道路改造项目中碎石运输的
设计
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编号：4325摘要本文建立了道路改造项目中碎石运输的设计模型。该模型是一个双重优化模型，先用0-1线性规划，求出建码头个数及临时道路的分布，再用非线性规划进一步减少费用，经计算我们求得：最少总费用是16,5027,2857（元）从S1所取的碎石量是1043609m3从S2所取的碎石量是580816m3模型中将码头、临时道路等看成一个运输系统，它有自己的整体结构与局部结构。整体结构是指码头个数、道路条数等。局部结构是指码头和道路的精确位置等。在确定该系统的整体结构时，我们用将连续变量离散化的思想引入了0-1线性规划，即将AB分成若干等长度的段，码头和AB上临时道路的入口则看成一些离散的点。该0-1线性规划模型可以求出很好的整体结构。我们用人工找出的三码头情形的整体结构经非线性规划优化后的总费用为：17,2501,1687（元）。比以0-1线性规划经非线性规划优化后的总费用多了7473,8830（元），可见我们的模型对工程实践中的科学决策具有十分重要的指导意义。在模型检验中我们进一步讨论了人工增删临时道路对总费用的影响.通过计算我们发现增删临时道路均会使总费用增大，从而验证了当前解趋近最优。当临时道路出现岔路时，我们计算得总费用并不会有所减少，故验证了我们关于“临时道路为直线且无岔路”的假设。关键词：双重优化运输系统0-1规划非线性规划1、问题重述与
分析
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1.1问题背景的理解模型构建的重点：由计算我们发现修公路AB所用碎石材料费用仅为9000万元，仅占到估算总费用的1/16左右，而大量的费用消耗在临时道路建设及碎石运输上，而影响此两部分的关键在于确定码头个数、位置及临时道路的长度。故在下模型建立与求解中我们将以此三点为重点进行分析与建模。2．运输系统的结构我们将所有用于运输的码头，临时道路及其分布称为运输系统，它们都是为运输碎石服务的。整个系统包括两个层次结构：第一层次：修建码头的个数，临时路线的拓扑结构。我们称这部分结构为整体结构；第二层次是精确的码头及临时道路的位置（AB上运进碎石的点称为进料点），我们称这部分结构为局部结构。整体结构很难用连续变量
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示，而局部结构可以用连续变量来描述。意即只有当整体结构确定了以后，总费用才可表示为连续变量的函数，从而可以规划求解得到在保持某一整体结构不变的前提下的最优局部结构。故此题目转化为依次确定运输系统二个层次的最优结构。1.2关于运输系统结构的几点基本结论1.从S1不应修出直达AB的临时道路：V通过计算我们发现从S］修出直达AB的临时道路以利用陆路运输的费用相比从S］修建临时道路至河边以利用水路运输的费用大很多，故我们认为在现有题目条件下S1不应再修出直达AB的临时道路，而应就近建码头以充分利用水路的廉价运力。从S2不会修出跨AB至河下游码头的临时道路：V显然S2不可能修建临时道路至河下游以利用水路，分析如下：1）此举修临时道路过长，耗费很大；2）如此长的临时道路运输费用昂贵；3）若逆流运输则费用较高。具体运输
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：由前1、2知，从S］运出的碎石必然只能经水路调配到n个码头，再由各码头修建临时道路至AB以运输碎石，而从S2就必然直接修建临时道路至AB。可见，在这种情况下，各码头与S2功能等效，在此我们不妨将各码头及S2统一等效为出料点，则问题转化为从各出料点到公路AB运输碎石的调配问题。码头修建范围的限制：由费用平衡点的思想，我们总能在AB上找到一进料点X,使修建该段所需碎石从S2分别进料的费用相等，我们将此进料点X记为S1与S2的费用平衡点。即在公路AX，XB两分部碎石分别由S］、S2单独提供。经计算我们发现，当x大于120时，从S2进料的最小费用小于从S］进料的最小费用，从而得证应建码头的修建范围（横坐标）：0
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的整体结构为例，以引出用以寻求最优局部结构的非线性规划算法。上述三码头方案的整体结构如下图：基于3码头的初等非线性规划：模型准备1.S］距河流的最短路及对应的固定码头位置：最短路长S=4.367（km）固定码头位置坐标（18.926，115.767）注：此码头为固定码头，位置不变，即此模型中除了此码头外我们还需修建三个码头）2.河流上任意一点与固定码头(18.926，115.767)间的距离函数：(x<50)i(x>50)i36.22-2lnQ25-0.5x+j26-0.5x)+J(25-0.5xj)((26-0.5x))]36.22+25rlnQo.24x-12+Jo.24x-11)+J(0.24x-12)(0.24x-11)6Liiii3.临时道路修建费用：设第i号码头至固定码头水路距离为di，（i=1,2,3），临时道路长度分别为Li（i=1,2，3）（单位：km）,则有如下关系：从S2引出的临时公路的修建费用（costA）=临时道路所需碎石成本（cost1）+临时道路建设过程中所需碎石的运输费用（cost2）易得：cost1=4x0.1xLx103x60=24000L（元）ii由简单积分：cost2=JLi（4x0.1x20x10-3xL）dL=4000L2（元）icostA=cost1+cost2(元)i=4000L2+24000Lii由S1引出的临时公路的修建费用同理计算，只需加上临时道路所需的碎石从Slf固定码头f临时道路旁码头的运输费用。同理得：iiiii=4000[U+(14.734+0.6d)l](元)4．河流曲线方程判定：通过验算分别由mi(i=1,・・・,7)确定了上游和下游的近似抛物线方程。在此不妨设河流上所有点均精确地分布在抛物线上。上游抛物线方程：(y-100)2=8(50-x)下游抛物线方程：(y-100)2=16.67(x-50)目标函数设各码头坐标为(比,yi)(i=1,2,3)，公路AB上各进料点位置为(引100)(i=1,2,3)，在三码头情形下，整条公路按照对应出料点的不同被分为4段，则设各段分界点坐标为(*,100)(i=1,2,3)。(注：不妨设各出料点只有一条临时道路至对应的进料点)由前分析，目标函数(总费用)=临时道路的总建设费用+各临时道路上通过的碎石的总运输费用+公路建设所需碎石的成本费用+部分常量成本具体如下：1.对1〜3号码头：总费用=临时道路修建费用(costBj)+各临时道路上通过的碎石的总运输费用i=12.同理对S2：{105+4000PL2+(14.734+0.6d)L]+7500(r—z)iiiii+7500(z—r)6d+20ii—1总费用=4000(L2+6L)+7500(z—r)x204443+7500(r46d+20L+4.367+-ii一z)x20Lr—z-442r—z、ii-2丿3.公路建设所需碎石的成本费用=15x0.5x200x103x60=9000（万元）4•部分常量成本=S]-固定码头的临时道路建设费用+固定码头修建费用=181109.4+100000=281109.4（元）总费用即为上述四部分之和。4.1.3约束条件1.临时路长等式约束：L2=(x—z)2+(y—100)2(i=1,2,3,4)iiii2.水路长度约束：36.22-2In(25-0.5x+j26-0.5x)+J(25-0.5Xj)((26-0.5x))](x<50)i36.22+25「In6-0.24x-12+、■■'0.24x-11)+p(0.24x—12)(0.24x—11)i3.xi，zi，ri位置约束：00,z<200144、码头位置约束：(y-100)2=8(50-x)<11(y-100)=16.67(x-50)(i=2,3)ii4.1.4结果分析总费用：17,2501,1687（元）表1：出料点、进料点、分界点位置表编号出料点位置（横坐标/km）编号进料点位置（横坐标/km）编号分界点位置（横坐标/km）118.926117.265131.1392502502105.19393.7683111.83139.3741804173.374上述结果对应的最优运输系统结构如下图2：具体方案为3码头，3条临时道路，总费用为17,2501,1687（元）。虽然该模型采用了非线性规划模型，但由于在实现算法时整体结构由人为确定，主观性太大，故不可能达到最优。为了避免人工决定整体结构带来的盲目性，我们进一步提出了以下先从宏观上确定整体结构然后再用上述非线性规划算法从微观上确定最优局部结构的双重规划模型。4.2双重规划模型基于先离散再连续的思想，我们进一步建立了可进行双重优化的两层规划模型第一层：0-1线性规划第二层：非线性规划4.2.1模型阐释：此模型精髓在于“先离散再连续”的思想。所谓离散，是指将公路、河流长度均等分为n段（故有n-1个分界点），码头、进料点的可能位置均处于这些离散的分界点上，则由0-1线性规划可得出最终码头和进料点的确定数目和位置。如此必然可得在该分段情况下总费用的较优解及码头、临时道路的宏观布局。n越大，分段越密，码头和进料点的位置就趋近于连续变化，则结果就必然越趋近于最优解。所谓连续，是在0-1规划后整体结构已确定的情况下，利用4.1中的非线性规划算法优化局部结构，使总费用更加趋近于最优解。0-1线性规划4.2.2.1分段情况及三层运输网络介绍由前（3.2.4）分析可知，码头修建位置应在（0,120）之间，我们不妨将整段公路及码头的（0〜120）部分等分为40段，码头、进料点的可能位置均处于这些离散的分界点上。由于当碎石由公路的进料点运入后，还存在一个由进料点分发至各具体施工地点的过程，这部分运输费用显然也不能忽略，由积分的思想可知，我们不妨设公路每段的中点为可能的卸料点，如此便构成一个三层运输网络，如下图：4.222目标函数设0-1变量xijk,yij,tmj含义如下：[1,表示k号卸料点所需碎石经i号码头，j号入料点运进。x=<讹[0,反之。=J1,i号码头与j号入料点之间可以通行（既有临时通路）。j[0，反之。[1,i号位置建码头。tm=[i|0，反之。则目标函数为：总费用=公路建设所需碎石的总运输费用（勺）+临时道路的总建设费用（c2）+码头费用（c3）+部分常量成本（c4）C=送艺艺CX1ijkijki=1j=1k=1C=送艺fY2ijiji=1j=1C=艺105tm3ii=1C=281109.44(单位:元)4.2.2.3约束条件1)系数计算：设运输碎石从i-jfk的费用为C，修建ifj的临时道路费用为片。则由三层运输ijkij网络图示可知，C应分三种情况考虑：至1~5号码头属于逆流航行，至6~39号码头属ijk于顺流航行，40号为S2应单独考虑。同理，f也如此计算如下：2ij‘37500{10d+20[6.763+L+5(j-k)]}iiC=[37500{6d+20[6.763+L+5(j-k)]}ijkii750000[6.763+L+5(j-k)]i(i=l,2,・・・,5)(i=6,7「,39)(i=40)400[10d+20(4.263+土)]i2=<400[6d+20(4.263+土)]i28000(4.263+L)(i=l,2,・・・,5)(i=6,7「,39)(i=40)2)每一个卸料点都必然只有一条运石路线到达：C二兹40X二1(k=l,2,・・・,40)2ijki=1j=13）ifj的道路存在与否对ifjfk碎石运输路线的约束:y=0fora=1:10x(a)=ax(a);endfora=11:20z(a-10)=ax(a);endfora=21:29r(a-20)=ax(a);endx(9)=180;x(10)=180;x(8)=180;%r(1)=0;%r(5)=200;pt1=0;pt2=0;pt3=0;LL1=0;LL2=0;fori=2:7l=sqrt((x(i)-z(i))人2+(gety(x(i))-100)人2);LL1=LL1+l;d=getcurvelong6(18.92600222,x(i));pt1=pt1+7500*(z(i)-r(i-1))*(6*d+20*(l+4.36731650690042+(z(i)-r(i-1))/2))+7500*(r(i)-z(i))*(6*d+20*(l+4.36731650690042+(r(i)-z(i))/2));endfori=8:9l=sqrt((x(i)-z(i))A2+(157-100)A2);LL2=LL2+l;pt1=pt1+7500*(z(i)-r(i-1))*20*(l+(z(i)-r(i-1))/2)+7500*(r(i)-z(i))*20*(l+(r(i)-z(i))/2);endi=1;l=sqrt((x(i)-z(i))人2+(gety(x(i))-100)人2);LL1=LL1+l;d=getcurvelong6(18.92600222,x(i));pt1=pt1+7500*(z(i)-0)*(6*d+20*(l+4.36731650690042+(z(i)-0)/2))+7500*(r(i)-z(i))*(6*d+20*(l+4.36731650690042+(r(i)-z(i))/2));i=10;l=sqrt((x(i)-z(i))A2+(157-100)A2);LL2=LL2+l;d=getcurvelong6(18.92600222,x(i));pt1=pt1+7500*(z(i)-r(i-1))*20*(l+(z(i)-r(i-1))/2)+7500*(200-z(i))*20*(l+(200-z(i))/2);%pt1=pt1+7500*(z(i)-r(i-1))*(6*d+20*(l+4.36731650690042+(z(i)-r(i-1))/2))+7500*(200-z(i))*(6*d+20*(l+4.36731650690042+(200-z(i))/2));fori=1:7l=sqrt((x(i)-z(i))A2+(gety(x(i))-100)A2);d=getcurvelong6(18.92600222,x(i));pt2=pt2+400*l*(60+6*d+20*(4.36731650690042+l/2));endfori=8:10l=sqrt((x(i)-z(i))A2+(157-100)A2);pt2=pt2+400*l*(60+20*l/2);endf=pt1+pt2+181109.4+90000000+(10A5)*9;elsesm=0;fora=1:29ifax(a)<0sm=sm-10000000000000000000000000000*ax(a)+100000000000000000;endifax(a)>200sm=sm-10000000000000000000000000000*(200-ax(a))+100000000000000000;endendf=sm/100000000000000+100000000000000000;endlingo主要程序model:sets:cf10/w1..w40/:objectpoint;cf9/w1..w39/:inputpoint;cf7/w1..w40/:outputpoint;cf6/w1..w39/:tm;cx(cf7,cf9,cf10):x,c;cy(cf7,cf9):y,f;endsetsdata:l=40;M=40;3.97400E+0076.59900E+0079.22400E+0071.18490E+0081.44740E+0084.02258E+0076.64758E+0079.27258E+007c=2.47400E+0072.47400E+0072.84900E+0073.22400E+0073.59900E+0074.34900E+0074.72400E+0075.09900E+0075.47400E+0075.84900E+0076.22400E+0076.97400E+0077.34900E+0077.72400E+0078.09900E+0078.47400E+0078.84900E+0079.59900E+0079.97400E+0071.03490E+0081.07240E+0081.10990E+0081.14740E+0081.22240E+0081.25990E+0081.29740E+0081.33490E+0081.37240E+0081.40990E+0081.48490E+0081.52240E+0081.55990E+0081.59740E+0081.63490E+0081.67240E+0082.89758E+0072.52258E+0072.52258E+0072.89758E+0073.27258E+0073.64758E+0074.39758E+0074.77258E+0075.14758E+0075.52258E+0075.89758E+0076.27258E+0077.02258E+0077.39758E+0077.77258E+0078.14758E+0078.52258E+0078.89758E+0079.64758E+0071.00226E+0081.03976E+0081.07726E+0081.11476E+0081.15226E+0081.18976E+008f=3.6429e+0063.8181e+0064.3302e+0065.1482e+0066.2408e+0067.5839e+0069.1613e+0061.0962e+0071.298e+0071.521e+0071.7649e+0072.0295e+0072.3146e+0072.6202e+0072.9461e+0073.2922e+0073.6586e+0074.0452e+0074.4519e+0074.8788e+0075.3258e+007°°°°°1.5311e+007；enddata@for(cf10(k):@for(cf7(i):@for(cf9(j):@bin(x(i,j,k)))));@for(cf6(i):@bin(tm(i)));@for(cf7(i):@for(cf9(j):@bin(y(i,j))));@for(cf10(k):@sum(cf7(i):@sum(cf9(j):x(i,j,k)))=1);@for(cf6(i):tm(i)<=@sum(cf9(j):y(i,j)));@for(cf6(i):M*tm(i)>=@sum(cf9(j):y(i,j)));@for(cf7(i):@for(cf9(j):y(i,j)<=@sum(cf10(k):x(i,j,k))));@for(cf7(i):@for(cf9(j):@sum(cf10(k):x(i,j,k))<=y(i,j)*M));min=@sum(cf10(k):@sum(cf7(i):@sum(cf9(j):c(i,j,k)*x(i,j,k))))+@sum(cf7(i):@sum(cf9(j):f(i,j)*y(i,j)))+181109.4+90000000+100000+@sum(cf6(i):100000*tm(i));end
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