两个数列的公共项问题例解两个数列的公共项问题1)求两个数列的公共项,求两个等差数列的公共项常用整除讨论的方法(2)求等差数列与等比数列的公共项常用到二项式定理.例1.已知两个等差数列:5,8,11,……;①3,7,11,……;②它们的项数均为100项,试问他们有多少个彼此具有相同数值的项。解析:方法一、设两数列共同项组成的新数列为:},易知c1=11,又数列5,8,11,……的通n1项公式为a二3n+2,公差为3,而数列3,7,11,……的通项公式为b二4n-1,公差nn为4,所以数列:}仍为等差数列,且公差为d=12,故数列:}的通项公...
0且p丰1),数nnnn列{b}满足b二3+8loga.nnpn(I)分别求{a}和{b}的通项公式;nn(II)当p=込时,设{a}和{b}的公共项按原顺序组成的数列为{c},求数列{c}的nnnn通项公式以及前n项和T.n20.(本小题满分12分)TOC\o"1-5"\h\z解:([)在(\-p)Sn~p-pan中,令”=]得%二p,I分由(1一P)S”=P-pan‘得(1-p)S”.严"-/?%(沦2)两式相减得(1〜p)(S”-S”=-pa”+叫[n>2)(1_P)%二_W”+P爲t仿X2),・・・an=pg(n22),3分乂%h0,-^-=p(w>2),・・・{a”}是等比数列,an-\an=a\Pn{=pn>4=3+8"6分n(II)解法一:当p=V3时,若77=2加+1(mwN・)时,%二JL3"为无理数,・・・绻不经数列0”}的项;若n=2加(mwN)加=2R(£gN・)时,a”=3m=32*=9*・・・an=9k=(8+1/=(8*+C;0+C;8八$+…+8)+1=8(8*7+C;8心+C;8卜、+…+CT8+弟1)十1・・・a“不是数列{®}的项;8分若g2m(加wN)m=2R+1(RwN・)时,an=3”=32U,=3x9*Aan=3x9*=3x(8+1)*=3x(8*+C*8*_,+C/8*-2+•••+C*_18)+3=3x8(0+C;8八2+c;8"+・・・+CT8+C;t)+3■・・,=4«+2(£wN・)时,%是数列{%}的项.9分综上所述,当且仅当n=4k+2(kwN・)时,a”是{%}的第3(8*_,+C;8*"2+Cj8*~3+•••+Cf28+)项Cn=伽”+2•'*Cn=(巧)=3~"利]]分=33+35+•••+32/,+,=3*1_9”)27(労_1):=12分1-98解法二:当p="时,n6=3亍・•・{an}前10项为V3,3,39,9>/3,27,2781,81243,站想当且仅当乃=4斤+2(kwN・)吋,勺是数列{»}的项,即c”=a%+2分下面先用数学归纳法证明命题:亞”+2-3能被8整除.当刃=1时,%一3=24能被8整除,命题成立.假设当n=kgNj时,命题成立,即口鉄+2一3能彼8整除.则当A7=&+】(£EN*)时,%2一3=%+6_3=9%+2-3=9(。北+2-3)+24能被8整除.即当x=&+l(RwN・)吋,命题成立成.根摇①②命题:“%2_3能被8整除”成立.9分从而可设04“十2-3=8加(加wnJ则勺心一3=¥%门—3=写3+3)—3为无理数,・•.色小不是数列仇}的项;仏+3-3=屈4”+2—3=巧(8血+3)-3为无理数,«4„+3不是数列{你}的项;偽心一3=3印”+2一3=3(8〃7+3)-3=8(3刃)+6,・..。4卄4不是数列{◎}的项;故5=Qg苗)=32'小11分1-987;"+3“・・+32讥4L空口】2分