2控制系统的数学模型2控制系统的数学模型数学模型：从狭义上说，就是一种描述系统各变量之间关系的数学
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达式，一般用微分方程来描述系统及过程的动态特性。2控制系统的数学模型2.1数学模型的建立——建模1)机理建模2)实验辨识2控制系统的数学模型机理建模的步骤：由系统或元件的工作原理，确定输入量和输出量；根据支配元件输出量和输入量内在联系的物理或化学规律，按工作条件忽略一些次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列出元件的运动方程。本课程常用的定律有：牛顿定律、能量守恒定律、基尔霍夫定律。将得到的运动方程，消去中间变量，求得描述系统输入量与输出量关系的数学方程。2控制系统的数学模型2.2非线性数学模型的线性化2控制系统的数学模型实际的物理系统往往有死区、饱和、间隙等各类非线性现象。严格的来讲，构成控制系统的元件，其输出与输入信号之间都具有不同程度的非线性，所建立的系统运动方程也应该是非线性的。但用非线性微分方程来研究系统的动态特性是很困难的。
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上常采用对非线性系统的动态特性进行线性化处理。2控制系统的数学模型把非线性系统处理成为线性系统的过程，称为非线性系统的线性化.2控制系统的数学模型在不影响研究分析系统的性能的原则下，忽略某些非线性因素，将元件或系统视为线性的；把非线性特性在工作点附近用泰勒级数展开的方法进行线性化，所得工作点附近范围内的非线性特性，用线性模型近似；2控制系统的数学模型自动控制系统通常都有一个正常工作状态即稳态。系统在工作中往往受到各种扰动，使其偏离工作状态，自动控制系统会自动地进行调节，力图消除这种偏差。对于稳定的系统，这种偏差是很小的，满足偏差线性化条件。以下介绍一些简化过程。2控制系统的数学模型2.3传递函数的概念及基本环节的传递函数2.3.1传递函数的概念传递函数的定义：在初始条件为零条件下，系统的输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。2控制系统的数学模型设线性定常系统的输入量，输出量，描述系统运动规律的常微分方程的一般形式为：式中：为常数。2控制系统的数学模型当初始条件为零时，进行拉氏变换得由传递函数的定义：2控制系统的数学模型传递函数的性质传递函数和微分方程一样，表示系统的运动特性，是数学模型的一种表示形式，它与系统的运动方程一一对应；传递函数取决于系统的结构参数，与外界无关；传递函数为复变量的函数，一般为有理式；传递函数只适用于线性定常系统。2控制系统的数学模型拉氏变换定义：若函数满足：(1)时，;(2)时，函数连续；(3)，,则函数称为函数的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。2控制系统的数学模型基本函数的拉氏变换脉冲函数定义：且有2控制系统的数学模型单位阶跃函数定义：2控制系统的数学模型单位斜坡函数定义：2控制系统的数学模型指数函数2控制系统的数学模型正弦函数余弦函数2控制系统的数学模型拉氏变换的特性线性性质实数域位移定理2控制系统的数学模型复数域的位移定理相似定理2控制系统的数学模型微分定理积分定理2控制系统的数学模型初值定理终值定理例：2控制系统的数学模型拉氏反变换的求解方法对于简单的，可直接查表求得；对于比较复杂的，不能直接查表，需将简化为简单形式的组合再查表。2控制系统的数学模型通常可以表示为复数s的有理形式：其中：若无重根，即为的单零点，则可将表达式化成分步形式其中2控制系统的数学模型例：求的拉氏反变换解：2控制系统的数学模型2控制系统的数学模型若有重根设有个重根，则2控制系统的数学模型系数的确定例：求的原函数2控制系统的数学模型作业1：求解微分方程初始条件作业2：求解微分方程初始条件2控制系统的数学模型2.3.2基本环节的传递函数2控制系统的数学模型1）比例环节2控制系统的数学模型2)一阶惯性环节2控制系统的数学模型3)微分环节2控制系统的数学模型4)一阶微分环节2控制系统的数学模型5)二阶微分环节2控制系统的数学模型6)积分环节2控制系统的数学模型7)振荡环节令，则：2控制系统的数学模型8)时延环节2控制系统的数学模型2.4控制系统的结构图及其等效变换2.4.1结构图（方框图）的基本概念2控制系统的数学模型结构图：是描述系统运动特性的数学图形，是系统中各元件功能和信号流向的图解表示。用结构图描述控制系统，可以清楚地表明系统中各组成元件的信号传递关系，输出量与输入量的因果关系，而且可以比较方便的确定系统的传递函数。2控制系统的数学模型信号线：用带有箭头的直线表示，箭头方向表示信号传递的方向，在直线的一侧标注信号的名称；方框：表示信号通过方框后进行的数学变换，在方框中的传递函数表示信号变换的特性；加减点：也称综合点，表示信号相加或相减；引出点：也称为测量点，表示同一信号向不同方向的传递，在同一点引出的信号在数值上和性质上完全相同。任何复杂的线性定常系统的信号传递特点，都可以运用上诉符号，用结构图表示出来。2控制系统的数学模型2.4.2绘制结构图的一般步骤1)列写系统（元件）的原始微分方程；2)设初始状态为零，对这些原始微分方程进行拉氏变换；3)根据拉氏变换式中的因果关系，画出信号传递方框图，按系统中各信号的传递顺序，依次将各传递方框图连接起来，便得到系统的结构图。例：车辆系统动力学模型例：型滤波器2控制系统的数学模型2.4.3结构图的等效变换目的：将原复杂的系统结构图，简化为简单的形式，从而便于求出整个系统的传递函数。原则：保持原输出与输入变量之间的关系不变。2控制系统的数学模型1)串联结构图的等效变换2控制系统的数学模型2)并联结构图的等效变换2控制系统的数学模型2控制系统的数学模型3)加减点的移动方法a、加减点后移2控制系统的数学模型2控制系统的数学模型b、加减点前移2控制系统的数学模型2控制系统的数学模型4)引出点的移动方法a、引出点后移2控制系统的数学模型2控制系统的数学模型b、引出点前移2控制系统的数学模型2控制系统的数学模型5）消除反馈2控制系统的数学模型2控制系统的数学模型例：型滤波器2控制系统的数学模型例：1/4车辆动力学模型2控制系统的数学模型2.4.4自动控制系统的传递函数2控制系统的数学模型1）开环传递函数开环传递函数并非指开环控制系统的传递函数，而是指闭环系统断开主反馈后整个环路的传递函数，记为2控制系统的数学模型2）闭环传递函数a、给定输入信号单独作用；b、扰动输入信号单独作用2控制系统的数学模型3）给定输入信号和扰动信号同时作用2控制系统的数学模型§2.5脉冲响应函数零初始条件下，线性定常系统对理想单位脉冲输入信号的时域响应函数，称为该系统的脉冲响应函数，记为。2控制系统的数学模型若系统输入信号是一个理想单位脉冲，即，则，取其拉氏逆变换得可见，系统的脉冲响应函数恰好等于传递函数的拉氏逆变换，且与一一对应。若已知系统的脉冲响应函数，则通过拉氏变换即可得系统传递函数，即2控制系统的数学模型例：已知系统的脉冲响应函数为：求系统的传递函数。
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