我的错题本(含变式训练)_20140601_182650
生成时间：2014.06.01 18:26:50
[第50页 第1题] (2014江淮十校联考) 已知正数a, b满足: 三数a, 1, b的倒数成等差数列, 则a+b的最小值为( )
A. 1 B. 2 C.
D. 4
[
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
] B
[变式训练] (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，4) 在等差数列
中，
，则
（ ）
(A) 15 (B) 30 (C) 45 (D) 60
[变式答案] D
[变式解析]
数列
是等差数列，
，
.
[第50页 第1题] (2014安徽淮北一中月考) 等比数列{an}中, a3=6, 前三项和S3=
4xdx, 则公比q的值为( )
A. 1 B. -
C. 1或-
D. -1或-
[答案] C
[变式训练] (2009辽宁, 6, 5分) 设等比数列{an}的前n项和为Sn, 若
=3, 则
=( )
A. 2 B.
C.
D. 3
[变式答案] B
[变式解析] 由等比数列的性质:S3, S6-S3, S9-S6仍成等比数列, 于是, 由S6=3S3, 可推出S9-S6=4S3, S9=7S3, ∴
=
. 故选B.
[第50页 第2题] (2011江西, 5,5分) 已知数列{an}的前n项和Sn满足: Sn+Sm=Sn+m, 且a1=1, 那么a10=( )
A. 1 B. 9 C. 10 D. 55
[答案] A
[变式训练] (2008江西, 5, 5分) 在数列{an}中, a1=2, an+1=an+ln
1+
, 则an=( )
A. 2+ln n B. 2+(n-1) ln n C. 2+nln n D. 1+n+ln n
[变式答案] A
[变式解析] 解法一:由已知, an+1-an=ln
, a1=2,
∴ an-an-1=ln
,
an-1-an-2=ln
,
……
a2-a1=ln
,
将以上n-1个式子累加得:
an-a1=ln
+ln
+…+ln
=ln
=ln n.
∴ an=2+ln n. 故选A.
解法二:由a2=a1+ln 2=2+ln 2, 排除C、D;
由a3=a2+ln
=2+ln 3, 排除B. 故选A.
[第50页 第2题] (2013山西太原五中, 9,5分) 已知数列{an}, {bn}满足a1=1, a2=2, b1=2, 对任意的正整数i, j, k, l, 当i+j=k+l时, 都有ai+bj=ak+bl, 则
(ai+bi) 的值是( )
A. 2 012 B. 2 013 C. 2 014 D. 2 015
[答案] D
[变式训练] (2013吉林省吉林市普通高中高三一月期末，13,5分)已知数列{
}的前n项和为
，
，则
.
[变式答案] 33 .
[变式解析]
[第50页 第3题] (2013安徽马鞍山二中期中, 4,5分) 数列{an}满足: 点(n, an-1) 在函数f(x) =2x的图象上(n∈N, n≥2), 则{an}的前10项和为( )
A. 4 092 B. 2 047 C. 2 046 D. 1 023
[答案] A
[变式训练] (2010浙江, 3, 5分) 设Sn为等比数列{an}的前n项和, 8a2+a5=0, 则
=( )
A. 11 B. 5 C. -8 D. -11
[变式答案] D
[变式解析] 设数列的公比为q, 则8a1q+a1q4=0, 解得q=-2, ∴
=
=
=-11, 故选D.
[第50页 第3题] (2014广东六校第一次联考) 将石子摆成如图的梯形形状, 称数列5,9, 14,20, …为“梯形数”. 根据图形, 数列第6项a6= ; 第n项an= .
[答案] 35;
[变式训练] (2007天津, 21, 14分) 在数列{an}中, a1=2, an+1=λan+λn+1+(2-λ) 2n (n∈N*) , 其中λ>0.
(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ) 求数列{an}的前n项和Sn;
(Ⅲ) 证明存在k∈N*, 使得
≤
对任意n∈N*均成立.
[变式答案] (Ⅰ) 解法一:a2=2λ+λ2+(2-λ) 2=λ2+22,
a3=λ(λ2+22) +λ3+(2-λ) 22=2λ3+23,
a4=λ(2λ3+23) +λ4+(2-λ) 23=3λ4+24.
由此可猜想出数列{an}的通项公式为
an=(n-1) λn+2n.
以下用数学归纳法证明.
(1) 当n=1时, a1=2, 等式成立.
(2) 假设当n=k时等式成立, 即ak=(k-1) λk+2k,
那么, ak+1=λak+λk+1+(2-λ) 2k
=λ(k-1) λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k
=[(k+1) -1]λk+1+2k+1.
这就是说, 当n=k+1时等式也成立. 根据(1) 和(2) 可知, 等式an=(n-1) λn+2n对任何n∈N*都成立.
解法二:由an+1=λan+λn+1+(2-λ) 2n(n∈N*) , λ>0, 可得
-
=
-
+1, 所以
为等差数列, 其公差为1, 首项为0. 故
-
=n-1, 所以数列{an}的通项公式为an=(n-1) λn+2n.
(Ⅱ) 设Tn=λ2+2λ3+3λ4+…+(n-2) λn-1+(n-1) λn, ①
λTn=λ3+2λ4+3λ5+…+(n-2) λn+(n-1) λn+1, ②
当λ≠1时, ①式减去②式, 得
(1-λ) Tn=λ2+λ3+…+λn-(n-1) λn+1
=
-(n-1) λn+1,
Tn=
-
=
.
这时数列{an}的前n项和
Sn=
+2n+1-2.
当λ=1时, Tn=
. 这时数列{an}的前n项和
Sn=
+2n+1-2.
(Ⅲ) 证明:通过分析, 推测数列
的第一项
最大. 下面证明:
<
=
, n≥2. ③
由λ>0知an>0. 要使③式成立, 只要
2an+1<(λ2+4) an(n≥2) .
因为(λ2+4) an=(λ2+4) (n-1) λn+(λ2+4) 2n
>4λ·(n-1) λn+4×2n=4(n-1) λn+1+2n+2
≥2nλn+1+2n+2=2an+1, n≥2
所以③式成立. 因此, 存在k=1, 使得
≤
=
对任意n∈N*均成立.
[第50页 第6题] (2013课标全国Ⅰ, 14,5分) 若数列{an}的前n项和Sn=
an+
, 则{an}的通项公式是an= .
[答案] (-2) n-1
[变式训练] (2007福建, 2, 5分) 数列{an}的前n项和为Sn, 若an=
, 则S5等于( )
A. 1 B.
C.
D.
[变式答案] B
[变式解析] S5=
+
+…+
=
+
+…+
=1-
=
,
故选B.
[第50页 第6题] (2014安徽望江二中月考) 设满足以下两个条件的有穷数列a1, a2, …, an为n(n=2,3, 4, …) 阶“期待数列”: ①a1+a2+a3+…+an=0; ②|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=1.
(1) 分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”;
(2) 若某2k+1(k∈N*) 阶“期待数列” 是等差数列, 求该数列的通项公式.
[答案] (详见解析)
[变式训练] (2013年北京海淀区高三第二次模拟，20，13分）设
是由
个实数组成的
行
列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.
（Ⅰ）数表
如表1所示，若经过两次“操作” ，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作” 后所得的数表（写出一种方法即可）；
（Ⅱ）数表
如表2所示，若必须经过两次“操作” ，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数
的所有可能值；
（Ⅲ）对由
个实数组成的
行
列的任意一个数表
，能否经过有限次“操作” 以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.
[变式答案] （Ⅰ）解：法1：
法2：
法3：
（Ⅱ） 每一列所有数之和分别为2，0，
，0，每一行所有数之和分别为
，1;
①如果首先操作第三列，则
则第一行之和为
，第二行之和为
，这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，
所以
或
，当
时，则接下来只能操作第一行，
此时每列之和分别为
，必有
，解得
.
当
时，则接下来操作第二行
此时第4列和为负，不符合题意.
② 如果首先操作第一行
则每一列之和分别为
，
，
，
.
当
时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉；
当
时，
，
至少有一个为负数；
所以此时必须有
，即
，所以
或
，经检验，
或
符合要求
综上，
.
（Ⅲ）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数. 证明如下：
记数表中第
行第
列的实数为
（
），各行的数字之和分别为
，各列的数字之和分别为
，
，
，数表中
个实数之和为
，则
. 记
.
按要求操作一次时，使该行的行和（或该列的列和）由负变正，都会引起
（和
）增大，从而也就使得
增加，增加的幅度大于等于
，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，
必然小于等于最初的数表中
个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止. 终止之时，必是所有的行和与所有的列和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号，
就又会继续上升，导致矛盾，故结论成立.
[第50页 第4题] (2014安徽望江四中月考) 数列{an}的通项公式an=ncos
, 其前n项和为Sn, 则S2 013= .
[答案] 1 006
浙公网安备 33021202002483