2010年考研数学一真题及解析(公式及答案修正版)

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 详解及评分参考2010年•第1页2010年全国硕士研究生入学统一考试数学试题详解及评分参考数学（一）一．选择题：1-8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上.(1)极限2lim()()()xxxxaxb®¥=-+(A)1(B)e(C)abe-(D)bae-【答】应选(C).【解】因22lnln()ln()limln()lim()()1/xxxxxxaxbxaxbx®¥®¥---+=-+()()()3222112=limlim1xxabxabxxxaxbabxxaxbx®¥®¥---+-+==--+-，所以2lim()()()xaxbxxaxbe®¥-=-+，故选(C).(2)设函数(,)zzxy=由方程(,)0yzFxx=确定，其中F为可微函数，且20F¢¹，则zzxyxy¶¶+=¶¶(A)x(B)z(C)x-(D)z-【答】应选(B).【解】在方程两边分别对x和对y求偏导，得122211()0yzFzFxxxx¶¢¢-+-=¶，12110zFFxxy¶¢¢+=¶于是有22()zzxyFzFxy¶¶¢¢+=¶¶，即zzxyzxy¶¶+=¶¶，故选(B).(3)设,mn均是正整数，则反常积分210ln(1)mnxdxx-ò的收敛性郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试题详解及评分参考2010年•第2页(A)仅与m的取值有关(B)仅与n的取值有关(C)与,mn的取值都有关(D)与,mn的取值都无关【答】应选(D).【解】显然该反常积分有且仅有两个瑕点0,1xx==，于是需分成两个积分加以考察：()()()22211121002ln1ln1ln1mmmnnnxxxdxdxdxxxx---=+òòò(1)对于()2120ln1mnxdxx-ò，易见被积函数非负，且只在0x+®时无界，于是当1n>时，由()+20ln1lim0mnnxxxx®-=及1201ndxxò收敛，知()2120ln1mnxdxx-ò收敛；当1n=时，由212/ln(1)1mmnxxx--:及212101mdxx-ò收敛，知()2120ln1mnxdxx-ò收敛；(2)对于()2112ln1mnxdxx-ò，易见被积函数非负，且只在1x-®时无界，于是当1m>时，由2211ln(1)ln(1)lim1lim01/(1)mmmnxxxxxxx--®®---==-及11211mdxx-ò收敛，知2112ln(1)mnxdxx-ò收敛；当1m=时，由2231/211ln(1)ln(1)lim1lim0(1)nxxxxxxx---®®---==-及212101mdxx-ò收敛，知2112ln(1)mnxdxx-ò收敛；由此可见，无论正整数,mn如何取值，()210ln1mnxdxx-ò都是收敛的，故选(D).(4)2211lim()()nnnijnninj®¥===++åå(A)12001(1)(1)xdxdyxy++òò(B)1001(1)(1)xdxdyxy++òò(C)11001(1)(1)dxdyxy++òò(D)112001(1)(1)dxdyxy++òò【答】应选(D).郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试题详解及评分参考2010年•第3页【解】记21(,)(1)(1)fxyxy=++，(){},y01,01Dxxy=££££，知(,)fxy在D上可积.用直线()0,1,2,,iixxinn===L与()0,1,2,,jjyyjnn===L将D分成2n等份，可见22221111211()()(1)(1)nnnnijijnijninjnnn=====×++++åååå是(,)fxy在D上的二重积分的一个和式，于是112222001111lim()()(1)(1)(1)(1)nnnijDndxdydxdyninjxyxy®¥====++++++ååòòòò.故选(D).(5)设A为mn´矩阵，B为nm´矩阵，E为m阶单位矩阵.若ABE=，则(A)秩()rAm=，秩()rBm=(B)秩()rAm=，秩()rBn=(C)秩()rAn=，秩()rBm=(D)秩()rAn=，秩()rBn=【答】应选(A).【解】因A是mn´矩阵，故()rAm£，又()()()rArABrEm³==，故()rAm=.同理，可得()rBm=，故选(A).(6)设A为4阶实对称矩阵，且2AAO+=.若A的秩为3，则A相似于(A)1110æöç÷ç÷ç÷ç÷èø(B)1110æöç÷ç÷ç÷-ç÷èø(C)1110æöç÷-ç÷ç÷-ç÷èø(D)1110-æöç÷-ç÷ç÷-ç÷èø【答】应选(D).【解】设l为A的特征值，则由2AAO+=知2+=0ll，即=0l或1-.又因A是实对称矩阵，故A必相似于对角矩阵L，其中L的对角线上的元素为特征值1-或0.再由()3rA=可知()3rL=，故选(D).(7)设随机变量X的分布函数0,0,1(),01,21,1xxFxxex-<ìïï=£<íï-³ïî则{1}PX==郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试题详解及评分参考2010年•第4页(A)0(B)12(C)112e--(D)11e--【答】应选(C).【解】由分布函数的用途，知{1}(1)(1)PXFF-==-1111122ee--=--=-.(8)设1()fx为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态分布的概率密度，2()fx为[1,3]-上均匀分布的概率密度，若12(),0()(0,0)(),0afxxfxabbfxx£ì=>>í>î为概率密度，则,ab应满足(A)234ab+=(B)324ab+=(C)1ab+=(D)2ab+=【答】应选(C).【解】由题意，有2211()2xfxep-=，21/4,(1,3)()0xfxÎ-ì=íî，其他，()1fxdx+¥-¥=ò而0120()()()fxdxafxdxbfxdx+¥+¥-¥-¥=+òòò()3201=2abfxdx+ò13=24ab+，于是有13124ab+=，即234ab+=.故选(C).二、填空题：9:14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)设20,ln(1),ttxeyudu-ì=ïí=+ïîò则220tdydx==.【答】应填0.【解】因2/ln(1)=/tdydydttdxdxdte-+=-,22222ln(1+)12=[][ln(1)]/1ttdydttetdxdtedxdtt-=++-+，故2020tdydx==.(10)20cosxxdxp=ò.【答】应填4p-.【解】令xt=，则2dxtdt=，于是有222000000cos2cos2sin4sin4cos4cos4.xxdxttdtttttdtttdtppppppp==-=-=-òòòò(11)已知曲线L的方程为1||([1,1])yxx=-Î-，起点是(1,0)-，终点为(1,0)，则曲线积分2Lxydxxdy+=ò.郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试题详解及评分参考2010年•第5页【答】应填0.【解法一】补有向线段:0([1,1])Lyx=Î-，起点为(1,0)，终点为(1,0)-，设由L与L围成的平面区域为D，则利用格林公式及区域D关于y轴的对称性，得222(2)00LDLLLxydxxdyxydxxdyxydxxdyxxdxdy++=+-+=---=òòòòò【解法二】记1:1([1,0])Lyxx=+Î-，起点是(1,0)-，终点是(0,1)；2:1([0,1])Lyxx=-Î，起点为(0,1)，终点为(1,0)有12222+LLLxydxxdyxydxxdyxydxxdy+=++òòò012210=[(1)][(1)]xxxdxxxxdx-+++--òò1212=()()02323-++-=.(12)设22{(,,)|1}xyzxyzW=+££，则W的形心的竖坐标z=.【答】应填23.【解】记(){}22,y1Dxxy=+£，有221xyDdxdydzdxdydz+W=òòòòòò22=(1)Dxydxdy--òò21200=(1)drrdrpq-òò=2p，2212122240011[1()]=(1)223xyDDzdxdydzdxdyzdzxydxdydrrdrppq+W==-+-=òòòòòòòòòò，从而W的形心的竖坐标为23DDzdxdydzzdxdydz==òòòòòò.(13)设1(1,2,1,0)Ta=-，2(1,1,0,2)Ta=，3(2,1,1,)Taa=.若由123,,aaa生成的向量空间的维数为2，则a=.【答】应填6.【解】因由123,,aaa生成的向量空间的维数为2，故矩阵()123,,aaa的秩为2，而()123112112211013,,=101006020000aaaaæöæöç÷ç÷ç÷ç÷®ç÷ç÷--ç÷ç÷èøèø，故6a=.(14)设随机变量X的概率分布为{},0,1,2,!CPXkkk===L，则2EX=.【答】应填2.郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试题详解及评分参考2010年•第6页【解】由概率分布的性质，有{}01kkPXx¥===å，即01!kCk¥==å，亦即1Ce=，1Ce-=.由此可见，X服从参数为1的泊松分布，于是22()112EXDXEX=+=+=.三、解答题（15～23小题，共94分.）(15)（本题满分10分）求微分方程322xyyyxe¢¢¢-+=的通解.解：对应齐次方程320yyy¢¢¢-+=的两个特征根为121,2rr==，其通解为212xxYCeCe=+.……4分设原方程的特解形式为*()xyxaxbe=+，则*2((2))xyaxabxbe¢=+++，*2((4)22)xyaxabxabe¢¢=++++，代入原方程解得1,2ab=-=-，……8分故所求通解为212(2)xxxyCeCexxe=+-+……10分(16)（本题满分10分）求函数2221()()xtfxxtedt-=-ò的单调区间与极值.解：()fx的定义域为(,)-¥+¥，由于2222211()xxttfxxedttedt--=-òò，2224423311()2222xxtxxtfxxedtxexexedt----¢=+-=òò，所以()fx的驻点为0,1x=±……3分列表讨论如下：x(,1)-¥-1-(1,0)-0(0,1)1(1,)+¥()fx¢-0+0-0+()fx↘极小↗极大↘极小↗……6分因此，()fx的单调增加区间为(1,0)-及(1,)+¥，单调减少区间为(,1)-¥-及(0,1)；极小值为(1)0f±=，极大值为21101(0)(1)2tftedte--==-ò……10分(17)（本题满分10分）(I)比较10|ln|[ln(1)]nttdt+ò与10|ln|(1,2,)nttdtn=òL的大小，说明理由；(II)记10|ln|[ln(1)](1,2,)nnuttdtn=+=òL，求极限limnnu®¥.解：（I）当01t££时，因为ln(1)tt+£，所以|ln|[ln(1)]|ln|nntttt+£，因此1100|ln|[ln(1)]|ln|nnttdtttdt+£òò……4分郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试题详解及评分参考2010年•第7页（II）由(I)知，11000|ln|[ln(1)]|ln|nnnuttdtttdt£=+£òò.因为111200011|ln|ln1(1)nnnttdtttdttdtnn=-==++òòò，所以10lim|ln|0nnttdt®¥=ò……8分从而lim0nnu®¥=……10分(18)（本题满分10分）求幂级数121(1)21nnnxn-¥=--å的收敛域及和函数.解：记12(1)()21nnnuxxn--=-，由于221()21limlim()21nnnnuxnxxuxn+®¥®¥-==+，所以当21x<，即||1x<时，1()nux¥=å绝对收敛，当||1x>时，1()nux¥=å发散，因此幂级数的收敛半径1R=……3分当1x=±时，原级数为11(1)21nnn-¥=--å，由莱布尼茨判别法知此级数收敛，因此幂级数的收敛域为[1,1]-……5分设1211(1)()(11)21nnnSxxxn-¥-=-=-££-å，则122211()(1)1nnnSxxx¥--=¢=-=+å，又(0)0S=，故201()arctan1xSxdtxt==+óôõ，……8分于是121(1)()arctan,[1,1]21nnnxxSxxxxn-¥=-==Î--å……10分(19)（本题满分10分）设P为椭球面222:1Sxyzyz++-=的动点，若S在点P处的切平面与xOy面垂直，求点P的轨迹C，并计算曲面积分22(3)|2|44xyzIdSyzyzS+-=++-òò，其中S是椭球面S位于曲线C上方的部分.解：椭球面S上点(,,)Pxyz处的法向量是{2,2,2}nxyzzy=--r，……2分点P处的切平面与xOy面垂直的充要条件是0({0,0,1})nkk×==rrr，即20zy-=所以点P的轨迹C的方程为222201zyxyzyz-=ìí++-=î，即2220314zyxy-=ìïí+=ïî……5分郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试题详解及评分参考2010年•第8页取223{(,)|1}4Dxyxy=+£，记S的方程为(,),(,)zzxyxyD=Î，由于22222244221122|2|yzyzzzxyzxyyzyzyz++-æöæöæö¶¶-æö++=++=ç÷ç÷ç÷ç÷¶¶---èøèøèøèø，所以2222(3)|2|144DxyzzzIdxdyxyyzyzæö+-¶¶æö=++ç÷ç÷¶¶èø++-èøóóôôôôõõ(3)Dxdxdy=+òò……8分32Ddxdyp==òò……10分(20)（本题满分11分）设1101011Alllæöç÷=-ç÷ç÷èø，11abæöç÷=ç÷ç÷èø.已知线性方程组Axb=存在2个不同的解，（I）求,al；（II）求方程组Axb=的通解.解：（I）设12,hh为Axb=的2个不同的解，则12hh-是0Ax=的一个非零解，故2||(1)(1)0ll=-+=A，于是1l=或1l=-……4分当1l=时，因为()()rArAb¹M，所以Axb=无解，舍去.当1l=-时，对Axb=的增广矩阵施以初等行变换，有1111013/2()02010101/211110002aAbBaæ-öæ-öç÷ç÷=-=-=ç÷ç÷ç÷ç÷-+èøèøM.因为Axb=有解，所以2a=-……8分（II）当1l=-，2a=-时，1013/20101/20000Bæ-öç÷=-ç÷ç÷èø，所以x=Ab的通解为31110201xkæöæöç÷ç÷=-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø，其中k为任意常数.……11分(21)（本题满分11分）已知二次型123(,,)TfxxxxAx=在正交变换xQy=下的标准形为2212yy+，且Q的第3列为22(,0,)22T.（I）求矩阵A；（II）证明AE+为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵.郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试题详解及评分参考2010年•第9页解：（I）由题设，A的特征值为1,1,0,且(1,0,1)T为A的属于特征值0的一个特征向量.……3分设123(,,)Txxx为A的属于特征值1的一个特征向量，因为A的属于不同特征值的特征向量正交，所以1231(,,)001xxxæöç÷=ç÷ç÷èø，即130xx+=.取22,0,22Tæö-ç÷ç÷èø，(0,1,0)T为A的属于特征值1的两个正交的单位特征向量……6分令2202201022022Qæöç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷-ç÷èø，则有110TQAQæöç÷=ç÷ç÷èø，故11011102020101T-æöæöç÷ç÷==ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèøAQQ.……9分评分说明：求出满足条件的一个矩阵A，即可给9分.（II）由（I）知A的特征值为1,1,0，于是AE+的特征值为2，2，1，又AE+为实对称矩阵，故AE+为正定矩阵.……11分(22)（本题满分11分）设二维随机变量(,)XY的概率密度为2222(,),,xxyyfxyAexy-+-=-¥<<+¥-¥<<+¥，求常数A及条件概率密度|(|)YXfyx.解：因2222()(,)xxyyXfxfxydyAedy+¥+¥-+--¥-¥==òò22()yxxAedy+¥----¥=ò222(),xyxxAeedyAexp+¥-----¥==-¥<<+¥ò，……4分所以21()xXfxdxAedxApp+¥+¥--¥-¥===òò，从而1Ap=……7分当(,)xÎ-¥+¥时，22222|1(,)(|)1()xxyyYXxXefxyfyxfxepp-+--==2221xxyyep-+-=2()1,xyeyp--=-¥<<+¥……11分郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试题详解及评分参考2010年•第10页(23)（本题满分11分）设总体X的概率分布为X123p1q-2qq-2q其中参数(0,1)qÎ未知.以iN表示来自总体X的简单随机样本（样本容量为n）中等于i的个数（1,2,3i=）.试求常数123,,aaa，使31iiiTaN==å为q的无偏估计量，并求T的方差.解:记11pq=-，22pqq=-，23pq=.由于(,),1,2,3iiNBnpi=:，故iiENnp=……4分于是22112233123[(1)()]ETaENaENaENnaaaqqqq=++=-+-+……6分为使T是q的无偏估计量，必有22123[(1)()]naaaqqqqq-+-+=，因此12132010aaanaa=ìïï-=íï-=ïî，……8分由此得12310,aaan===……9分由于123NNNn++=，故123111()()1NTNNnNnnn=+=-=-.注意到1~(,1)NBnq-，故1221(1)(1)nDTDNnnnqqqq--===……11分