【doc】（2＋2）维非线性微分-差分mToda方程的内禀对称,相似约化和精确解

【doc】（2＋2）维非线性微分-差分mToda方程的内禀对称,相似约化和精确解 (2，2)维非线性微分-差分mToda方程的 内禀对称,相似约化和精确解 2010年12月 第26卷第6期 纯粹数学与应用数学 PureandAppliedMathematics Dec.2010 Vl01.26No.6 (2+2)维非线性微分一差分mToda方程的 内禀对称,相似约化和精确解 宋军全,孟莉,狄艳媚,王丽真2 (1.浙江工业大学应用数学系,浙江杭州310023;2.西北大学数学系,陕西西安710127) 摘要:把内禀对称群分析方法推广应用于(2+2)维非线性微分一差分mToda方程.通 过得到的对称,解相应的特征方程,对该方程进行了相似约化.最后通过反变换,构造了 几类精确解. 关键词:mToda方程;对称;相似约it;精确解 中图分类号:O175文献标识码:A文章编号:1008—5513(2010)06—092~07 1引言 SophusLie在Galois和Abel工作的启发下,首先在微分方程(特别是常微分方程)的研 究中引入了单参数连续变换群和无穷小变换的概念.从而统一了过去已知的各种特殊形式的微 分方程的求积方法,并且深刻揭示了可初等求积方程类型的特征以及局限性.SophusLie和他 的学生们还用该方法研究了某些偏微分方程和微分几何学的问题f称之为经典Lie对称群方 法).后来,Noether发现了可以通过在变换中弓I入与自变量等同的因变量的导数变量来推广经 典Lie对称群方法.1969年,Bluman等提出了非经典Lie对称群方法,这是一种特殊的条件对 称方法.1977年,Olver证明了如何利用递推算子来产生偏微分方程的无穷多个对称.1989年, Clarkson和Kruskal(CK)提出了约化微分方程的直接方法.该方法的最大好处是纯代数的,不 需要任何的群理论,同样可以得到微分方程的相似约化[1-3】. 然而上述方法和成果主要是针对连续方程而言,对于非线性微分一差分方程(或差分方程), 无论在模型上还是研究方法上都要贫乏得多.现代科学发展表明微分一差分方程在数学,凝聚 态物理,生物,流体力学等领域有着广泛的应用,从而如何把上述的理论和方法有效地并且系统 地推广应用于微分一差分方程成为了当前研究的一个十分紧迫的任务.一些专家学者已经针对 某些具体问题作了尝试且得到了不错的结果【4_6J.~tN:Maeda首先对离散的Lagrange方程引 进了相似解的方法;递推算子方法在某些(1+1)维微分一差分可积系统中也被证明同样有效; Levi和Winternitz等学者将Lie变换群方法应用于若干微分一差分方程. 收稿日期:2010-02—10. 基金项目:浙江省自然科学基金(Y6090359,Y090383),陕西教育厅专项基金(09JK770) 国家博士后基金f20090461305). 作者简介:宋军全(1978-),硕士,讲师,研究方向:代数学. 第6期宋军全等:(2+2)维非线性微分一差分mToda方程的内禀对称,相似约化和精确解925 方程 这里,我们把内禀对称群分析方法推广应用于如下的(2+2)维非线性微分一差分mToda ?mTDda=.t(m,e(re,n--1)一"(m,n)[(m,n一1)+(m,n)]+ eU(+l,n--1)一(+,n)【uz(m+1,扎一1)+z(m+1,n)】=0(1) 通过得到的对称,解相应的特征方程,对该方程进行了相似约化.最后通过反变换,构造了几类 精确解. 2方程(1)的对称,相似约化和精确解 首先,我们给出方程(1)内禀对称的定义 定义2.1向量场 : ()0++ 的k阶延拓向量场定义为 这里延拓计算公式为 成立 U(m,n,x,,u(m, pr()=+??uxitJ(仇,礼) m,nEZ1t+j n))0 抛J(m,n)' 扩(m,n)=DU-1亡J(m,礼)一(D.)J(m,n)一(D.T)ut一?+1(m,n) = DtU(m,n)一(DtX)uzi+ltj一1(m,礼),(DtT)uJ(m,n)(3) 定义2.2{(,,),X(x,t),U(x,t,m,1/,,u(m,n)))定义为mToda方程(1)的内禀对称,若 pr()? mT0daI?T00:0. 从而对于方程(1),我们先给出以下定理 定理2.1方程(1)有无穷维内禀对称, T:(),X=(),v(m,n)=nT)+U(m,t) 定理2.1的证明由定义2.1可以得到 pr(.)?T0d:uzt(m,n)一e(re,n-1)一u(m,n'.(m,礼一1)+u(m,n)Jf(m,n一1)一 U(m,n)]一e"(re,n--1)一"(re,n)×[(m,n一1)+U(m,n)】+ e"(m+l,n-1)一"(m+,)【u(m+1,n—1)+u(m+1,n)】×[(m+1,n一1)一 (m+1,佗)]+e"(m+l,n-1)一"(+,)f.m+1,佗一1)十U(仇+l,几)], .(m,n一1)=(m,礼一1)+f(,一1)一]乱z(m,n,1)一T~ut(m,n一1), (5) (6) (7) Z ? 926纯粹数学与应用数学第26卷 (m,n)=(m,n)+[(re,n)一】u(m,n)一Txut(m,礼),(8) U(m+1,佗一1)=(m+1,礼一1)+[(+1,一1)一].".(m+1,n一1)一,(m+1,72,一1),(9) (m+1,礼)=(仇+1,n)+[(+1,)一](m+1,n)一Txut(m+1,他),(10) (m,n)=u~t(m,竹)+[(,)一],"t(m,佗)+(,)(,)ut(m,n)(m,佗)+ [ut(,)一t】u.(m,凡)+[(,)一一Tdu(仃,n)一Txutt(m,n),Xtu(仃,n).(11) 方便起见,这里简记(,)三(m,n)(m,71,)等.把上述格式和原方程(1)代入定义2.2中 的(4)式,可以得到如下超定方程组, _』0=U, Xt=0, (re,n)u(m,n)=0, (,)一t+e(m,n--1)一"()=0 , (,)一t+e"(,一)一"(,)[(m,n)一(m,礼一1)一正]=0, (m,T/,)一(m,n一1)+(,)一【(,一1)=, (m+l,佗)一(m+1,几一1)+(,)一(+1,,1)=五, (m+1,佗)一U(m+1,n一1)+(,)一(+1,)=Tt, t(m,n)一eU(re,n-1)一"(,)[(m,n一1)+(m,n)】+ eU(m+l,n--1)一"(m+l,n)[(m+l,佗一1)+(m+1,佗)】=0. 依次求解上述各方程,即可以得到定理2.1. 有了定理2.1,自然可以得到以下推论. 推论2.1由定理2.1中的内禀对称可以得到以下的无穷小算子, (?)t)+?, (())=()0 , ((m,,))=(m,)0. 相应的非零交换关系为 [?-.-4(),VI(T2)]=Vll(一rIr~), [(1),()】:Y2(X1一i), [(),()】:(). 前两个构成无穷维广义Virasor0李代数. (20) (21) (22) " 第6期宋军全等:(2+2)维非线性微分一差分mToda方程的内禀对称,相似约化和精 确解927 下面,利用特征方程 出dxdu(m,礼)一=一=一 T(t)()nT)+u(m,t) 考虑方程的相似约化.这里分三种情形讨论: 情形1T(t1=0. 解特征方程(23)可得相似变量和相似解形式为 (23) =, (m,n,)=(m,仡)一(m,t)/d两x,(24) 则可把方程(1)直接约化为如下变系数的差分方程 (m,)一2U(m,y)e(rn,n--1)一(m,)+2U(m+1,y)e(m+l,n--1)一"(+,)=0.(25) (竹,佗,):c(m,)一. ?lnI———兰iI,3=--o0+c2()1L,J 利用反变换(24)得到方程(1)的一个精确解 cm,n:cm,dx+cm,一n [].c26 情形2X(x)=0. 解特征方程(23)可得相似变量和相似解形式为 …l)]_/ 从而约化方程(1)为 一 eV(re,n--1)一(,)[(m,竹一1)+(m,佗)】+ ev(m+l,n--1)一"(+,)[(m+1,n一1)+Vy(m+1,n)]=0. 对于上述(2+1)维方程,利用内禀的变换群方法,可以得到 定理2.2方程(28)有内禀对称, 利用相应的特征方程 Y=+,V(m,n)=一礼+(m) dydv(m,n,Y) y1+y2一一n+(m)' (27) (28) (29) 928纯粹数学与应用数学第26卷 叫(m,n):(m,佗)一 时,约化方程(28)为 一 eW(re,n--1)一m,n)(m)+e"(m+l,n--1)一(+,)(m+1)=0. 则由该差分方程的精确解 :q(一nj+c2] 可以到方程(1)的一个精确解 蜘V(m)x+nln . /r…cnn[ 而当相似解形式为 (m,佗):u(m,礼)一—V— (m 弋 )-一 5nl n[+y2】 时,可约化方程(28)为 一 eW(m,n-1)一m,n)[2(")一(2n一1)y1]+ eW(m+l,n--1)一(+,)【2(m+1)一(2n一1)Y1】=0. ]+/?n[卜 ln【yly2].(33) 情形3其它. 解特征方程(23)可得相似变量和相似解形式为 dz 一 /dt……ln[?卜./(34) 从而约化方程f11为 一 (m,佗)一ev(re,n--1)一u(m,n)[(m,n一1)+Vy(m,死)】+ e(rn+l,n--1)一"(+,")(m+1,n一1)+Vym+1,札)】=0.(35) ll 一m一一 一 q iI解 确 精 /_?<_ 的 解硎 精程 的方 程出 方导 该以 由可 第6期宋军全等:(2+2)维非线性微分一差分mToda方程的内禀对称,相似约化和精 确解929 同理,对于约化子方程(35),可以利用内禀的对称群分析方法,得到以下结论 定理2.3方程(35)有内禀对称, Y=+y2,y(m,n)=佗+(m). 从而由相似解形式 )一 可以把方程(35)约化为差分方程(30).由此,可以构造出方程(1)的精确解 (36) cnln【j+c2]+(/高一/)+ ?]+/(38) 再从相似解形式 叫(m,n)="(m,佗)一—V(— m)+nY1ln【+y2] 可以把方程(35)约化为如下的差分方程 Yl[V(m)+ny1]一e(re,n--1)一(,)【2(m)+(2n一1)]+ eW(+1,n--1)一"(+,)【2(m)+(2n一1)Y1]=0 而由该差分方程的精确解 r(一m+c2)j+?Y1V(k)+C3 ,c(m)-. ?hl—3=-ooL 可以构造出方程(1)的精确解 F(-m+c2)j+?YIV(k)+53 乱()一(m)_?I—丽一J~--00L' (39) 一V(m)+nY1?n(fdx)+]+/, r(一m+c2)j+?Y1V(k)+C3 ()一(m)-?nl—丽一J=一ooL n [(/高一/)+卜?+/, 930纯粹数学与应用数学第26卷 3 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 与讨论 本文把内禀对称群分析方法推广应用于(2+2)维非线性微分一差分mToda方程(1). 通 过得到的对称(定理2.1一定理2.3),解相应的特征方程(23),对该方程进行了相似 约化.最后通 过反变换,构造了几类精确解(26),(31),(33),(37)一(38)和(40)一(41)式. 我们下阶段的工作是研究该方程的非内禀的对称群分析,Bgcklund变换,非线性叠 加公式 和多孤子解. 参考文献 『11BlumanGW,KumeiS.SymmetriesandDifferentialEquations[M].NewYork:Springe r—Verla,1989. 【2】 OlverPJ.ApplicationsofLiegroupstoDifferentialEquations[M].2nded.NewYork:Springer,1993. f3]ClarksonPA,KruskalMD.NewsimilarityreductionsoftheBoussinesqequation[J].J.Math.Phys. 1989,30:2201—2212. {4】 MaedaS.Thesimilaritymethodfordifferenceequations[J].IMAJ.App1.Math.,1987,38:129—134. 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