第二章 2.5.1 直线与圆的位置关系1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.学习目标XUEXIMUBIAO内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数个个个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d＝________________________代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ_______________210d
rΔ>0Δ＝0Δ<0思考 几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
“几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”，判断直线与圆的位置关系，一般用几何法.思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.( )2.如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.( )3.若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.( )4.过圆外一点的直线与圆相离.( )×√√×2题型探究PARTTWO一、直线与圆的位置关系的判断例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点.解 方法一 将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.则Δ＝4m(3m＋4).方法二 已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.反思感悟直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.跟踪训练1 (1)已知圆C:x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则A.l与C相交B.l与C相切C.l与C相离D.以上三个选项均有可能√解析 将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3,0)在圆内.∴过点P的直线l必与圆C相交.(2)设m＞0，则直线l：(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切√∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离.二、圆的弦长问题例2 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为______.解析 由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，(2)如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程.解 圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，因为圆心O(0,0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线.故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0.反思感悟直线与圆相交时的弦长求法几何法利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋解题代数法若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长弦长公式法设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长跟踪训练2 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C:x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长.解 方法一 由直线l与圆C的方程，设两交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系有x1＋x2＝3，x1·x2＝2，方法二 圆C:x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5.三、求圆的切线方程例3 (1)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是A.2B.3C.4D.6√解析 因为过圆外一点的圆的切线长l、半径长r和这点到圆心的距离d满足勾股定理，即l2＝d2－r2，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，转化成求该点与圆心的距离的最小值问题.所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d，(2)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为____________________.y＝4或3x＋4y－13＝0解析 ∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外.当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意.设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0.因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.反思感悟求过某一点的圆的切线方程(1)点(x0，y0)在圆上.①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为，由点斜式可得切线方程.②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.(2)点(x0，y0)在圆外.①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况.③过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解.跟踪训练3 (1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为A.2x－y＋9＝0B.2x＋y－9＝0C.2x＋y＋9＝0D.2x－y－9＝0√解析 x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为√3随堂演练PARTTHREE1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离√∴直线与圆x2＋y2＝1相交，又(0,0)不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心.123452.(多选)直线l:x－1＝m(y－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是A.相离B.相切或相离C.相交D.相切√12345√解析 l过定点A(1,1)，又点A在圆上，当l斜率存在时，l与圆一定相交，又直线x＝1过点A且为圆的切线，∴l与圆相交或相切，故选CD.3.(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是A.－2B.－12C.2D.12√12345√解析 圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，得b＝2或12.4.过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线方程为___________.x＝2或y＝3解析 ∵P(2,3)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外，∴过点P(2,3)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条.当斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，∴切线方程为y＝3，当斜率不存在时，切线方程为x＝2.123455.过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为______.12345解析 设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2.当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，1.知识清单：(1)直线与圆的三种位置关系.(2)弦长公式.(3)圆的切线方程.2.方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法.3.常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是A.过圆心B.相切C.相离D.相交但不过圆心√基础巩固解析 圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离所以相交但不过圆心.123456789101112131415162.若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是A.－515C.m<4或m>13D.415.故选B.解析 由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，√√解得a＝4或a＝0.123456789101112131415164.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是A.[－3，－1]B.[－1,3]C.[－3,1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)√12345678910111213141516解析 圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a，0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝3，故选B.√123456789101112131415166.设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝_____.123456789101112131415162解析 直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，则|AB|＝2.7.过点P(－1,6)且与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程是_______________________.3x－4y＋27＝0或x＝－1解析 当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y－6＝k(x＋1)，此时，直线方程为3x－4y＋27＝0；当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x＝－1，验证可知，符合题意.123456789101112131415168.一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________.解析 由已知得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，123456789101112131415169.已知圆C与y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为，求圆C的方程.解 因为圆C与y轴相切，且圆心C在直线x－3y＝0上，故设圆C的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.解得b＝±1，故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.1234567891011121314151612345678910111213141516解 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为(a，b)，半径长为r.∵点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点A′仍在这个圆上，∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上.∴a＋2b＝0，①且(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②12345678910111213141516解由方程①②③组成的方程组，12345678910111213141516∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.11.已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为A.y－2＝0B.x＋2y－5＝0C.2x－y＝0D.x－1＝0√综合运用解析 当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心O(0,0)，1234567891011121314151612.已知直线l：3x＋4y＋m＝0(m>0)被圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m等于A.6B.8C.11D.9√解析 圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝8，∵m>0，∴m＝9.1234567891011121314151613.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为______.解析 圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，易知点E在圆内，最短弦BD恰以E(0,1)为中点，且与AC垂直，设点F为其圆心，坐标为(1,3).1234567891011121314151614.自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是__________.12345678910111213141516x2＋y2＝2∵∠MPN＝90°，∴四边形OMPN为正方形，12345678910111213141516拓广探究解析 直线l过点A(2,4)，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，则直线l与半圆有两个不同的交点时，1234567891011121314151616.已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C:x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点.(1)求四边形PACB面积的最小值；12345678910111213141516解 如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，所以当|PC|2最小时，|AP|最小.12345678910111213141516(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.12345678910111213141516解 由(1)知圆心C到P点距离3为C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°易得需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的.
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