高中数学知识点归纳总结

学习必备欢迎下载高中数学必修+选修 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 归纳引言,,,,,,1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。选修课程：选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。选修4—4：坐标系与参数方程。选修4—5：不等式选讲。学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的必修1数学知识点集合，称为集合A与B的并集.记作：AB.第一章：集合与函数概念2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组§1.1.1、集合成的集合，称为A与B的交集.记作：AB.1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体3、全集、补集：CA{x|xU,且xU}叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序U§1.2.1、函数的概念性。1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应f2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数fx和它对应，那么就合相等。称f:AB为集合A到集合B的一个函数，记作：yfx,xA.3、常见集合：正整数集：自然数集：2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全整数集：Z，有理数集：Q，实数集：R.一致，则称这两个函数相等.4、集合的表示方法：.列举法、描述法§1.2.2、函数的表示法§1.1.2、集合间的基本关系1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意§1.3.1、单调性与最大（小）值一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作AB.(1)定义法：设x、x[a,b],xx那么12122、如果集合AB，但存在元素xB，且xA，f(x)f(x)0f(x)在[a,b]上是增函数；12则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.f(x)f(x)0f(x)在[a,b]上是减函数.123、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集合是任何集合的子集.步骤：取值—作差—变形—定号—判断格式：解：设x,xa,b且xx，则：4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子集，1212fxfx=…个真子集，非空子集有个；12（2）等价表述：设xxa,b,xx那么非空的真子集有个.1212§1.1.3、集合间的基本运算学习必备欢迎下载(xx)f(x)f(x)01212f(x)f(x)120f(x)在a,b上是增函数；xx12知识链接：函数与导数1、函数yf(x)在点x处的导数的几何意义：(xx)f(x)f(x)001212f(x)f(x)120f(x)在a,b上是减函数.函数yf(x)在点x处的导数是曲线yf(x)在xx012P(x,f(x))处的切线的斜率f(x)，相应的切线方000程是yyf(x)(xx).000（3）导数法：设函数yf(x)在某个区间内可导，2、几种常见函数的导数若f(x)0，则f(x)为增函数；①C'0；②(xn)'nxn1；③若f(x)0，则f(x)为减函数.(sinx)'cosx；④(cosx)'sinx；§1.3.2、奇偶性⑤(ax)'axlna；⑥(ex)'ex；⑦fxx1、一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，11(logx)'；⑧(lnx)'axlnax都有fxfx，那么就称函数fx为偶函3、导数的运算法则数.偶函数图象关于y轴对称.（1）(uv)'u'v'.2、一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，（2）(uv)'u'vuv'.都有fxfx，那么就称函数fx为奇函数.奇函数图象关于原点对称.uu'vuv'（3）()'(v0).vv2（注：奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）4、复合函数求导法则复合函数yf(g(x))的导数和函数奇偶函数间的关系：yf(u),ug(x)的导数间的关系为yyu，xux(1)、奇·偶=奇；（2）、奇·奇=偶；即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.(3)、偶·偶=偶；(4)、奇±奇=奇函数解题步骤:分层—层层求导—作积还原.(5)、偶±偶=偶；(6)、奇±偶=非奇非偶函数5、函数的极值学习必备欢迎下载(1)极值定义：n⑴amman极值是在x附近所有的点，都有f(x)＜f(x)，00则f(x)是函数f(x)的极大值；*0a0,m,nN,m1；极值是在x附近所有的点，都有f(x)＞f(x)，则001f(x)是函数f(x)的极小值.⑵ann0；0an(2)判别方法：4、运算性质：''①如果在x附近的左侧f(x)＞0，右侧f(x)＜0，rsrs0⑴aaaa0,r,sQ；那么f(x)是极大值；0⑵arsarsa0,r,sQ；②如果在x附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，0那么f(x)是极小值.r0⑶abarbra0,b0,rQ6、求函数的最值注：上有理指数幂的运算性质，对实数指数幂都适用.(1)求yf(x)在(a,b)内的极值（极大或者极小值）§2.2.1、对数与对数运算(2)将yf(x)的各极值点与f(a),f(b)比较，其中1、指数与对数互化式：axNxlogN；a最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；2、对数恒等式：alogaNN.最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。3、基本性质：log10，loga1.aa第二章：基本初等函数（Ⅰ）4、运算性质：当a0,a1,M0,N0时：§2.1.1、指数与指数幂的运算⑴logMNlogMlogN；1、一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根。aaa其中n1,nN.M⑵loglogMlogN；aNaa2、当n为奇数时，nana；⑶logMnnlogM.aa当n为偶数时，nana.logb5、换底公式：logbc3、我们规定：alogaca0,a1,c0,c1,b0.学习必备欢迎下载m6、重要公式：logbmlogb(1)正比例函数f(x)cx,annaf(xy)f(x)f(y),f(1)c.17、倒数关系：logba0,a1,b0,b1.alogab(2)指数函数f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.(3)对数函数f(x)logxa§2..2.2、指数函数、对数函数与幂函数的性质f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).(4)幂函数f(x)x,由指数、对数与幂的运算性质得到对应函数的性质：f(xy)f(x)f(y),f'(1).x表1yaa0,a1ylogxa0,a1指数函数对数数函数a定义域xRx0,值域y0,yR图象性质过定点(0,1)󰀀过定点(1,0)学习必备欢迎下载减函数增函数减函数增函数x(,0)时，y(1,)x(,0)时，y(0,1)x(0,1)时，y(,0)x(0,1)时，y(0,)x(0,)时，y(0,1)x(0,)时，y(1,)x(1,)时，y(0,)x(1,)时，y(,0)abababab表2幂函数yx(R)p00111qp为奇数q为奇数奇函数p为奇数q为偶数p为偶数q为奇数偶函数第一象限减函数增函数过定点（01，）性质第三章：函数的应用1、方程fx0有实根§3.1.1、方程的根与函数的零点学习必备欢迎下载1、掌握二分法.函数yfx的图象与x轴有交点§3.2.1、几类不同增长的函数模型函数yfx有零点.§3.2.2、函数模型的应用举例2、零点存在性定理：如果函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fafb0，那么函数yfx在区间a,b内有零点，即存在ca,b，使得fc0，这个c也就是方程fx0的根.§、用二分法求方程的近似解3.1.2必修2数学知识点第一章：空间几何体1、空间几何体的结构⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。⑵柱、锥、台、球的结构特征棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDEA'B'C'D'E'或用对角线的端点字母，如五棱柱AD'学习必备欢迎下载几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥PA'B'C'D'E'几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台PA'B'C'D'E'几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点圆柱:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、学习必备欢迎下载俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h'为斜高，l为母线）1SchS2rhSch'Srl直棱柱侧面积圆柱侧正棱锥侧面积2圆锥侧面积1S(cc)h'S(rR)l正棱台侧面积212圆台侧面积S2rrlSrrlSr2rlRlR2圆柱表圆锥表圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式211VShVShrhVSh2柱圆柱Vrh锥3圆锥3111''22V(S'S'SS)hV(SSSS)h(rrRR)h台3圆台33学习必备欢迎下载V=4；S=2（4）球体的表面积和体积公式：R34R球3球面第二章：点、直线、平面之间的位置关系1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。6、线线位置关系：平行、相交、异面。7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。8、面面位置关系：平行、相交。9、线面平行：⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。10、面面平行：⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。11、线面垂直：⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。12、面面垂直：学习必备欢迎下载⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。空间角问题（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为0。②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线a,b，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。（2）直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为0。②平面的垂线与平面所成的角：规定为90。③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。（3）二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内．．分别作垂直于．．．棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角学习必备欢迎下载第三章：直线与方程kk⑶l和l重合12；12bbyy121、倾斜角与斜率：ktan21xx21⑷llkk1.1212直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们4、对于直线：规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围l:AxByC0,是0°≤α＜180°1111有：l:AxByC022222、直线方程：ABAB⑴点斜式：yykxx⑴l//l1221；0012BCBC1221⑵斜截式：ykxb⑵l和l相交ABAB；121221yyyy⑶两点式：121ABABxxxx⑶l和l重合1221；12112BCBC1221xy⑷截距式：1⑷llAABB0.ab121212⑸一般式：AxByC05、两点间距离公式：注意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：PPxx2yy2122121平行于轴的直线：yb（为常数）；xb6、点到直线距离公式：平行于y轴的直线：xa（a为常数）；AxByCd00A2B23、对于直线：7、两平行线间的距离公式：l:ykxb,l:ykxb有：111222l：AxByC0与l：AxByC0平行，kk1122⑴l//l12；12bbCC12则d12A2B2⑵l和l相交kk；1212第四章：圆与方程学习必备欢迎下载1、圆的方程：设两圆圆心分别为O，O，半径分别为r，r，OOd121212⑴标准方程：xa2yb2r2drr外离4条公切线;12其中圆心为(a,b)，半径为r.drr外切3条公切线;12⑵一般方程：x2y2DxEyF0.rrdrr相交2条公切线;1212DE1其中圆心为(,)，半径为rD2E24F.222drr内切1条公切线;122、点与圆的位置关系0drr内含无公切线.12点P(x,y)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系00有三种：3、空间中两点间距离公式：若d(ax)2(by)2，则PPxx2yy2zz20012212121dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.3、直线与圆的位置关系直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种:dr相离0;dr相切0;dr相交0.弦长公式：l2r2d21k2(xx)24xx12123、两圆位置关系：学习必备欢迎下载必修3数学知识点第一章：算法1、算法三种语言：自然语言、 流程 快递问题件怎么处理流程河南自建厂房流程下载关于规范招聘需求审批流程制作流程表下载邮件下载流程设计 图、程序语言；2、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；（图3）3、算法的三种基本结构：当型循环结构顺序结构、条件结构、循环结构直到型循环结构⑴顺序结构示意图：⑶循环结构示意图：（图1）⑵条件结构示意图：①当型（WHILE型）循环结构示意图：①IF-THEN-ELSE格式：（图4）②直到型（UNTIL型）循环结构示意图：（图2）②IF-THEN格式：学习必备欢迎下载注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。⑵茎叶图：①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。3、总体特征数的估计：⑹算法案例：xxxx⑴平均数：x123n；①辗转相除法—结果是以相除余数为0而得到n取值为x,x,,x的频率分别为p,p,,p，则其利用辗转相除法求最大公约数(步骤略)12n12n平均数为xpxpxp；1122nn②更相减损术—结果是以减数与差相等而得到注意：频率分布表计算平均数要取组中值。③进位制十进制数化为k进制数—除k取余法k进制数化为十进制数⑵中位数：将一组数据按大小排列，把处在最中间位置的一个数据或最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。第二章：统计注意：在频率分布直方图中，中位数的左边与右边面1、抽样方法：积相等。⑶方差与标准差：一组样本数据x,x,,x①简单随机抽样（总体个数较少）12n②系统抽样（总体个数较多）1n2方差：s2(xx)；ni③分层抽样（总体中差异明显）i1注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，1n2n标准差：s(xx)每个个体被抽到的机会（概率）均为。niNi12、总体分布的估计：注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。⑴一表二图：平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。①频率分布表——数据详实⑷线性回归方程②频率分布直方图——分布直观①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势②制作散点图，判断线性相关关系学习必备欢迎下载其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、③线性回归方程：ybxa（最小二乘法）体积等。nxynxy4、互斥事件：iibi1n⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；2x2nxii1⑵如果事件A,A,,A任意两个都是互斥事件，则称12naybx事件A,A,,A彼此互斥。12n注意：线性回归直线经过定点(x,y)。⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和，第三章：概率即：P(AB)P(A)P(B)1、随机事件及其概率：⑷如果事件A,A,,A彼此互斥，则有：12n⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母P(AAA)P(A)P(A)P(A)表示；12n12n⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；这两个事件为对立事件。m⑶随机事件A的概率：P(A),0P(A)1.①事件A的对立事件记作An2、古典概型：P(A)P(A)1,P(A)1P(A)⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事⑵古典概型的特点：件。①所有的基本事件只有有限个；必修4数学知识点②每个基本事件都是等可能发生。第一章：三角函数⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事§1.1.1、任意角件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则m事件A发生的概率P(A).n1、正角、负角、零角、象限角的概念.3、几何概型：2、与角终边相同的角的集合：⑴几何概型的特点：2k,kZ.①所有的基本事件是无限个；§1.1.2、弧度制②每个基本事件都是等可能发生。、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做d的测度11弧度的⑵几何概型概率计算公式：P(A)；D的测度学习必备欢迎下载sin角.cosl2、.rtannR3、弧长公式：lR.§1.2.2、同角三角函数的基本关系式1801、平方关系：sin2cos21.nR214、扇形面积公式：SlR.3602sin2、商数关系：tan.cos§1.2.1、任意角的三角函数§1.3、三角函数的诱导公式1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点yPx,y，那么：siny,cosx,tan（概括为“奇变偶不变，符号看象限”kZ）x2、设点Ax,y为角终边上任意一点，那么：（设1、诱导公式一：rx2y2）sin2ksin,cos2kcos,（其中：kZ）yxyxsin，cos，tan，cottan2ktan.rrxy2、诱导公式二：3、sin，cos，tan在四个象限的符号和三角函数线的画法.sinsin,yTcoscos,Ptantan.正弦线：MP;OMAx余弦线：OM;3、诱导公式三：正切线：ATsinsin,4、特殊角0°，30°，45°，60°，coscos,tantan.90°，180°，270等的三角函数值.4、诱导公式四：02332632342sinsin,4coscos,tantan.学习必备欢迎下载5、诱导公式五：yy=cosxsincos,2-5137--3-322o22x-7-2-3254cossin.-4-1222226、诱导公式六：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定sincos,2义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、cossin.2奇偶性、单调性、周期性.§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质3、会用五点法作图.1、记住正弦、余弦函数图象：yy=sinxysinx在x[0,2]上的五个关键点为：37-5-132222ox（0，0）（，，1）（，，0）（，，-1）（，2，0）.-4-7-3-2-3--12534222222§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：yy=tanx3o3x---2222学习必备欢迎下载2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有fxTfx，那么函数fx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质ysinxycosxytanx图象定义域RR{x|xk,kZ}2值域[-1,1][-1,1]Rx2k,kZ时，y1max2最值x2k,kZ时，y1maxx2k,kZ时，y1minx2k,kZ时，y12min无周期性T2T2T奇偶性奇偶奇在[2k,2k]上单调递增22在[2k,2k]上单调递增单调性在(k,k)上单调递增3kZ在[2k,2k]上单调递2222在[2k,2k]上单调递减减对称轴方程：xk无对称轴对称性对称轴方程：xk2kkZ对称中心(k,0)对称中心(,0)对称中心(k,0)22学习必备欢迎下载纵坐标变为原来的A倍纵坐标不变yAsinx1横坐标变为原来的||倍§1.5、函数yAsinx的图象平移个单位yAsinx1、对于函数：（左加右减）yAsinxBA0,0有：振幅A，周2|B|yAsinxB期T，初相，相位x，频率f1.平移个单位T22、能够讲出函数ysinx的图象与3、三角函数的周期，对称轴和对称中心yAsinxB的图象之间的平移伸缩变函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，换关系.2x∈R(A,,为常数，且A≠0)的周期T；函||①先平移后伸缩：数ytan(x)，xk,kZ(A,ω,为ysinx平移||个单位ysinx2常数，且A≠0)的周期T.（左加右减）||yAsinx横坐标不变对于yAsin(x)和yAcos(x)来说，纵坐标变为原来的A倍对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.求函数yAsin(x)图像的对称轴与对称中心，纵坐标不变yAsinx只需令xk(kZ)与xk(kZ)12横坐标变为原来的||倍解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.平移|B|个单位yAsinxB4、由图像确定三角函数的解析式yyyy（上加下减）利用图像特征：Amaxmin，Bmaxmin.22要根据周期来求,要用图像的关键点来求.②先伸缩后平移：ysinxyAsinx横坐标不变第三章、三角恒等变换学习必备欢迎下载§3.1.1、两角差的余弦公式1cos2(1cos2)2降幂公式：会算甚至记住15°的三角函数值：1sin2(1cos2)2sincostan2tan3、tan2.626223212441tan§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式§3.2、简单的三角恒等变换1、sinsincoscossin1、注意正切化弦、平方降次.2、sinsincoscossin2、辅助角公式yasinxbcosxa2b2sin(x)3、coscoscossinsin（其中辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,4、coscoscossinsinbtan).atantan5、tan.1tantantantan6、tan.1tantan第二章：平面向量§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式§2.1.1、向量的物理背景与概念1、sin22sincos，1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.变形：sincos1sin2.22、既有大小又有方向的量叫做向量.2、cos2cos2sin2§2.1.2、向量的几何表示22cos11、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.12sin2.2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），变形如下：记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长度等1cos22cos2升幂公式：1cos22sin2于1个单位的向量叫做单位向量.学习必备欢迎下载3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线3、abab≤ab向量）.规定：零向量与任意向量平行.§2.1.3、相等向量与共线向量§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.1、规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做.记作：a，它的长度和方向规§2.2.1、向量加法运算及其几何意义向量的数乘定如下：1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.⑴aa,⑵当0时,a的方向与a的方向相同；当0时,a的方向与a的方向相反.2、平面向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.§2.3.1、平面向量基本定理2、abab≤ab1、平面向量基本定理：如果e,e是同一平面内的两（两边之差小于第三边，两边之和大于第三边）.12个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，§2.2.2、向量减法运算及其几何意义有且只有一对实数,，使aee.1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.121122§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.1、axiyjx,y.§2.3.3、平面向量的坐标运算1、设ax,y,bx,y，则：1122⑴abxx,yy，1212⑵abxx,yy，1212学习必备欢迎下载⑶ax,y，⑶abab0xxyy0111212⑷a//bxyxy.⑷a//babxyxy0122112212、设Ax,y,Bx,y，则：2、设Ax,y,Bx,y，则：11221122ABxx,yy.ABxx2yy2.21212121§2.3.4、平面向量共线的坐标表示3、两向量的夹角公式1、设Ax,y,Bx,y,Cx,y，则abxxyy112233cos1212abx2y2x2y21122xxyy⑴线段AB中点坐标为12,12，22§2.5.1、平面几何中的向量方法xxxyyy§2.5.2、向量在物理中的应用举例⑵△ABC的重心坐标为123,123.33§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、ababcos.知识链接：空间向量2、a在b方向上的投影为：acos.空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行2总结归纳.3、a2a.1、直线的方向向量和平面的法向量24、aa.⑴．直线的方向向量：若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的5、abab0.一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角⑵．平面的法向量：若向量n所在直线垂直于平面，则称这个向量1、设ax,y,bx,y，则：1122垂直于平面，记作n，如果n，那么向量n⑴abxxyy叫做平面的法向量1212.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：⑵ax2y211学习必备欢迎下载①建立适当的坐标系．即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②设平面的法向量为n(x,y,z)．②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线③求出平面内两个不共线向量的坐标向量即可.a(a,a,a),b(b,b,b)．123123⑶面面平行na0若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要④根据法向量定义建立方程组.nb0证∥，只需证u∥v，即证uv.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直（如图）设直线l,l的方向向量分别是a、b，则要证明12ll，只需证明ab，即ab0.12即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。⑵线面垂直①（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向ulauau量是，则要证明，只需证明∥，即.la②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两am0个相交向量分别为m、n，若,则l.2、用向量方法判定空间中的平行关系an0⑴线线平行即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线设直线l,l的方向向量分别是a、b，则要证明l∥l，1212直线的方向向量都垂直。只需证明a∥b，即akb(kR).⑶面面垂直即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证⑵线面平行，只需证uv，即证uv0.①（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向即：两平面垂直两平面的法向量垂直。量是u，则要证明l∥，只需证明au，即au0.4、利用向量求空间角学习必备欢迎下载⑴求异面直线所成的角量分别为m、n，再设m、n的夹角为，二面角已知a,b为两异面直线，A，C与B，D分别是a,bl的平面角为，则二面角为m、n的夹角上的任意两点，a,b所成的角为，或其补角.ACBD根据具体图形确定是锐角或是钝角：则cos.ACBDmn⑵求直线和平面所成的角◆如果是锐角，则coscos；mn①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角mn◆如果是钝角，则coscos，mn②求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量.为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，5、利用法向量求空间距离则为的余角或的补角⑴点A到平面的距离的余角.即有：au若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，sincos.au平面的法向量为n，则P到平面的距离就等于⑶求二面角MP在法向量n方向上的投影的绝对值.①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个即dMPcosn,MP半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面nMP二面角的平面角是指在二面角l的棱上MPnMP任取一点O，分别在两个半平面内作射线AOl,BOl，则AOB为二面角l的平nMP面角.n如图：直线a与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。②求法：设二面角l的两个半平面的法向学习必备欢迎下载nMP平面内的射影图形的面积为SS，平面与平即d.射n面所成的二面角的大小为锐二面角，则S'S⑶两平行平面,之间的距离cos=射.SS原利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即P必修5数学知识点nMPd.nO第一章：解三角形Aa1、正弦定理：6、三垂线定理及其abc2R.逆定理sinAsinBsinC⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个（其中R为ABC外接圆的半径）平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;PO,OabcsinA,sinB,sinC;推理模式：PAAaPA2R2R2Ra,aOAa:b:csinA:sinB:sinC.概括为：垂直于射影就垂直于斜线.用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直PO,O2、余弦定理：推理模式：PAAaAOa2b2c22bccosA,a,aAPb2a2c22accosB,概括为：垂直于斜线就垂直于射影.c2a2b22abcosC.7、面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为SS，它在原学习必备欢迎下载b2c2a2S,(n1)cosA,a1注意通项能否合并。2bcnSS,(n2).nn1a2c2b2cosB,2ac2、等差数列：a2b2c2cosC.2ab⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即a－a=d，（n≥用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；nn12，n∈N），⑵已知三角形三边，求其它元素。做题中两个定理经常结合使用.那么这个数列就叫做等差数列。3、三角形面积公式：⑵等差中项：若三数a、A、b成等差数列ab111ASabsinCbcsinAacsinB2ABC222⑶通项公式：aa(n1)da(nm)d4、三角形内角和定理：n1m在△ABC中，有ABCC(AB)或apnq(p、q是常数）.nCAB2C22(AB).222⑷前n项和公式：sinCsin(AB),cosCcos(AB)nn1naa应用：CABSnad1nsincosn12222⑸常用性质：5、一个常用结论：①若mnpqm,n,p,qN，则在ABC中，absinAsinBAB;aaaa；mnpq若sin2Asin2B,则AB或AB.特别注意，②下标为等差数列的项a,a,a,，仍组成2kkmk2m在三角函数中，sinAsinBAB不成立。等差数列；③数列ab（,b为常数）仍为等差数列；n④若{a}、{b}是等差数列，则{ka}、{kapb}nnnnn第二章：数列(k、p是非零常数)，…也成等差数列。1、数列中a与S之间的关系：nn⑤单调性：a的公差为d，则：nⅰ）d0a为递增数列；n学习必备欢迎下载ⅱ）d0a为递减数列；1nar(rZ)是等比数列，公比依次是q，q2，，qr.nqⅲ）d0a为常数列；n⑤单调性：⑥数列{a}为等差数列apnq（p,q是常数）nna0,q1或a0,0q1a为递增数列；⑦若等差数列a的前n项和S，则S、SS、11nnnk2kka0,0q1或a0,q1a为递减数列；SS…是等差数列。11n3k2kq1a为常数列；3、等比数列n⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前q0a为摆动数列；一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等n比数列。⑥既是等差数列又是等比数列的数列是非零常数列⑵等比中项：若三数a、G、b成等比数列G2ab,⑦若等比数列a的前n项和S，则S、SS、nnk2kk（ab同号）。反之不一定成立。SS…是等比数列.3k2k⑶通项公式：aaqn1aqnmn1m4、非等差、等比数列通项公式的求法a1qnaaq类型Ⅰ观察法：已知数列前若干项，求该数列的⑷前n项和公式：S11nn1q1q通项时，一般对所给的项观察 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。⑸常用性质类型Ⅱ公式法：若已知数列的前n项和S与ann①若mnpqm,n,p,qN，则的关系，求数列a的通项a可用公式nnaaaa；S,(n1)mnpqa1构造两式作差求解。nSS,(n2)nn1②a,a,a,为等比数列，公比为qk(下标成kkmk2m用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一等差数列,则对应的项成等比数列)分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a和a1n③数列a（为不等于零的常数）仍是公比为q的n合为一个表达，（要先分n1和n2两种情况分别进等比数列；正项等比数列a；则lga是公差为行运算，然后验证能否统一）。nn类型Ⅲ累加法：lgq的等差数列；形如aaf(n)型的递推数列（其中f(n)是关n1n1④若a是等比数列，则ca，a2，，nnnan学习必备欢迎下载aaf(n1)型的递推式：nn1aaf(n2)于n的函数）可构造：n1n2（1）若p1时，数列{a}为等差数列;...naaf(1)21（2）若q0时，数列{a}为等比数列;n将上述n1个式子两边分别相加，可得：af(n1)f(n2)...f(2)f(1)a,(n2)（3）若p1且q0时，数列{a}为线性递推数列，n1n其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差如下两种：数列求和;法一：设ap(a),展开移项整理得n1n②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比apa(p1),与题设apaq比较系n1nn1n数列求和;数（待定系数法）得qqq③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;,(p0)ap(a)p1n1p1np1④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和.qqqap(a),即a构成np1n1p1np1类型Ⅳ累乘法：q以a为首项，以p为公比的等比数列.再利用a1p1形如aaf(n)n1f(n)型的递推数列（其n1nanq等比数列的通项公式求出a的通项整理可anp1nf(n1)an1得a.ann1f(n2)中f(n)是关于n的函数）可构造：an2apaqapaq(n2)...法二：由得两式n1nnn1aaa相减并整理得n1np,即aa构成以2f(1)aan1nann11aa为首项，以p为公比的等比数列.求出21将上述n1个式子两边分别相乘，可得：aa的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求n1naf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a,(n2)n1出a.n有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这㈡形如apaf(n)(p1)型的递推式：种方法求解。n1n类型Ⅴ构造数列法：⑴当f(n)为一次函数类型（即等差数列）时：㈠形如apaq（其中p,q均为常数且p0）n1n法一：设aAnBpaA(n1)B，nn1学习必备欢迎下载通过待定系数法确定A、B的值，转化成以aAB时，要先在原递推公式两边同时除以qn1，得：1为首项，以p为公比的等比数列aAnB，再利apa1nn1n，引入辅助数列b（其中qn1qqnqn用等比数列的通项公式求出aAnB的通项整nap1bn），得：bb再应用类型Ⅴ㈠的方理可得a.nqnn1qnqn法解决。法二：当f(n)的公差为d时，由递推式得：⑶当f(n)为任意数列时，可用通法：apaf(n)，apaf(n1)两式相减得：n1nnn1在apaf(n)两边同时除以pn1可得到aap(aa)d，令baa得：n1nn1nnn1nn1naaf(n)af(n)bpbd转化为类型Ⅴ㈠求出b，再用类型Ⅲn1n，令nb，则bb，nn1npn1pnpn1pnnn1npn1（累加法）便可求出a.n在转化为类型Ⅲ（累加法），求出b之后得apnb.nnn⑵当f(n)为指数函数类型（即等比数列）时：类型Ⅵ对数变换法：法一：设af(n)paf(n1)，通过nn1形如apaq(p0,a0)型的递推式：待定系数法确定的值，转化成以af(1)为首项，n1n1以p为公比的等比数列af(n)，再利用等比数在原递推式apaq两边取对数得nn1列的通项公式求出af(n)的通项整理可得a.lgaqlgalgp，令blga得：nnn1nnnbqblgp，化归为apaq型，求出b法二：当f(n)的公比为q时，由递推式得：n1nn1nn之后得a10bn.（注意：底数不一定要取10，可根据apaf(n)——①，apaf(n1)，两nn1nnn1题意选择）。边同时乘以q得aqpqaqf(n1)——②，由nn1类型Ⅶ倒数变换法：①②两式相减得aaqp(aqa)，即n1nnn1形如aapaa（p为常数且p0）的递推n1nn1naqan1np，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出a.11aqan式：两边同除于aa，转化为p形式，nn1n1naann1n化归为apaq型求出1的表达式，再求a；法三：递推公式为apaq（其中p，q均n1nnn1nan为常数）或aparqn（其中p，q,r均为常数）n1n学习必备欢迎下载ma⑵裂项相消法还有形如an的递推式，也可采用取倒数方n1paqn1m1m法转化成形式，化归为apaqcn1n一般地，当数列的通项aaqapnn1n(anb)(anb)12型求出1的表达式，再求a.nan(a,b,b,c为常数）时，往往可将a变成两项的差，12n采用裂项相消法求和.类型Ⅷ形如apaqa型的递推式：可用待定系数法进行裂项：n2n1n用待定系数法，化为特殊数列{aa}的形式设a，通分整理后与原式相nn1nanbanb12求解。方法为：设akah(aka)，比较cn2n1n1n比较，根据对应项系数相等得，从而可得bb系数得hkp,hkq，可解得h、k，于是21{aka}是公比为h的等比数列，这样就化归为cc11n1n=().(anb)(anb)(bb)anbanb122112apaq型。n1n总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上常见的拆项公式有：不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法（数学归纳法