等差数列的概念与通项公式_课件

第二章数　　列2．2　等差数列第二章第二章第1课时　等差数列的概念与通项公式课前自主预习方法警示探究思路方法技巧名师辩误做答课后强化作业课堂巩固训练1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式．会用公式解决一些简单问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，体会等差数列与一次 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 之间的关系．2．体会归纳法思想．1．等差数列的定义．一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做_________，这个常数叫做等差数列的_____，公差通常用字母d 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示．若公差d＝0，则这个数列为__________．等差数列公差常数列2．如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即A＝eq\f(a＋b,2).容易看出，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项．3．等差数列的通项公式：an＝_____________.a1＋(n－1)d4．若{an}是等差数列．(1)首项a1＝1，公差d＝2，则a5＝____.(2)首项a1＝2，a6＝17，则an＝________.(3)a5＝11，a8＝5，则an＝_________.93n－1－2n＋21[解析]　(3)解法一：设{an}的首项为a1，公差为d，则a8＝a5＋3d，即5＝11＋3d，∴d＝－2.∵a5＝a1＋(5－1)d，∴11＝a1＋4×(－2)，∴a1＝19.∴an＝19＋(n－1)(－2)．即an＝－2n＋21(n∈N*)．解法二：设an＝a1＋(n－1)d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＝a1＋5－1d，,a8＝a1＋8－1d，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11＝a1＋4d.,5＝a1＋7d.))解得a1＝19，d＝－2.∴an＝－2n＋21(n∈N*)．解法三：设an＝an＋b，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＝5a＋b，,a8＝8a＋b，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11＝5a＋b，,5＝8a＋b.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝21.))∴an＝－2n＋21(n∈N*)．5．下面所给数列是等差数列吗？(1)3,2,1，－1；(2)0,0,1,2,3；(3)1,2,5,8,11,14…….[ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ]　都不是重点：等差数列的定义和通项公式的推导运用．难点：通项公式的灵活运用和体会等差数列与一次函数的关系．1．通过具体实例，归纳概括等差数列特点，给出等差数列定义，得出定义式an＋1－an＝d(n∈N*)．证明或判定一个数列是等差数列主要用定义式，有时也用其变式2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．2．在定义式中依次令n＝1,2,3，……，n－1，得出n－1个差式．相加得出等差数列的通项公式．在这里要深刻领会这种逐差相加相消的方法或迭代法及归纳法原理．对于通项公式要注意领会其变式并在解题中自觉运用．3．本节教材给出的几个例题：例1是熟悉公式的，通过例1进一步体会方程思想；例2是等差数列的实际应用问题．体会如何运用所学知识解决生活、生产中的实际问题；例3是等差数列的判断．本例应从两个角度重点把握，其一是判定一个数列为等差数列的方法，其二是等差数列与一次函数的关系．结合39页的探究，体会等差数列就是特殊的一次函数，原来学过的一次函数的相关知识可用来帮助解决等差数列的有关问题．并且体会公差d的几何意义，就是一次函数图象的斜率．4．三个数成等差数列可设为a－d，a，a＋d；四个数成等差数列可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.命题方向等差数列的定义及判定[例1]　已知数列的通项公式为an＝6n－1，问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？[解析]　∵an＋1－an＝[6(n＋1)－1]－(6n－1)＝6(常数)，∴{an}是等差数列，其首项a1＝6×1－1＝5，公差为6.[点评]　判断一个数列{an}是否为等差数列，只要依据定义验证an＋1－an＝d(d为常数)是否成立．合作探究(1)设a>b>c>0，且a，b，c成等差数列，求证：eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)不能组成等差数列．(2)已知{an}、{bn}是项数相同的两个等差数列，那么{pan＋qbn}(其中p，q是常数)是不是等差数列？[解析]　(1)∵a，b，c成等差数列，∴可设a＝b－d，c＝b＋d，假设eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，则eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，即eq\f(2,b)＝eq\f(1,b－d)＋eq\f(1,b＋d)，∴eq\f(2,b)＝eq\f(2b,b2－d2)，∴d＝0，这与a>b>c>0矛盾，∴eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)不能组成等差数列．(2)设{an}、{bn}的公差分别为d，d′，Mn＝pan＋qbn.则Mn＋1－Mn＝(pan＋1＋qbn＋1)－(pan＋qbn)＝p(an＋1－an)＋q(bn＋1－bn)＝pd＋qd′为常数，∴{Mn}是等差数列．若eq\f(1,b＋c)，eq\f(1,a＋c)，eq\f(1,a＋b)成等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列．[证明]　由已知得eq\f(1,b＋c)＋eq\f(1,a＋b)＝eq\f(2,a＋c)，即eq\f(2b＋a＋c,b＋ca＋b)＝eq\f(2,c＋a).即(2b＋a＋c)(c＋a)＝2(b＋c)(a＋b)．∴a2＋c2＝2b2，∴a2，b2，c2成等差数列.命题方向等差数列的通项公式[例2]　在等差数列{an}中：①已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；②已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.[ 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ]　根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，由条件可建立关于a1、d的二元一次方程组解出a、b.[解析]　①由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋5－1d＝－1，,a1＋8－1d＝2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝1.))②由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋6－1d＝12，,a1＋4－1d＝7.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.))∴a9＝a1＋(9－1)d＝1＋8×2＝17.[点评]　(1)先根据两个独立的条件解出两个量a1和d，进而再写出an的表达式．几个独立的条件就可以解出几个未知量，这是方程思想的重要应用．(2)从函数观点看，①中已知直线上两点(5，－1)，(8,2)，可写出直线的方程eq\f(an－－1,2－－1)＝eq\f(n－5,8－5)，∴an＝n－6，∴a1＝－5，d＝1.(1)求等差数列10,8,6，…的第20项．(2)100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．[解析]　(1)∵a1＝10，d＝8－10＝－2，∴an＝10＋(n－1)·(－2)＝－2n＋12，∴a20＝－2×20＋12＝－28.(2)∵a1＝2，d＝9－2＝7，∴an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，由7n－5＝100，得n＝15.∴100是这个数列的第15项．[例3]　梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列．计算中间各级的宽度．[解析]　用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，有a1＝33，a12＝110，n＝12.由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即110＝33＋11d.解得d＝7.因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm.命题方向构造解题法[例4]　数列{an}的各项的倒数组成一个等差数列，若a3＝eq\r(2)－1，a5＝eq\r(2)＋1，求a11.[分析]　∵{eq\f(1,an)}成等差数列，设其公差为d，首项为eq\f(1,a1)，然后由通项公式即得d和eq\f(1,a1)，代入通项公式可求a11.[解析]　设bn＝eq\f(1,an)，{bn}的公差为d.由已知得b3＝eq\f(1,a3)＝eq\f(1,\r(2)－1)＝eq\r(2)＋1，b5＝eq\f(1,a5)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＋2d＝\r(2)＋1，,b1＋4d＝\r(2)－1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝3＋\r(2)，,d＝－1.))∴b11＝b1＋10d＝eq\r(2)－7.∴a11＝eq\f(1,b11)＝eq\f(1,\r(2)－7)＝eq\f(－7－\r(2),47).[点评]　(1)在解题过程中要注意到eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝－1，即an＋1＝eq\f(an,1－an)，此类递推公式的数列可转化为等差数列，进而求出数列的通项公式．(2)在本章的许多问题中，需用构造法，构造一个新数列，使新数列成等差(或等比)数列，从而使原问题获得解决．合作探究已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，则该数列的通项公式an＝________.[答案]　eq\f(2,n＋1)[解析]　由例4给我们的启发，可将递推关系式适当变形如下：an＋1·an＋2an＋1＝2an，∴2an－2an＋1＝an＋1·an，两边同除以2anan＋1得：eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)，令bn＝eq\f(1,an)，则{bn}是以b1＝eq\f(1,a1)＝1为首项，eq\f(1,2)为公差的等差数列．∴bn＝1＋eq\f(1,2)(n－1)＝eq\f(n＋1,2)，∴an＝eq\f(2,n＋1).创新思维训练已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，an≠0，(n∈N*)，akx2＋2ak＋1x＋ak＋2＝0　(k∈N*)．(1)求证：当k取不同的正整数时，方程有公共根；(2)若方程不同的根依次为x1、x2、x3、……、xn，求证：eq\f(1,x1＋1)、eq\f(1,x2＋1)、……、eq\f(1,xn＋1)是等差数列．[分析]　在已知一元二次方程中，其系数为ak，ak＋1，ak＋2为等差数列的连续三项，故可考虑利用等差中项，将其中一个系数用另外两个系数的关系式来表示，这样可将方程左端分解因式．如果方程左端出现与ak，ak＋1，ak＋2无关的关于x的因式，可得其公共根，解出另一个根xk，计算eq\f(1,xk＋1＋1)－eq\f(1,xk＋1)可得．[解析]　(1)∵{an}为等差数列，d≠0，an≠0，(n∈N*)∴2ak＋1＝ak＋ak＋2代入已知方程中得(ak·x＋ak＋2)(x＋1)＝0，∴无论k取何值，总有x＝－1为方程一根，∴方程有公共根x＝－1.(2)当k取不同正整数时，其不同的根xk＝－eq\f(ak＋2,ak)，∴xk＋1＝－eq\f(ak＋2,ak)＋1＝eq\f(ak－ak＋2,ak)＝eq\f(－2d,ak)，∴eq\f(1,xk＋1)＝－eq\f(ak,2d).∴eq\f(1,xk＋1＋1)－eq\f(1,xk＋1)＝(－eq\f(ak＋1,2d))－(－eq\f(ak,2d))＝eq\f(－ak＋1－ak,2d)＝－eq\f(1,2)，∴数列{eq\f(1,xk＋1)}是公差为－eq\f(1,2)的等差数列．[例5]　已知数列{an}满足an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3　　　n＝1,2n－1n≥2))，数列{bn}满足bn＝3an＋4，{bn}是否为等差数列？[错解]　∵bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3[(2n＋1)－(2n－1)]＝6(常数)，∴{bn}是等差数列．[辨析]　由数列{an}的定义式知，当n≥2时，an＝2n－1，故bn＋1－bn＝6是在条件n≥2下导出的，当n＝1时是否满足，需要验证．[正解]　当n≥2时，bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3[(2n＋1)－(2n－1)]＝6，又b2－b1＝(3a2＋4)－(3a1＋4)＝3(a2－a1)＝3×(3－3)＝0≠6.∴数列{bn}不是等差数列．一、选择题1．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101的值为(　　)A．49　　　B．50　　　C．51　　　D．52[答案]　D[解析]　由2an＋1＝2an＋1得an＋1－an＝eq\f(1,2)，∴{an}是首项a1＝2，公差d＝eq\f(1,2)的等差数列，∴an＝2＋eq\f(1,2)(n－1)＝eq\f(n＋3,2)，∴a101＝eq\f(101＋3,2)＝52.2．若一个三角形的三个内角成等差数列，且已知一个角为28°，则其它两角的度数为(　　)A．54°，98°B．62°，90°C．60°，92°D．68°，108°[答案]　C[解析]　由条件可知，28°为最小角，设公差为d，则28°＋(28°＋d)＋(28°＋2d)＝180°，∴d＝32°，∴其它两角为60°，92°.二、填空题3．在正整数100至500之间能被11整除的整数的个数是__________．[答案]　36[解析]　设能被11整除的数为11x(x∈N*)，由题设100<11x<500，∴eq\f(100,11)<x<eq\f(500,11)，∵x<N*，∴10≤x≤45，∴共有45－10＋1＝36个．4．直角三角形三边长a，b，c成等差数列(c为斜边)，则a:b:c＝________.[答案]　3:4:5[解析]　设公差为d(d>0)，∴a＝b－d，c＝b＋d，∵(b－d)2＋b2＝(b＋d)2，∴b＝4d，∴a＝3d，c＝5d，因此a:b:c＝3:4:5.三、解答题5．数列{an}是等差数列，bn＝kan＋b(k，b是常数n∈N*)，求证数列{bn}也是等差数列．[证明]　∵{an}是等差数列，∴an－an－1＝d(n≥2)，bn＝kan＋b，bn－1＝kan－1＋b，∴bn－bn－1＝k(an－an－1)＝kd.(n≥2)是常数，∴{bn}是等差数列．