四升五年级奥数教案

第一讲探寻规律解决问题·知识引领·探寻给定事物中隐含的规律，在 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 、猜想、归纳中寻求最佳的解决问题的策略．·经典题例·例1如下表， 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 中的数是按一定规律排列的，按此规律在空格处填上相应的数． 5 7 11 19 35 解析观察规律得5×2－3＝7，7×2－3＝11，11×2－3＝19，19×2―3＝35，…，得出规律为an＋1＝2an―3，这样空格处的数应为35×2－3＝67，67×2－3＝131．例2如图，填在图中三个正方形内的数有相同的规律，请你找出它们的规律，填出B、C，然后确定A，那么A是几？解析观察前面两个正方形内有3个连续的自然数，那么第三个正方形也有这样的规律，所以，B＝4，C＝5．又发现前面两个正方形内左上角的数是右下角的数乘以另两数和的积，则A＝5×(3＋4)＝35．例3计算：2000＋1999―1998―1997＋1996＋1995―1994―1993＋…＋8＋7―6―5＋4＋3―2―1解析算式中共有2000个数相加减，规律是两加两减，根据算式和数的特征，正好把这2000年数按照每4个数（两加两减）分为一组，共可分为2000÷4＝500（组），每组的得数都是4，所以，原式的结果为500个4之和．例4自然数1，2，3，4，…排成下面的数阵：第一行1234第二行3456第三行5678第四行78910……那么48排在数阵的第几行？左起第几个位置？解析观察这个数阵中的排列规律知：①每行的第2列数都是偶数，并且是每行序数的2倍；②每行的4个数是4个连续自然数从小到大排列的；③除2以外，其他偶数出现2次．那么48会在2个位置出现，由48÷2＝24，即48可能在24行左起第2个位置，也可能在第23行左起第4个位置．例5如图，按照图中排列的规律，问：第11行最左边的数是几？解析观察图中排列的规律，得出：每一行最右边的是一个平方数，恰好是行数×行数．第10行最右边数是10×10＝100．因此，第11行最左边的数是100＋1＝101．·应用与探究·１．24，21，18，15，(12)，(9)．２．2，17，4，14，6，11，(8)，(8)．３．下面方格内都有一个数字，并且相邻两格内的数相加，和都是14，这八个数的和是多少？第四个方格内应该填的数字是几？（8×4＋6×4＝56） 8 6 8 6 8 6 8 6细菌第一个小时繁殖2个细菌，第二个小时繁殖3个细菌，第三个小时繁殖6个细菌，第四个小时繁殖7个细菌，第五个小时繁殖14个细菌，则第六个小时繁殖多少个细菌？（15个）５．观察下列数，找出规律，在括号里填上合适的数：2，6，18，54，(162)６．观察下列数，找出规律，在括号里填上合适的数：4，6，10，18，(34)７．观察下列数，找出规律，在括号里填上合适的数：1，6，5，10，9，14，(13)，(18)８．●●★●●★●●★……第99个图案是什么？（★）观察下面图中数的变化规律，在空白处填上合适的数：１０．观察下面图中数的变化规律，在空白处填上合适的数：１１．以下是一组按特定规律排列的数列：1，1，2，1，1，2，3，2，1，1，2，3，4，3，2，1，……由左至右第100个数是几？（1）解：1＋3＋……＋17＋19＝100１２．如图，一次智力测验，主持人亮出四块长方形牌子，在牌子④中，空白处表示的数应是多少？①②③④１３．有一串数：1，2，4，7，11，16，…，它的规律是：由1开始，加1，加2，加3，…，依次逐个产生这串数，直到产生第50个数为止．那么在这50个数中，被3除余1的数有多少个？(33个)解：50÷3＝16……2,16×2＋1＝33（个）小华每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出100个．肥皂泡吹出后，经过一分钟有一半破了，经过两分钟还有5个没有破，经过两分半钟肥皂泡全部破了，小华在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡有多少个？解:100＋50＋5＝155（个）第二讲速算与巧算·知识引领·在平时的计算过程中，我们可以通过寻求运用定律和性质，进行简算或巧算．而速算与巧算需掌握的常用方法有：分解或合并，利用特殊数，添括号或去括号等等．·经典题例·例1计算：25×96×125解析在计算乘、除法时，我们通常可以运用2×5、4×25、8×125来进行巧妙的计算．原式＝25×4×3×8×125＝(25×4)×3×(8×125)＝100×3×1000＝300000例2计算：1234＋3142＋4321＋2413解析数字1，2，3，4在个位、十位、百位、千位上均各出现一次．原式＝1111＋2222＋3333＋4444＝1111×(1＋2＋3＋4)＝1111×10＝11110例3计算：214×670＋7860×67解析本题可以运用“积不变的规律”，即“一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同倍数，积不变”的规律求解．解法一原式＝2140×67＋7860×67解法二原式＝214×670＋786×670＝(2140＋7860)×67＝(214＋786)×670＝1000×670＝10000×67＝670000＝670000例4用简便方法计算：99999×77778＋33333×66666解析33333×66666＝33333×3×22222＝99999×22222原式＝99999×77778＋33333×3×22222＝99999×(77778＋22222)＝99999×100000＝9999900000例5计算：3÷(5÷7)÷(7÷11)÷(11÷15)解析观察发现，算式中每个括号里的除数都是下一个括号里的被除数，根据运算性质a÷(b÷c)＝a÷b×c,计算时可以消去括号．原式＝3÷5×7÷7×11÷11×15＝3÷5×15＝3×15÷5＝9例6从1起，把奇数依次加起来，1＋3＋5＋7＋9＋…一直加到第100个奇数，和是多少？解析你能从下图中找到巧妙的计算方法吗？1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝25因为1＋3＝2×2，1＋3＋5＝3×3，1＋3＋5＋7＝4×4，…所以100个连续奇数的和得100×100＝10000解法一第100个奇数是2×100－1＝1991＋3＋5＋7＋…＋199＝100×100＝10000解法二原式＝(1＋199)×100÷2＝10000·应用与探究·１．(2002＋2002)×5（20020）２．4500÷(25×90)（2）３．1＋(11×111)－1111（111）４．2－4＋6－8＋10－12＋…＋1998－2000＋2002（1002）５．2＋22＋222＋2222＋22222（24690）６．33333×666（222199778）７．1440×572÷288（2860）８．327×280＋6730×28（280000）９．8÷7＋9÷7＋11÷7（4）１０．2999＋999×9999（9992000）１１．1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100＋101（51）１２．(48×75×81)÷(24×25×27)（18）１３．1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6)（3）第三讲应用题解法探索（假设法）·知识引领·利用题目已知条件与所求目标，分析、收集、整理题目中已有信息，探索假设某种数量关系的存在，寻求解决问题的突破口．·经典题例·例1有四袋糖块，其中任意三袋的总和都超过60块，那么这四袋糖块的总和至少有多少块？解析假设任意三袋糖块的数量分别为20块、20块、21块，那么另一袋至少也有21块．因为另一袋若小于21块，那么任意三袋的和就不能超过60块．因此，这四袋糖块的总和至少有20＋20＋21＋21＝82（块）．答：这四袋糖块的总和至少有82块．例2小宇去游山，他从东坡上山，每小时行2千米，到山顶玩1小时，又从西坡下山，每小时行3千米，全程共行19千米，共用9小时．求上山、下山的路各几千米？解析由于小宇在山顶上玩1小时，所以他上、下山的时间共8小时．假设8小时都是上山，走了2×8＝16（千米），比实际少(19－16)＝3（千米）．因此，下山走3÷(3－2)＝3（小时），下山路有3×3＝9（千米），上山路有19－9＝10（千米）．答：上山路有9千米，下山路有10千米．例3某次数学竞赛共20道题，评分 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 是：每做对一题得5分，每做错或不做一题扣1分．小刚参加了这次竞赛，得了82分．问：小刚做对了几道题？解析做错或不做一题应少得5＋1＝6（分）．假设20道题全做对了，应得5×20＝100（分），比实际多了(100－82)＝18（分），做错了18÷6＝3（道），做对了(20－3)＝17（道）．答：小刚做对了17道题．例4箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只．每次从箱子里取出7只白球、15只红球，如果经过若干次以后，箱子里还剩下3只白球、53只红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少只？解析假如每次取的红球是白球的3倍：3×7＝21（只），那么剩下的红球应是剩下白球的3倍多2，即3×3＋2＝11（只），比现在少53―11＝42（只），这是由于每次多取21―15＝6（只）红球，所以共取了42÷6＝7（次），红球比白球多(15－7)×7＋53－3＝106（只）答：箱子里原有红球比白球多106只．例5抗日战争期间，一支敌后武工队为了更灵活有效地打击敌人，把68人分成了14个战斗小组，这些小组有的3人，有的5人，有的7人，而3人和5人小组的组数相同．问：三种战斗小组各有几组？解析由于3人组和5人组的组数相同，我们可以看成这些组里平均每组4人．这样我们就可以把分组情况分成两类：4人组和7人组．4人组的组数为：(7×14－68)÷(7－4)＝10（组）于是，3人组与5人组各有10÷2＝5（组），7人组有14－10＝4（组）．答：3人组和5人组各有5组，7人组有4组．·应用与探究·１．从0~9这10个数字中选择合适的数字填入以下方框，使等式成立，被选取的数字不能重复使用．□□□＋□□□＝666（127＋539＝666，不止一个答案）２．实验小学四年级某次数学竞赛共有20道题，规定：答对1题得3分，答错1题扣1分，未答的题不计分．考试结束后，东东得了41分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是奇数个．请你帮助东东计算一下，他答错了几道题？(4道)未答有几题？（1道）３．有一堆糖果，把它们5等分后还剩5颗，取其中的3份再4等分后还剩3颗，再取其中的2份5等分后还剩2颗．问：这堆糖果至少有多少颗？(50颗)４．四（1）班有象棋、飞行棋共14副，恰好可供全班40名同学同时进行活动．象棋要2人下一副，飞行棋要4人下一副，则飞行棋和象棋各有几副？解：飞行棋：(40－28)÷(4－2)＝6（副），象棋：14－6＝8（副）．暑期到了，四（1）班同学可以从本班图书角借图书，如果每个小组借5本，则最后少4本；如果前2个小组每个小组借15本，余下每个小组借2本，这些图书恰好借完．则共有图书多少本？解：[(15－2)×2＋4]÷(5－2)＝10（组），5×10－4＝46（本）．６．100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组．问：高、低年级学生各有多少人？解：高年级：[(41×3－100)÷(3－2)]×2＝46（人），低年级：100－46＝54（人）．７．甲、乙两人中有一个人来自真话村，另一个人来自谎话村，谎话村里的人从来不说真话，真话村里的人从来不说谎话．甲说：“我们两人中至少有一个人在说谎．”谁来自真话村？（甲）谁来自谎话村？（乙）８．四（1）班的同学集体去公园划船，如果每条船坐10人，那么多出5个座位；如果每条船少坐1人，那么正好坐满．共需几条船？解：5÷(10－9)＝5（条）甲、乙、丙三人摘苹果，共摘121千克．甲比乙多摘12千克，丙比乙少摘8千克．甲、乙、丙三人各摘苹果多少千克？解：乙：(121－12＋8)÷3＝39（千克），甲：39＋12＝51（千克），丙：39－8＝31（千克）．１０．小明和小英共有图书45本，小英比小明少3本．两人各有图书多少本？解：小英：(45－3)÷2＝21（本），小明：45－21＝24（本）．１１．实验小学录取一年级新生104人，分成甲、乙两个班，如果从甲班转2个学生到乙班，两班学生人数就一样．问：甲、乙两班原有学生各多少人？解：乙：(104－2×2)÷2＝50（人），甲：104－50＝54（人）．一个书架分上、下两层，共放有图书34本．如果从上层取出8本图书放入下层，那么下层就比上层多2本．问：原来上、下两层各有图书多少本？解：8×2－2＝14（本），下层：(34－14)÷2＝10（本），上层：34－10＝24（本）．实验小学四年级学生共植树108棵，一班比二班多植树11棵，三班比二班少植树5棵．这三个班各植树多少棵？解：二班：(108－11＋5)÷3＝34（棵），一班：34＋11＝45（棵），三班：34－5＝29（棵）．第四讲应用题解法探索（平均法）·知识引领·在日常生活中，我们会经常遇见关于解决平均数的问题．这类问题的解决，一定要掌握涉及这类问题中的总数、份数和平均数三者之间的关系．·经典题例·例1实验小学有28位女教师，平均年龄35岁，有4位男教师，平均年龄27岁．这些教师平均年龄是多少岁？解析要求平均年龄，先要求出所有教师的年龄总和：女教师的年龄和＋男教师的年龄和，再用年龄总和除以所有教师的人数．(35×28＋27×4)÷(28＋4)＝34（岁）答：这些老师的平均年龄是34岁．例2小云爬山，从山脚出发，上山路长18千米，每小时行3千米．到山顶后沿原路下山，每小时行6千米．问小云上山、下山的平均速度是多少？解析注意不可以用(上山速度＋下山速度)÷2，正确的平均速度应该等于总路程÷总时间．总路＝18×2＝36（千米），总时间＝18÷3＋18÷6＝9（小时）平均速度＝36÷9＝4（千米/小时）答：小云上山、下山的平均速度是4千米/小时．例3某次考试，张、王、李、陈四人的成绩统计如下：张、王、李平均91分，王、李、陈平均89分张、陈平均95分．问：张得了多少分？解析先求出四个人的总分再减去其余三个人的总分，就是张的成绩．四人的总成绩为［(91＋89)×3＋95×2］÷2＝365（分）所以张的成绩为365－89×3＝98（分）答：张得了98分．例4暑假期间，小强每天都坚持游泳，并对所游的距离做了 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 ．如果他在暑假最后一天游670米，则平均每天游495米；如果最后一天游778米，则平均每天游498米．如果他想平均每天游500米，那么最后一天应游多少米？解析因为平均每天所游的距离提高498－495＝3（米），需要多游778－670＝108（米），所以暑假一共有108÷3＝36（天）．如果平均每天游500米，则要在最后一天游(500－498)×36＋778＝850（米）．答：最后一天应游850米．例5有两组数，第一组16个数的和是98，第二组的平均数是11，两组中所有数的平均数是8，则第二组有多少个数？解析第二组有(16×8－98)÷(11－8)＝10（个）答：第二组有10个数．例6每次考试满分是100分，小明4次考试的平均成绩是89分，为了使平均成绩尽快达到94分（或更多），他至少要再考几次？解析小明一共还差(94－89)×4＝20（分）．为了尽快使平均分达到94分，每次考试应尽可能都是满分，这样每次考试可多余100－94＝6（分）．由于20÷6＝3……2， 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 至少还要考3＋1＝4（次）．答：他至少要再考4次．·应用与探究·１．一个同学的语文成绩是85分，数学成绩是93分，体育成绩是92分，则他三门学科的平均成绩是多少分？解：(85＋93＋92)÷3＝90（分）２．植树节10个好朋友去植树，种两棵树的有2人，种三棵树的有3人，种四棵树的有2人，种五棵树的有1人，种七棵树的有2人．那么平均每人种了几棵树？解：(2×2＋3×3＋4×2＋5×1＋7×2)÷(2＋3＋2＋1＋2)＝4（棵）３．小明语文、数学、音乐、体育四科成绩的平均分是92.5分，若已知语文、音乐、体育的成绩分别为96、95、80，那么小明的数学成绩是多少分？解：92.5×4－96－95－80＝99（分）４．三个数的平均数是120，加上一个数后，四个数的平均数是115，加上的数是多少？解：115×4－120×3＝100５．30人组成的老年学习班中，老爷爷的平均年龄是70岁，老奶奶的平均年龄是75岁．若老爷爷与老奶奶的人数相同，则他们的平均年龄是多少岁？若老爷爷是12位，则平均年龄是多少岁？解：(70＋75)÷2＝72.5（岁）(70×12＋75×18)÷30＝73（岁）６．一辆汽车越过一个土丘，上坡的距离是60千米，上坡的距离是下坡距离的一半，上坡速度为30千米/小时，下坡速度是40千米/小时，那么上、下坡平均速度是多少？解：(60＋120)÷(60÷30＋120÷40)＝36（千米/小时）已知甲、乙、丙、丁四个数的平均数是10，甲、乙的平均数是8，求丙、丁两数的平均数．解：(10×4－8×2)÷2＝12８．有5个数的平均数是20，如果把其中一个数改成4，这时候5个数的平均数是18．问：改动的数原来是多少？解：20×5－18×5＋4＝14９．有7个数，它们的平均数是18．去掉一个数后，剩下6个数的平均数是19；再去掉一个数后，剩下的5个数的平均数是20．求：去掉的两个数分别是多少？解：18×7－19×6＝12，19×6－20×5＝14１０．原来四人小组的平均分是70分，加入一人后，平均成绩提高了2分，新加入的同学成绩是多少分？解：2×5＋70＝80（分）１１．已知A、B、C、D、E五个数，前三个数的平均数是12，后三个数的平均数是9，中间三个数的平均数是10，那么首、尾、中间三个数（即A、C、E）的平均数是多少？解：因为A＋B＋C＝12×3＝36，C＋D＋E＝9×3＝27，B＋C＋D＝10×3＝30，所以A＋2B＋3C＋2D＋E＝93，A＋C＋E＝93－2(B＋C＋D)＝93－2×30＝33，即A、C、E平均数为33÷3＝11．１２．有7个数排成一列，它们的平均数是32，前3个数的平均数是28，后5个数的平均数是33．求第三个数是多少？解：33×5＋28×3－32×7＝25第五讲年龄问题·知识引领·解年龄问题往往是和差问题、和倍问题、差倍问题的综合应用，解题分析时，一定要抓住其年龄差在几年前或几年后是不变的这个关键．·经典题例·例1小勇比妈妈小24岁，妈妈现在的年龄正好是小勇的3倍，妈妈和小勇现在分别是多少岁？解析题目中第一个条件是年龄差且年龄差是不变的，那么只要找到倍数差，就可以求出两人的年龄了．而“妈妈的年龄是小勇的3倍”这个条件告诉我们，把小勇的年龄看作1倍，妈妈的年龄则为3倍，他们年龄的倍数差为3－1＝2倍，所以用年龄差÷倍数差就可以求出两人的年龄分别是几岁了．小勇的年龄：24÷(3－1)＝24÷2＝12（岁）妈妈的年龄：12×3＝36（岁）答：小勇现在12岁，妈妈现在36岁．例2王刚今年9岁，李英今年13岁，当两人的年龄和是40岁的时候，王刚和李英分别是多少岁？解析题目中分别告诉我们王刚和李英的年龄，那么我们就可知王刚和李英的年龄差为13－9＝4（岁）．而当他们两人年龄和为40岁时，两人的年龄差还是4岁．这时我们可以用和差问题的方法，来求出两人的年龄．李英：［40＋(13－9)］÷2＝22（岁）王刚：40－22＝18（岁）答：王刚18岁，李英22岁．例3盛爷爷有三个孙子，大孙子22岁，二孙子20岁，小孙子15岁．25年以后，三个孙子的年龄之和比盛爷爷那时年龄的2倍还少60岁，问盛爷爷今年多少岁？解析25年后，三个孙子的年龄和应为：22＋20＋15＋25×3＝132而那时，盛爷爷的年龄为：(132＋60)÷2＝96（岁）所以盛爷爷现在的年龄为：96－25＝71（岁）答：盛爷爷今年71岁．例4小鲸鱼对大鲸鱼说：“妈妈，我到您这么大时，您就31岁啦！”大鲸鱼对小鲸鱼说：“我像你这么大时，你才只有1岁呢．”问：小鲸鱼和大鲸鱼现在各多少岁？解析从小鲸鱼的话中可知，大鲸鱼的年龄＋(大、小鲸鱼的年龄差)＝31；从大鲸鱼的话可知，小鲸鱼的年龄－(大、小鲸鱼的年龄差)＝1．因此小鲸鱼从1岁开始，再加上大、小鲸鱼的年龄差就成为小鲸鱼现在的年龄，再增加一个年龄差就成为大鲸鱼现在的年龄，再增加一个年龄差就成为31岁了，所以（31―1）就是3个年龄差．求出了年龄差，再求大、小鲸鱼的年龄也就不难了．小鲸鱼：(31－1)÷3＋1＝11（岁）大鲸鱼：11＋(31－1)÷3＝21（岁）答：小鲸鱼现在11岁，大鲸鱼现在21岁．例5甲的年龄比乙的年龄的4倍少3．甲3年后的年龄等于乙9年后的年龄．问：甲、乙现在各多少岁？解析“甲3年后的年龄等于乙9年后的年龄”表明甲比乙大6岁．甲如果再增加3岁，那么就是乙的年龄的4倍．问题化为“差倍问题”．年龄差：9－3＝6（岁）乙的年龄：(6＋3)÷(4－1)＝3（岁）甲的年龄：6＋3＝9（岁）答：甲现在9岁，乙现在3岁．·应用与探究·１．爸爸和妈妈的年龄和是69岁，十年后，爸爸比妈妈大3岁，那么爸爸现在多少岁？解：(69＋3)÷2＝36（岁）２．哥哥今年15岁，弟弟今年11岁，当兄弟俩岁数的和是100岁时，哥哥和弟弟分别多少岁？解：哥哥：[100＋(15－11)]÷2＝52（岁）；弟弟：52－4＝48（岁）３．儿子与妈妈今年的年龄之和是42岁，6年前妈妈的年龄是儿子年龄的9倍，妈妈今年多少岁？解：儿子：(42－6×2)÷(1＋9)＝3（岁）；妈妈：3×9＋6＝33（岁）４．父亲与弟弟的年龄和是58岁，父亲比哥哥大23岁，哥哥比弟弟大5岁，那三人的平均年龄是多少岁？解：父亲：(58＋23＋5)÷2＝43（岁）；弟弟：58－43＝15（岁）；哥哥：15＋5＝20（岁）平均年龄：(43＋15＋20)÷3＝26（岁）５．爸爸今年35岁，儿子今年11岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍？解：5倍时儿子：(35－11)÷(5－1)＝6（岁）；11－6＝5（年）６．哥哥5年前的年龄等于妹妹3年后的年龄，哥哥4年后与妹妹3年前年龄的和是35岁，求哥哥、妹妹今年分别多少岁？解：哥哥：(35－4＋3＋8)÷2＝21（岁）；妹妹：21－8＝13（岁）７．江叔叔对小明说：“我15年前的岁数和你6年后岁数相同，7年前，我的年龄是你的年龄的8倍．”那么江叔叔今年多少岁？解：7年前小明：(15＋6)÷(8－1)＝3（岁）；今年江叔叔：3×8＋7＝31（岁）８．小丽今年12岁，4年前妈妈的年龄是小丽的4倍，几年后妈妈的年龄是小丽的2倍？解：4年前妈妈：(12－4)×4＝32（岁）；　　2倍时小丽：(32－8)÷(2－1)＝24（岁）；24－12＝12（年）９．小唐5年前的年龄等于小勇7年后的年龄，小唐4年后与小勇3年前的年龄和是35岁，小勇今年多少岁？解：小唐：(35－4＋3＋12)÷2＝23（岁）；小勇：23－12＝11（岁）１０．哥哥对弟弟说：“我像你这么大时，你才只有3岁．”弟弟对哥哥说：“我像你这么大时，你就36岁了．”哥哥今年多少岁？解：(36－3)÷3＝11（岁）哥哥：36－11＝25（岁）第六讲追及与相遇问题·知识引领·追及问题是行程问题中的一个分类，它的特点是两个运动物体行进的方向相同，基本数量关系式：追及路程＝速度差×追及时间相遇问题是行程问题中的另一个分类，它的特点是两个运动物体进行的方向相反，要注意的是路程和两个运动物体在同时走、同时停这段时间内所走的路程总和．在相遇问题中，两个物体有时做相向运动，有时做相背运动，但都是运用相同的数量关系式．路程和＝速度和×相遇时间·经典题例·例1慢车以每小时45千米的速度从甲地开往乙地，3小时后快车以每小时60千米的速度也从甲地开往乙地，问多少小时后快车追上慢车？解析经过3小时，慢车已经走了45×3＝135（千米），又知道快车每小时比慢车多行60－45＝15（千米），就可以求出用多少时间可以追上135千米．(45×3)÷(60－45)＝9（小时）答：9小时后快车追上慢车．例2两辆汽车运送货物，大卡车以每小时36千米的速度从甲地开往乙地，2小时后小卡车以每小时48千米的速度也从甲地开往乙地，当小卡车追上大卡车时离甲地多远？解析要求小卡车追上大卡车时离甲地多远，必须先求出追及时间，再用小卡车的速度乘以追及时间就可以了．追及时间为(36×2)÷(48－36)＝6（小时）距离为48×6＝288（千米）答：当小卡车追上大卡车时离甲地288千米．例3小雯从甲地骑自行车到乙地办事，每小时的速度是20千米；回来时改骑摩托车，每小时的速度是40千米，比骑自行车少用2小时．求甲、乙两地的距离是多少千米？解析可以把这个问题看成是一个追及问题．假设A、B分别是骑摩托车和骑自行车去乙地，B先出发2小时，A在乙地追上B，先求出A行完全程所需要的时间，再求出两地的距离．A从甲地到乙地所需时间为20×2÷(40－20)＝2（小时）两地的距离为40×2＝80（千米）答：甲、乙两地的距离为80千米．例4甲、乙两车分别从相距800千米的两地同时出发相向而行，甲车每小时行52千米，乙车每小时行48千米，问：（1）几小时后两车还相距200千米？（2）几小时后两车相遇？（3）几小时后两车相遇又相距400千米？解析（1）这一组题目要注意的是总路程的变化．相距200千米，说明还有200千米没有行，在800千米中必须减掉200千米．(800－200)÷(52＋48)＝6（小时）（2）两车相遇，说明总路程就是800千米．800÷(52＋48)＝8（小时）（3）两车相遇又相距400千米，说明总路程除了800千米外，还必须加上又行的400千米．(800＋400)÷(52＋48)＝12（小时）答：（1）6小时后两车还相距200千米；（2）8小时后两车相遇；（3）12小时后两车又相距400千米．例5甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲每小时行6千米，乙每小时行4千米，在离A、B两地中点3千米的地方相遇，求A、B两地的距离是多少千米？解析甲每小时的速度比乙快，因此相遇时甲一定走过中点，乙还没有到终点，那么从出发到相遇，甲多行了3×2＝6（千米），甲比乙每小时多行6－4＝2（千米），那么从出发到相遇所用的时间是6÷2＝3（小时），最后就可以求出A、B两地的距离．相遇时间为(3×2)÷(6－4)＝3（小时）距离为(6＋4)×3＝30（千米）答：A、B两地的距离为30千米．例6某小队外出野营活动，队伍长800米，行进的平均速度是每分钟60米．队伍最前面的联络员用5分钟时间跑到队伍末尾传达命令，联络员每分钟行多少米？解析队伍全长800米，说明联络员与队尾的距离是800米．他向队尾传达命令，就是联络员和队尾做相向运动，即相遇问题．只要求出联络员与队伍前进的速度和，再减去队伍的前进速度就是联络员的速度．800÷5－60＝100（米/分钟）答：联络员每分钟行100米．·应用与探究·１．A、B两地相距80米，甲在A地，乙在B地，他们同时同向出发，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，甲追上乙要用多少秒？解：80÷(5－3)＝40（秒）２．小王和小李都在甲地，准备去乙地，小王每分钟行120米，小李每分钟行150米．小王先行5分钟后，小李才出发，经过多少分钟后小李追上小王？解：120×5÷(150－120)＝20（分钟）３．兔子和乌龟在一个200米的环形跑道上赛跑，它们从同一地点同时出发．乌龟每爬行5米，兔子超过它1圈．当乌龟爬完1圈时，兔子跑了多少圈？解：200÷5＋1＝41（圈）４．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，5小时相遇．甲车每小时行50千米，乙车每小时行60千米．求A、B两地相距多少千米？解：(50＋60)×5＝550（千米）５．甲、乙两车从相距480千米的两地相对开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米．现要使两车在两地间的中点处相遇，则乙车必须先行多少小时？解：240÷60＝4（小时）；240÷40＝6（小时）；6－4＝2（小时）小健和小壮同时从A地出发到B地去，小健骑自行车每分钟行200米，小壮骑摩托车每分钟行700米．行车途中，小壮因修车耽搁了50分钟，这样两人同时到达目的地．求A、B两地相距多少千米？解：追及时间：200×5÷(700－200)＝20（分钟）；A、B距离：700×20＝14000（米）=14（千米）甲、乙两地相距918千米，A、B两车同时从两地相向而行，6小时相遇．已知A车的速度是B车的2倍，则A车每小时行多少千米？B车每小时行多少千米？解：B：918÷6÷(1＋2)＝51（千米/小时）；A：51×2＝102（千米/小时）８．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出．第一次在离A地75千米处相遇，相遇后继续前进到达目的地后立即返回；第二次相遇在离B地55千米处．求A、B两地相距多少千米？解：75×3－55＝170（千米）甲、乙两列火车从相距770千米的两地相距相向而行，甲车每小时行41千米，乙车每小时行45千米，甲车先出发2小时后，乙车才出发．乙车行几小时后与甲车相遇？解：770－41×2＝688（千米）；688÷(41＋45)＝8（小时）甲、乙两人骑车同时从环形公路的某点出发，背向而行．已知甲骑一圈要48分钟，出发后32分钟两人相遇．问乙骑一圈要多少分钟？解：48－32＝16（分钟）；48÷16×32＝96（分钟）甲、乙、丙三人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．甲从东村，乙、丙从西村同时出发相向而行．途中甲与乙相遇后3分钟又与丙相遇．问东、西村的距离是多少米？解：甲、乙相遇时，丙与他们之间的距离：(100＋75)×3＝525（米）甲、乙相遇时间为：525÷(80－75)＝105（分钟）东、西村距离为：(100＋80)×105＝18900（米）第七讲植树问题·知识引领·植树问题是关于全长、株距间隔距离和棵数之间关系的应用题．在解题时，只要知道其中两个量就可以求出第三个量．解决植树问题首先要考虑植树的路线，其次要弄清植树的具体要求．·经典题例·例1圆形溜冰场周长是400米，每隔20米装一盏灯，再在相邻两盏灯之间放3盘花，问共需要装几盏灯、放几盆花？解析圆形溜冰场周长400米，按每20米为一段，可以分成20段，分成的段数就是需要装灯的盏数．同时，因为每段内放3盆花，所以花的盆数就是段数的3倍．装灯400÷20＝20（盏）放花3×(400÷20)＝3×20＝60（盆）答：共需要装20盏灯、放60盆花．例2两幢教学大楼相距100米，现在要在两幢楼房之间每隔10米种一棵树，需要种多少棵？解析两幢教学楼之间相距100米，按10米为一段，可以分为10段．由于是在两幢房子之间，等于是两端都不需要种树，所以种的棵数比段数少1.需要种树100÷10－1＝9（棵）．答：需要种9棵树．例3实验小学进行春季运动会入场式，四年级有运动员124人，排成4路纵队，前后每行间隔为2米，主席台长20米．他们以每分钟40米的速度通过主席台，需要多少分钟？解析这道题目其实是植树问题的变式题，可以用植树问题的思考方式来解决．124名运动员排成4路纵队（每4人为一行），可以求出这列队伍共有多少行（相当于种的棵树）．前后间隔2米（相当于每2棵树之间的距离），这样就可以求出入场式队伍的全长，再用入场队伍的全长加主席台的长度，就是每个运动员通过主席台所走的路程，然后用路程除以运动员行进的速度，可以求出所用的时间．2×(124÷4－1)＝60（米）(60＋20)÷40＝2（分钟）答：需要2分钟．例4盛爷爷饭后有散步的习惯，一天他以均匀的速度在马路旁散步．从第1棵树走到第13棵树用了12分钟（每棵树之间的距离相等），盛爷爷又向前走了几棵树后就往回走了．当他走到第5棵树时，共用了50分钟，问盛爷爷是走到第几棵树时往回走的？解析盛爷爷从第1棵树走到第13棵树，就等于走了12个间隔，共用了12分钟，也就是盛爷爷走一个间隔用了1分钟．由于回到第5棵树时，盛爷爷一共用了50分钟，那么如果盛爷爷回到起点的话，就要再多走4个间隔，多用4分钟．那么盛爷爷走一个来回一共要用54分钟，即一个全程就是27分钟，走了27个间隔．说明一个全程里有28棵树，也就是盛爷爷走到第28棵树时往回走的．12÷(13－1)×(50＋4)＝54（分钟）54÷2＝27（个）27＋1＝28（棵）答：盛爷爷是走到第28棵树时往回走的．例5在一根长100厘米的木棍上，由左至右每隔6厘米染一个红点．同时，由右至左每隔5厘米染上一个红点，然后沿红点处将木棍逐级锯开，那么长度是4厘米的木棍有几根？解析由于5能整除100，所以每隔5厘米的红点从右往左染和从左往右染都相同．又由于5与6的最小公倍数是30，而每30厘米中有2根4厘米的小木棍，那么由100÷30＝3……10，可知从左至右30×3＝90（厘米）的木棍可锯出2×3＝6（根）4厘米长的小木棍，余下10厘米还可锯出1根4厘米长的小木棍，所以共有6＋1＝7（根）．答：长度是4厘米的木棍有7根．·应用与探究·１．在一条路的一边插彩旗，从头到尾一共插了45面旗，每相邻两面旗之间相距5米，那么这条路长多少米？解：5×(45－1)＝220（米）２．在一条长42米的街道两边，每隔6米种一棵树（两端各种一棵），一共需要种多少棵树？解：42÷6＋1＝8（棵）；8×2＝16（棵）３．在一条长100米的小道一边摆花盆，起点和终点都摆，一共摆了26盆，相邻两盆花之间的距离相等，那么相邻两盆花之间相距多少米？解：100÷(26－1)＝4（米）４．在A、B两城安排一班长途车，每隔5千米设一个站，A、B两城间共设了9个站，那么A、B两城多少千米？解：5×(9＋1)＝50（千米）５．在一条路的一边每隔8米放一盆花，连两端在内共放了16盆．现在拿走花盆，种植松树，连两端在内共种了7棵，问相邻两棵松树相距多远？解：8×(16－1)＝120（米）；120÷(7－1)＝20（米）６．同学们种树，每6棵树间的总长是10米．照这样计算，种200棵树的距离是多少米？解：10÷(6－1)＝2（米）；2×(200－1)＝398（米）；７．一个车队以5米/秒的速度缓缓地通过一座210米长的大桥，共用100秒．已知每辆车长5米，两车之间相隔10米，那么这个车队共有多少辆车？解：100×5－210＝290（米）；(290＋10)÷(10＋5)＝20（辆）８．有一根180厘米长的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成几段？解：180÷3＝60（段）；180÷4＝45（段）；180÷12＝15（段）；60＋45－15＝90（段）９．某班同学在军训队列表演中恰站成一个双层空心方阵，外层的每边站了9个同学．若让这个班同学在一条250米长的笔直马路上站岗，从一端开始每隔5米站一人，则站满后还剩下多少人？解：(9×4－4)＋(7×4－4)＝56（人）；250÷5＋1＝51（人）；56－51＝5（人）１０．48棵树排成一个正六边形，每条边上的棵数都相等，每条边上有多少棵树？解：(48＋6)÷6＝9（棵）第八讲鸡兔同笼问题·知识引领·解答鸡兔同笼的问题通常是用假设法，首先要对题目中的条件进行分析，找出题目中哪一个量相当于兔，哪一个量相当于鸡，鸡兔的总只数和总脚数各是多少，再根据基本数量关系进行推算，使问题得以解决．它的基本数量关系式是：鸡的只数＝(每只兔的脚数×鸡兔总数－实际脚数)÷(每只兔的脚数－每只鸡的脚数)兔的只数＝(实际脚数－每只鸡的脚数×鸡兔总数)÷(每只兔的脚数－每只鸡的脚数)当然，这只是一个最基本的模型，真正在解题时还要依据实际的情况去具体分析．·经典题例·例1笼子里鸡和兔共8只，共有22条腿，鸡、兔各有几只？解析假设8只全是兔，那么共有脚4×8＝32（只），这样就比实际多出32－22＝10（只）脚．这是因为把鸡当作兔子来算每只多算了4－2＝2（只）脚，那么10只脚应该是10÷2＝5（只）鸡多算的，因此鸡有5只，兔有8－5＝3（只）．答：鸡有5只，兔有3只．例2特长学校举行数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得8分，每做错一题倒扣5分．小强得了41分，他做对了多少道题？解析假设小强做对10题，则最终得分为10×8＝80（分），比实际得分41分多得39分，这多得的39分是把其中做错的题换成做对的题而得到的．每把一道做错的题换成做对的题，得分就从倒扣5分变成得8分，所以总得分增加了8＋5＝13（分），所以做错的题为39÷13＝3（道）．小强做对了10－(10×8－41)÷(5＋8)＝7（道）．答：他做对了7道题．例3老师和学生100人共种了100棵树，已知老师一个人种4棵，学生4个人种1棵，那么老师和学生各有多少人？分别种了多少棵树？解析假设100人都是老师，那么共种树4×100＝400（棵），比实际多种了400－100＝300（棵）．为什么多出了300棵呢？这是因为把其中的学生当成老师了，现在调整回去，每次把4个学生换成4个老师，所种树的棵数就多了4×4－1＝15（棵），所以，这多出的300棵树，需要换300÷15＝20（次），所以换成老师的学生数为4×20＝80（人），80名学生共种树80÷4＝20（棵），老师人数是100－80＝20（人），20名老师共种树20×4＝80（棵）．答：老师有20人，种了80棵树；学生有80人，种了20棵树．例4买来5元、1元和8角的邮票共15枚，总价是30.2元，其中5元和8角的邮票枚数相等，三种邮票各有多少枚？解析假设15枚全部是1元（即10角）的邮票，那么总价应该是10×15＝150（角），比实际302角少了302－150＝152（角）．由于5元与8角的邮票枚数相等，因此每次可以用1枚5元和1枚8角来换2枚10角的邮票，这样每换一次可以补上50＋8－10×2＝38（角），可见替换152÷38＝4（次）就可补足少掉的152角，所以5元和8角的邮票各有4枚．答：5元的邮票有4枚，1元的邮票有7枚，8角的邮票有4枚．例5老师发给甲班每人4张白纸，乙班每人3张白纸，共发白纸716张；若发给甲班每人3张白纸，乙班每人4张白纸，则共发白纸705张．问甲、乙两班各有多少人？解析甲班与乙班人数之差是716－705＝11（人）甲班的人数是(3×11＋716)÷(3＋4)＝107（人）乙班的人数是107－11＝96（人）答：甲班有107人，乙班有96人．·应用与探究·１．今有鸡兔同笼，共有35个头，94只脚，则鸡和兔各多少只？解：兔：(94－35×2)÷(4－2)＝12（只）；鸡：35－12＝23（只）２．松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个，这几天当中的雨天有多少天？解：20×(112÷14)－112＝48（个）；48÷(20－12)＝6（天）３．一张桌子4条腿，一个洗脸盆架3条腿，现在有桌子和洗脸盆架共100个，合计有340条腿，桌子和洗脸盆架各有多少个？解：桌子：(340－100×3)÷(4－3)＝40（张）；盆架：100－40＝60（个）４．把155米长的电线剪成25根，一部分电线每根长5米，另一部分电线每根长8米，则8米和5米长的电线各有多少根？解：8米：(155－25×5)÷(8－5)＝10（根）；5米：25－10＝15（根）５．停车场共有汽车和摩托车24辆，其中每辆汽车有4个轮子，每辆摩托车有2个轮子，所有车辆共有68个轮子，那么汽车和摩托车各有多少辆？解：汽车：(68－24×2)÷(4－2)＝10（辆）；摩托车：24－10＝14（辆）６．2分硬币和5分硬币共23枚，合计85分，那么2分、5分硬币各几枚？解：5分：(85－23×2)÷(5－2)＝13（枚）；2分：23－13＝10（枚）７．鸡、兔共有66只脚，若将鸡数与兔数互换，则共有60只脚，则原来有鸡和兔各多少只？解：(66＋60)÷(2＋4)＝21（只）；鸡：(21×4－66)÷(4－2)＝9（只）；兔：21－9＝12（只）８．五年级进行数学比赛，规定答对一题得5分，错一题扣2分，共20道题，小江得了86分，他答对了多少道题？解：答错：(20×5－86)÷(5＋2)＝2（道）；答对：20－2＝18（道）９．特长学校100个学生参加数学竞赛，平均得分63分，其中男生平均分为60分，女生平均分为70分，男生比女生多多少人？解：63×100－60×100＝300（分）；女：300÷(70－60)＝30（人）；男：100－30＝70（人）多：70－30＝40（人）１０．英语竞赛有20道题，做对一道得7分，做错一道倒扣去4分，不答0分，小宇得了100分，他有几道题没答，几道题答错？解：20×7－100＝40（分）；40－7＝33＝11×3；（有1道题没答，3道题答错）第九讲长方形的面积·知识引领·长方形和正方形是我们所认识的基本几何图形，计算它们的面积也是数学学习中几何方面的重要内容．掌握好这部分知识，也为我们将来学习其他几何图形做好必要的准备．在解这类题目时，要注意以下几点：1、能熟练运用长方形和正方形的面积公式进行解题；2、能够将长方形、正方形的面积与周长相逆运算；3、能够利用长方形的特性来帮助解题，会运用简单的分割方法．·经典题例·例1一个长方形的长增加3米，长方形的面积就增加了12平方米．如果宽减少2米，长方形的面积就减少14平方米．问原来长方形面积是多少平方米？解析根据题意，将原来的长方形的长和宽分别变化，画图来帮助分析：AB从图A中反映了长方形的长增加3米，面积就增加了12平方米，可用12÷3求出原来长方形的宽是4米；从图B中反映了长方形的宽减少2米，面积就减少了