i1,...,ik行展开)；分块三角形行列式*Cauchy-Binet公式设U是m×n矩阵,V是n×m矩阵,m≥n,则**对单位矩阵做一次初等变换对A做一次行变换=用相应的初等矩阵左乘以A对A做一次列变换=用相应的初等矩阵右乘以A* 初等变换 行变换 列变换 换法变换 倍法变换 消法变换 对于m×n矩阵A，B下列条件等价 AB，即A可由初等变换化成B 有可逆矩阵P,Q使得PAQ=B 秩A=秩B A，B的标准型相同 A,B行等价有可逆矩阵P使得A=PB 每个矩阵都行等价于唯一一个RREF矩阵 A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ 每个秩数为r的矩阵都等价于矩阵等价*可逆矩阵vs列满秩矩阵*设A的秩数为r,则A有如下分解 ,其中P,Q为可逆矩阵 A=PE,其中P可逆,E是秩数为r的RREF A=GH,其中G列满秩,H行满秩,且秩数都是r(满秩分解)矩阵分解* 分块矩阵的初等变换和Schur公式 把初等变换和初等矩阵的思想用到分块矩阵 Schur公式设A可逆两种常用方法适用例子:习题3.7.5;3.7.9~11:*2.正则化方法 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 当A可逆时结论成立 考虑xI+A,有无穷多个x使得该矩阵可逆 将要证明的结论归结为多项式的相等 若两个多项式在无穷多个点处的值相同,则这两个多项式在任意点的值相等,特别地,取x=0.适用例子:习题3.6.4;3.7.7;3.7.11:*特殊矩阵**线性表示： 列向量组1,...,r可由1,...,s线性表示当且仅当有矩阵C使得(1,...,r)=(1,...,s)C.进一步，C的第k列恰为k的表示系数 线性表示有传递性 被表示者的秩数≤表示者的秩数向量组等价：对于向量组S，T，下列条件等价 S和T等价，即S,T可以互相表示 S,T的极大无关组等价 S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示*线性相关与线性表示： 1,...,r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性表示 若,1,...,r线性相关,而1,...,r线性无关,则可由1,...,r线性表示,且表法唯一线性无关：对于向量组1,...,r下列条件等价 1,...,r线性无关 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 1,...,r的秩数等于r (1,...,r)是列满秩矩阵*极大无关组与秩数： 1,...,rS是S的一个极大无关组当且仅当 1,...,r线性无关 S的每个向量都可由1,...,r线性表示 秩S＝极大无关组中向量的个数 若秩S＝r,则任何r个无关的向量都是极大无关组 矩阵的秩数＝行向量组的秩数＝列向量组的秩数 * 向量组 向量空间 解空间 极大无关组 基底 基础解系 秩数 维数 n－r向量空间 向量空间：加法和数乘封闭的向量集合 基底：向量空间的极大无关组 维数：向量空间的秩数 行空间：矩阵的行向量组张成的向量空间 列空间：矩阵的列向量组张成的向量空间 行空间与列向量的维数都等于矩阵的秩数 对于矩阵m×n矩阵A，B，下列条件等价 A,B行等价 A,B的行空间相同 A,B的行向量组等价 A,B的列向量组线性关系一致 Ax=0和Bx=0同解*线性方程组的表示 方程式：矩阵式：Ax=b,其中A=(aij)m×n,x=(xi)n×1,b=(bi)m×1向量式：x11+...+xnn=b,其中i是xi的系数列*解的判定:1.n元线性方程组Ax=b有解系数矩阵与增广矩阵的秩数相等.具体地， 当秩A＜秩(Ab)时，方程组无解 当秩A＝秩(Ab)＝n时，方程组有唯一解 当秩A＝秩(Ab)＜n时，方程组有无穷解2.线性方程组有解常数列可由系数列线性表示.此时,解恰为表示的系数*解法Cramer法则Gauss-Jordan消元法： 用行变换和列换法变换将增广矩阵化成RREF 写出RREF方程组 取每个方程的第一个变量为主变量，其余的为自由变量，并解出主变量 写出参数解或通解*解的结构齐次线性方程组Ax=0： 解空间：解的集合 基础解系：解空间的基底 通解：设1,…,s是一个基础解系,则通解为=c11+...+css，其中c1,...,cs是任意常数 解空间的维数＝未知数个数－系数矩阵的秩数 设秩A=r,则Ax=0的任何n-r个无关的解都是基础解系*一般线性方程组Ax=b： Ax＝b和Ax=0的解的关系： Ax＝b的两个解之差是Ax=0的解 Ax＝b的解与Ax=0的解之和是Ax=b的解 Ax=b的解的线性组合是 设Sb和S0分别表示Ax＝b和Ax=0的解集合，则Sb＝S0+，Sb 通解：设1,…,s是一个基础解系,是Ax=b的一个解,则通解为=c11+...+css+，其中c1,...,cs是任意常数Ax=0的解，当系数和＝0时；Ax=b的解，当系数和＝1时.*多项式的计算带余除法求最大公因式(辗转相除法)求有理根：有理根的分母整除首项系数，分子整除常数项既约性判别：Eisenstein判别法重因式判别特殊多项式的因式分解用初等对称多项式表示对称多项式*矩阵计算行列式：①化三角形；②展开+递推求逆矩阵：①行变换；②伴随求秩数：①初等变换；②定义*方程组的计算 求基础解系： Gauss-Jordan消元法(行变换+列换法) 已知秩A＝r，则任何r个无关解都是基础解系 求通解：Gauss-Jordan消元法(行变换+列换法) 带参数的方程组： 先化简，再判定. 可先考虑唯一解的情形.特别是有系数行列式时.*向量的计算设S：1,...,s是n元向量组(无论行或列) 求S的秩数：S的秩数=它组成的矩阵的秩数 判断S的相关性： 设x11+...+xss=0,将其转化成x的方程组.若方程组有非零解，则S相关；否则，无关. 求S的秩数.若秩Ss,则相关；若秩S＝s,则无关 线性表示：令=x11+...+xss,将其转化成x的方程组.若方程组有(唯一)解，则可由S(唯一)表示，且方程组的解就是表示的系数；否则，不可由S表示.*求极大无关组：若已知秩S＝r，则在S中找出r的无关的向量即可将S中的向量写成列的形式组成矩阵，对矩阵作行变换，化成阶梯形或RREF，则S与阶梯矩阵的列向量组线性关系一致.**