关于不等式的证明毕业论文

关于不等式的证明 毕业 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 （论文）原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。 作 者 签 名：　　 　 　　日　 期：　　 　 　　 ​​​​​​​​​​​​ 指导教师签名：　　 　 　　 日　　期：　　 　 　　 使用授权说明 本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 作者签名：　　 　 　　 日　 期：　　 　 　　 ​​​​​​​​​​​​ 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权　　 　 　大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 涉密论文按学校规定处理。 作者签名： 日期： 年 月 日 导师签名： 日期： 年 月 日 注 意 事 项 1.设计（论文）的内容包括： 1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作） 2）原创性声明 3）中文摘要（300字左右）、关键词 4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入） 6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论 7）参考文献 8）致谢 9）附录（对论文支持必要时） 2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。 3.附件包括：任务书、开 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 报告、外文译文、译文原文（复印件）。 4.文字、图表要求： 1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写 2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画 3） 毕业论文 毕业论文答辩ppt模板下载毕业论文ppt模板下载毕业论文ppt下载关于药学专业毕业论文临床本科毕业论文下载 须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印 4）图表应绘制于无格子的页面上 5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档 5.装订顺序 1）设计（论文） 2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订 指导教师评阅书 指导教师评价： 一、撰写（设计）过程 1、学生在论文（设计）过程中的治学态度、工作精神 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、学生掌握专业知识、技能的扎实程度 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 3、学生综合运用所学知识和专业技能分析和解决问题的能力 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 4、研究 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 的科学性；技术线路的可行性；设计 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 的合理性 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 5、完成毕业论文（设计）期间的出勤情况 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 二、论文（设计）质量 1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 三、论文（设计）水平 1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 建议成绩：□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 （在所选等级前的□内画“√”） 指导教师： （签名） 单位： （盖章） 年 月 日 评阅教师评阅书 评阅教师评价： 一、论文（设计）质量 1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 二、论文（设计）水平 1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 建议成绩：□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 （在所选等级前的□内画“√”） 评阅教师： （签名） 单位： （盖章） 年 月 日 教研室（或答辩小组）及教学系意见 教研室（或答辩小组）评价： 一、答辩过程 1、毕业论文（设计）的基本要点和见解的叙述情况 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、对答辩问题的反应、理解、表达情况 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 3、学生答辩过程中的精神状态 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 二、论文（设计）质量 1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 三、论文（设计）水平 1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 评定成绩：□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 教研室主任（或答辩小组组长）： （签名） 年 月 日 教学系意见： 系主任： （签名） 年 月 日 摘要 本文主要针对一些常规不等式的证明和应用来进行列举说明，相应地使用一些常用的重要不等式以及特征不等式，来对不等式加以证明。本文首先说明了不等式证明中一些常用的方法，并穿插各种方法对应的简单应用，如比较法，分析法等方法的简要概述，也有比较全面的微积分、概率论知识、詹森（Jensen）不等式和柯西不等式在不等式的证明中的应用。 关键词：方法；不等式；不等式的证明 On the proof of inequality Abstract The thesis on mainly for the proof and application of some conventional inequality for simple examples, applying some important inequality and characteristic inequality, to the proof of inequalities. In this paper, some common methods of inequality proving are given, and the simple application of different methods, the comparison method and the method of analysis are briefly summarized. There are also more general application of inequality in different and integral calculus, theory of probability , Jensen inequality and the Cauchy inequality . Keywords: method; inequality; inequality proof 目 录 摘要 I Abstract II 第一章 绪论 1 1.1 选题背景和意义 1 1.2 研究方法及思路 1 第二章 不等式的证明方法和应用 2 2.1 方法综述 2 2.2 比较法 2 2.2.1 作差法 2 2.2.2 作商法 2 2.3 综合法和分析法 2 2.4 反证法及其应用 3 2.5 放缩法及其应用 3 2.6 数学归纳法及其应用 4 2.7 换元法及其应用 5 2.8 构造法及其简单应用 6 2.8.1 构造函数 6 2.8.2 构造复数 6 2.8.3 构造方程 6 2.9 判别式法及其应用 7 2.10 函数单调性 7 2.10.1 单调性直接证明 7 2.10.2 最值证不等式 8 第三章 高等教育中不等式的证明 10 3.1 高等教育中不等式证明和方法 10 3.2 中值定理的应用 10 3.3 凹凸函数及其应用 11 3.3.1 凹凸函数 11 3.3.2 詹森不等式及其应用 11 3.4 积分类不等式证明 12 3.4.1 一般解法 12 3.4.2 一题多解法 13 3.5 概率论理论及其应用 14 3.5.1 基本必备理论及其应用 14 3.5.2 切比雪夫不等式及其应用 15 3.6 赫尔德不等式及其推广 16 3.6.1 赫尔德（Holder）不等式 16 3.6.2 柯西不等式 17 3.7 级数证明不等式 18 总 结 19 参考文献 20 致 谢 21 第一章 绪论 1.1选题背景和意义 数学，作为中国古人必不可少的六艺之一，已经深入到人们日常生活之中。数学历史悠久，中国历史上就出现过《九章算术》之类的书籍，世界上其他的国家的人们对数学也是如痴如醉，研究数学对他们来说是生在这个世界的唯一价值。16世纪的时候，初等数学的发展开创了新时代，大体上来说已经完备。17世纪以后又腾空出世变量概念，而在研究经典力学的过程之中，牛顿和莱布尼茨对微积分的各自独家研究和应用，使得数学产生了革命性的历史意义。 随着自然科学和技术的进步，数学得到了长足发展，集合论和数理逻辑等也开始研究基础数学。人类对数学的研究已经完成从算数的思考到应用数学的蜕变，研究的领域自然被逐级细分开来。 数学作为使用早、用途广的学科，给人类的生活带来了便利，同时从无数字时代跨入数学数字历史长河。数学的研究也是逐步的发展，全人类为了从数学中得到突破，尝试了各个领域的研究，而研究的前提是人们必须要有所假设，或者是根据相关理论和自身思维提前进行数学猜想。从而，证明其假设或猜想就成为了主题。本文从不等式的证明分支来进行阐述和分析，列举出不同不等式不同的证明方法，培养证明不可少的逻辑思维。 1.2 研究方法及思路 通过查阅大量相应的资料，及其相关的调查，熟悉不等式证明的模式和规则，也对证明方法按照我们所学的相关数学知识的时间先后顺序逐一列举，挖掘出不等式证明之法背后的隐含条件、潜在的规律等。本文所应用的方法途径主要是资料查询，通过使用学校图书馆藏书、杂志、电子文献以及互联网查询等方法,查找完成本文研究所需的文献资料,为论文提供了科学的文献指导，最终有效使用理论知识和自己分析，实现不同不等式的不同证明。 第二章 不等式的证明基本方法和应用 2.1 方法综述 我们都知道不等式的证明是中学数学学习中的难点，亦是重中之重，显然同样也是高等教育当中每个人必修的技能，能不能好好地运用定理、常规不等式来解决其他更为复杂的不等式的证明，一定程度上反映了个人对数学基本功的掌握程度和解题的能力。然而，不等式被广泛应用之后，与它有关的证明方法也逐渐被人们承认，并最终得以归纳总结，系统化的证明途径已经有迹可循。我们利用不等式自身具有的性质来进行相对应的代数变形，灵活运用基本法，如常见的比较法、综合法和分析法等（下文有具体方法介绍）。当然，这些方法互相结合起来的证明也有好多，但是只要我们有心发现和恰当使用，稍难的题目也会迎刃而解。 2.2 比较法 比较法，在证明不等式中简单。一般分为比差和比商。 2.2.1 作差法 比差法一般遵循实数的运算性质，也会根据其大小的顺序来衡量。 一般的解题步骤是：第一步作差，然后进行变形，最后只要根据结果判断符号就可以。 2.2.2 作商法 若不等式两端出现乘积形式的幂指数，那么我们就完全可以通过考虑作商法进行证明。 要证 成立，只要证 即可 ； 要证 成立，只要证 即可 . 一般的解题步骤是：作商 变形 判断符号。 2.3 综合法和分析法 综合法,要求我们必须充分利用好题目已知的条件，然后推敲出隐含在内的信息，运用到解题过程当中。一般的，使用已知不等式的性质推出解题步骤当中有用的隐含信息，当然也可使用一系列已确定的已知、已证和约定俗成的命题逐步进行推理，最后使题目中要证的不等式确切成立，我们就称这种方法为综合法。 我们把要求证的不等式作为思路的出发点，分析不等式要具备何种充分条件，运用转换的逻辑思维，把解不等式的证明转化为判定不等式成立，然后找到成立的条件。假设我们能够找出对应的充分条件，那么就可以下结论，判定这个不等式成立。此法就是我们熟悉的分析法。 当我们在证明不同种类的不等式的时候，根据现有的题目已知条件是不可能推出你要的结果的，这时候，可以使用平时积累下来的重要不等式应用到证明中。这里，学习之中经常遇到的几个常用的重要不等式： （其中， 均为实数， 时取等号）； ； (当且仅当 时取等号). 2.4 反证法及其应用 反证法，很明显是一种反向否定思维，作为反证法就是一开始假设结论不成立，先后充分使用公式和已知条件，得出新的结论，但该结论与题目中已知条件、公理、定理等相互矛盾，从而得到之前所假设是错误的，这样就轻而易举地说明结论成立。 步骤简要如下： （1）提取结论 否定结论； （2）假设之后 进行相应的推导 最后得到矛盾； （3）肯定原结论成立. 反证法遵循否定之否定为肯定的逻辑思维。 2.5 放缩法及其应用 放缩法，相对来说比较特殊，往往看着复杂的题型，只要适当地观察数据和形式，进行适当地增加或减少已知项即可化难为易。从不等式的一边开始入手（无论左边还是右边），依次、逐渐放大或缩小不等式的（值），直到出现不等式的另一边的结果（值）终止，这种方法被视为放缩法。 常用的放缩不等式。 譬如： ； ； ； 等. 例2.1 已知 是闭区间 上的连续恒正的函数,试证明： . 证 不妨设 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，且为第 个小区间（共有 个区间）, 然后取一点 ,有 （算术平均不等式）, 由递增函数 性质， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， . 2.6 数学归纳法及其应用 在证明含 的不等式时，采用数学归纳法，三步即可完成整个证明过程，是一个优化了的证明方法。 先说明 时不等式成立；然后假设 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 时，使不等式成立，我们只需再证明 时，不等式成立；对任意 不等式成立即可。 例2.2 求证： . 证 （1）当 时，左边 ，右边 , 成立。 （2）假设 时， ， 则当 时， ， ， 时不等式也成立, 综上，对于任意的 ，不等式皆是成立的。得证. 2.7 换元法及其应用 换元法，是指对结构相对来说比较繁琐的命题，用新引入的变量替换掉原命题中的部分格式相似或相同的式子，简化了原有的结构同时，新的形式也更简便，易于求解。 例2.3 如果 ，求证： . 证 不妨先令 ， 代入原不等式，并移项，可化为： ， ， 原不等式成立，得证. 例2.4 已知 ，求证： . 证 ， 设 ，其中 ， ， ， ， ， 且 ， ，得证. 2.8 构造法及其简单应用 构造法包括：构造函数，构造复数和构造方程. 2.8.1 构造函数 将要证的不等式转化为一个相关的函数的单调性问题，然后再根据函数的单调性（递增或递减等规律）建立与题意相等的关系，最终证明完毕。 例2.5 已知 且 ,求证: . 证 我们先进行函数的构造，不妨设 , 易知函数 在 上单调递增，且有 ， ， ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT , 原不等式得证. 2.8.2 构造复数 例2.6 已知 ，求证： . 证 不妨先进行复数的构造： ， ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， . 2.8.3 构造方程 例2.7 若 且有 ，求证： . 证 ， 不妨令 ，则得 ， 现构造以 为两根的方程 ， ， ， 且 ， ， ， 原不等式成立，得证. 2.9 判别式法及其应用 用方程（包括函数和不等式）的根，通过函数的性质，逐步确定判别式成立的不等式。最后经过演算推导要证的不等式，这一方法就是所谓的判别式法。题目中，主要是针对一元二次方程先求根，然后解题。 例2.8 设 ，求证： . 证 不妨把 作为未知数，得到一个一元二次函数，且设函数 ， ，且 的系数1 0， ，即原不等式成立. 2.10 函数单调性[ ] 2.10.1 单调性直接证明 方法是：确定函数本身的单调性，在递增或递减区间代入相应的数值，最后来证明。 构造函数 利用单调性证明. 原理是： 时，函数 在 内单增 ； 时，函数 在 内单减 . 例2.9 求证： 时， . 证 不妨设 ， ， 在 内单调递减， ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT . 2.10.2 最值证不等式 方法：构造函数，用最值解题. 根据： 为 在 上的最大值 ； 为 在 上的最小值 . 例2.10 证明: 时， . 证 不妨先构造函数， ， 接下来我们有： ， ,且 ， ， 是 的极小值点， 现在，我们来进行 是否为 最小值点的判断，如下过程： 再令 ， ， 为 的最小值点， ， 在 时单调递增，且有 ， 为 的最小值点， ， 成立. 第三章 高等教育中不等式的证明 3.1 高等教育中不等式证明和方法 在高等教育的过程当中，数学依然是重中之重，其中涉及的小分支甚至也可以说广泛使用的，一个重点和难点的问题之中或多或少都包含着不等式的证明，大多数大学生当遇到此类不等式证明问题的时候有时会自乱阵脚，而不知如何下手去解答。实际上此类问题当中存在的证明都不超纲，尚且还有许多不等式问题都涉及着巧妙思维和发散思维，一题多解的状况常有发生，因此我们针对不同的不等式证明，要理解出题者的用意，把各种证明方法融会贯通，那么难度也会降低。几种高等教育中常用不等式证明方法，除了应用中值定理，构造辅助函数的方法也可以使得解题思路清晰化，泰勒公式虽然看起来复杂，但却有固定的形式，依葫芦画瓢即可。当然了，函数的凹凸性亦不失为一个不错选择。 3.2 中值定理的应用 中值定理 ，包括 、 、以及 。在证明的步骤当中，若是恰有好处的用到这些定理，无疑是锦上添花。当然，我们首先要要熟记各个中值定理必要的应用条件，就要把原来的不等式通过一些适当的变形找出一个有助于解题思路的辅助函数，让它在已知条件中所给的区间上满足你要用的一个中值定理的条件，证明结果结论成立的关键之处就是要很好地处理一个 点，通过分析出函数或它的导数在该点上面具有的性质之后，马上就可以得到你所要的结论。当然，在证明过程之中，也完全有可能地去重复使用同个一定理或同时应用几个定理的组合来证明。 方法简要：构造辅助函数 中值定理 据 范围求解. 例3.1 求证： 时，不等式 . 证 不妨先令 ，在 内，我们应用拉格朗日定理 ， ， ，其中 ， 形如 的方程，我们可以依据前面所说的利用单调性进行求解， 且 在 区间单调递减。因此： ， , 原不等式得证. 3.3 凹凸函数及其应用 3.3.1 凹凸函数 凹函数形式： ， ； 凸函数形式： ， . 方法： . 例3.2 已知 且 ，证明： . 证 先构造函数 ， ， ， (二阶导大于零) 为严格凸函数， 时， ， ，得证. 3.3.2 詹森不等式及其应用 引理1 当 是 上的凸函数，且 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，有 存在，我们就说 ；反之，若 是凹函数，结论为 . 例3.3 已知 为正数，则有 . 证 不妨令 ，且 、 分别是： ， 为严格的凸函数， 依据引理1中的叙述，利用詹森（Jensen）不等式 可知： ， ， ，且有 ， . 例3.4已知 ， 则 . 证 设 ，同上有： ， 为凹函数， ， . 3.4 积分类不等式证明 3.4.1 一般解法 方法：构造确切积分上限的函数 用单调性解题. 例3.5 设 在闭区间 上，连续且单调递增，求证： . 证 不妨设 ， ,且当 时， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 单调递增， ， 原不等式成立. 例3.6 设 ， 在 上连续，且 ， ， ,求证： . 证 不妨令 ， ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， ，且 ， , ， . 例3.7 设 ， 在 上存在着连续的导数，且 ， ， ，请证明： ，有 . 证 不妨设 ，其中 ， 单调递增， ， ， ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，此题得解. 3.4.2 一题多解法（积分不等式的证明的多解法） 例3.8 已知 是 在 上的一阶连续导数， ， ，求证： . 证 法一： 是闭区间 上的一阶连续导数， 在 内，由拉格朗日中值定理我们得到， 使 ， 且有 ， ， . 法二： 是闭区间 上的一阶连续导数且存在 ， ， ， ， . 法三： 是闭区间 上的一阶连续导数且存在 ， ， ， ， . 3.5 概率论理论及其应用 概率论在高等数学中，已然成为一个重要的分支，在不等式证明中的作用也是显而易见的，更是一种数学理论在证明中的关键思维。Cauchy-Schwarz inequality和Chebyshev inequality，在不等式的证明中也起着很大的作用。 3.5.1 基本必备理论及其应用 引理2 Cauchy-Schwarz inequality：若 是一个二维随机变量，又 ， ，则有 . 例3.9 已知 ， 皆是 内的正值连续函数，试证： . 证 令概率分布 ，其对应的密度函数 , （其中 为随机变量）, ， ， 同理： ， ， 又 皆为闭区间 上，正值的连续函数， ， 根据引理： ， ， 代入数据得证. 3.5.2 切比雪夫不等式及其应用 Chebyshev inequality ，考虑随机变量，然后针对其对应的数学期望及其方差，将变量的概率分布总体估计，进而显示随机变量的变化。在理论现实研究中作用突出之外，实际应用中也有绝对的高价值 。 当随机变量 的数学期望 及方差 都存在的时候，则对 ，有 或 . （其中 指方差） 例3.10 试着证明： . 证 令随机变量 ， ， ， ，且有 ， 引用Chebyshev inequality我们得到： ， . 3.6 赫尔德不等式及其推广 3.6.1 赫尔德（Holder）不等式 已知 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， ，并且 ，则一定成立 . 特别指出的是，当 时，就有结论： . 若 ，此不等式就是我们熟悉的柯西不等式，据此我们得到，Holder不等式其实就是Cauchy inequality在一定条件上的某种推广. 例3.11 若 ，满足 ，求证： 证 ， 要证 ， ， ， ， ， 成立， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT . 3.6.2 柯西不等式 柯西不等式： ,其中 ， ，等号成立条件： 或 时. 例3.12 设 ，求证： . 证 ， ，得证. 注：若不等式两边同时除以 ，则结论也很明晰，就是当 是正数的时候，均值不等式中的算术平均小于或等于平方均值. 3.7 级数证明不等式 把已知的函数进行级数 展开，增加或者减少展开项，逐步靠近结论加以证明。 例3.13 试证： . 证 原不等式相当于： ， 对 进行级数展开有： ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， 考虑一般项 和 ，当 时两者相等；而当 时，前者大于后者，即 ，然后进行级数相加， ， ，即 得证. 总 结 我的毕业论文写到这里，已经接近尾声了，纵观全文，文中介绍的所有不等式，证明中涉及的各种常用方法，已经一一加以了说明。然而正因为关于不等式证明的问题的题型本身所具有的多变性、技巧性要求强度不同，还有我们不一定能够有固定不变的规律可循，因此我们在面对不同的不等式的证明问题中，先不要急着证明，首先要做的事观察题目中证明对象中的数字、列出形式有何规律，思考是不是和我们已掌握的知识有类似性或者规律性，找到突破口，给出相应的方法和重要的不等式来解题，这样就可以事半功倍了。而不等式的证明往往又不是仅仅只有一种方法能解决，我们就因该停留下进度发散思维后找到更多的方法，举一反三的效果成效显著。要是解题过程中发现一种方法无法达成目的，我们要勇于尝试各种方法和重要不等式引用的灵活运用，即使再难的题型，也足以轻松而解。本文主要是不等式证明的简单叙述，其中包含方法及应用，也会穿插重要不等式解题的定性剖析，你想更全面的了解不等式的证明，就需要你自己在长期的证明解题过程中归纳总结，加以记录分析再分类，把不同的证明方法纵向解题之后再进行绝对的横向比较，比较它的优劣性，在解题中尽量寻找最简单易行的方法，避免走弯路，持之以恒，你对不等式的证明思维速度回更加准确敏捷。 参考文献 [1] 欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋．数学分析[M]．第三版．高等教育出版社，2006． [2] 吴志翔．证明不等式[M]．河北人民出版社． [3] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．第三版．高等教育出版社． [4] 宋振云，涂琼霞．关于n个中间点的两个拉格朗日中值结果[J]．数学教学研究，2008年09期． [5] 同济大学应用数学系．高等数学[M]，2002． [6] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，2006． [7] 中旬刊[J]．中图分类号：O122.3．文献标识码：A．文章编号：1672- 7894（2009）29- 136- 01． [8] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M]．第四版．浙江大学．高等教育出版社， 2008． [9] 魏宗舒．概率论与数理统计教程[M]．北京:高等教育出版社，1983． [10] 太原科技大学学报[J]．Vol．32No．6．第32卷第6期． [11] 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毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。 作 者 签 名：　　 　 　　日　 期：　　 　 　　 ​​​​​​​​​​​​ 指导教师签名：　　 　 　　 日　　期：　　 　 　　 使用授权说明 本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 作者签名：　　 　 　　 日　 期：　　 　 　　 ​​​​​​​​​​​​ 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权　　 　 　大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 涉密论文按学校规定处理。 作者签名： 日期： 年 月 日 导师签名： 日期： 年 月 日 指导教师评阅书 指导教师评价： 一、撰写（设计）过程 1、学生在论文（设计）过程中的治学态度、工作精神 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、学生掌握专业知识、技能的扎实程度 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 3、学生综合运用所学知识和专业技能分析和解决问题的能力 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 4、研究方法的科学性；技术线路的可行性；设计方案的合理性 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 5、完成毕业论文（设计）期间的出勤情况 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 二、论文（设计）质量 1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 三、论文（设计）水平 1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 建议成绩：□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 （在所选等级前的□内画“√”） 指导教师： （签名） 单位： （盖章） 年 月 日 评阅教师评阅书 评阅教师评价： 一、论文（设计）质量 1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 二、论文（设计）水平 1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 建议成绩：□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 （在所选等级前的□内画“√”） 评阅教师： （签名） 单位： （盖章） 年 月 日 教研室（或答辩小组）及教学系意见 教研室（或答辩小组）评价： 一、答辩过程 1、毕业论文（设计）的基本要点和见解的叙述情况 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、对答辩问题的反应、理解、表达情况 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 3、学生答辩过程中的精神状态 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 二、论文（设计）质量 1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 三、论文（设计）水平 1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 □ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 评定成绩：□ 优 □ 良 □ 中 □ 及格 □ 不及格 （在所选等级前的□内画“√”） 教研室主任（或答辩小组组长）： （签名） 年 月 日 教学系意见： 系主任： （签名） 年 月 日 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行的研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经特别注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明并表示感谢。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者（本人签名）： 年 月 日 学位论文出版授权书 本人及导师完全同意《中国博士学位论文全文数据库出版章程》、《中国优秀硕士学位论文全文数据库出版章程》(以下简称“章程”)，愿意将本人的学位论文提交“中国学术期刊（光盘版）电子杂志社”在《中国博士学位论文全文数据库》、《中国优秀硕士学位论文全文数据库》中全文发表和以电子、网络形式公开出版，并同意编入CNKI《中国知识资源总库》，在《中国博硕士学位论文评价数据库》中使用和在互联网上传播，同意按“章程”规定享受相关权益。 论文密级： □公开 □保密（___年__月至__年__月）(保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 作者签名：_______ 导师签名：_______ _______年_____月_____日 _______年_____月_____日 独 创 声 明 本人郑重声明：所呈交的毕业设计(论文)，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律后果由本人承担。   作者签名: 二〇一〇年九月二十日   毕业设计（论文）使用授权声明 本人完全了解滨州学院关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定。 本人愿意按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版，同意学校保存学位论文的印刷本和电子版，或采用影印、数字化或其它复制手段保存设计（论文）；同意学校在不以营利为目的的前提下，建立目录检索与阅览服务系统，公布设计（论文）的部分或全部内容，允许他人依法合理使用。 （保密论文在解密后遵守此规定）   作者签名: 二〇一〇年九月二十日 致 谢 时间飞逝，大学的学习生活很快就要过去，在这四年的学习生活中，收获了很多，而这些成绩的取得是和一直关心帮助我的人分不开的。 首先非常感谢学校开设这个课题，为本人日后从事计算机方面的工作提供了经验，奠定了基础。本次毕业设计大概持续了半年，现在终于到结尾了。本次毕业设计是对我大学四年学习下来最好的检验。经过这次毕业设计，我的能力有了很大的提高，比如操作能力、分析问题的能力、合作精神、严谨的工作作风等方方面面都有很大的进步。这期间凝聚了很多人的心血，在此我表示由衷的感谢。没有他们的帮助，我将无法顺利完成这次设计。 首先，我要特别感谢我的知道郭谦功老师对我的悉心指导，在我的论文书写及设计过程中给了我大量的帮助和指导，为我理清了设计思路和操作方法，并对我所做的课题提出了有效的改进方案。郭谦功老师渊博的知识、严谨的作风和诲人不倦的态度给我留下了深刻的印象。从他身上，我学到了许多能受益终生的东西。再次对周巍老师表示衷心的感谢。 其次，我要感谢大学四年中所有的任课老师和辅导员在学习期间对我的严格要求，感谢他们对我学习上和生活上的帮助，使我了解了许多专业知识和为人的道理，能够在今后的生活道路上有继续奋斗的力量。 另外，我还要感谢大学四年和我一起走过的同学朋友对我的关心与支持，与他们一起学习、生活，让我在大学期间生活的很充实，给我留下了很多难忘的回忆。 最后，我要感谢我的父母对我的关系和理解，如果没有他们在我的学习生涯中的无私奉献和默默支持，我将无法顺利完成今天的学业。 四年的大学生活就快走入尾声，我们的校园生活就要划上句号，心中是无尽的难舍与眷恋。从这里走出，对我的人生来说，将是踏上一个新的征程，要把所学的知识应用到实际工作中去。 回首四年，取得了些许成绩，生活中有快乐也有艰辛。感谢老师四年来对我孜孜不倦的教诲，对我成长的关心和爱护。 学友情深，情同兄妹。四年的风风雨雨，我们一同走过，充满着关爱，给我留下了值得珍藏的最美好的记忆。 在我的十几年求学历程里，离不开父母的鼓励和支持，是他们辛勤的劳作，无私的付出，为我创造良好的学习条件，我才能顺利完成完成学业，感激他们一直以来对我的抚养与培育。 最后，我要特别感谢我的导师赵达睿老师、和研究生助教熊伟丽老师。是他们在我毕业的最后关头给了我们巨大的帮助与鼓励，给了我很多解决问题的思路，在此表示衷心的感激。老师们认真负责的工作态度，严谨的治学精神和深厚的理论水平都使我收益匪浅。他无论在理论上还是在实践中，都给与我很大的帮助，使我得到不少的提高这对于我以后的工作和学习都有一种巨大的帮助，感谢他耐心的辅导。在论文的撰写过程中老师们给予我很大的帮助，帮助解决了不少的难点，使得论文能够及时完成，这里一并表示真诚的感谢。 1 _1234568017.unknown _1234568145.unknown _1234568209.unknown _1234568241.unknown _1234568257.unknown _1234568265.unknown _1234568273.unknown _1234568277.unknown _1234568281.unknown _1234568283.unknown _1234568285.unknown _1234568287.unknown _1234568288.unknown _1234568286.unknown _1234568284.unknown _1234568282.unknown _1234568279.unknown _1234568280.unknown _1234568278.unknown _1234568275.unknown _1234568276.unknown _1234568274.unknown _1234568269.unknown _1234568271.unknown _1234568272.unknown _1234568270.unknown _1234568267.unknown _1234568268.unknown _1234568266.unknown _1234568261.unknown _1234568263.unknown _1234568264.unknown _1234568262.unknown _1234568259.unknown _1234568260.unknown _1234568258.unknown _1234568249.unknown _1234568253.unknown _1234568255.unknown _1234568256.unknown _1234568254.unknown _1234568251.unknown _1234568252.unknown _1234568250.unknown _1234568245.unknown _1234568247.unknown _1234568248.unknown _1234568246.unknown _1234568243.unknown _1234568244.unknown _1234568242.unknown _1234568225.unknown _1234568233.unknown _1234568237.unknown _1234568239.unknown _1234568240.unknown _1234568238.unknown _1234568235.unknown _1234568236.unknown _1234568234.unknown _1234568229.unknown _1234568231.unknown _1234568232.unknown _1234568230.unknown _1234568227.unknown _1234568228.unknown _1234568226.unknown _1234568217.unknown _1234568221.unknown _1234568223.unknown _1234568224.unknown _1234568222.unknown _1234568219.unknown _1234568220.unknown _1234568218.unknown _1234568213.unknown _1234568215.unknown _1234568216.unknown _1234568214.unknown _1234568211.unknown _1234568212.unknown _1234568210.unknown _1234568177.unknown _1234568193.unknown _1234568201.unknown _1234568205.unknown _1234568207.unknown _1234568208.unknown _1234568206.unknown _1234568203.unknown _1234568204.unknown _1234568202.unknown _1234568197.unknown _1234568199.unknown _1234568200.unknown _1234568198.unknown _1234568195.unknown _1234568196.unknown _1234568194.unknown _1234568185.unknown _1234568189.unknown _1234568191.unknown _1234568192.unknown _1234568190.unknown _1234568187.unknown _1234568188.unknown _1234568186.unknown _1234568181.unknown _1234568183.unknown _1234568184.unknown _1234568182.unknown _1234568179.unknown _1234568180.unknown _1234568178.unknown _1234568161.unknown _1234568169.unknown _1234568173.unknown _1234568175.unknown _1234568176.unknown _1234568174.unknown _1234568171.unknown _1234568172.unknown _1234568170.unknown _1234568165.unknown _1234568167.unknown _1234568168.unknown _1234568166.unknown _1234568163.unknown _1234568164.unknown _1234568162.unknown _1234568153.unknown _1234568157.unknown _1234568159.unknown _1234568160.unknown _1234568158.unknown _1234568155.unknown _1234568156.unknown _1234568154.unknown _1234568149.unknown _1234568151.unknown _1234568152.unknown _1234568150.unknown _1234568147.unknown _1234568148.unknown _1234568146.unknown _1234568081.unknown _1234568113.unknown _1234568129.unknown _1234568137.unknown _1234568141.unknown _1234568143.unknown _1234568144.unknown _1234568142.unknown _1234568139.unknown _1234568140.unknown _1234568138.unknown _1234568133.unknown _1234568135.unknown _1234568136.unknown _1234568134.unknown _1234568131.unknown _1234568132.unknown _1234568130.unknown _1234568121.unknown _1234568125.unknown _1234568127.unknown _1234568128.unknown _1234568126.unknown _1234568123.unknown _1234568124.unknown _1234568122.unknown _1234568117.unknown _1234568119.unknown _1234568120.unknown _1234568118.unknown _1234568115.unknown _1234568116.unknown _1234568114.unknown _1234568097.unknown _1234568105.unknown _1234568109.unknown 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