微分方程建模

微分方程建模 对微分方程建模的认识 摘要: 微分方程建模是数学建模的重要 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，本文在所学课程《地学建模》的基础上，概述了微分方程建模的含义、方法、步骤，并举了一实例进行 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 。 关键词:数学建模 微分方程 1微分方程建模概述 数学模型是用数学符号(或数学语言)对一实际问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 或实际系统发生现象的 (近似的)描述。而数学建模则是获得该数学模型、求解该模型并得到结论以及验证结论是否正确、合理的全过程。简单地讲，数学建模就是利用数学工具解决实际问题的全过程，它特别体现了“用数学”的精神。 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数是事物的内部联系在数量方面的反映，如何寻找变量之间的函数关系，在实际应用中具有重要意义。在许多实际问题中，往往不能直接找出变量之间的函数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式。这就是所谓的微分方程，从而得出微分方程模型。 微分方程解决实际问题的时候主要涉及两方面的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 :一是哪些问题可以抽象概括为一个微分方程模型，并建立起相应的模型;二是对模型分析求解将其结果回到现实世界给以解释。 2建模方法 微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，建立模型主要有以下三种方法: 1)根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。 2)微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。 3)模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。 微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得 求解微分方程。求解微分方程有三种方法: 1)求精确解;2)求数值解(近似解);3)定性理论方法。 3 建模步骤 主要有模型酝酿、模型假设、模型构造、模式求解和数理分析5个步骤。 3.1模型酝酿 建模者首先要在充分了解问题的基础上，明确建模的目的，搜集建模必需的各种信息，如数据、资料或有关情况等，根据自己的擅长技术、条件和研究对象的特点，确定建模的类型。 3.2模型假设 这是建模成败的核心问题。地学建模的实质就是将地学问题抽象为数学问题。由于客观事物的复杂性，任何一个实际地学问题不经过简化、假设是不可能转化为数学问题，即使可能，也会因为模式的及其复杂而无法求解。另一方面，不同的建模者、不同的简化假设都会得到不同的模型。如果假设过于主观、或不合理或过分简单都会导致模型失败或“失真”。通常作假设的依据，一是出于对问题内在规律或演化特性的认识，二是来自对数据、资料或现象的科学分析。当然也可以是二者合一。假设的关键是辨别问题的主次，把握问题的主要因素而舍弃次要因素。 3.3模型构造 在科学(或合理)假设的基础上，建模者要充分发挥自己的专业知识和智慧才能合理、艺术、科学地构造出诸变量之间的数学关系，如构造线性或非线性的模型，指数或多项式的模型，一维或多维模型等。这不仅需要扎实的相关学科的专门知识还需要一定的应用数学方面的知识。在构造模型时，经验和天才的想象一样重要。此外，相似类比法(即根据不同对象的某些相似性，借用已知领域的数学模型)也是构造模型时常用的一种技术。如从虫口模式延伸到人口模式，从有关气流的流体动力学模式延伸到水流模式、交通流模式、人口流动模式、资金流动模式、产品流动模式等。对初学者来说，建模时还应尽量采用简单的数学工具。事实上尽管世界是复杂的，但许多支配世界运动的规律则是简单的。 3.4模式求解 这是纯数学问题。一般说来模式的求解有直接求解和计算机数值计算两种，前者用于简单的模式，后者用于复杂的模式。此外还可以采用图解、证明、逻辑运算等。 3.5数理分析 数理分析是研究的重点，它是在对模式进行数学求解的基础上，根据专业知识来充分展开解释有关系数、参数的变化对系统的性质、演化和稳定性等情况的 影响。有时是根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况，有时是根据所得结果给出数学上的预报，有时则可能要给出数学上的最优决策或控制。 除了进行上述的5大步骤外，一般还要进行模型检验，将数理分析的结果与实际的现象、数据相比较，从而检验模型的合理性和适用性。几次反复的检验与修改，才能不断完善。 4微分方程建模举例 提出 4.1问题的 森林病害是指病原生物或不良的气象、土壤等非生物因素使林木在生理、组织和形态上发生的病理变化，导致林木生长不良，产量、质量下降，甚至引起林木整株枯死和大片森林的衰败，造成经济上的损失和生态条件的恶化。 目前有一种病虫害正在流行。现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该病虫害进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少经济上的损失和生态条件的恶化。考虑如下问题，建立适当的数学模型: 假设环境条件下所允许的最大可感染株数为Xm 。单位时间内感染株数的增长率是感染株数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染株数。 4.2问题分析 1)这是一个涉及病虫害传播情况的实际问题，其中涉及病虫害感染株数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。 2)问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。 3)在实际中，感染株数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数植株，这种变化与整体植株相比是微小的。因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设:感染株数是时间的连续可微函数。 4.3问题求解 4.3.1模型假设 1)感染株数是时间的连续可微函数; 2)感染株数受环境条件的限制，有一个最大的可感染株数Xm。 3)单位时间内感染株数的增长率和感染株数有关，是其线性函数，最大感染时对应增长率为零。 4.3.2模型构成 仍然设t时刻的感染株数为x(t)，初始时刻(t=0)的感染者株数为x时，感染0者株数为0时，感染株数的增长率为r。根据单位时间内感染株数的增长率和感0 染株数有关，是其线性函数的假设，可得增长率关于感染者株数的线性函数关系 式: rxrkx(),, 0 进一步，由最大感染时对应的增长率为零可确定参数k的值为: r0 k, xm 因此，在该模型的假设下，感染株数x(t)应满足如下的微分方程: dxx,()(1),,,,rxxrx0,dtx ,m ,(0)xx,0, 4.3.3模型求解 这是一个非线性微分方程，利用微分方程中的分离变量法，求得其解为: xm(),xt,,x,rtm0 11，,e,,x0,, 4.3.4模型分析 1)根据微分方程作出dx/dt~x的曲线图，见图4.1，这是一条抛物线。由该图可看出感染株数增长率随感染株数的变化规律:增长率随着感染株数的增加而先增后减，在xm/2时达到最大。这预示着病虫害传染高潮的到来，是森林管理部门关注和需要密切注意的时刻。因为感染株数增长率在一定程度上代表了森林管理水平，增长率越小森林管理水平越高。所以改善保健设施、提高森林管理水平可以推迟传染病高潮的到来。 图4.1 dx/dt~x曲线图 图4.2 x~t曲线 2)根据模型求解得到的结果作出x~t曲线，见图4.2，这是一条S型曲线。由该图可看出感染株数随时间的变化规律:可以看出，当时间趋于无穷时，x(t)趋于xm，且对一切t， x(t)