离散数学第3-5章习题答案

第三章1、用枚举法写出下列集合。①英语句子“Iamastudent”中的英文字母；解：{I,a,m,s,t,u,d,e,n}②大于5小于13的所有偶数；解：{6,,8,10,12}③20的所有因数；解：{1,2,4,5,10,20}④小于20的6的正倍数。解：{6,12,18}2、用描述法写出下列集合。①全体奇数；解：S={x|x是奇数}②所有实数集上一元二次方程的解组成的集合；解：S={x|x是实数集上一元二次方程的解}③二进制数；解：S={x|x是二进制数}④能被5整除的整数集合。解：S={x|x是能被5整除的整数}3、求下列集合的基数。①“properset”中的英文字母；解：S={p,r,o,e,s,t}所以cardS=|S|=6②{{1,2}，{2,1,1}，{2,1,2,1}}；解：cardS=|S|=3③{x|x=2或x=3或x=4或x=5}；解：cardS=|S|=4④{{1，{2,3}}}。解：cardS=|S|=14、求下列集合的幂集。①“powerset”中的英文字母；解：S={p,o,w,e,r,s,t}(S)是所有S的子集构成的集合，这里不一一列举了。②{3,6,9}；解：(S)={,{3},{6},{9},{3,6},{3,9},{6,9},{3,6,9}}③小于20的5的正倍数；解：S={5,10,15}(S)={,{5},{10},{15},{5,10},{5,15},{10,15},{5,10,15}}④{{1,3}}。解：(S)={,{1,3}}5、设，B=a，求P(A)，P(P(A))，P(P(P(A)))，P(B)，P(P(B))，P(P(P(B)))。解：P(A)={};P(P(A))={,{}};P(P(P(A)))={,{},{{}},{,{}}}P(B)={,a};P(P(B))={,{},{a},{,a}};P(P(P(B)))={,{},{{}},{{a}},{{,a}},{,{}},{,{a}},{,{,a}},{{},{a}},{{},{,a}},{{a},{,a}},{,{},{a}},{,{},{,a}},{,{a},{,a}},{{},{a},{,a}},{{,{},{a},{,a}}}.6、如果集合A和B分别满足下列条件，能得出A和B之间有什么联系？①A∪B=A；②A∩B=A；③A－B=A；④A∩B=A－B；⑤A－B=B－A；⑥。解：①②EMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMAT③EMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMAT④⑤EMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMAT或A=B⑥7、如果集合A,B和C分别满足下述条件，能判定A=B吗？①A∪C=B∪C；②A∩C=B∩C。解：①不能。例如：C={1,2,3,4},A={1,2},B={3,4}则A∪C=B∪C但是AB②不能。例如A={1,2,4},B={2,3,5},C={2}则A∩C=B∩C={2}。但是AB8、设全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,4}，B={1,2,5}，C={2,4}，确定下列集合。①A∩(～B)；②(A∩B)∪(～C)；③P(A)∪P(C)；④(～A)∩(～B)；⑤～(C∩B)；⑥。解：①～B={3,4}所以A∩(～B)={4}②A∩B={1}，～C={1,3,5}所以(A∩B)∪(～C)={1,3,5}③P(A)={,{1},{4},{1,4}}P(C)={,{2},{4},{2,4}}所以，P(A)∪P(C)={,{1},{2},{4},{1,4},{2,4}}④～A={2,3,5}，～B={3,4}所以(～A)∩(～B)={3}⑤={2}所以～(C∩B)={1,3,4,5}⑥={2,4,5}9、对于集合A，B和C，如果，是否必定有A=B？解：如果必定有A=B由，则10、对任意集合A，B和C，证明下列各式。①((A∪C)－(B∪C))(A－B)；②③((A－C)∩(B∪C))=((A∩B)－C)；④；⑤；⑥P(A)∪P(B)P(A∪B))10、证明：①(A∪C)－(B∪C)③(A－C)∩(B∪C)④⑤⑥令任意{x}P(A)∪P(B)，则x∈A或x∈Bx∈A∪B，{x}P(A∪B)所有P(A)∪P(B)P(A∪B).反之则不成立，设任意x∈A和y∈B,则{x,y}P(A∪B),{x,y}P(A)∪P(B)11、画出下列集合的文氏图。①A∩(～B)；②；③～(A∪B)；④A∩(B∪～C)；⑤(A∩B)∪(～C)；⑥～(C∩B)。解：①②③④⑤⑥12、计算机网络实验室的身份卡密码由2个英文字母后跟2个数字所组成，问可能存在多少种不同密码？解：2个英文字母的可能有262,2个数字的可能有102.所以可能存在262乘以102种不同的密码。13、不包含4个连续的1的6位二进制字符串有多少个？解：6位的二进制字符串根据1的个数可以分成7种情况，然后我们对着7种情况分别进行讨论满足的条件的个数。（1）当1的个数是零的时候该情况很明显符合 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 计数1。（2）当1的个数是1的时候显然也是符合要求的，此时计数6。（3）当1的个数是2的时候也是符合的，计数5X6=30。（4）1的个数是3的时候也是符合要求的，计数4X5X6=120。（5）当1的个数是4的时候会出现不合符的情况，只要我们将不符合的情况从中排除即可。计数3X4X5X6-3=357。（6）当1的个数是5的时候所有情况都不符合要求，计数0。（7）当1的个数是6的时候同样不符合，此时计数0。综上可得共1+6+30+120+357=514个数符合题目的要求。14、在由a,b,c和d共4个字符构成的n位符号串中，求a,b和c至少出现一次的符号串的数目。解：该题目是a、b、c、d中任意组成的n长度的字符串中a、b、c都至少出现一次的个数。所以n中至少有个a即C(n,1),然后b也会出现至少一次即C(n-1,1)，最后c也会至少出现一次C(n-2,1)，最后的n-3为字符进行排列得到A(n-3,n-3)。最后得到结果为n*(n-1)*(n-2)*(n-3)!。15、求1～1000之间不能被5,6和8中任一数整除的整数个数。解：只要从这1000个数中排除被5整除的数有1000/5=200个，被6整除的数有1000/6=166个，被8整除的数有1000/8=125 。同时还不要忘了它们的公共的倍数，故此时计算出5和6的公共倍数个数有1000/30=33,5和8的公共倍数个数有1000/40=25，6和8的公共倍数个数有1000/24=41，故最后得到的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 为1000-（200+166+125）+（33+25+41）=410。16、假设在“离散数学”课程的第一次考试中有14个学生得优，第二次考试中18个学生得优。如果22个学生在第一次或第二次考试得优，问有多少学生两次考试都得优。解：设在第一次考试中得优的学生数为集合A，在第二次考试中得优的学生数为集合B。在两次考试中都得优的学生数即为。由题可知：|A|=14，|B|=18，||=22.则|A-B|=||-B|=22-18=4||=|A|-|A-B|=14-4=10即有10个学生在两次考试中都得优。第四章1、解：(1)A×A={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}(2)A×B={<1,x>,<1,y>,<2,x>,<2,y>}(3)B×A={<x,1>,<x,2>,<y,1>,<y,2>}(4)B×B={<x,x>,<x,y>,<y,x>,<y,y>}(5)P(A)={,{1},{2},{1,2}}A×P(A)={<1,>,<2,>,<1,{1}>,<2,{1}>,<1,{2}>,<2,{2}>,<1,{1,2}>,<2,{1,2}>}(6)P(A)×P(A)={<,>,<,{1}>,<,{2}>,<,{1,2}>,<{1},>,<{1},{1}>,<{1},{2}>,<{1},{1,2}>,<{2},>,<{2},{1}>,<{2},{2}>,<{2},{1,2}>,<{1,2},>,<{1,2},{1}>,<{1,2},{2}>,<{1,2},{1,2}>}2、解：(1)A∩B={1,3}(A∩B)×C={<1,a>,<3,a>,<1,b>,<3,b>}(2)A×C={<1,a>,<2,a>,<3,a>,<1,b>,<2,b>,<3,b>}B×C={<1,a>,<3,a>,<5,a>,<1,b>,<3,b>,<5,b>}(A×C)∩(B×C)={<1,a>,<3,a>,<1,b>,<3,b>}(3)A∪B={1,2,3,5}(A∪B)×C={<1,a>,<2,a>,<3,a>,<5,a>,<1,b>,<2,b>,<3,b>,<5,b>}(4)(A×C)∪(B×C)={<1,a>,<2,a>,<3,a>,<5,a>,<1,b>,<2,b>,<3,b>,<5,b>}3、证明：(1)①对任意的<x,y>∈(A∩B)×C,则x∈(A∩B),y∈C,即x∈A∧x∈B,y∈C,于是有<x,y>∈A×C且<x,y>∈B×C，则<x,y>∈(A×C)∩(B×C)，故(A∩B)×C⊆(A×C)∩(B×C)②对任意的<x,y>∈(A×C)∩(B×C),则<x,y>∈A×C∧<x,y>∈B×C，即x∈A,y∈C且x∈B,y∈C,于是有x∈A∩B,因此<x,y>∈(A∩B)×C,故(A×C)∩(B×C)⊆(A∩B)×C由①②得，(A∩B)×C=(A×C)∩(B×C)。(2)①对任意的<x,y>∈(A∪B)×C,则x∈(A∪B),y∈C,即x∈A∨x∈B,y∈C,于是有<x,y>∈A×C或<x,y>∈B×C，则<x,y>∈(A×C)∪(B×C)，故(A∪B)×C⊆(A×C)∪(B×C)②对任意的<x,y>∈(A×C)∪(B×C),则<x,y>∈A×C∨<x,y>∈B×C，即x∈A,y∈C或x∈B,y∈C,于是有x∈A∪B,因此<x,y>∈(A∪B)×C,故(A×C)∪(B×C)⊆(A∪B)×C由①②得，(A∪B)×C=(A×C)∪(B×C)4、解：(1)<x,y>表示x小于等于yA上的小于等于关系{<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,6>,<1,8>,<1,12>,<2,2>,<2,3>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<2,12>,<3,3>,<3,4>,<3,6>,<3,8>,<3,12>,<4,4>,<4,6>,<4,8>,<4,12>,<6,6>,<6,8>,<6,12>,<8,8>,<8,12>,<12,12>}(2)<x,y>表示x大于yA上的大于关系{<2,1>,<3,1>,<4,1>,<6,1>,<8,1>,<12,1>,<3,2>,<4,2>,<6,2>,<8,2>,<12,2>,<4,3>,<6,3>,<8,3>,<12,3>,<6,4>,<8,4>,<12,4>,<8,6>,<12,6>,<12,8>}(3)A上的全关系即为A×A={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,6>,<1,8>,<1,12>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<2,12>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,<3,6>,<3,8>,<3,12>,<4,1>,<4,2>,<4,3>,<4,4>,<4,6>,<4,8>,<4,12>,<6,1>,<6,2>,<6,3>,<6,4>,<6,6>,<6,8>,<6,12>,<8,1>,<8,2>,<8,3>,<8,4>,<8,6>,<8,8>,<8,12>,<12,1>,<12,2>,<12,3>,<12,4>,<12,6>,<12,8>,<12,12>}(4)A上的恒等关系{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<6,6>,<8,8>,<12,12>}(5)A上的不等于关系{<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,6>,<1,8>,<1,12>,<2,3>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<2,12>,<3,4>,<3,6>,<3,8>,<3,12>,<4,6>,<4,8>,<4,12>,<6,8>,<6,12>,<8,12>,<2,1>,<3,1>,<4,1>,<6,1>,<8,1>,<12,1>,<3,2>,<4,2>,<6,2>,<8,2>,<12,2>,<4,3>,<6,3>,<8,3>,<12,3>,<6,4>,<8,4>,<12,4>,<8,6>,<12,6>,<12,8>}(6)<x,y>表示x整除yA上的大于关系{<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,6>,<1,8>,<1,12>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<2,12>,<3,3>,<3,6>,<3,12>,<4,4>,<4,8>,<4,12>,<6,6>,<6,12>,<8,8>,<12,12>}5、解：关系矩阵为其中1表示同龄关系，0表示非同龄关系关系图6、解：(1)自反、传递、反对称(2)对称(3)传递(4)自反、对称(5)自反、对称、传递(6)反自反、对称、反对称7、解：(1)R的关系图(2)r(R)={<1,2>,<2,2>,<2,3>,<3,4>,<1,1>,<3,3>,<4,4>}     s(R)={<1,2>,<2,2>,<2,3>,<3,4>,<2,1>,<3,2>,<4,3>}            t(R)={<1,2>,<2,2>,<2,3>,<3,4>,<1,3>,<2,4>,<1,4>}8、解：r(R)={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,a>,<b,b>,<c,c>}   s(R)={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<b,a>,<c,b>,<a,c>}       t(R)={<a,b>,<b,c>,<a,c>,<c,a>,<a,a>,<b,a>,<b,b>,<c,c>,<c,b>}rs(R)={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<c,a>,<a,c>,<a,a>,<b,b>,<c,c>}rt(R)={<a,b>,<b,c>,<a,c>,<c,a>,<a,a>,<b,a>,<b,b>,<c,c>,<c,b>}st(R)={<a,b>,<b,c>,<a,c>,<c,a>,<a,a>,<b,a>,<b,b>,<c,c>,<c,b>}srt(R)={<a,b>,<b,c>,<a,c>,<c,a>,<a,a>,<b,a>,<b,b>,<c,c>,<c,b>}关系矩阵和关系图略。9、解：(1)对于任意x∈A，因为R是自反的，(x，x)∈R，所以(x，x)∈s(R)，(x，x)∈t(R),所以s(R)与t(R)也是自反的(2)错误设A={1,2,3}R={<2,1>,<1,3>,<3,2>}则t(R)={<2,1>,<1,3>,<3,2>,<2,3>,<2,2>,<3,3>,<3,1>,<1,1>},可见t(R)是自反的。(3)r(R)=R∪IA，因为R和IA都是对称的，所以r(R)也是对称的。设C是R的传递闭包，任取(x,y)∈C。若(x,y)∈R，则(y,x)∈R，从而(y,x)∈C；若(x,y)R，则存在t，使得(x,t)∈R并且(t,y)∈R，根据R的对称性，有(t,x)∈R并且(y,t)∈R，即(y,x)∈C.综上，对任意的(x,y)∈C皆有(y,x)∈C，所以C是对称的。(4)错误设A={1,2,3}R={<1,2>,<2,3>,<3,1>}是反对称的但t(R)={<1,2>,<2,3>,<3,1>,<1,3>,<3,3>,<2,1>,<1,1>,<3,2>,<2,2>},可见t(R)是对称的。(5)错误设A={1,2,3}R={<1,2>,<2,3>,<1,3>}是传递的但s(R)={<1,2>,<2,3>,<1,3>,<2,1>,<3,2>,<3,1>},可见s(R)不满足传递性。(6)由(3)可知该结论正确。10、解：(1)、(5)和(6)是等价关系11、证明：证明R是等价关系，即证明R在正整数集合上有自反、对称、传递关系，要证R是自反、对称、传递，采用按定义证明法证明。①自反性：对任意<x,y>∈正整数，xy=xy，所以<x,y>R<x,y>，即R是正整数上的自反关系。②对称性：对任意<a,b>,<c,d>∈正整数，如<a,b>R<c,d>，则ab=cd，即cd=ab，所以<c,d>R<a,b>，即R是正整数上的对称关系。③传递性：对任意<a,b>,<c,d>∈正整数，如<a,b>R<c,d>，<c,d>R<e,f>则ab=cd，cd=ef，即ab=ef，所以<a,b>R<e,f>，即R是正整数上的传递关系。由①②③知R是正整数上的等价关系。12、解：R1={a,c,e}×{a,c,e}={<a,a>,<a,c>,<a,e>,<c,a>,<c,c>,<c,e>,<e,a>,<e,c>,<e,e>}R2={b,d}×{b,d}={<b,b>,<b,d>,<d,b>,<d,d>}R3={f,g}×{f,g}={<f,f>,<f,g>,<g,f>,<g,g>}R=R1∪R2∪R3={<a,a>,<a,c>,<a,e>,<c,a>,<c,c>,<c,e>,<e,a>,<e,c>,<e,e>,<b,b>,<b,d>,<d,b>,<d,d>,<f,f>,<f,g>,<g,f>,<g,g>}13、解：R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,<5,5>,<6,6>}COV(R)={<1,2>,<1,3>,<1,5>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}R的哈斯图：B={2,3,5}无最大和最小元，极大元是{2,3,5}，极小元是{2,3,5}，无上界，无上确界，下界是1，下确界是1。14、证明：对任意a∈Z，必有a·a≥0，因此<x,x>∈R，说明R有自反性。若a·b≥0，<x,y>∈R，则b·a≥0，<y,x>∈R，说明R有对称性，设a·b≥0，<x,y>∈R，b·c≥0，<y,z>∈R但是由a·b≥0和b·c≥0不能得出a·c≥0（例如b=0,a=2,c=-2），即<x,z>R，说明R不具有传递性。故R是A上的相容关系，但不是A上的等价关系。15、解：R1={a,b,c,d}×{a,b,c,d}={<a,a>,<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<b,d>,<c,a>,<c,b>,<c,c>,<c,d>,<d,a>,<d,b>,<d,c>,<d,d>}R2={c,d,e}×{c,d,e}={<c,c>,<c,d>,<c,e>,<d,c>,<d,d>,<d,e>,<e,c>,<e,d>,<e,e>}R3={d,e,f}×{d,e,f}={<d,d>,<d,e>,<d,f>,<e,d>,<e,e>,<e,f>,<f,d>,<f,e>,<f,f>}R4={f,g}×{f,g}={<f,f>,<f,g>,<g,f>,<g,g>}相容关系R=R1∪R2∪R3∪R4={<a,a>,<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<b,d>,<c,a>,<c,b>,<c,c>,<c,d>,<d,a>,<d,b>,<d,c>,<d,d>,<c,e>,<d,e>,<e,c>,<e,d>,<e,e>,<d,f>,<e,f>,<f,d>,<f,e>,<f,f>,<f,g>,<g,f>,<g,g>}16、解：(1)R的关系矩阵(2)因为R里面有<b,c>和<c,d>但是没有<b,d>，不满足传递性，因此R不是偏序关系。17、解：R1={1,15}×{1,15}={<1,1>,<1,15>,<15,1>,<15,15>}R2={3,9}×{3,9}={<3,3>,<3,9>,<9,3>,<9,9>}R3={5,7}×{5,7}={<5,5>,<5,7>,<7,5>,<7,7>}R=R1∪R2∪R3={<1,1>,<1,15>,<15,1>,<15,15>,<3,3>,<3,9>,<9,3>,<9,9>,<5,5>,<5,7>,<7,5>,<7,7>}18、解：(1)A{0,1}B={<<a,0>,c>,<<a,1>,c>,<<b,0>,c>,<<b,1>,c>}(2)P(A)×A={<,a>,<,b>,<{a},a>,<{a},b>,<{b},a>,<{b},b>,<{a,b},a>,<{a,b},b>}19、证明：(1)①设任意<x,y>∈R,则<y,x>∈RC因为R是对称的，所以<y,x>∈R，<x,y>∈RC故R=RC②设任意<x,y>∈R,则<y,x>∈RC因为R=RC，所以<y,x>∈R故R是对称的由①和②可知，R是对称的当且仅当R＝RC(2)因为R是A上的一个等价关系，所以R具有自反性、对称性和传递性<a,b>∈R，根据对称性得<b,a>∈R，<a,c>∈R，根据传递性得<b,c>∈R(3)(A-B)∩(A-C)20、解：(1)不是偏序关系，不满足自反性(2)是偏序关系也是全序关系(3)是偏序关系也是全序关系(4)不是偏序关系(5)是偏序关系但不是是全序关系(6)不是偏序关系第五章1、解：①⑤是函数。2、解：①={<1,1>,<2,2>,<3,3>}②={<1,2>,<2,2>,<3,2>}③={<1,1>,<2,1>,<3,1>}④={<1,3>,<2,1>,<3,2>}3、解：(答案不是唯一的，写的合理即可)4、证明：因是满射，则对，存在，使得，则，由，知，于是，由的任意性知．5、证明：，若，有，则，故是单射；，令，，则，且，则是满射6、解：7、解：8、证明：设为可数集，其元素为，以表示由中个元素组成的子集的全体，为中所有限子集全体，则，其中为单元素集，另设，则中的任意元素由个独立的记号确定，且每个记独立的跑遍一个可数集，故可数。现对的每个元素令其对应中的元素，则与的一个子集对等，由于为可数集所以为至多可数，但为无限集所以为可数集，从而为可数个可数集的并集，所以是可数集。9、证明：反证法。如果无理数全体是可数的，那么它和有理数全体的并集将是可数集。但是它们的并是区间，而区间不可数矛盾。10、证明：因为取自一个基数为的集，记之为，从而存在到实数集的一一对应，，现在令中的元与实数数列对应，那么这个对应是到上的一一对应，由得。_1234567921.unknown_1234567937.unknown_1467706089.unknown_1467708602.unknown_1467709735.unknown_1467709924.unknown_1467710011.unknown_1467710045.unknown_1467712056.unknown_1467709973.unknown_1467709900.unknown_1467708996.unknown_1467709576.unknown_1467709695.unknown_1467709117.unknown_1467709148.unknown_1467709043.unknown_1467708859.unknown_1467708913.unknown_1467708719.unknown_1467707809.unknown_1467707871.unknown_1467708577.unknown_1467707830.unknown_1467707718.unknown_1467707792.unknown_1467706295.unknown_1467706331.unknown_1467706322.unknown_1467706127.unknown_1234567945.unknown_1234567958.unknown_1467011644.unknown_1467029359.unknown_1467705901.unknown_1467706035.unknown_1467029514.unknown_1467030317.unknown_1467030385.unknown_1467030470.unknown_1467030144.unknown_1467029473.unknown_1467019603.unknown_1467019782.unknown_1467023988.unknown_1467019738.unknown_1467016576.unknown_1467019559.unknown_1467011645.unknown_1466930284.unknown_1466966061.vsdegdafcb_1467011642.unknown_1467011643.unknown_1466967632.vsd���4321_1466967951.unknown_1466967268.vsd132564_1466937324.unknown_1396277442.unknown_1396277715.unknown_1396277814.unknown_1466878418.unknown_1396277793.unknown_1396277694.unknown_1396274534.unknown_1396274910.unknown_1396275077.unknown_1396275183.unknown_1396275067.unknown_1396274723.unknown_1364826838.unknown_1395567062.unknown_1234567959.unknown_1234567949.unknown_1234567954.unknown_1234567956.unknown_1234567957.unknown_1234567955.unknown_1234567952.unknown_1234567953.unknown_1234567950.unknown_1234567951.unknown_1234567947.unknown_1234567948.unknown_1234567946.unknown_1234567941.unknown_1234567943.unknown_1234567944.unknown_1234567942.unknown_1234567939.unknown_1234567940.unknown_1234567938.unknown_1234567929.unknown_1234567933.unknown_1234567935.unknown_1234567936.unknown_1234567934.unknown_1234567931.unknown_1234567932.unknown_1234567930.unknown_1234567925.unknown_1234567927.unknown_1234567928.unknown_1234567926.unknown_1234567923.unknown_1234567924.unknown_1234567922.unknown_1234567905.unknown_1234567913.unknown_1234567917.unknown_1234567919.unknown_1234567920.unknown_1234567918.unknown_1234567915.unknown_1234567916.unknown_1234567914.unknown_1234567909.unknown_1234567911.unknown_1234567912.unknown_1234567910.unknown_1234567907.unknown_1234567908.unknown_1234567906.unknown_1234567897.unknown_1234567901.unknown_1234567903.unknown_1234567904.unknown_1234567902.unknown_1234567899.unknown_1234567900.unknown_1234567898.unknown_1234567893.unknown_1234567895.unknown_1234567896.unknown_1234567894.unknown_1203707475.unknown_1203707833.unknown_1204240595.unknown_1234567891.unknown_1234567892.unknown_1204240812.unknown_1204241016.unknown_1204241173.unknown_1234567890.unknown_1204241142.unknown_1204240898.unknown_1204240680.unknown_1204240714.unknown_1204240628.unknown_1203708501.unknown_1204240518.unknown_1204240568.unknown_1204238910.unknown_1204239652.unknown_1204238847.unknown_1203708073.unknown_1203708201.unknown_1203707953.unknown_1203708023.unknown_1203707673.unknown_1203707809.unknown_1203706987.unknown_1203707169.unknown_1203707259.unknown_1203707340.unknown_1203707117.unknown_1069934787.unknown_1069934989.unknown_1203706928.unknown_1069934779.unknown