初中数学奥赛解题方法大全-圆

第十二章 圆 第一节 圆的基本问题 【知识点拨】 1、不在同一直线上的三点可以确定一个圆。 2、圆既是轴对称图形～又是中心对称图形～它具有旋转对称性。这是圆最基本最重要的性质～是证明垂径定理的有力工具。 3、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦～并且平分这弦 对的两条弧。 实际上～一直线只要满足,1,经过圆心、,2,垂直于弦、,3, 平分弦、,4,平分弦所对的弧中的一条、,5,平分弦所对弧中的 另一条,在这五条中～只要有两条是正确的～则其他三条必然成 立。 4、如图～它是关于垂径定理及其推论的基本图形～一定要 很好掌握。 【赛题精选】 2例1、已知?O的半径为5cm，它的两条弦长是方程的两个根。求这x,14x，48,0两条平行弦间的距离。 【 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 】,1,要注意定理的条件及选择,,2,关于垂径定理及推论的基本图形要记清,,3,要能考虑到图中的两条平行弦相对于圆心有两种可能的位置关系。 例2、如图，?O是锐角?ABC的外接圆，H是两条高的交点，OG?BC于G。 求证:AH,2OG。 170 例3、?O的半径为2，其内一点P到圆心的距离为1，过点P的弦与劣弧组成一弓形，求此弓形面积的最小值。 【说明】圆的旋转对称性是圆的最基本的性质～要善于抓住这一性质处理相关问题。 例4、在?ABC中，AC,24，BC,10，AB,26，则它的内切圆半径为( ) A、2.6 B、4 C、13、 D、8 【说明】,1,此法对求任何三角形的内切圆的半径均适用,,2,另本题还可用切线长定理求解。 例5、如图，?O、?O交于点A、B，过A的直线分别交?O、?O于M、N，C为MN的1223 中点，P为OO的中点。 12 求证:PA,PC。 【说明】本例主要用垂径定理证明～如按下图作两圆的直径AE、AF～延长AP交EF于G也可证明。 171 【针对训练】 172 173 第二节 和圆有关的角 【知识点拨】 和圆有关的角有五种:圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角。圆周角是五种角的核心。本节只探讨前四种与圆有关的角～其中后两种角的概念及这四种角的有关性质如下: 1、 顶点在圆内的角叫圆内角,圆心角是圆内角的特殊情形,, 2、 顶点在圆外～两边与圆相交的角叫圆外角, 3、 度数定理 ,1, 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 ,2, 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。 ,3, 圆内角的度数等于它和它的对顶角所对的两条弧度数和的一半。 ,4, 圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差的绝对值的一半。 ,5, 同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等。 ,6, 直径,或半圆,所对的圆周角是直角,圆周角是直角～它所对的弦是直径。 ,7, 如果三角形一边上的中线等于这边的一半～那么这个三角形是直角三角形。 在以圆为框架的有关证明三角形全等、相似等问题～常常要用到这些角～因此～熟练地掌握这些角的概念和性质是解决有关圆问题中极其重要的一环。 【赛题精选】 ,00例1、锐角?ABC内接于?O，?ABC,60，?BAC,36，作OE?AB交劣弧于AB点E，连接EC，求?OEC。 174 【说明】,1,在平面几何中求角的大小经常需要考虑用三角形的内角和定理及其推论, ,2,在圆中求角的大小经常需用与圆有关的角的定理。 例2、已知在等腰?ABC中，AB,AC，D为腰AC中点，DE平分?ADB交AB于E，?ADE交BD于N。求证:BN,2AE。 【说明】 ,1,在同圆或等圆中～同弧和等弧不仅所对的圆心角、圆周角相等～而且弦也相等, ,2,在圆中证明三角形全等、相似时～如需用角时常需考虑与圆有关的角, ,3,本例中的两条线段AE、BN较为分散～把它们聚合到同一三角形BNE中就易于解决问题, ,4,如图～本例中过A、E、D的圆与BD的延长线交于N点时的证法～可以自行证明。 ,, 例3、已知M为劣弧的中点，B为上任一点，MD?BC于D。 AMAC 求证:AB，BD,DC。 175 【说明】证明一线段等于另两线段之和一般可采用“接短法”或“截长法”。 例4、已知圆内四边形ABCD的对角线互相垂直，过点A、B作CD的垂线(垂足为A、B)分别交对角线AC、BD于M、K。 11 求证:四边形AKMB是菱形。 【说明】,1,要证明四边形是一特殊平行四边形～一定要抓住有关概念和有关判定定理采用分层推进、各个击破的方法逐一证得所需的条件, (2)在寻找具体方法时要结合题中具体条件和图形～选择适当的证明方法。 例5、?O内有两条互相垂直的弦AC、BD。 2222求证:AB，BC，CD，DA,定值。 【说明】在处理探索问题时除了常用的特殊位置来探求结果～还经常考虑一些极端情形～ 22222以求获得探索结果。如D重合于A时～即有AD,0、BC,2R～故AB，BC，CD，DA,AB，2222BC，CA,2×,2R,,8R。 ,, 例6、已知折线ACD是?O的一条折弦，点B在?O上，且AB,AB，BM?AC于M。 求证:AM,MC，CD。 176 【说明】,1,本题是江苏省第12届初中 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 竞赛第六题～这也是著名的阿基米德折弦 定理。,2,它的证明方法有多种～下面三种辅助线的情形自己证明。 177 【针对训练】 178 179 第三节 圆的内接四边形与四点共圆 【知识点拨】 圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切的联系～因为顺次连接共圆四点就成为圆内接四边形。此节中涉及两个基本问题:,1,四点共圆的判定,,2,四点共圆的性质的应用。 证明四点共圆是平面几何中一个重要的证明方法～它和证明三角形全等、相似占有同等重要的地位。实际上～在许多题目中的已知条件中～并没有给出圆～有时需要通过证明四点共圆～把实际存在的圆找出来～然后再借助圆的性质得到要证明的结论。因此～证明四点共圆就给研究几何图形的性质～开拓了新的思路。 判定四点共圆的方法: 1、 到一定点等距离的几个点共圆, 2、 同斜边的直角三角形的各顶点共圆, 3、 同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆, 4、 如果一个四边形的一组对角互补～那么它的四个顶点共圆, 5、 如果四边形的一个外角等于它的内对角～那么它的四个顶点共圆, 6、 四边形ABCD的对角线相交于点P～若PA〃PB,PC〃PD～则它的四个顶点共圆。 7、 四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点P～若PA〃PB,PC〃PD～则它的 四个顶点共圆。 上述关于七种判定四点共圆的基本方法的命题的逆命题也是成立的。 另外～还有关于四边形与对角线之间长度关系的托勒密定理也是很重要的。即: 如果四边形ABCD四个顶点共圆～那么AB〃CD，AD〃BC,AC〃BD。 【赛题精选】 例1、求证:同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆。 【说明】,1,证明一些最基本的问题～在条件很少时可考虑用反证法。 ,2,在反证时～不要漏掉结论反而面的各种情况。 180 例2、过正方形ABCD对角线BD上任一点P作边的平行线，其与各边的交点分别是E、F、G、H。 证明:E、F、G、H四点共圆。 【说明】在证明四点共圆时～如能知道圆心的位置～可设法用圆的定义证。 例3、?O与?O相交于A、B，P是BA延长线上一点，割线PCD交?O于C、D，割线121PEF交?O于E、F。 2 求证:C、D、E、F四点共圆。 181 【变题】:如右下图，两圆交于点A、B，点P为BA的延长线上一点，两割线PCD、PEF分别交于圆C、D和E、F，且D、B、F三点共线。 求证:A、C、P、E四点共圆。 例4、证明:锐角三角形三条高是垂足连成三角形的内角平分线。 【说明】要充分利用已知的垂直关系再考虑到要证明角的相等关系～故应构造圆～利用圆中有关的角来过渡。 例5、已知P是?O外一点，PA、PB是?O的切线，A、B为切点。PO与AB交于M，过M作?O的弦CD。 求证:?CPO,?DPO。 【说明】在处理平面几何中的许多问题时～常常需要借助于圆的性质～问题才能得以解决～而我们需要直接用的圆并不存在,有时问题中条件就根本没有涉及圆～有时虽然在题中讲到圆～但此圆并不是我们直接要用的圆,如本题,,～这就需要我们利用已知条件～借助图形把需要到的实际存在的圆找出来。 182 例6、求证:如果凸四边形的两组对边的乘积之和等于对角线的积，那么这个四边形是圆内接四边形。 【说明】,1,本题又给出了证明四点共圆的一种方法～它是利用四边形的边和对角线的长度来判定的。,2,其逆命题是著名的托勒密定理～并且该定理有着广泛的运用。下面介绍托勒密定理的证明及其应用。 例7、已知四边形ABCD内接于圆。 求证:AB?DC，BC?AD,AC?BD。 例8、已知?ABC中，?A:?B:?C,1:2:4。 111，,求证:。 ABACBC 183 【说明】,1,在一个证明题中～如从要证明的结论出发能变为和托勒密定理反映的和圆的内接四边形的性质的结论类似的形式～可考虑构造圆～然后用托勒密定理。 ,2,在一些计算题中～题中给了圆～如一般方法不秦奏效～不妨试一试托勒密定理。 ,3,本题若以C为圆心～CB长为半径作弧交AB于D、交AC于E～连接CD、DE～并设?A,α～?B,2α～?C,4α～?ABC的内角和为7α～请自己证明～并比较两种证法。 ,4,本题实际上提供了本 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 第十一章第一节相似三角形中例6的又一种证法。 关于托勒密定理还有如下的推广:在凸四边形ABCD中～AB〃DC，BC〃AD?AC〃BD～当且仅当四边形内接于圆时取等号。 例9、已知两同心圆O，四边形ABVD内接于圆，AB、BC、CD、DA的延长线交外圆于A、1B、C、D，若外圆的半径是内圆的半径的2倍。 111 求证:四边形ABCD的周长?2倍四边形ABCD的周长，并确定等号成立的条件。 1111 184 【针对训练】 185 186 第四节 圆幂定理 【知识点拨】 1、相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。其可统一地 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为:过定点的弦被该点内分,或外分,成的两条线段的积为定值,该点到圆心的距离与圆的半径的平方 22差的绝对值,。如图～即,定值。 PA,PB,OP,r 2、相交弦定理通常是通过相似三角形而得到的～所以～研究圆中一些线段的比例关系总离不开相似三角形。 3、相交弦定理揭示了与圆相关的线段间的比例～应用较多～特别是在处理有关计算、作比例中项、证明角相等、四点共圆等问题时是重要的理论依据。 【赛题精选】 例1、在?ABC中，AM、AD分别是其中线和角平分线，?ADM交AB于L，交AC于N。 求证:BL,CN。 187 例2、?O与?O相交于M、N，D是NM延长线上一点，OO的延长线交?O于B、A，AD12211交?O于C，MN交OO、BC于E、G。 2122求证:EM,ED?EG。 【说明】,1,在圆中要证明比例线段或证明线段积等情况通常找中间比或中间积过渡。 ,2,此题若再“已知?O、?O的半径分别是4、6～且OO,5”～而且改为求“ED〃EG”～12 则如何求解,请自行证明。 例3、?O与?O相交于M、N，公切线为AB、CD，直线MN交AB、CD于点E、F。 222求证:EF,AB，MN。 【说明】本例是紧抓AB,4AE,4EM〃EN～采用先拆后合的方法导出结论的。而有的形如本例结论形式的问题还要通过找中间比或中间积来过渡。如下例: 例4、四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延长线交于点E，EP切圆于P，FS切圆于S。 222求证:EF,EP，FS。 【说明】在该题中～如再分别以点E、F为圆心～EP、FS为半径～作弦在圆内交于点H～则可证明EH?FH。 188 例5、B是?O的切线PA的中点，过B引?O的割线与?O交于点D、C，PD的延长线交?O于E，PC交?O于F。 求证:AP?EF。 例6、证明:三角形三条平分线的积小于三条边的积。 例7、AB是?O中任意一弦，M为AB中点，过M任意作两条弦CD、EF，连接CE,DF分别交AB于G、H。 求证:MG,MH。 【说明】本例是著名的“蝴蝶定理”～可通过改头换面～加以适当变形～使之成为一道初等数学问题。 189 例8、在Rt?ABC中，D在斜边BC上，BD,4DC，一圆过点C，且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G。 求证:AD?BF。 190 【针对训练】 191 192 第五节 圆与直线、圆与圆的位置关系 【知识点拨】 1、直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 公共点个数 圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系 相离 0 d,r 相切 1 d,r 相交 2 d,r 2、圆与圆的位置关系 两圆位 公共点 圆心距d与两圆半径 外分切线 内公切线 置关系 个数 R、r,R,r,的关系 条数 条数 外离 0 d,R，r 2 2 外切 1 d,R，r 2 1 相交 2 R,r,d,R，r 2 0 内切 1 d,R,r 1 0 内含 0 d,R,r 0 0 3、弦切角,弦切角就是切线与弦所夹的角,的性质 ,1,弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的,圆心角的,度数的一半。 ,2,弦切角定理的推论:若两弦切角所夹的弧相等～则这两个弦切角也相等。 ,3,弦切角的度数定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 4、切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线～它们的切线长相等～圆心和这一点的连线～平分两条切线的夹角。 5、两圆公切线的性质 ,1,两圆的外公切线长,或内公切线长,相等, ,2,两圆的外公切线与连心线或者相交于一点或者平行。 6、公切线的作法及长度计算 本节的两种位置关系和性质是研究直线与圆、圆与圆的基础。要求会用运动变化的方法去考虑两种位置关系～能了解它们之间的区别与联系。 在处理有关相切,或相交,的几何问题时～其基本思路是由位置关系确定线段或角的数量关系～反之由数量关系确定相关的位置关系。在解决解决这样的问题过程中～经常转化为直角三角形、相似三角形～利用勾股定理～以及相似三角形的若干性质来解决问题。 【赛题精选】 例1、AB为半圆O的直径，AP?AB，C为半圆O上一点，CD?AB于D，E是CD的中点，BE交AP于P。 求证:PC是半圆O的切线。 193 【说明】证明切线的方法一般有:,1,直线与圆有唯一的公共点,,2,圆心到直线的距离等于半径,,3,过半径外端的直线和半径垂直,,4,垂直半径的直线过半径外端。 本例采用的是,3,。 例2、过P作?O的切线PA、PB，A、B为切点，又PC满足AB?PB,AB?PC,AC?PB，且AP?PC，?PAB,2?BPC。 求?ACB。 【说明】方程的思想在几何中的计算问题中是相当有用的。 例3、PA切?O于A，PEF交?O于F、E，AC平分?EAF，交PE于C，PB?平分APE交AE、AF分别于B、D。 求证:ABCD为菱形。 【说明】,1,要判断一个图形的形状不仅要对判定方法熟悉～还要能结合题中条件选择较易的方法证明之。 ,2,本例可以推广为: 如图～PE、PH分别是圆的割线且与圆分别交于F、E、G、H。? HPE的平分线交QF、QE于D、B～?FQE的平分线交PH、PE于A、C。 求证:ABCD为菱形。,请自行证明, 194 例4、AB是半?O的直径，AC?AB，AC,AB，在半圆上任取 一点D，作DE?CD交AB于E，BF?AB交线段AD的延长线于 点F。 0(1)设弧AD是X的弧，若要使点E在线段BA的延长线上， 求X的聚会范围。 (2)不论点D取在半圆的什么位置，图中除AB,AC外，还 有两条线段一定相等，指出它们，并加以证明。 【说明】,1,要学会用运动变化的观点和极端原理考虑问题,,2,在圆中要探寻线段相等～要充分利用相似三角形。 32例5、已知两圆的半径分别是R、r，圆心距为3，且R、r、R，r恰为方程x-6x+11x-6=0的三根，问这两个圆的位置关系如何, 【说明】判断两圆位置除了本例的方法～还用到公切线的条数。但要注意～不能仅由内公切线或外公切线的条数来判定～还要添加其他附加条件,同样也不能用两个圆的交点的个数来判定。 例6、两圆内切于点P，大圆的弦AD与小圆相离，PA、PD与小圆交于点E、F，直线EF交大圆于B、C。 求证:?APB,?CPD。 【说明】,1,要能针对直线和圆、圆和圆的各种位置关系灵活地添上常用而且是适用的辅助线。如本例是添加的过两圆的切点的公切线。,2,本例还可以变形为: 195 变题1:如图，?O与?O外离，一直线与?O交于A、D，与?O交于B、C，OO分别121212交?O、?O于E、F，AE、BF的延长线交于P，DE、CF的延长线交于Q。 12 0求证:?APB，?CQD,180。 变题2、?O内含?O，?O的弦AB切?O于点C，OO分别交?O、?O于E、F，AE、12121212BE与FC分别交于P、Q。 求证:?APC与?BQC相等或互补。 例7、?O与?O外切于P，射线AP分别交两圆于N、M，AB、AC分别切?O与?O于B，1212 ABAC且。 ,AOAO12 2求证:(1)AP平分?BAC;(2)AP,AM?AN。 196 OPAB1【说明】本例中的相切条件不变～,1,若AP平分?OAO～则, ,12ACOP2 ,2,能否由AP,AMAN证明AP平分?OAO,读者自己考虑。 例8、在等边?ABC所在的平面内，问有多少点P使?PAB、?PBC、?PCA为等腰三角形。 197 【针对训练】 198 199 第六节 圆的计算题 【知识点拨】 【赛题精选】 例1、如图，七根圆形筷子的横截面的圆半径均不r，则捆扎这七根筷子一周的绳子的长度为多少, 【说明】计算曲线段的长度,包括封闭的和不封闭的,时～先要研究曲线的形状与特征～看其是否对称、规则～对称、规则时～有没有现在的公式可求～如果规则或规则但无现成的公式可求时～可用割补的思想方法来分析研究。 200 例2、AD、AM、AE分别是?ABC的高、中线、角平分线，且?1,?2。 求?BAC的度数。 【说明】本例是一道传统几何题的逆命题～也可变成?1,?2???BAC,90?。 例3、在平行四边形ABCD中，?B,60?，AB,4，BC,6，以B为圆心、BA为半径画弧交BC于E，再以点D为圆心、DA为半径画弧交DC的延长线于点F。 求阴影部分的面积S。 【说明】对于求曲线长、面积、体积的问题通常采用割补的方法～但对于较难用此法的图形可以考虑使用集合的思想,或图形覆盖的方法,来处理～在运用图形覆盖时～要注意图形中哪些部分重复覆盖～哪些部分没有被覆盖～哪些部分覆盖到有关图形之外～各部分之间的大小关系如何。 例4、大、中、小三圆两两相切，它们又都与直线L相切，若大、中两圆的半径分别是R、r，求小圆的半径。 201 例5、已知?O与?O外切与点P，外色切线AB与连心线?OOO相交于C，A、B是切点， APAC4D是延长线上的点，满足，求(1)cosD;(2)S;(3)S,,?O1?O2 ABAD5 【说明】在初中阶段～求三角函数值～都是建立在直角三角形的基础上的～因此～证?APB,90?是解决本题的关键,,2,几何计算常建立在几何证明的基础上～通过证明～知道有关图形的位置关系和数量关系～从而使问题获得解决。 例6、已知?ABC中，BC,21，AC,28，AAB,35，从中挖去两个最大的等圆，则它们的半径是多少, 例7、锐角?ABC的BC边上有两点E、F，满足?BAE,? CAF，作FM?AB于M，作FN?AC于N，延长AE交?ABC的 外接圆于点D。 求证:S,S。 ?AMDNABC 【分析】求面积的基本方法有三种。 (1)直接法。就是根据面积公式和性质(或推理)实现解题 的方法。 (2)等积法。就是根据面积的等积性质进行转化而获得解题的方法。常见的有同底等高的三角形面积相等、全等三角形面积相等。 (30割补法。通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的图形转化为规则图形或易于求解的图形，从本题条件，可用等积法求解。 202 【说明】仔细体会本例～从中悟出如何用分析中所提到的三种方法来研究面积问题。 例8、已知，?O与?O内切于点P，过P的直线交?O于A，交?O于B，AC切?O于C， 2交?O于D，且PB、PD的长恰好是关于x的方程的两根。 x,m，16x，4,0 求(1)PC的长; 2(2)若弧BP,弧BC，且S:S,1:k，求代数式m(k-k)的值。 ??PBCAPC 203 例9、边长为26的正三角形内接于圆，弦DE?BC，交AB、AC于F、G，如果AF的 长x和DF的长y都是整数，求y的值。 204 【针对训练】 205 206