微专题1 集合的新定义问题第一章 集合与常用逻辑用语集合新定义问题的类型：(1)新定义性质，(2)新定义运算.解决集合新定义问题的着手点：(1)正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识.(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键.(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明.一、新定义集合的概念例1 若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑.已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}.其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是________.②④解析 ①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}，因为{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，故①不是集合X上的一个拓扑；②满足集合X上的一个拓扑的集合τ的定义；③因为{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的一个拓扑；④满足集合X上的一个拓扑的集合τ的定义，故
答案
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为②④.二、新定义集合的性质例2 (1)若集合A具有以下性质：①0∈A,1∈A；②若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.则称集合A是“好集”.给出下列说法：①集合B＝{－1,0,1}是“好集”；②有理数集Q是“好集”；③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.其中，正确说法的个数是A.0B.1C.2D.3√解析 ①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B,1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾.②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q,1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”.③因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A.(2)若数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1<a2<…<an，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，aiaj与两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”.则 A.{1,3,4}为“权集”B.{1,2,3,6}为“权集”C.“权集”中元素可以有0D.“权集”中一定有元素1√如集合{2,4}，符合“权集”定义，但不含1，故D不正确.三、新定义集合的运算√则由集合中元素的互异性可知，集合A⊗B中有3个元素1,0,2，故集合A⊗B的真子集为∅，{1}，{0}，{2}，{1,0}，{1,2}，{0,2}，共7个.(2)已知集合A＝{x∈N|－1≤x≤3}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为A.15B.16C.20D.21√解析 易知集合A＝{0,1,2,3}.∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，∴A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和为21.
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