2020年全国高中
数学
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联合竞赛一试（B卷）1.若实数x满足()()248loglog2log4xxx=+，则x=．2.在平面直角坐标系xOy中，圆经过点(0,0),(2,4),(3,3)，则圆上的点到原点的距离的最大值为．3.设集合1,2,,20X=，A是X的子集，A的元素个数至少是2，且A的所有元素可排成连续的正整数，则这样的集合A的个数为．4.在三角形ABC中，4,5,6BCCAAB，则66sincos22AA=．5.设9元集合i,1,2,3Aabab=+，i是虚数单位．()129,,,zzz=是A中所有元素的一个排列，满足129zzz，则这样的排列的个数为．6.已知一个正三棱柱的各条棱长均为3，则其外接球的体积为．7.在凸四边形ABCD中，2BCAD．点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足202020200PAPBPCPD．设,st分别为四边形ABCD与PAB的面积，则ts．8.已知首项系数为1的五次多项式()fx满足：()8,1,2,,5fnnn==，则()fx的一次项系数为．9.（本题满分16分）在椭圆中，A为长轴的一个端点，B为短轴的一个端点，12,FF为两个焦点．若12120AFAFBFBF，求12tantanABFABF的值．10.（本题满分20分）设正实数,,abc满足222494122abcbc++=+−，求123abc++的最小值．11.（本题满分20分）设数列na的通项公式为11515,1,2,225nnnan．证明：存在无穷多个正整数m，使得41mmaa是完全平方数．2020年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）一、（本题满分40分）如图，,,,,ABCDE是圆上顺次的五点，满足ABCBCDCDE，点,PQ分别在线段,ADBE上，且P在线段CQ上．证明：PAQPEQ．二、（本题满分40分）设集合1,2,,19A=．是否存在集合A的非空子集12,SS，满足（1）12SS，12SSA；（2）12,SS都至少有4个元素；（3）1S的所有元素的和等于2S的所有元素的乘积？证明你的结论．ΩPEDCABQ三、（本题满分50分）给定整数2n．设1212,,,,,,,0nnaaabbb，满足1212nnaaabbb，且对任意,(1)ijijn，均有ijijaabb．求12naaa的最小值．四、（本题满分50分）设,ab为不超过12的正整数，满足：存在常数C，使得9(mod13)nnabC对任意正整数n成立．求所有满足条件的有序数对(,)ab． 2020年全国高中数学联赛一试参考答案及评分
标准
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（B卷） 2020年全国高中数学联赛加试参考答案及评分标准（B卷）
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