前面我们介绍了常数项级数的概念及审敛法.进一步要来研究函数项级数问题,对一般的函数项级数，只介绍一些基本概念，不作详细讨论，仅讨论一类特殊常见的最简单的函数项级数——幂级数主要研究它的收敛问题(§3)及怎样将一个函数用幂级数
表
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示(§4)问题。函数项级数的有关概念幂级数及其收敛性幂级数的运算一、函数项级数的有关概念.1.定义:u{设nx()}x∈(I1=,n2 ,)∞u()()则∑x=nu1+x()u2+x +n()u +x(1)−n=1称为定义在区间I上的函数项().无穷级数:例如1x,,x2,x 3,nx−1∈, −∞x(,+∞)∞则x∑=n−1+1x+x2+3 x+n−1x +n=1就是一个函数项级数.2.收敛点与收敛域:,取x0∈(1)I级数u⇒()1x0+u2()x0+ +nu0()+ x(2)∞如果数项级数收敛,数项级数∑un()0xn=1∞则称为级数的收敛点,否则称为发散点.x0∑un()xn=1∞函数项级数的所有收敛点的全体称为收敛域,∑un()xn=1所有发散点的全体称为发散域.+∞对于∑xn−1:∵x<1，级数收敛；x≥1，级数发散。n=1收敛域(1−,1发散域)x≥13.和函数:在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s()x,称s()x为函数项级数的和函数.()()()()sx=u1x+u2x+ +unx+ (定义域是?)函数项级数的部分和{s(nx)},∀x∈收敛域,有limsnx(=)sx()→n∞余项()()()rnx=sx−snxlim∴rn(x=)(x0在收敛域上)→n∞3.和函数:注函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.+∞1∑xn−1=—和函数(x∈1−,1)n=11−x∞例1求∑ne−nx的收敛域n=1(n+1−)(en+1)x解lim=e−x→n∞ne−nxe−x1<,即，x>0级数收敛；,e−x1>,即，x<0级数发散；,∞x=0∑,n散∴级数发散，n=1故级数的收敛域为(0+∞,)二、幂级数及其收敛性∞1.定义:形如n……的级数称为幂级数.∑an()x−0x(3)n=0∞当时nx0=0,∑an……x(4),其中an为幂级数系数.n=0∵令x−x0=(3t)变为(的形式4)∴只须研究(4即可)!注形如(4)的幂级数显然,x=是它的收敛点02.收敛性:∞例如级数∑x=n1+x+2x +,n=0当x<1时,收敛当;x≥1时,发散;收敛域(1−,1);发散域(,−−∞1]∪[+1,∞);观察:收敛域是以0为中心的对称区间(不考虑端点)这一事实是否对一切的幂级数都成立呢?由下列阿贝尔()Able定理回答是肯定的.定理1(Abel)理定∞如果级数n在处收敛,则∑anxx=x(0x0≠0)n=0它在满足不等式x
x0的一切x处发散.∞
证明
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nn(1∵)anx0收敛,∴limanx0=0,∑n→∞n=0∞证明nn(1∵)anx0收敛,∴limanx0=0,∑n→∞n=0∃M,n使得axn0≤(M0,=n1, 2,)nnnnnxnxxaxn=an0x⋅n=anx0⋅≤Mx0x0x0nx∞x当∵<1时,等比级数∑M收敛,x0n=0x0∞∞∴axn收敛,即级数n收敛∑n∑anx;n=0n=0(2假设当)x=x0时发散,∞用反证法设且n收敛,x∃1x1>x0,∑na1xn=0∞由定理的第一部分n收敛1,∑anx0n=0这与已知条件矛盾.∞∞由定理若n收敛n收敛1,∑anx0(0x≠0)a∑x,n∈x(,)−0x0xn=0n=0∞∞若n发散发n散∑an(x00x≠0)a∑x,n∈x(,)(,)−∞x0−U0+∞xn=0n=0∴发散点不能在原点与收敛点之间.即发散点与收敛点不可能交错出现在同一区间内,因此,收敛区间与发散区间之间一定∃分界点x=0R0>使得R(−R,收敛)x,>发散R几何说明收敛区域•••••••••••x发散区域−RR发散区域o推论∞如果幂级数n不是仅在一点收敛,也∑anxx=0n=0不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,它具有下列性质:当xR时,幂级数发散;x当=R与x=−时,幂级数可能收敛也可能发散.R定义:正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.(RR−,),[RR−,),(RR−,],[RR−,].规定(1)幂级数只在x=0处收敛,R=0,收敛区间x=0;(2)幂级数对一切x都收敛,R=+∞,收敛区间(,)−∞+∞.问题如何求幂级数的收敛半径?∞定理2如果幂级数n的所有系数∑anxan≠0,n=0an+1n设lim=ρ(或liman=ρ)→n∞→n∞an1(1)则当ρ≠0时,R=;(2)当ρ=0时,R=+∞;ρ(3)当ρ=+∞时,R=0.∞证明对级数n应用达朗贝尔判别法∑anxn=0axn+1n+1an+1limn=limx=ρx,→n∞→n∞anxan(1当)ρ≠时，由比值判别法得01∞，即级数n收敛ρx<1x<,∑anx,ρn=01∞1，即，级数n发散ρx>1x>∑anx∴,R=ρn=0ρ(2当)ρ=≡ρ0时(x0≠)∞n仅收敛∑anx=0x,∴R=0n=1例2求下列幂级数的收敛区间:n∞∞∞nnxnx(1)∑(−1)(2;)∑−(nx)(;3);n=1∑n=1nn=1n!an解(1∵)ρ=limn+1=lim=1∴R=1→n∞→n∞ann+1∞(−1n)当x=1时,级数为∑,该级数收敛n=1n∞1当x=−1时,级数为∑,该级数发散n=1n故收敛区间是(1−,1.]∞(2)∑−(nxn);n=1n∵ρ=liman=limn=+∞,∴R=0,n→∞n→∞级数只在x=0处收敛,∞xn(3∑);n=1n!a1∵ρ=limn+1=lim=0,∴R=+∞,→n∞→n∞ann+1收敛区间(,)−∞+∞.例3求下列幂级数的收敛区间.∞2n1∞x2n−1(1)(−n1)(x−)n∑(2)∑nn=1n2n=12a2n1解(1)∵ρ=limn+1=lim=2∴R=,→n∞an→n∞n+1211即x−<收敛,(x∈0,1收敛),22∞1当x=0时,级数为∑,发散n=1n∞(−1n)当x=1时,级数为∑,收敛n=1n故收敛区间为(0,1].∞x2n−1(2)∑nn=12xx35x解(2)∵级数为++ +缺少偶次幂的项22223应用达朗贝尔判别法x2n+1n+1un+1()x12lim=lim2→n∞2n−1=x,un()x→n∞x22n1当x2<1,即x<2时,级数收敛21当x2>1,即x>2时,级数发散,2∞1当x=2时,级数为∑,级数发散,n=12∞−1当x=−2时,级数为∑,级数发散,n=12原级数的收敛区间为(−2,2).注以上这二种情形定理2不能直接应用三、幂级数的运算1代数运算:∞na设∑xnf=(x)∈x(−1,R1),Rn=0∞nb∑xn=()(,)gxRRRRR−22=min(12,)n=0∞∞∞加减法nnn∑a:xn±∑bnx=()n∑a±nbxn=0n=0n=0f=x(g)±x()−RR(,)∞∞乘法nn:()()∑axn⋅∑nbxn=0n=0∞nabab=∑0(+n1abn−+12n−+2 abx)n+0()=(fxgx),n=0至少x∈(,)R−R:除法(设0g)≠0b0(≠0)∞n∑anx则n=02n∞=C+C0x1+C2x+ n+C x+n∑bnxn=0收敛域比(−RR,)小得多(R≠0)系数(Ci0=i,1, 2的确定如下):∞∞∞∞nnnnax∑Cxn()()(=∑⋅nbx∑n=bCbC0n+∑1n−1+n+0)bCxn=0n=0n=0n=0比较系数a:=nb0Cn+1bn−1C+ bn+C0(0n,=1,2 ,3)⎧aa=bC⇒C=0⎪0000b⎪0⎪1a0a1⎨=b0C1+b10C⇒C1=a(1b−1)bb⎪00a=⎪bC+bC+b ⇒C2⎪021120 ⎩ ⇒CCC0,,1 22分析运算:对于有限项,,,求极限求导数求积分均有线性性质。问题:对于无穷项,是否也具有相应的线性性质呢?∞∞n?n:即limanx=limanx−−逐项求极限x→∑x∑x→x0n=0n=00?limsx()=s()x0x→x0d∞d?∞dnn逐项求导(∑a)nx=(S(x))=∑an(x−−)dxn=0dxn=0dxb∞b?∞bax()()dxn=Sxdx=n−a−逐项求积分xdx∫∫a∑na∑∫ann=0n=0对于幂级数分析运算性质可以成立(−般的函数项级数未必能成立)重要结论∞设na∑xn=()Sxx(∈,R−)R(3)n=0∞n在内连续即(⇒S1)x(=)∑anx(,):−RRn=0∞∞∞nnnSlimx()=axlimn=liman=xn0a(=x)0(−S4)xx→x∑x→x∑x→x∑00n=0n=00n=0∞n(S2)x(=∑)anx在(,),−R内可导Rn=0∞∞∞nnn−1'S且()x∑=(an)'x=∑an(x=)'na∑nxn=0n=0n=1∞n(S3)x(=∑)anx在(,),−R内可积Rn=0n+1xx∞∞x∞ax且S()()xdx=axndx=axndx=n∫0∫0∑n∑∫0n∑n=0n=0n=0n+1注1)反复应用(2),幂级数(在3−RR)(内具,)有任意阶导数2若在)x=R处()或=x−逐项求导及逐项R积分后的幂级数收敛,等式(5),(仍成立6)∞对于收敛半径为的幂级数nR∑a(),nx−0xn=0仍具有上述分析性质。∞例+1求1+2x3x2+ +nxn−1 +∑nx=n−1n=1的R及(S).x1解法+1∵1x+x+2 +n−x1 +=(x∈1−,1)1−x逐项求导得1+1x+2x3+2 +nxn−1 +=(x∈1−,1)(1−x2)xx∞解法2S()()xdx=nxn−1dx1∫0∫0∑S()x=2n=1(1−x)∞1=∑xn=−1x(∈1−,1(x∈)1−,1)n=11−x∞xn∞(−1n−)1例2求和函数指出定义域，并求的和∑n,∑.n=1n3n=1nnn311解∵lim==ρ,∴R=3,=收敛区间[−3,3)→n(∞n+1)n+313ρ∞xn令S()x=∑n[x∈3−,3)n=1n3∞xn1∞xn−1111S'()(=x)'===(x∈3−,3)∑n∑n−1xn=1n33n=1331−33−x()(−S0)x=Sln(−3−x)x=ln3−xln(−3)0∞(−1n−)1()S=lnx3−ln(x−3∴∑)ln=2x∈[3−,3)n=1n∞n(n+1)例3求数项级数的和∑nn=12∞解作幂级数∑n(n+1)nxn=1(n+1)(n+2)ρ=lim1,=R1=,收敛区间(−1,1)→n∞n(n+1)∞∞S(x)=∑n(n+1)nx=∑x(n+1x)"n=1n=1∞x22xx=(xn+1)"=x()"=x<1∑1−x(1−x3)n=11∞2⋅1n(n+1)2S()=∑n==82213n=1(1−)2
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