GCT数学真题2003-2013年真题与答案解析

GCT数学2003-2011年真题与答案解析 第 2 页 共 89 页 GCT数学2003-2013年真题与答案解析 Page 1 of 89 GCT数学2003年-2011年真题与答案解析 2003年GCT入学资格考试数学基础能力试题 （25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟） 1． （ ）。 A．10 B．11 C．12 D．13 2．记不超过10的素数的算术平均数为M，则与M最接近的整数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．1 000 m的大道两侧从起点开始每隔10 m各种一棵树，相邻两棵树之间放一盆花，这样需要（ ）。 A．树200棵，花200盆 B．树202棵，花200盆 C．树202棵，花202盆 D．树200棵，花202盆 4．已知 ， ， ，则（ ）。 A．a(b(c B．b(c(a C．c(a(b D．c(b(a 5．某工厂月产值3月份比2月份增加10%，4月份比3月份减少10%，那么（ ）。 A．4月份与2月份产值相等 B．4月份比2月份产值增加 C．4月份比2月份产值减少 D．4月份比2月份产值减少 6．函数y=ax2+bx+c（a(0）在[0，+(）上单调增的充分必要条件是（ ）。 A．a(0且b≥0 B．a(0且b≤0 C．a(0且b≥0 D．a(0且b≤0 7．函数 （a(0）与 的图像关于（ ）。 A．直线x(a=0对称 B．直线x+a=0对称 C．x轴对称 D．y轴对称 8．已知实数x和y满足条件 = (1和 =1，则x101+y101的值是（ ）。 A．(1 B．0 C．1 D．2 9．一批产品的次品率为0.1，逐件检测后放回，在连续三次检测中至少有一件是次品的概率为（ ）。 A．0.271 B．0.243 C．0.1 D．0.081 10．A、B、C、D、E五支篮球队相互进行循环赛，现已知A队已赛过4场，B队已赛过3场，C队已赛过2场，D队已赛过1场，则此时E队已赛过（ ）。 A．1场 B．2场 C．3场 D．4场 11．过点P（0，2）作圆x2+y2=1的切线PA、PB，A、B是两个切点，则AB所在直线的方程为（ ）。 A． B． C． D． 12．如图，正方形ABCD的面积为1，E和F分别是AB和BC的中心，则图中阴影部分面积为（ ）。 A． B． C． D． 13．已知两平行平面(，(之间的距离为d（d(0），l是平面(内的一条直线，则在平面(内与直线l平行且距离为2d的直线的有（ ）。 A．0条 B．1条 C．2条 D．4条 14．正圆锥的全面积是侧面积的 倍，则该圆锥侧面展开后的扇形所对的圆心角为（ ）。 A．( B． C． D． 15．设点（x0，y0）在圆C： 的内部，则直线x0 x + y0 y=1和圆C（ ）。 A．不相交 B．有一个交点 C．有两个交点，且两交点间的距离小于2 D．有两个交点，且两交点间的距离等于2 16．设 ，则 的极值点的个数是（ ）。 A．0 B．1 C．2 D．3 17．如果函数 在x0处可导，( = (x）( ，则极限 （ ）。 A．等于f '（x0） B．等于1 C．等于0 D．不存在 18．甲、乙两人百米赛跑的成绩一样，那么（ ）。 A．甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定一样 B．甲、乙两人每时刻的瞬时速度都不一样 C．甲、乙两人至少在某时刻的瞬时速度一样 D．甲、乙两人到达终点时的瞬时速度必定一样 19．方程 的实数根的个数是（ ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．设 ，则（ ）。 A．I=0 B．I(0 C．0(I(1 D．I=0 21．行列式 展开式中x4的系数是（ ）。 A．2 B．(2 C．1 D．(1 22．设 ， ，则必有（ ）。 A．AB=BA B．AB=BTAT C． = (8 D． =0 23．设A为4阶非零方阵，其伴随矩阵A*的秩r（A*）=0，则秩r（A）等于（ ）。 A．1或2 B．1或3 C．2或3 D．3或4 24．设A为m(n的非零矩阵，方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是（ ）。 A．A的列向量线性无关 B．A的列向量线性相关 C．A的行向量线性无关 D．A的行向量线性相关 25．已知三阶矩阵M的特征值为(1= (1，(2=0，(3=1，它们所对应的特征向量为(1=（1，0，0）T，(2=（0，2， ，(3=（0，0， ，则矩阵M是（ ）。 A． B． C． D． 2003年GCT入学资格考试数学基础能力试题 参考答案与解析 1．【答案】B 【解析】等差数列求和 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 分子= 分母=5+11=6 原式= 2．【答案】C 【解析】不超过10的素数为2，3，5，7；M= ，故与M最接近的整数为4。 3．【答案】B 【解析】 ，则一侧树的棵数为100+1=101，花的盆数为100，故两侧乘以2，故选B。 4．【答案】D 【解析】 ， ， 由 得 故a(b(c 5．【答案】D 【解析】设2月份产量为1，则3月份产量为1.1，4月份产量为0.99，故4月份比2月份产量减少 。 6．【答案】C 【解析】根据二次函数图像性质知，函数y=ax2+bx+c在[0，+(）上是单调增函数的充分必要条件必须满足 ，故选C。 7．【答案】D 【解析】令f（x）=x，有 得图像如下： 所以图像关于y轴对称。 故选D。 8．【答案】A 【解析】由已知可得： 所以x101+y101=1 9．【答案】A 【解析】抽三次正品的概率为0.93=0.729，故至少有一件是次品的概率为10.729=0.271。 10．【答案】B 【解析】由于A队赛4场，故A必须与其他四队都赛； D队已赛1场，D队只与A队赛； B队已赛3场，B队与A、C、E分别赛； C队已赛2场，C队与A、B分别赛。 所以E队已赛2场 11．【答案】D 【解析】如右图所示， =1， =2，(AOP=60°， = = 。 所以AB所在直线的方程为y= 12．【答案】C 【解析】因E、F分别为AB、BC的中点，所以DE和DF交AC于M，N等分AC，故 S△AMD=S△DMN=S△DNC（等底等高），S△AMD+S△DNC= S△BEF+S梯形MNEF= S阴影= 13．【答案】C 【解析】如右图可知，满足条件的有2条直线。 14．【答案】B 【解析】设正圆锥的底面半径以R，母线长为L，则圆锥侧面积=(RL 圆锥全面积=(R2+(RL 因此 故所求圆心角= ，选B。 15．【答案】A 【解析】令 在圆内， ，可代为x(2，故选A。 16．【答案】B 【解析】由f（x）= f '(x)=x3( x2= x2(x(1)，令f '(x)=0得x=0，x=1。显然x=1是f (x)的极值点；在x=0的邻域内f '(x)(0，不变号，则x=0不是f (x)的极值点，故选B。 17．【答案】C 【解析】df（x0）=f（x0+(x）f（x0） 18．【答案】C 【解析】甲、乙两人每时刻的瞬时速度可能一样，故A、B均错。 甲、乙两人每时刻的瞬时速度有可能一样，有可能不一样，故D错。 故选C。 19．【答案】B 【解析】令y1=x2 y2=xsinx+cosx= 由数形（如图）结合可知交点个数为2个。 20．【答案】D 【解析】 。 因为被积函数f (t)=-sin(sint)在 上是奇函数。所以I=0，故选D。 21．【答案】A 【解析】要使行列式 展开式中含x4，则在行列式中，各不同的行、列都有x，即（2x、x、x、x）=2x4（即对角线上都为x），故选A。 22．【答案】D 【解析】 AB= BA= |AB|= |BA|= BTAT= 23．【答案】A 【解析】r（A(）= 因r（A(）=0，r（A）≤42=2，故选A。 24．【答案】A 解 由AX=0，得 即a11x1+a12x2+…+a1nxn=0 因此，A的列向量线性无关，即x1=x2=…xn=0 25．【答案】D 【解析】M=[(1(1 (2 (3(3]= 故选D。 2004年GCT入学资格考试数学基础能力试题 （25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟） 1．在一条长3 600 m的公路一边，从一端开始等距竖立电线杆，每隔40 m原已挖好一个坑。现改为每隔60 m立一根电线杆，则需要重新挖坑和填坑的个数分别是（ ）。 A．50和40 B．40和50 C．60和30 D．30和60 2．某校有若干女生住校，若每间房住4人，则还剩20人未住下，若每间住8人，则仅有一间未满，那么该校有女生宿舍的房间数为（ ）。 A．4 B．5 C．6 D．7 3．甲、乙两种茶叶以x:y（重量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤50元，乙种每斤40元，现甲种茶价格上涨10%，乙种茶价格下降10%后，成品茶的价格恰好仍保持不变，则x:y等于（ ）。 A．1:1 B．5:4 C．4:5 D．5:6 4．设 ，则 =（ ）。 A．2 B．1 C．0 D．(1 5．在一条公路上，汽车A，B，C分别以80、70、50 km/h的速度匀速行驶，汽车A从甲站开向乙站，同时车B，车C从乙站出发与车A相向而行开往甲站，途中车A与车B相遇2h后再与车C相遇，那么甲、乙两站相距（ ）。 A．2 010 km B．2 005 km C．1 690 km D．1 950 km 6．已知 ，且满足 和 ，则（ ）。 A． B． C． D． 7．实数a，b，c在数轴上的位置如下图所示 图中O为原点，则代数式 =（ ）。 A． B． C． D． 8．设a，b，c均为正数，若 ，则（ ）。 A． B． C． D． 9． 表示z的幅角，今有 ， ，则 =（ ）。 A． B． C． D． 10．将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概率是（ ）。 A． B． C． D． 11．如图，直角△ABC中，∠C为直角，点E和D，F分别在直角边AC和斜边AB上，且AF=FE=ED=DC=CB，则∠A=（ ）。 A． B． C． D． 12．如图，长方形ABCD由四个等腰直角三角形和一个正方形EFGH构成，若长方形ABCD的面积为A，则正方形EFGH的面积为（ ）。 A． B． C． D． 13．△ABC中，AB=5，AC=3，∠A=x，该三角形BC边上的中线长是x的函数 ，则当x在（0，(）中变化时，函数 的取值的范围是（ ）。 A．（0，5） B．（1，4） C．（3，4） D．（2，5） 14．直线l与直线 关于直线 对称，则直线l的方程是（ ）。 A． B． C． D． 15．在圆心为O，半径为15的圆内有一点P，若OP=12，则在过P点的弦中，长度为整数的有（ ）。 A．14条 B．24条 C．12条 D．11条 16．如图， 、 是两个逐段线性的连续函数，设 ， 的值为（ ）。 A． B． C． D． 17．过点 作曲线 的切线，设该曲线与切线及y轴所围成的面积为A1，曲线与直线 及x轴所围成的面积为A2，则（ ）。 A． B． C． D． 18．如下不等式成立的是（ ）。 A．在（(3，0）区间上， B．在（(3，0）区间上， C．在 区间上， D．在 区间上， 19．设 为连续函数，且 ，则 （ ）。 A．0 B．1 C．(1 D．( 20．如图，抛物线 把曲线y= x（b(x）（b(0）与x轴所构成的区域面积分为AA与AB两部分，则（ ）。 A． B． C． D． 的大小关系与b的数值有关 21．设 ，则行列式 （ ）。 A．8M B．2M C．(2M D．(8M 22．若向量(，(，( 线性无关，而向量(+2(，2(+k(，3(+( 线性相关，则k=（ ）。 A．3 B．2 C．(2 D．(3 23．设 ，则矩阵 中，第3行第2列的元素是（ ）。 A． B． C．1 D． 24．设矩阵 ，三阶矩阵 ，且满足AB=0，则（ ）。 A． B． C． D． 25．下列矩阵中，与对角矩阵 相似的矩阵是（ ）。 A． B． C． D． 2004年GCT入学资格考试数学基础能力试题 参考答案与解析 1．【答案】D 【解析】每隔40 m挖坑的数为：3 600 (40+1=91 每隔60 m挖坑的数量为：3 600 (60+1=61 由于40与60的最小公倍数为120，可知挖重叠的坑的数量为：3 600 (120+1=31 因此需要重新挖坑的数量为：61(31=30 填坑的数量为：91(31=60 故选D。 2．【答案】C 【解析】设该校有女生宿舍x间，则有 3．【答案】C 【解析】价格变化前成品价格为 元 价格变化时成品价格可表示为 元 浮动前后成品价格保持不变 解得5x=4y，得x:y=4:5 4．【答案】B 【解析】Sn=1(2+3(4+…+（(1）n(1n= S2 004= (1 002 S2 005= 因此 5．【答案】D 【解析】设A，B相遇时所用时间为th，则A，C相遇所用时间（t+2）h， 有（70+80）t=（80+50）（t+2）(t=13h，因此甲、乙两站距离为（70+80）(13=1 950 km 6．【答案】B 【解析】 2a2+2 008a+3=0(4a2+2 008(2a+6=0 ① 3b2+2 008b+2=0(9b2+2 008(3b+6=0 ② 式①(②得（2a(3b）（2a+3b）+2 008（2a(3b）=0 （2a(3b）（2a+3b+2 008）=0 2a(3b=0或2a+3b+2 008=0 7．【答案】A 【解析】由图可知b(a(0，c(0，因此a+b(0，b(a(0，a(c(0 故有|a+b|(|b(a|+|a(c|+c= (a(b+b(a(（a(c）+c= (3a+2c 8．【答案】A 【解析】 ( ( ( ( ( ( 因a、b、c均为正数，故a+b(b+c(a+c，b(a(c 9．【答案】D 【解析】依题意可知： 10．【答案】C 【解析】3个空格相连的放法有 =6种，又总的放法有 种（由于是相同的球，故不是 ），故3个空格相连的概率为 。 11．【答案】C 【解析】AF=FE=ED=CB(∠A=∠FEA，∠EFB=∠EDA，∠DCE=∠DEC，∠B=∠CDB 由三角形性质知：∠EFB=2∠A ∠EFB+∠A=∠CED(∠CED=3∠A 又因∠C= ，知 (∠A= 12．【答案】C 【解析】设AB=a，BC=b，则S=ab 由△ADE，△AHB，△EFC和△BGC都是等腰直角三角形，知 |AH|= 又因四边形EFGH是正方形，故 ，即有a = A正方形EFGH= = 13．【答案】B 【解析】如右图可知A△ABC= A△ABD= A△ADC= A△ABC=A△ABD+A△ADC( ① 在△ACD和△ABD中由余弦定理得： 因D是BC的中线，故 ② 由式①2+②2整理得34y2(30y2cos（(((）=225sin2x +64（((( =x） （15cos x(y2）2=（17(y2）2 2y2=17(15cos x 由x((0,()，知1(y2(16即1(y(4 14．【答案】A 【解析】因为直线x+y=0是二、四象限角平分线，所以已知直线上的点P1（0，(1）关于直线x= (y的对称点Q（1，0），点P2（ ，0）关于直线x+y=0的对称点R（0， ），Q（1，0），R（0， ）所在直线方程为 ，即 。 15．【答案】B 【解析】最长的弦长是直径，OP垂直于所求直线时，弦长为最短。 最短的弦长为 ，最长的弦长 。 因此18≤l≤30，l可取13个整数，其中最小弦长和最大弦长各对应一条弦，其余11个整数每个对应两条弦，共有24条。故选B。 16．【答案】A 【解析】由图知 当0(x≤ 时，2≤g（x）(6 （0(x≤ ） 故u'（1）= 17．【答案】D 【解析】 18．【答案】B 【解析】x≥0(x+3≥3(ln ≥ln3(ln ≥ln3(x 当(3(x(0时，有3(3+x，ln3(ln ，ln3(x(ln ，故选B 19．【答案】C 【解析】因 =sinx+xcosx，而 故 20．【答案】B 【解析】如图所示：有交点 得x(0或 AB=A1+A 2 A1= =（ ）b3=（ ）b3 所以 所以 ，故选B。 21．【答案】D 【解析】 故选D。 22．【答案】D 【解析】设x1（(+2(）+x2（2(+k(）+x3（3(+(）= 0 （x1+x3）( +（2x1+2x2）( +（kx2+3x3）(=0 由(，(，(线性无关，知 23．【答案】B 由C=AB(1 所以C(1=(AB(1) (1=BA(1 又 ，则 ． 故选B。 24．【答案】A 【解析】设 因AB=0，B(0，故有 故可取 故选A。 25．【答案】C 【解析】根据相关概念可知C为正确答案。 2005年GCT入学资格考试数学基础能力试题 （25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟） 1． 的值是（ ）。 A． B． C． D． 2．设p为正数，则 (（ ）。 A． B． C． D． 3．在四边形 中对角线AC，BD垂直相交于 点，若 ，则四边形 的面积为（ ）。 A．1 080 B．840 C．720 D．540 4．某项工程8个人用35天完成了全工程量的 ，如果再增加6个人，那么完成剩余的工程还需要的天数是（ ）。 A．18 B．35 C．40 D．60 5．已知 ，则 =（ ）。 A．50 B．75 C．100 D．105 6．2005年，我国甲省人口是全国人口的 ，其生产总值占国内生产总值的 ;乙省人口是全国人口的 ，其生产总值占国内生产总值的 ，则2005年甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是（ ）。 A． B． C． D． 7．复数 的模 =（ ）。 A．4 B． C．2 D． 8．三个不相同的非0实数 成等差数列，又 恰成等比数列，则 等于（ ）。 A．4 B．2 C．(4 D．(2 9．任取一个正整数，其平方数的末位数字是4的概率等于（ ）。 A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 10．一个圆锥形容器（甲）与一个半球形容器（乙），它们的开口圆的直径与高的尺寸如图所示（单位:dm），若用甲容器取水注满乙容器，则至少要注水（ ）次。 A．6 B．8 C．12 D．16 11．在△ 中， ，过C点以C到AB的距离为直径作圆，该圆与AB有公共点，且交AC于 ，交BC于N，则MN等于（ ）。 A． B． C． D． 12．已知 ， 则 的值是（ ）。 A． B． C． D． 13．已知P为反比例函数 图像上的一点，过P分别作两坐标轴的平行线，交Ox轴于M，交Oy轴于N，则△MPN的面积为（ ）。 A． B．1 C． D． 14．设一个圆的圆心为P（6，m），该圆与坐标轴交于 两点，则 到坐标原点的距离是（ ）。 A． B．8 C．10 D． 15．已知 ，若圆 的圆心在第四象限，则方程 的图形是（ ）。 A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 16．设函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）。 A． B． C． D． 17．函数 在 上有（ ）。 A．1条竖直渐近线，1条水平渐近线 B．1条竖直渐近线，2条水平渐近线 C．2条竖直渐近线，1条水平渐近线 D．2条竖直渐近线，2条水平渐近线 18．设 在点 处可导，且 则 =（ ）。 A．0 B．1 C．2 D．3 19．若 的二阶导数连续，且 ，则对任意常数(，必有 =（ ）。 A． B．1 C．0 D． 20．设 的一个原函数，则不定积分 =（ ）。 A． B． C． D． 21．设连续函数 在 内严格单调递增，且 ，若 的反函数，则 =（ ）。 A． B． C． D． 22．设向量 ，则向量组 的一个极大线性无关组是（ ）。 A． B． C． D． 23．设 ，则A的对应于特征值2的一个特征向量是（ ）。 A． B． C． D． 24．已知X为n维单位列向量， 为X的转置， 为单位矩阵，若 ，则G2等于（ ）。 A．G B． C．1 D． 25．设 是方程 的三个根，则行列式 的值等于（ ）。 A．1 B．0 C．(1 D．(2 2005年GCT入学资格考试数学基础能力试题 参考答案与解析 1．【答案】A 【解析】细心观察一下此题很有规律。 原式= EMBED Equation.DSMT4 故A为正确答案。 2．【答案】C 【解析】此题看起来很复杂，有未知数存在，但如果我们应用韦达定理问题就简单多了，因为p为正数，故两根之和为负数，故C为正确答案。 3．【答案】D 【解析】因为 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 故D为正确答案。 4．【答案】C 【解析】根据题意，设需 天完成。则有： 故选C。 5．【答案】B 【解析】由已知 将①、②、③式的两边分别平方后相加即得。 所以 故选B。 6．【答案】D 【解析】此题可设全国人口为 ，国内生产总值为 。 则由题意，有甲省人均生产总值为 ，乙省为 故二者的比值为 。 解此类题就是把未知的假设出来，问题一下就可以简化易解了。从而得出答案为D。 7．【答案】C 【解析】由复数的性质， 。 故 EMBED Equation.DSMT4 故选C。 8．【答案】A 【解析】此题可以按等差或按等比将三个数设出来，再根据性质求解方程组显然麻烦。 这里我们直接利用等差中项： ① 等比中项 ② 联立①②可得： ③ 将等式两边同时除 ，即 ④ 显然得 （舍去） 故选A。 9．【答案】B 【解析】显然这些数都是由数字0～9组合成的。 其中平方数的末位数为4的只有数字2和8。 故其概率为 故选B。 10．【答案】B 【解析】此题实质就是比较甲、乙两容器的体积。 故 的8倍，即至少注入8次，答案为B。 11．【答案】B 【解析】首先按题意作图，显然△ABC为直角三角形，其中 ，而 为圆上两点，故△MCN为直角三角形，由圆以几何性质可知， 即为此圆的直径，即 距离，即为B答案。 12．【答案】A 【解析】此题要是按 展开计算非常麻烦，我们这里就以特殊代一般，这是解决选择题的最好办法。 设 ，则 。 所以 EMBED Equation.DSMT4 故选A。 13．【答案】C 【解析】如图所示，可设 则S△PMN = EMBED Equation.DSMT4 故选C。 14．【答案】C 【解析】如图所示，由垂径定理可知 。 故 所以， 。 故选C。 15．【答案】B 【解析】由 变形得 又 ，圆心 在第四象限。 所以 。 故为椭圆，选B。 16．【答案】D 【解析】由已知可得 故选D。 17．【答案】D 【解析】当 故 为两条竖直渐近线。 故 为2条水平渐近线。 故选D。 18．【答案】C 【解析】因为 EMBED Equation.DSMT4 所以 即 由导数定义，在0处可导， 即 EMBED Equation.DSMT4 故选C。 19．【答案】A 【解析】 = EMBED Equation.DSMT4 = 故选A。 20．【答案】C 【解析】由题意 = ① 又 将①式代入原式 EMBED Equation.DSMT4 故选C。 21．【答案】B 【解析】此题如利用积分反函数将原式变形计算会很复杂。 这里我们用数形结合，由题意 上单增， 。故可设图象如图所示。 则 = 因为 为 的反函数，故原式= 由此式可以看出原式实质上为两个图形与 轴围成图形的面积，即为边长为 的正方形的面积 即 。 故选B。 22．【答案】D 【解析】设 显然，极大线性无关组 都可以，所以选D。 23．【答案】D 【解析】由 2为A的特征值。 将 代入即可求出答案为D。 24．【答案】A 【解析】因为X为n维单位列向量， 所以 = =G 故选A。 25．【答案】B 【解析】 的三个根显然很难解。 a，b，c是三次方程x3(2x+4=0的三个根，则(x(a)(x(b)(x(c)=0与方程x3(2x+4=0等价，即x3( (a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x(abc=0与x3(2x+4=0等价。对应系数相等得：abc=(4，a+b+c=0。原行列式=3abc((a3+b3+c3)=3abc((2a(4+2b(4+2c(4)=12+3abc(2(a+b+c)=12+3(((4) (2(0=0，故选B。 2006年GCT入学资格考试数学基础能力试题 （25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟） 1． （ ）。 A． B． C． D． 2．100个学生中，88人有手机，76人有电脑，其中有手机没电脑的共15人，则这100个学生中有电脑但没有手机的共有（ ）人。 A．25 B．15 C．5 D．3 3．如图所示，小半圆的直径EF落在大半圆的直径MN上，大半圆的弦AB与MN平行且与小半圆相切，弦AB=10cm，则图中阴影部分的面积为（ ）cm2。 A．10 B．12.5 C．20 D．25 4．方程x2(2 006 =2 007所有实数根的和等于（ ）。 A．2 006 B．4 C．0 D．(2 006 5．已知长方形的长为8，宽为4，将长方形沿一条对角线折起压平如图所示，则阴影三角形的面积等于（ ）。 A．8 B．10 C．12 D．14 6． 是（ ）。 A．i B．–i C．1 D．–1 7．一个圆柱形容器的轴截面尺寸如图所示，将一个实心铁球放入该容器中，球的直径等于圆柱的高，现将容器注满水，然后取出该球（假设原水量不受损失），则容器中水面的高度为（ ）。 A． cm B． cm C． cm D． cm 8．P (a，b)是第一象限内的矩形ABCD（含边界）中的一个动点，A，B，C，D的坐标如图所示，则 的最大值与最小值依次是（ ）。 A． ， B． ， C． ， D． ， 9．一个容积为10升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出a升酒精后，用水将量杯注满并搅拌均匀，第二次仍倒出a升溶液后再用水将量杯注满并搅拌均匀，此时量杯中的酒精溶液浓度为49%，则每次的倒出量a为（ ）升。 A．2.55 B．3 C．2.45 D．4 10．如图所示，垂直于地平面竖立着一块半圆形的木板，并使太阳的光线恰与半圆的直径AB垂直，此时半圆板在地面的阴影是半个椭圆面。已知地面上阴影的面积与木板面积之比等于 ，那么光线与地平面所成的角度是（ ）。 A．15° B．30° C．45° D．60° 11．某型号的变速自行车主动轴有3个同轴的齿轮，齿数分别是48、36和24，后轴上有4个同轴的齿轮，齿数分别是36、24、16和12，则这种自行车共可获得（ ）种不同的变速比。 A．8 B．9 C．10 D．12 12．在平面 上给定线段AB=2，在 上的动点C，使得A，B，C恰为一个三角形的3个顶点，且线段AC与BC的长是不等的两个正整数，则动点C所有可能的位置必定在某（ ）上。 A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．直线 13．桌上有中文书6本、英文书6本、俄文书3本。从中任取3本，其中恰有中文书、英文书、俄文书各1本的概率是（ ）。 A． B． C． D． 14．设n为正整数，在1与n(1之间插入n个正数，使这n(2个数成等比数列，则所插入的n个正数之积等于（ ）。 A．(1(n) B．(1(n)n C．(1(n)2n D．(1(n)3n 15．设二次函数f (x)=ax2(bx(c的对称轴为x=1，其图像过点（2，0），则 =（ ）。 A．3 B．2 C．(2 D．(3 16．设f (x)>0，且导数存在， （ ）。 A．0 B． C．lnf '(a) D． 17． （ ）。 A．2个极值点，3个拐点 B．2个极值点，2个拐点 C．2个极值点，1个拐点 D．3个极值点，3个拐点 18．设正圆锥母线长为5，高为h，底面圆半径为r。在正圆锥的体积最大时， =（ ）。 A． B． C． D． 19． （ ）。 A．0 B．1 C．2 D．3 20．如图所示，曲线P= 表示某工厂十年间的产值变化情况。设 是可导函数，从图形上可以看出该厂产值的增长速度是（ ）。 A．前两年越来越慢，后五年越来越快 B．前两年越来越快，后五年越来越慢 C．前两年越来越快，后五年越来越快 D．前两年越来越慢，后五年越来越慢 21． （ ）。 A． B．1 C． D． 22． 的第一行的行向量是（ ）。 A． B． C． D． 23． EMBED Equation.DSMT4 （ ）。 A．(2 B．(1 C．2 D．3 24． （ ）。 A． B． C． D． 25． （ ）。 A． B． C． D． 2006年GCT入学资格考试数学基础能力试题 参考答案与解析 1．【答案】C 【解析】原式= ( = EMBED Equation.DSMT4 ，故应选C。 2．【答案】D 【解析】设这100个学生中有电脑但没有手机的共有 人，既有电脑又有手机的共有 人。 则由已知得： ，解得： =3， =73。故正确答案为D。 3．【答案】B 【解析】设大半圆和小半圆的半径分别为R和r。 因为AB//MN，则大半圆圆心到弦AB的距离为AB与MN间的距离，又因为AB与小半圆相切，则这个距离为 。得到 。 阴影部分面积= = cm2。 故应选B。 4．【答案】C 【解析】方法一，直接求解。原方程等价于方程组 由①得： （舍去）， =2 007；由②得： =1（舍去）， 。 实数根之和=2 007(（(2 007）=0，故应选C。 方法二，函数 为偶函数，则方程 的根关于 轴对称，且成对出现，故这些根的和为0 。 5．【答案】B 【解析】如图所示。根据图形对称性得： 因为 所以 。在 △ABE中， = ，即 = 解方程得：AE= =3。阴影△BED的面积 A△BED= A△ABD( A△ABE 。 故应选B。 6．【答案】A 【解析】因为 ，所以 。复数 ，故其共轭复数 ，应选A。 7．【答案】D 【解析】设取出球后容器中水面的高度为 ，则水的体积 。 取出球前 。 因为取球前后水的体积不变，即 ，得： 。 故应选D。 8．【答案】A 【解析】 的值相当于线段OP所在直线的斜率。在第一象限内此斜率随着倾斜角的增大而增大。因此从右图中可以看出： 当P点与A点重合时，OP斜率最大，即 ； 当P点与C点重合时，OP斜率最小，即 。故应选A。 9．【答案】B 【解析】量杯中剩余的酒精量为10 49%= 10 ，整理得 。 解方各得 或 （舍去），故应选B。 10．【答案】B 【解析】过线段AB的中点O在木板半圆面内作OC⊥AB交半圆于点C，则OC= 。同理在椭圆面内作OD⊥AB交椭圆于点D，连接CD。OD是椭圆的半长轴，长度设为 ，且D点是C点的投影点，则CD平行于光线，即∠ODC为光线与地平面所成的角。 因为AB⊥OC，AB⊥OD，所以∠COD为两面夹角，又木板面垂直于地面，则∠COD=90°。 半圆面积为 ，半椭圆的面积为 ，因为 ，则 。 在Rt△COD中， ，∠ODC=30°，故应选B。 11．【答案】A 【解析】当主动轴的齿数为48时，变速比为 共4种。 当主动轴的齿数为36时，变速比为 ，共4种。 当主动轴的齿数为24时，变速比为 ，共4种。 其中变速比相同的有四对，故变速比的种数为4(4(4(4=8，应选A。 12．【答案】C 【解析】因为A、B、C恰为三角形的3个顶点，所以 。 又线段AC与BC的长是不等的两个正整数，则 是一个正整数且它的值小于2，所以 ， =2，符合双曲线的定义，故动点C必在某双曲线上，即应选C。 13．【答案】C 【解析】从桌上所有的书（共15本）中任取3本的方式有 种，3本中每样各一本的取法共有 种，则所求概率为 。故应选C。 14．【答案】A 【解析】设这 个数组成的等比数列的公比为 ，数列记为 ，则 。 其中 ，故 。这 个数均为正数，则 。 所插入的n个正数之积 即 ，又 ， 所以 。故应选A。 15．【答案】D 【解析】因为二次函数 的对称轴为 ，且图象过点（2，0）。 所以得到 即 。 又 则 ，故应选D。 16．【答案】D 【解析】因为 且导数存在。 另一种方法：令 ，由 且导数存在知 可导。 = EMBED Equation.DSMT4 因为 ，所以 ，故应选D。 17．【答案】A 【解析】当 时， ，则 ， 。 当 时， ，则 ， 。 因为 和 是初等函数，所以 是原函数的极值点， 是原函数的拐点。 当 时，原函数连续， ，且 时， 时。 ，故 点不是原函数的极值点。 又原函数的导函数在 处连续，即 ，且 时， 。 时， ，则知 处是原函数的拐点。 综上所述，曲线 在（0，2）区间内有2个极值点，3个拐点。即应选A。 18．【答案】C 【解析】正圆锥的母线长、高和底面圆半径满足勾股定理，即 。 因为25= ，所以 （当且仅当 时等号成立）。 圆锥体积 ， ，此时 ， ，故应选C。 19．【答案】B 【解析】令 EMBED Equation.DSMT4 。 则 。且 ， 。因为 和 中的被积函数 和 EMBED Equation.DSMT4 上均大于0，且 和 的积分上限 大于积分下限0。 所以 又 ，即 在 上严格单调递增，所以方程 在 上只有一个根，故应选B。 20．【答案】A 【解析】该厂产值的增长速度是曲线 的斜率 。因为 ，即图形下凹时， 增大； ，即图形上凸时， 减小。观察图形的凸凹性得到答案A。 21．【答案】B 【解析】 是线性函数且过 和（0，1）两点，故 。 = 。 因为函数 是以2为周期的连续周期函数，且 在一个周期内积分的值为三角形的面积。 所以一个周期内积分为 ，区间[1，7]共包括3个周期，则 。 即 ，故应选B。 22．【答案】C 【解析】 ， ，则 ， ， 。 由 得： ，即： 。 用 的最后一行（1 0 0）与 的乘积所得的结果（2 0 1）即为 的第一行的行向量，故应选C。 23．【答案】D 【解析】因为矩阵A是三阶矩阵且秩 =1。所以方程组 =0的解只有两个独立的解向量。 即 线性相关。由 组成的行列式 。 又 ，则 ，故应选D。 24．【答案】C 【解析】向量组 线性无关的充要条件是系数行列式 ， 即 。故 是向量组 线性无关的必要不充分条件，应选C。 25．【答案】B 【解析】矩阵B已经是对角矩阵，故其特征值为2， 和(1。 =0得到，A矩阵的特征值方程： 。因为A的特征值和B的特征值对应相等，所以 是方程 的两根，将根代入方程得 ， ，故应选B。 2007年GCT入学资格考试数学基础能力试题 （25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟） 1． 的值是（ ）。 A． B． C． D． 2．集合 的子集的个数为（ ）。 A．18 B．16 C．15 D．14 3．方程 的解为（ ）。 A． B． C． D． 4．图中，大长方形被平行于边的直线分成了9个小长方形其中位于角上的3个小长方形的面积已经标出，则角上第4个小长方形的面积等于（ ）。 A．22 B．20 C．18 D．11.25 5．一个直圆柱形状的量杯中放有一根长为12cm的细搅棒（搅棒直径不计），当搅棒的下端接触量杯下底时，上端最少可露出杯中边缘2cm，最多能露出4cm，则这个量杯的容积为（ ）cm3。 A．72( B．96( C．288( D．384( 6．甲乙两人沿同一路线骑车（匀速）从A区到B区，甲需用30min，乙需用40min。如果乙比甲早出发5min去B区，则甲出发后经（ ）min可以追上乙。 A．25 B．20 C．15 D．10 7．如图，∠BAF(∠FEB(∠EBC(∠ECD(90°，∠ABF(30°，∠BFE(45°，∠BCE(60°且AB(2CD，则tan∠CDE(（ ）。 A． B． C． D． 8．复数z(i(i2( i3( i4( i5( i6( i7，则(z(i((（ ）。 A．1 B． C． D．2 9．有两个独立的报警器，当紧急情况发生时，它们发出信号的概率分别是0.95和0.92，则在紧急情况出现时，至少有一个报警器发出信号的概率是（ ）。 A．0.920 B．0.935 C．0.950 D．0.996 10．两个不等的实数a与b，均满足方程x2(3x(1，则 的值等于（ ）。 A．(18 B．18 C．36 D．(36 11．48支足球队，等分为8组进行初赛，每组中的各队之间都要比赛一场，初赛中比赛的总场数为（ ）。 A．288 B．240 C．120 D．48 12．当x((1或x((2时， 恒成立，则（ ）。 A．m((2，n(3 B．m((3，n(2 C．m(2，n((3 D．m(3，n((2 13．对任意两个实数a，b，定义两种运算： 和 算式（5 7） 5和算式（5 7） 7分别等于（ ）。 A．5和5 B．5和7 C．7和7 D．7和5 14．△ABC中，∠A:∠B:∠C(3:2:7，如果从AB上的一点D做射线l，交AC或BC边于E点，使∠ADE(60°，且l分△ABC所成两部分图形的面积相等，那么（ ）。 A．l过C点（即E点与C重合） B．l不过C点而与AC相交 C．l不过C点而与BC相交 D．l不存在 15．在圆 所围区域（含边界）中，P（x，y）和Q（x，y）是使得 分别取得最大值和最小值的点，线段PQ的长是（ ）。 A． B． C． D． 16．设y( ，则 (（ ）。 A．1 B．(1 C． D． 17．若 ，则必定（ ）。 A．f（1）(4 B．f（x）在x(1处无定义 C．在x(1的某邻域（x( 1）中，f（x）(2 D．在x(1的某邻域（x(1）中，f（x）(4 18．下图中的三条曲线分别是：① f（x），② ，③ 的图形，按此排序，它们与图中所标示 ， ， 的对应关系是（ ）。 A． B． C． D． 19．设函数f（x）可导，且f（0）(1，f(（(lnx）(x，则f（1）(（ ）。 A．2(e(1 B．1(e(1 C．1(e(1 D．e(1 20．曲线 上的点与单位圆 上的点之间的最短距离为d，则（ ）。 A．d(1 B．d(（0，1） C． D． 21．若函数 在x(0点连续，则a(（ ）。 A．(9 B．(3 C．0 D．1 22．A(是A( 的伴随矩阵。若三阶矩阵X满足A(X( A，则X的第3行的行向量是（ ）。 A．（2 1 1） B．（1 2 1） C． D． 23．行列式 展开式中的常数项为（ ）。 A．4 B．2 C．1 D．0 24．1与(1是矩阵A( 的特征值，则当t(（ ）时，矩阵A可对角化。 A．2 B．1 C．0 D．(1 25．设A( ，b(（(1 (1 (）T，则当((（ ）时，方程组AX(b无解。 A．1 B．2 C．(1 D．(2 2007年GCT入学资格考试数学基础能力试题 参考答案与解析 1．【答案】D 【解析】分子为 ；分母是一个首项为20=1，公比为2的等比数列，求和得： 。 题中原等式= ，故应选D。 2．【答案】B 【解析】总的组合数为 ，也即子集数为16个。都出现即为该集合本身，都不出现即为空集(。故正确答案为B。 3．【答案】C 【解析】 ；又 ，则有 ，解得 ，故应选C。 4．【答案】B 【解析】上下对应的长方形底边相等，左右对应的长方形侧边相等。则上下或左右长方形面积比相等。即 或 （x为第4个小长方形的面积），得到x=20，故应选B。 5．【答案】A 【解析】h=12(4=8cm，l=12(2=10cm，则量杯的底面圆直径 cm，即r=3cm。量杯的体积为： ，故应选A。 6．【答案】C 【解析】因为s=vt，所以 （当s不变时）。从A区到B区，甲需用30min，乙需用40min，则 。乙比甲早出发5min去B区，设甲出发经t分钟可以追上乙，因路程相同， ，则t=15，故应选C。 7．【答案】A 【解析】在Rt△ABF中，AB =2CD且(ABF =30°，则 ；又在Rt△EBF中，(BFE=45°， ；在Rt△BEC中，(BCE=60°， ；在Rt△CDE中， ，故应选A。 8．【答案】B 【解析】复数z =i+i2+i2(i+i2(i2+i2(i2(i+i2(i2(i2+i2(i2(i2(i=i(1(i+1+i(1(i=(1，则 ，故应选B。 9．【答案】D 【解析】设事件A为“其中一个报警器发出信号”，事件B为“另一个报警器发出信号”，则P(A)=0.95，P(B)=0.92。事件A、B至少有一个发生的对立事件为两个均不发生，此事件的概率为：1([1(P(A)][1(P(B)]=1((1(0.95)((1(0.92)=0.996。故应选D。 10．【答案】D 【解析】a、b是方程x2(3x+1=0的两个不等实根，由韦达定理得 。因 ，故应选D。 本题不必求出a，b，直接利用根与系数的关系更为简便易行。 11．【答案】C 【解析】48支足球队，等分为8组，则每组6支足球队。每组内部的比赛场次可用下述两种方法计算，一是先拿出1支球队，剩下的5支球队要与它比赛，共有5场；再选出1支，剩下的4支球队要与它比赛，共有4场，依此类推，总共场数为5+4+3+2+1=15；二是排列组合方法选择，共有组合 种，并要不考虑选择的顺序，除以排列数 ，即 =15。每组要比15场，共有8组，则初赛的场次共有8(15=120场，故应选C。 12．【答案】A 【解析】当x((1和x((2时， 恒成立，即对应系数相等，即 ，解得 ，故应选A。 13．【答案】B 【解析】a(b的结果是a与b中的较大者，a(b的结果则取较小者，则算式（5(7）(5=5，（5(7）(7=7，故应选B。 14．【答案】B 【解析】在△ABC中，(A:(B:(C=3:2:7且(A+(B+(C=180°，故有(A= (180°=45°，(B= (180°=30°， (C= (180°=105°。考虑临界位置，即C与E重合，此时 由于(ADE=60°，则(ACD=75°，(DCB=30°，且得到DC=DB。在△ACD中，因为75°( 45°，所以AD(DC=DB。S△BCD= EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 S△ABC 。又因(ADE=60°恒成立，欲使DE分△ABC为面积相等的两块，DE应向左下方平移，即射线l不过C点而与AC相交，故应选B。 15．【答案】C 【解析】圆的方程可化为： ，即圆心为O'（3，4），半径为2，整个圆处于第一象限。直线y=kx与圆相切时， 取得最大值和最小值，如右图所示，上下切点即为P和Q。连接O'P，O'Q，PQ和OO'。根据圆的切线的性质，O'P=O'Q=2，(OPO'=(OQO'=90°，则△OPO' (△OQO'，OO'平分(PO'Q，OO'(PQ且平分PQ于M。长度OO'= =5。 则在Rt△OO'Q中，OQ= ，sin(OO'Q 。在Rt△O'MQ中， (O O'Q ，PQ= ，故应选C。 16．【答案】A 【解析】 ，则 。 ，故应选A。 17．【答案】C 【解析】某一点的极限与该点有无函数无关，因此可排除A、B两项；f（x）(4也满足题意，故可排除D。对于C选项，因 ，则 ，故有在x(1的某邻域（x(1）中，f（x）(2(0即f（x）(2，故应选C。 18．【答案】D 【解析】 与 分别为函数f（x）在区间[x，x(1]和区间[x，x(3]上的平均值。因为y1（x），y2（x），y3（x）在区间[x，x(1]和[x，x(3]上均有负值，其平均值应比f（x）的峰值小，因此f（x）( y3（x）。此时 明显小于零，而y2（0）明显小于零，据此可知 (y2（x），则 (y1（x），故应选D。 19．【答案】A 【解析】令(lnx(t，则x(e(t，由f(（(lnx）(x得f(（t）(e(t，又f（0）(1，f（t）( f（0）( ，则：f（t）(2(e(t，f（1）(2(e(1故应选A。 20．【答案】D 【解析】曲线 上任意一点坐标为（x， ），它到单位圆圆心的距离为： ( ≥ ，当且仅当 时等 号成立。最短距离 。因为 ，所以 ，即 ，故应选D。 21．【答案】A 【解析】若函数f（x）在x(0点连续，f（0）(a ( ，故应选A。 22．【答案】C 【解析】 (2(0，则矩阵A可逆且A(( 。A(X(A化为 ，两边同乘以 ， 得 ，则X的第3行的行向量为 ，故应选C。 23．【答案】D 【解析】行列式 中的x均为零时，结果即为常数项，即常数项 ，故应选D。 24．【答案】C 【解析】特征值之和等于矩阵A对角线元素之和，则得第3个特征值为：（3(1(3）(（1(1）((1，即(1为二重特征值。欲使A可对角化，则(1必对应两个线性无关的特征向量，即秩r（A(E）(1，对A(E作行等效变换， ，r（A(E）(1，则t(0，即t(0时，矩阵A可对角化，故应选C。 25．【答案】B 【解析】方程组AX(b无解，表明r（A）( r（A(b），对增广矩阵作行变换， （A(b）( r（A）( r（A(b），则有 ，得((2，故应选B。 2008年GCT数学试题及答案 第二部分 数学基础能力测试 （25题，每题4分，共100分） 1.已知 ， ， ，则 =（ ） A. B. C. D. 2.请你想好一个数，将它加5，将其结果乘以2，再减去4，将其结果除以2，再减去你想好的那个数，最后的结果等于（ ） A. B.1 C. D.3 3．如图1，MN是圆 的一条直径， 是一个正方形， 在 上， 在圆 上，如果正方形的面积等于8，则圆 的面积等于（ ） A． B． C． D． 4．某人从家到工厂的路程为 米有一天，他从家去工厂，先以每分钟 米的速度走了 米后，他加快了速度，以每分钟 米的速度走完了剩下的路程，记该人在 分钟走过的路程为 米，那么函数 的图像是 5.抛物线 的图像不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.一个长方形的对角线长为 厘米，全面积为22平方厘米，则这个长方体所有的棱长之和为（ ）厘米。 A.22 B.24 C.26 D.28 7.把浓度为50%的酒精溶液90千克全部稀释为浓度为30%的酒精溶液，需要加水（ ）千克。 A.60 B.70 C.85 D.105 8.i是虚数单位， 的模等于（ ） A.64 B. C.8 D. 9．如图2，在正方形网络中， 是三个格点，设 ，则 的值是 A． B． C． D． 10.将8名乒乓球选手分为两组，每组4人，则甲、乙两位选手不在同一组的概率为（ ） A. B. C. D. 11.假设地球有两颗卫星A、B在各自固定的轨道上绕地球运行，卫星A绕地球一周用 小时，每经过144小时，卫星A比卫星B多绕地球35周，卫星B绕地球一周用（ ） A. B. C. D. 12.五个不同的数，两两之和依次等于3，4，5，6，7，8，11，12，13，15.这五个数的平均值是（ ） A.18.8 B.8.4 C.5.6 D.4.2 13.在平面直角坐标系中，已知两点 EMBED Equation.DSMT4 ,则由坐标原点O到线段AB中点M的距离是（ ） A. B. C. D.1 14.两个正数a，b（a＞b）的算术平均值是其几何平均值的2倍，则与 最接近的整数是（ ） A.12 B.13 C.14 D.15 15.AB是抛物线 的过焦点F的一条弦.若AB的中点M到准线的距离等于3，则弦AB的长等于（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 16.设 ，则有（ ） A. B. C. D. 17.若函数f(x)可导，且 ，则 =（ ） A. 0 B. 1 C. D. 4 18. 函数f(x)在 上具有连续导数，且 ，则（ ） A. f(x)在 上有界 B. 存在 C. 存在 D. 19.当 时，函数f(x)可导，有非负的反函数g(x),且恒等式 成立，则函数f(x)=( ) A. 2x+1 B. 2x-1 C. D. 20.已知 ，当x>0时，总有 成立，则参数k的最小取值是（ ） A.32 B.64 C.72 D.96 21.若 是f(x)的一个原函数，则 =（ ） A. B.-1 C. D.1 22.若线性方程组 有无穷多解，则a=（ ） A.1或4 B.1或-4 C.-1或4 D.-1或-4 23.若线性方程组 ， ， ， 的秩为2，则t=（ ） A. 1 B.0 C.-1 D.-2 24.设 是三维列向量， 是 的转置，若 ，则 EMBED Equation.DSMT4 =（ ） A.4 B.6 C.8 D.12 25.设 是 的伴随矩阵，则 的一个特征值为（ ） A.3 B.4 C.6 D.9 2008 GCT全国联考A 卷参考答案 数学答案：1. A 2.D 3.C 4.D 5.B 6.B 7.A 8.C 9.A 10.B 11.C 12.D 13.C 14.C 15.B 16.B 17.D 18.D 19.B 20.B 21.A 22.C 23.A 24.B 25.A 2009年GCT数学真题及答案 第二部分数学基础能力测试 (25题，每题4分，满分100分) 1．图1直角坐标系xOy中的曲线是二次函数Y=f(x)的图像，则f(x)=( )． A．-x2-6x-5 B．-x2+6x-5 C．x2+4x-5 D．x2-4x-5 2. ( ). A．41 B．168l C．49 D．240l 3. 如图2，长方形ABCD中，AB=a，BC=b(b>a)．若将长方形ABCD绕A点顺时针旋转90°，则线段CD扫过的面积(阴影部分)等于( )． A． B． C． D． 4．若将正偶数2，4，6，8，10，12，14，16，……依次排成一行：246810121416……则从左向右数的第101个数码是( )． A．4 B．3 C．2 D．1 5. 函数y=f(x)是定义在(-∞，+∞)上的周期为3的周期函数，图3表示的是该函数在区间[-2，1]上的图像. 则 的值等于( )． A．-2 B．0 C．2 D．4 6. 若两个正数的等差中项为15，等比中项为12．则这两数之差的绝对值等于( )． A．18 B．10 C．9 D．7 7. 甲、乙两车分别从A，B两地同时相向开出，甲车的速度是50千米／时，乙车的速度是40千米／时．当甲车驶到A，B两地路程的 ，再前行50千米时与乙车相遇．A，B两地的路程是( )千米． A．210 B. 215 C. 220 D. 225 8. 等腰△ABC中，AB=AC= ，底边BC>3，则顶角 的取值范围是( )． A. (0， ) B．( ) C．( ) D. ( ) 9. 图4是我国古代的“杨辉三角形”，按其数字构成规律，图中第八行所有 中应填数字的和等于( )． A．96 B．128 C．256 D. 312 10. 若复数 则 ( ). A． B．5 C．4 D．2 11. 在直角坐标系中，若直线y=kx与函数y= ，的图像恰有3个不同的交点．则k的取值范围是( )． A．( ,0] B．(0， ] C. ( ，2) D．[2，+ ) 12. 在边长为10的正方形ABCD中，若按图5所示嵌入6个边长一样的小正方形，使得P，Q，M，N四个顶点落在大正方形的边上．则这六个小正方形的面积之和是( )． A． B． C． D． 13. 甲盒中有200个螺杆，其中A型的有160个；乙盒中有240个螺母，其中A型的有180个．从甲乙两盒中各任取一个零件，能配成A型螺栓的概率为( )． A． B． C． D． 14. 一个四面体木块的体积是64立方厘米．若过聚在每个顶点的三条棱的中点作截面，沿所作的四个截面切下该四面体的4个“角”(小四面体)，则剩余部分的体积是( )． A．32立方厘米 B．36立方厘米 C．40立方厘米 D．44立方厘米 15. 设双曲线 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2．若P是该双曲线右支上异于顶点的一点．则以线段PF2为直径的圆与以该双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是( )． A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 16. =( )． A． B．-1 C．0 D．1 17. 若f(x)=max{|x-2|， }，则函数f(x)的最小值等于( )． A．2 B．1 C． D．0 18. 设函数g(x)在[0， ]上连续. 若在(0， )内g'(x)≥0，则对任意的x∈(0， )有( )． A. B． C． D． 19. 设函数g(x)在x=0点某邻域内有定义．若 =1成立，则( )． A． 0时，g(x)是x的高阶无穷小量 B．g(x)在x=0点可导 C. 存在，但g(x)在x=0点不连续 D．g(x)在x=0点连续，但不可导 20. 若连续函数f(x)满足 , 则 ( ). A. B．0 C. - D．1 21. 若可导函数f(x)满足，f'(x)=f2(x)，且f(0)=-1，则在点x=0的三阶导数f'''(0)=( )． A．6 B．4 C．-4 D．-6 22. 已知A=(aij)为3阶矩阵，ATA=E(AT是A的转置矩阵，E是单位矩阵)．若a11=-1，b=(1 0 0)T，则方程组AX=b的解X=( )． A．(-1 l 0)T B．(-1 0 1)T C．(-1-1 0)T D．(-1 0 0)T 23. 不恒为零的函数f(x)= ( ). A．恰有3个零点 B．恰有2个零点 C．至多有1个零点 D．没有零点 24. 若矩阵B= ，A是B的相似矩阵，则矩阵A+E(E是单位矩阵)的秩是( )． A．3 B．1 C．2 D．0 25. 设向量a1=(1 2 0)T，a2=(2 3 1)T，a3=(0 1-1)T， =(3 5 k)T．若 可由a1，a2，a3线性表示，则k=( )． A．1 B．-1 C．-2 D．2 答案：1、D 2、B 3、C 4、D 5、C 6、A 7、D 8、D 9、B 10、B 11、C 12、D 13、A 14、A 15、C 16、B 17、B 18、C 19、A 20、C 21、A 22、D 23、C 24、B 25、A 2010年GCT考试试题及答案（A卷） 第二部分 数学基础能力测试 (25题，每题4分，共100分) 2．如果图1中给出了平面直角坐标系中直线l:y=ax+b的图像，那么坐标为(a，b)的点在( ). A.第1象限 B．第Ⅱ象限 C.第Ⅲ象限 D.第Ⅳ象限 3．若某单位员工的平均年龄为45岁，男员工的平均年龄为55岁、女员工的平均年龄为40岁，则该单位男、女员工人数之比为( )． A. 2：3 B. 3：2 C. 1：2 D. 2：1 4．如果图2中四边形ABCD顶点的坐标依次为A(-2，2)，B(-1，5)，C(4，3)，D(2，1)，那么四边形ABCD的面积等于( )． A．16.5 B．15 C．13.5 D．12 5.在实验室密闭容器*培育某种细菌，如果该细菌因每天的密度增长1倍，它在20天内密度增长到4百万株/m3，那么该细菌密度增长到百万株/m3时用了( )天． A． 2 B．4 C．8 D．16 6．若图3中给出的函数y=x2+ax+a的图像与x轴相切，则a=( )． A．0 B.1 C． 2 D．4 INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Temp/ksohtml/wps_clip_image-23235.png" \* MERGEFORMAT 10．正三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F，G分别是DE，BC的中点．已知BD=8厘米，CE=6厘米，则FG=( )厘米． 11．如图5所示，边长分别为1和2的两个正方形，放在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形．设从小正方形开始穿人大正方形到恰好离开大正方形所用 的时间为to，大正方形内除去小正方形占有部分之后剩下的面积为S(空白部分)，则表示S与时间t函数关系的大致图像为( )． 12．若某公司有10个股东，他们中任意6个股东所持股份的和都不少于总股份的50％，则持股最多的股东所持股份占总股份的最大百分比是( )． A．25％ B．30％ C 35％ D．40％ 13.一个封闭透明的正四面体容器内装有水,正四面体的一个面放置在水平桌面时。体内水面 高度为四面体高h的，现将它倒置使原底面平行于水平桌瓯此时水面的高度与h的比值为( ). 14．若从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中任意取3个不同的数，则它们能构成公比大于1的等比数列的概率是( )． 19．若a,b，c，d成等比数列，则函数y= A.有极大值，而无极小值 B．无极大值，而有极小值 C.有极大值，也有极小值 D．无极大值，也无极小值 2010年GCT数学参考答案 1．答：A。 分析：。 2．答：B。 分析：由图可知，，所以坐标为的点在第Ⅱ象限。 3．答：C。 分析：假设男员工人数是，女员工人数是。根据题意可知 。 所以 。即男、女员工人数之比为。 4．答：C。 分析： 如图， 5．答：D。 分析：假设第一天的细菌密度是，由题意可知第天的细菌密度是。 由（百万株），及（百万株），得。 6．答：D。 分析：由于的图像与轴相切，所以。由图知，所以。 7．答：C。 分析： 8．答：A。 分析：，，。 由，解得。 9．答：A。 分析：，。 10．答：B。 分析：法1：取三角形的边长为，这时与重合，点在边上。由，,,得 。即。 法2：取三角形边长为，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，则，，所以，。 11．答：A。 分析： INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Temp/ksohtml/wps_clip_image-20031.png" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../Local%20Settings/Temp/ksohtml/wps_clip_image-30123.png" \* MERGEFORMAT 根据所剩面积变化的对称性，及所剩面积的最小值为，利用排除法即知正确选项为A。 12．答：A。 分析：除了最大股东外，其他九人中的任意六人所持股份要不少于，所以此九人所持股份要不少于，因此最大股东所持的股份最多为。 13．答：D。 分析：设正四面体的体积是，则水的体积是。所以要求水面的高度与的比值是。 14．答：B。 分析：从中任取个不同的数所有取法共有，其中能构成公比大于的等比数列的是；；；共组。所以要求的概率是。 15．答：D。 分析：由图可知，切线的斜率为。故。解得。 16．答：C。 分析：。 17．答：B。 分析：因为，所以，求导得 。 由于，所以。 18．答：D。 分析：取，则。 19．答：D。 分析：取，则， ，即函数单调递增。 20．答：C。 分析：由，求导得，即，所以周期为。 21．答：C。 分析：，，所以。 22．答：A。 分析：因为，所以可逆。由知。 由于，由二、三行成比例得。 23．答：B。 分析：由于向量组①和③的秩最大是，所以其不可能与等价。 由于②及④与向量组都能相互线性表示，所以它们与向量组等价。 24．答：D。 分析：， 所以当时，，故方程组有无穷多解。 25．答：B。 分析：选项A中的矩阵有三个不同特征值，可以对角化；选项C中的矩阵是对称阵，也可以对角化；对于选项B，。对于， ，即，所以重特征值只对应一个线性无关的特征向量。故选项B中的矩阵不能对角化。 2011年GCT数学试题 　　2011年GCT数学（B）卷答案 　　1．C  2．D  3．D  4．B  5．C 　　6．B  7．A  8．D  9．B  10．A 　　11．B  12．A  13．C  14．D  15．C 　　16．A  17．C  18．B  19．C  20．A 　　21．D  22．D  23．A  24．B  25．A 2012年GCT数学真题及答案(A卷) 2013 f（x） _1210599771.unknown _1244382181.unknown _1244474242.unknown _1270400622.unknown _1270445278.unknown _1270469079.unknown _1270477526.unknown _1318832805.unknown _1318833479.unknown _1318834336.unknown _1318834628.unknown _1318834915.unknown _1318835447.unknown _1318836705.unknown _1318835374.unknown _1318835375.unknown _1318835152.unknown _1318834913.unknown _1318834914.unknown _1318834811.unknown _1318834350.unknown _1318834626.unknown _1318834627.unknown _1318834537.unknown _1318834342.unknown _1318833583.unknown _1318834012.unknown _1318834207.unknown _1318834209.unknown _1318834208.unknown _1318834013.unknown _1318833787.unknown _1318833893.unknown _1318833563.unknown _1318833576.unknown _1318833491.unknown _1318833550.unknown _1318833196.unknown _1318833449.unknown _1318833474.unknown _1318833306.unknown _1318832842.unknown _1318833146.unknown _1318833181.unknown _1318833123.unknown _1318832819.unknown _1318832324.unknown _1318832495.unknown _1318832732.unknown _1318832764.unknown _1318832598.unknown _1318832405.unknown _1318832494.unknown _1318832493.unknown _1318832370.unknown _1318831805.unknown _1318832000.unknown _1318832296.unknown _1318831833.unknown _1318831346.unknown _1318831785.unknown _1271571746.unknown _1270472370.unknown _1270472598.unknown _1270477073.unknown _1270477392.unknown _1270472642.unknown _1270473369.unknown _1270472440.unknown _1270472492.unknown _1270472419.unknown _1270469297.unknown _1270469417.unknown _1270469902.unknown _1270472335.unknown _1270470037.unknown _1270469791.unknown _1270469355.unknown _1270469197.unknown _1270469270.unknown _1270469154.unknown _1270465769.unknown _1270466198.unknown _1270466365.unknown _1270468931.unknown _1270469065.unknown _1270468895.unknown _1270466229.unknown _1270466244.unknown _1270466199.unknown _1270465936.unknown _1270466030.unknown _1270466073.unknown _1270466197.unknown _1270465981.unknown _1270465792.unknown _1270465811.unknown _1270465935.unknown _1270465770.unknown _1270450485.unknown _1270459070.unknown _1270461448.unknown _1270461673.unknown _1270465680.unknown _1270461632.unknown _1270459444.unknown _1270460052.unknown _1270461431.unknown _1270459492.unknown _1270459091.unknown _1270452034.unknown _1270455175.unknown _1270455555.unknown _1270456706.unknown _1270458392.unknown _1270455350.unknown _1270453932.unknown _1270454378.unknown _1270452087.unknown _1270451367.unknown _1270451961.unknown _1270451308.unknown _1270446639.unknown _1270446929.unknown _1270447424.unknown _1270447659.unknown _1270448263.unknown _1270447522.unknown _1270447355.unknown _1270446869.unknown _1270446211.unknown _1270446595.unknown _1270445328.unknown _1270403007.unknown _1270407117.unknown _1270444837.unknown _1270445140.unknown _1270445264.unknown _1270445104.unknown _1270444582.unknown _1270444650.unknown _1270443929.unknown _1270443458.unknown _1270443539.unknown _1270407952.unknown _1270404407.unknown _1270405220.unknown _1270405628.unknown _1270405885.unknown _1270405552.unknown _1270404546.unknown _1270403953.unknown _1270404164.unknown _1270403140.unknown _1270401252.unknown _1270401803.unknown _1270401874.unknown _1270402668.unknown _1270402917.unknown _1270402242.unknown _1270401826.unknown _1270401547.unknown _1270401712.unknown _1270401513.unknown _1270401499.unknown _1270401044.unknown _1270401181.unknown _1270401215.unknown _1270401237.unknown _1270401078.unknown _1270400995.unknown _1270401031.unknown _1270400932.unknown _1270400715.unknown _1270392359.unknown _1270395745.unknown _1270399623.unknown _1270399774.unknown _1270399966.unknown _1270400300.unknown _1270400473.unknown _1270400069.unknown _1270399942.unknown 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_1182155047.unknown _1181302310.unknown _1244456718.unknown _1244456688.unknown _1244456698.unknown _1244456649.unknown _1244456599.unknown _1244456613.unknown _1244456591.unknown _1244455886.unknown _1244456418.unknown _1244456432.unknown _1244456522.unknown _1244456426.unknown _1244456394.unknown _1244456395.unknown _1244455897.unknown _1244451414.unknown _1244451470.unknown _1244451643.unknown _1244451664.unknown _1244451431.unknown _1244451359.unknown _1244451392.unknown _1244451346.unknown _1244383673.unknown _1244383872.unknown _1244386389.unknown _1244389735.unknown _1244451308.unknown _1244451324.unknown _1244391384.unknown _1244451295.unknown _1244391458.unknown _1244389758.unknown _1244386995.unknown _1244387276.unknown _1244387586.unknown _1244387660.unknown _1244386996.unknown _1244386776.unknown _1244386818.unknown _1244386733.unknown _1244386155.unknown _1244386177.unknown _1244386299.unknown _1244386164.unknown _1244385889.unknown _1244385910.unknown _1244383897.unknown 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