对数的概念在4.2.1的问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
1中，通过指数幂运算，我们能从y＝1.11x中求出经过x年后B地景区的游客人次为2001年的倍数y．反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？整体感知这个问题实际上就是从2＝1.11x，3＝1.11x，4＝1.11x，…中分别求出x，即已知底数和幂的值，求指数．这是解一个关于x的一元方程，本节课要学的正是怎么表达这个方程的解，即对数．新知探究问题1 为了从2＝1.11x，3＝1.11x，4＝1.11x，…中分别求出x，首先要确定的是，这里满足要求的x存在吗？如果存在，是唯一的吗？为什么？结合已掌握的知识，谈谈你的看法．根据前面学过的指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质可知，无论底数a如何取值，其值域都是(0，＋∞)，所以对于这里1.11x的取值2，3，4，…，都存在相应的x满足要求．并且，根据指数函数的单调性，满足要求的x都是唯一的．新知探究问题2 回顾减法、除法、开方的概念是如何引入的？类似的，我们有什么办法表示2＝1.11x，3＝1.11x，4＝1.11x，…中的x吗？在加法运算a＋x＝y中为了求解x，定义了减法y－a＝x，因此加法和减法互为逆运算；在乘法运算a×x＝y中为了求解x，定义了除法y÷a＝x，因此乘法和除法互为逆运算；在乘方运算xa＝y中为了求解x，定义了开方＝x，因此乘方和开方互为逆运算．现在问题的本质是，我们想从ax＝y中求解x，因此也需要定义一种新的运算．新知探究问题2 回顾减法、除法、开方的概念是如何引入的？类似的，我们有什么办法表示2＝1.11x，3＝1.11x，4＝1.11x，…中的x吗？一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．例如，由于2＝1.11x，所以x就是以1.11为底2的对数，记作x＝log1.112；再如，由于42＝16，所以以4为底16的对数是2，记作log416＝2．类似地，3＝1.11x，4＝1.11x，…中的x可以分别记作x＝log1.113，x＝log1.114，…．新知探究问题3 18世纪，瑞士数学家欧拉首先使用y＝ax来定义x＝logay．他指出“对数源出于指数”．结合对数的定义，你是如何理解这句话的？由此可以得到对数的哪些性质？追问1 根据对数的定义，可以得到对数与指数间怎样的关系？追问1 根据对数的定义，可以得到对数与指数间怎样的关系？新知探究对数是通过指数幂的形式定义出来的，由此可以看出，对数运算是由指数幂运算衍生出来的．当a＞0，且a≠1时，．两者在形式上有所不同，其中字母x，a，N都各自有确切的含义，且名称也有差别，如下表．因此，指数与对数互为逆运算． 表达式字母名称xaN指数式ax=N指数底数幂对数式x=logaN对数底数真数追问2 明确了对数与指数的关系后，结合当a＞0，且a≠1时，指数式ax＝N中的N取值范围为(0，＋∞)，以及a0＝1，a1＝a，你能得到对数的什么性质？新知探究（1）当a＞0，且a≠1时，，根据指数式ax＝N中的N取值范围为(0，＋∞)，可知负数和0没有对数，即对数式x＝logaN中的N只能是正实数．（2）当a＞0，且a≠1时，．利用这个关系：由a0＝1，可得loga1＝0；由a1＝a，可得logaa＝1．新知探究问题4 阅读教科书122页“对数的概念”，说说什么是常用对数和自然对数？它们如何表示？以10为底数的对数称为常用对数（commonlogarithm），并把log10N记为lgN．以无理数e＝2.71828…为底的对数称为自然对数（naturallogarithm），并把logeN记为lnN．新知探究问题4 阅读教科书122页“对数的概念”，说说什么是常用对数和自然对数？它们如何表示？事实上，e和π不仅是数学史上，甚至是人类科学史上最伟大的两个数．e不仅是无理数，还是超越数（不是任何有理系数多项式方程的根）．在科技、经济以及社会生活中，经常使用以e为底的对数．在概率统计、微积分等众多领域，也会经常见到e．请通过查询互联网、相关书籍等，进一步了解无理数e的结论或性质，及其应用．追问：转化的依据是什么？新知探究例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）54＝625； （2）； （3）；（4）；（5）lg0.01＝－2；（6）ln10＝2.303．转化的依据就是对数的定义．新知探究例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）54＝625； （2）； （3）；（4）；（5）lg0.01＝－2；（6）ln10＝2.303．解：（1）log5625＝4； （2）； （3）；（4）； （5）10－2＝0.01；（6）e2.303＝10．新知探究例2 求下列各式中x的值：（1）； （2）logx8＝6；（3）lg100＝x； （4）－lne2＝x．（2）因为logx8＝6，所以x6＝8．解：（1）因为，所以．又a＞0，所以新知探究例2 求下列各式中x的值：（1）； （2）logx8＝6；（3）lg100＝x； （4）－lne2＝x．（4）因为－lne2＝x，所以lne2＝－x，e－x＝e2，x＝－2．解：（3）因为lg100＝x，所以10x＝100＝102，于是x＝2．归纳小结问题5 回顾本节课，说说对数的概念是如何提出的？这对我们发现和提出问题有什么启示？为了从形如ax＝y的指数式中求解x，我们引入了对数运算．事实上，对数式是从不同的角度去看待指数式．这对我们的启示是，对于我们熟知的结论，如果换个角度去看待，可能就会有全新的发现，获得全新的理解．目标检测把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：1（1）23＝8； （2）； （3）；（4）log39＝2； （5）lgn＝2.3； （6）．答案：（1）log28＝3． （2）． （3）．（4）32＝9． （5）102.3＝n． （6）．目标检测求下列各式的值：2（1）log525； （2）log0.41； （3）； （4）lg0.001．答案：（1）2． （2）0． （3）－1． （4）－3．目标检测求下列各式中x的值：2（1）；（2）logx49＝4；（3）lg0.00001＝x；（4）．答案：（1）27． （2）． （3）－5． （4）．谢谢大家敬请各位老师提出宝贵意见！再见
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