高中数学导数练习题

高中数学导数练习题 导数 一(选择题(共27小题) 1((2015•黑龙江)设函数f(x)=ln(1+|x|),，则使得f(x),f(2x,1)成立的x的取值范围是( ) A((，1) B(?(1，+?) C(() D((,?，，+?) 【解答】解:?函数f(x)=ln(1+|x|),为偶函数， 且在x?0时，f(x)=ln(1+x),导数为f′(x)=+,0， 即有函数f(x)在[0，+?)单调递增， ?f(x),f(2x,1)等价为f(|x|),f(|2x,1|)， 2即|x|,|2x,1|， 平方得3x,4x+1,0， 解得,x,1， 所求x的取值范围是(，1)(故选A( 2((2015•黑龙江)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x?R)的导函数，f(,1)=0，当x,0时，xf′(x),f(x),0，则使得f(x),0成立的x的取值范围是( ) A((,?，,1)?(0，1) B((,1，0)?(1，+?) C((,?，,1)?(,1，0) D((0，1)?(1，+?) (x)=，则g(x)的导数为:g′(x)=， 【解答】解:设g ?当x,0时总有xf′(x),f(x)成立，即当x,0时，g′(x)恒小于0， ?当x,0时，函数g(x)=为减函数， 又?g(,x)====g(x)，?函数g(x)为定义域上的偶函数 又?g(,1)==0，?函数g(x)的图象性质类似如图: 数形结合可得，不等式f(x),0?x•g(x),0 ?或，?0,x,1或x,,1(故选:A( 第1页(共13页) 3((2015•福建)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=,1，其导函数f′(x)满足f′(x),k,1，则下列结论中一定错误的是( ) A( B( C( D( 【解答】解;?f′(f′(xx)=),k,1， ?,k,1，即,k,1， 当x=时，f()+1,×k=， 即f(),1=故f(),， 所以f(),，一定出错，故选:C( x4((2015•河北)设函数f(x)=e(2x,1),ax+a，其中a,1，若存在唯一的整数x使得f0(x),0，则a的取值范围是( ) 0 A([) B([) C([) D([) x【解答】解:设g(x)=e(2x,1)，y=ax,a， 由题意知存在唯一的整数x使得g(x)在直线y=ax,a的下方， 00xxx?g′(x)=e(2x,1)+2e=e(2x+1)， ?当x,,时，g′(x),0，当x,,时，g′(x),0， ?当x=,时，g(x)取最小值,2， 当x=0时，g(0)=,1，当x=1时，g(1)=e,0，直线y=ax,a恒过定点(1，0)且斜率为a， ,1故,a,g(0)=,1且g(,1)=,3e?,a,a，解得?a,1 故选:D ,2x切线5((2015•陕西模拟)曲线y=e+1在点(0，2)处的 与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( ) A( B( C( D(1 ,,2x2x【解答】解:?y=e+1?y'=(,2)e ,2x?y'|=(,2)e|=,2 x=0x=0,2x?曲线y=e+1在点(0，2)处的切线方程为y,2=,2(x,0)即2x+y,2=0 第2页(共13页) 令y=0解得x=1，令y=x解得x=y= ?切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为×1×=故选A ， 36((2015•广西校级学业考试)已知函数f(x)的导数为f′(x)=4x,4x，且f(x)的图象过点(0，,5)，当函数f(x)取得极大值,5时，x的值应为( ) A(,1 B(0 C(1 D(?1 342【解答】解:?f′(x)=4x,4x，?f(x)=x,2x+c，其中c为常数( 423?f(x)过(0，,5)，?c=,5，?f(x)=x,2x,5，由f′(x)=0，即4x,4x=0， 解得x=0或x=?1，?f(x)的极值点为x=0或x=?1，?x=0时，f(x)=,5( x=1时，f(x)=,6(x=,1时，f(x)=,6(?当x=0时，函数f(x)取得极大值,5( 故选B( 7((2015•汕头二模)定义:若函数f(x)的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f(x)的值域相同，则称变换T是f(x)的同值变换(下面给出四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f(x)的同值变换的是( ) 2A(f(x)=(x,1)，T将函数f(x)的图象关于y轴对称 ,x1B(f(x)=2,1，T将函数f(x)的图象关于x轴对称 C(f(x)=2x+3，T将函数f(x)的图象关于点(,1，1)对称 D(，T将函数f(x)的图象关于点(,1，0)对称 【解答】解:对于A:T是将函数f(x)的图象关于y轴对称，此变换不改变函数的值域，故T属于f(x)的同值变换; ,x1对于B:f(x)=2,1，其值域为(,1，+?)，将函数f(x)的图象关于x轴对称，得到的,x1函数解析式是y=,2+1，值域为(1，+?)，T不属于f(x)的同值变换; 对于C:f(x)=2x+3，T将函数f(x)的图象关于点(,1，1)对称，得到的函数解析式是2,y=2(,2,x)+3，即y=2x+3，它们是同一个函数，故T属于f(x)的同值变换; 对于D:，T将函数f(x)的图象关于点(,1，0)对称，得到的函数解析式是y=，它们的值域都为[,1，1]，故T属于f(x)的同值变换; 故选B( 8((2015•衡阳县校级模拟)已知函数f(x)的定义域为R，若存在常数m,0，对任意x?R， 2有|f(x)|?m|x|，则称f(x)为F函数(给出下列函数:?f(x)=0; ?f(x)=x; ?f(x)=sinx+cosx;?f(x)=; ?f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x，x12均有|f(x),f(x)|?2|x,x|(其中是F函数的序号是( ) 1212 A(??? B(??? C(??? D(??? 【解答】解:对于?f(x)=0，显然对任意常数m,0，均成立，故f(x)为F函数; 对于?，|f(x)|,m|x|，显然不成立，故其不是F函数; 第3页(共13页) 对于?，f(x)=sinx+cosx，由于x=0时，|f(x)|,m|x|不成立，故不是F函数; 对于?，f(x)=，|f(x)|=•|x|?•|x|，故对任意的m,，都有|f(x)|,m|x|，故其是F函数; 对于?，f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x，x均有|f(x),f(x)|?2|x12121,x|，令x=x，x=0，由奇函数的性质知，f(0)=0，故有|f(x)|,2|x|(显然是F函数 212 故是F函数的序号是???， 故选:D( 29((2015•安康二模)方程x+x,1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交 4点的横坐标，若方程x+ax,4=0各个实根x，x，…，x(k?4)所对应的点(x，)(i=1，12ki2，…，k)均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是( ) A((,?，,3) B((,3，3) C((3，?) D((,?，,6)?(6，?) 43【解答】解:方程的根显然x?0，原方程x+ax,4=0，等价为方程x+a=， 3原方程的实根是曲线y=x+a与曲线y=的交点的横坐标; 33曲线y=x+a是由曲线y=x向上或向下平移|a|个单位而得到的( 若交点(x，)(i=1，2，k)均在直线y=x的同侧，因直线y=x与y=交点为:(,2，,2)，i (2，2); 所以结合图象可得:或， 解得a,6或a,,6，即实数a的取值范围是(,?，,6)?(6，?)， 故选:D 第4页(共13页) x2210((2015•葫芦岛二模)已知函数f(x)=e+x(x,0)，g(x)=x,4x++ln(x+t,2)，若f(x)的图象上存在一点P，它关于直线x=1的对称点P′落在y=g(x)的图象上，则t的取值范围是( ) A((,?，) B((,，) C((,，) D((,?，) 【解答】解:f(x)的图象上存在一点P(x，y)，关于直线x=1的对称点P′(2,x，y)， x222?e+x=(x,2),4(2,x)++ln(2,x+t,2)=(x,2),4(2,x)++ln(t,x)， x即e,8x,,ln(t,x)=0， x0存在x?(,?，0)，即e,,8x,ln(t,x)=0有负根， 000 x0?当x趋近于负无穷大时，e,8x,ln(t,x)也趋近于负无穷大， 00 x?函数h(x)=e,8x,,ln(t,x)为增函数， ?h故选:D( (0)=,lnt,0，?lnt,ln，?t,， 11((2015•上饶三模)定义:如果函数f(x)在[a，b]上存在x，x(a,x,x,b)满足1212 ，，则称函数f(x)是[a，b]上的“双中值 32函数”(已知函数f(x)=x,x+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是( ) A( B(() C((，1) D((，1) 322【解答】解:由题意可知，?f(x)=x,x+a，f′(x)=3x,2x 在区间[0，a]存在x，x(a,x,x,b)， 1212 2满足f′(x)=f′(x)==a,a， 12 322?f(x)=x,x+a，?f′(x)=3x,2x， 22?方程3x,2x=a,a在区间(0，a)有两个不相等的解( 22令g(x)=3x,2x,a+a，(0,x,a) 则，解得;( ?实数a的取值范围是(，1)故选:C 第5页(共13页) 12((2015•郑州三模)定义在(0，)上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x),f′(x)tanx成立，则( ) A(f(),f() B(f(1),2f()sin1 C(f(),f() D(f(),f() 【解答】解:因为x?(0，)，所以sinx,0，cosx,0( 由f(x),f′(x)tanx，得f(x)cosx,f′(x)sinx( 即f′(x)sinx,f(x)cosx,0( 令g(x)=x?(0，)，则( 所以函数g(x)=在x?(0，)上为增函数， 则，即，所以， 即(故选D( 13((2015•南昌校级二模)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′(x)， x若对于任意实数x，有f(x),f′(x)，且y=f(x),1为奇函数，则不等式f(x),e的解集为( ) 44A((,?，0) B((0，+?) C((,?，e) D((e，+?) 【解答】解:令g(x)=，则=， ?f(x),f′(x)，?g′(x),0，即g(x)为减函数， ?y=f(x),1为奇函数，?f(0),1=0，即f(0)=1，g(0)=1， x则不等式f(x),e等价为=g(0)，即g(x),g(0)，解得x,0， ?不等式的解集为(0，+?)，故选:B( 14((2015•太原一模)已知函数f(x)=lnx+tanα(α?(0，))的导函数为f′(x)，若使得f′(x)=f(x)立的x,1，则实数α的取值范围为( ) 000 A((，) B((0，) C((，) D((0，) 第6页(共13页) 【解答】解:?f′(x)=，f′(x)=，f′(x)=f(x)， 000 ?=ln x+tan α， ?tan α=,ln x， 00 又?0,x,1，?可得,ln x,1，即tan α,1，?α?(，)(故选:A( 00 15((2015•文峰区校级一模)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x),xf′(x)，则( ) A(2f(1),f(2) B(2f(1),f(2) C(2f(1)=f(2) D(f(1)=f(2) 【解答】解:设g(x)=，则g′(x)=， ?f(x),xf′(x)，?g′(x),0，即g(x)在(0，+?)上单调递增， ?，即2f(1),f(2)故选:A( 16((2015•潍坊模拟)已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x?0时，f′(x)+,0，若a=f()，b=,2f(,2)，c=(ln)f(ln)，则a，b，c的大小关系正确的是( ) a,c,b B(b,c,a C(a,b,c D(c,a,b A( 【解答】解:设h(x)=xf(x)，?h′(x)=f(x)+x•f′(x)， ?y=f(x)是定义在实数集R上的奇函数，?h(x)是定义在实数集R上的偶函数， 当x,0时，h'(x)=f(x)+x•f′(x),0，?此时函数h(x)单调递增( ?a=f()=h()，b=,2f(,2)=2f(2)=h(2)，c=(ln)f(ln)=h(ln)=h(,ln2)=h(ln2)， 又2,ln2,，?b,c,a(故选:A( 17((2015•怀化二模)定义在R上的函数f(x)满足:f'(x),1,f(x)，f(0)=6，f′(x) xx是f(x)的导函数，则不等式ef(x),e+5(其中e为自然对数的底数)的解集为( ) A((0，+?) B((,?，0)?(3，+?) C((,?，0)?(1，+?) D((3，+?) xx【解答】解:设g(x)=ef(x),e，(x?R)， xxxx则g′(x)=ef(x)+ef′(x),e=e[f(x)+f′(x),1]， ?f'(x),1,f(x)，?f(x)+f′(x),1,0， ?g′(x),0，?y=g(x)在定义域上单调递增， xx?ef(x),e+5，?g(x),5， 00又?g(0)=ef(0),e=6,1=5，?g(x),g(0)，?x,0， ?不等式的解集为(0，+?)，故选:A( 第7页(共13页) 18((2015•渝中区校级一模)已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x),f′(x)，且f(0)=2，则不等式的解集为( ) A((,?，0) B((0，+?) C((,?，2) D((2，+?) 【解答】解:设g(x)=，则g′(x)=， ?f(x),f′(x)，?g′(x),0，即函数g(x)单调递增( ?f(0)=2，?g(0)=， 则不等式等价为，即g(x),g(0)， ?函数g(x)单调递增(?x,0，?不等式的解集为(0，+?)，故选:B( 3219((2015•绥化一模)已知函数f(x)=x,2x,4x,7，其导函数为f′(x)( ?f(x)的单调减区间是; ?f(x)的极小值是,15; ?当a,2时，对任意的x,2且x?a，恒有f(x),f(a)+f′(a)(x,a); ?函数f(x)有且只有一个零点( 其中真命题的个数为( ) A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 322【解答】解:f(x)=x,2x,4x,7，其导函数为f′(x)=3x,4x,4( 令f′(x)=0，解得x=,，x=2， 当f′(x),0时，即x,,，或x,2时，函数单调递增， 当f′(x),0时，即,,x,2时，函数单调递减; 故当x=2时，函数有极小值，极小值为f(,2)=,15，当x=,时，函数有极大值，极大值为f(),0，故函数只有一个零点， ?错误，??正确;?a,2，x,2且x?a， ?f(x),f(a),f′(a)(x,a) 32322=x,2x,4x,a+2a+4a,(3a,4a,4)(x,a) 33222=x+2a,2x,2a,3ax+4ax,0， 第8页(共13页) ?恒有f(x),f(a)+f′(a)(x,a)，故?正确; 所以中真命题的个数为3个，故选:C 20((2015•海口模拟)设y=f″(x)是y=f′(x)的导数(某同学经过探究发现，任意一个三 32次函数f(x)=ax+bx+cx+d(a?0)都有对称中心(x，f(x))，其中x满足f″(x)=0(已0000知f(x)=,，则=( )A(2012 B(2013 C(2014 D(2015 2″″【解答】解:f′(x)=x,x+3，f(x)=2x,1，令f(x)=0，解得x=，=,+3×,=1， ?函数f(x)的对称中心为M( 设P，Q是函数f(x)的图象上关于M中心对称的两点，则f(x)+f(1,x)=2， ?=+ +…+ ==2014( 故选:C( 21((2015•安徽模拟)二次函数f(x)的图象经过点(0，)，且f′(x)=,x,1，则不等式 xf(10),0的解集为( ) A((,3，1) B((,lg3，0) C((，1) D((,?，0) 【解答】解:?f′(x)=,x,1， 2?f(x)=,x,x+c，将(0，)代入得:c=， 2?f(x)=,x,x+， 令f(x),0，解得:,3,x,1， x?,3,10,1，解得:x,0， 故选:D( 22((2015•湖北一模)定义:如果函数f(x)在[a，b]上存在x，x(a,x,x,b)，满足f′1212(x)=，f′(x)=，则称数x，x为[a，b]上的“对望1212 32数”，函数f(x)为[a，b]上的“对望函数”(已知函数f(x)=x,x+m是[0(m]上的“对望函数”，则实数m的取值范围是( ) 第9页(共13页) A((1，) B((，3) C((1，2)?(2，3) D((1，)?(，3) 【解答】解:由题意可知， 2在区间[0，m]存在x，x(0,x,x,a)，满足f′(x)==m,m， 12121 322?f(x)=x,x+m?f′(x)=x,2x， 22?方程x,2x=m,m在区间[0，m]有两个解( 22令g(x)=x,2x,m+m，(0,x,m)( 则，解得,m,3，?实数a的取值范围是(，3)(故选:B( 23((2015•山东模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x),f x(x)，f(2)=,2，f(1+x)=,f(1,x)，则不等式f(x),2e的解集为( ) A((,2，+?) B((0，+?) C((1，+?) D((4，+?) 【解答】解:?f(2)=,2，f(1+x)=,f(1,x)， ?f(2)=,f(0)=,2，解得f(0)=2( 令g(x)=，则g′(x)==， ?f′(x),f(x)，?g′(x),0，?g(x)在R上单调递减， x?,2=，?x,0，?不等式f(x),2e的解集为(0，+?)，故选:B( 24((2015•渭南一模)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数(当x?[0，π]时，0,f(x),1; 当x?(0，π)且x?时，(x,)f′(x),0(则函数y=f(x),sinx在[,3π，3π]上的零点个数为( ) A(4 B(5 C(6 D(8 【解答】解:?当x?[0，π]时，0,f(x),1，f(x)为偶函数， ?当x?[,3π，3π]时，0,f(x),1; 当x?(0，π) 且x?时，(x,)f′(x),0， ?x?[0，]时，f(x)为单调减函数;x?[，π]时，f(x)为单调增函数， 第10页(共13页) ?x?[0，π]时，0,f(x),1， 在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y=sinx和y=f(x)草图象如下， 由图知y=f(x),sinx在[,3π，3π]上的零点个数为6个，故选:C( 25((2015•钦州模拟)已知函数y=f(x)满足下列条件:(1)对?x?R，函数y=f(x)的导数f′ 2(x),0恒成立;(2)函数y=f(x+2)的图象关于点(,2，0)对称;对?x、y?R有f(x, 2228x+21)+f(y,6y),0恒成立(则当0,x,4时，x+y的取值范围为( ) A((3，7) B((9，25) C([9，41) D((9，49) 【解答】解:由(1)对?x?R，函数y=f(x)的导数f′(x),0恒成立，可得函数f(x)在R上单调递减; 由(2)函数y=f(x+2)的图象关于点(,2，0)对称，?函数f(x)为奇函数; 2222?对?x、y?R有f(x,8x+21)+f(y,6y),0恒成立，化为f(x,8x+21),,f(y,6y)2=f(6y,y)( 22?x,8x+21,6y,y， 22化为(x,4)+(y,3),4(圆心C(4，3)，半径R=2( 222?x+y,(|OC|,R)=9( 22直线x=4与圆(x,4)+(y,3)=4相交于点P(4，1)，Q(4，5)( 222?x+y,|OQ|=41( 22?则当0,x,4时，x+y的取值范围为(9，41)(故选:C( 226((2015•安徽四模)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)=x+3xf′(2)+lnx，则f′(2)的值等于( ) A(2 B(,2 C( D( 2【解答】解:?f(x)=x+3xf′(2)+lnx，?f′(x)=2x+3f′(2)+， 令x=2，则f′(2)=4+3f′(2)+，即2f′(2)=,，?f′(2)=,(故选:D( 第11页(共13页) 27((2015•锦州一模)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)?0，f′(x)g(x) x,f(x)g′(x)，且f(x)=a•g(x)(a,0，且a?1)，，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为( ) A(6 B(7 C(8 D(9 【解答】解:?f′(x)g(x),f(x)g′(x)， ?f′(x)g(x),f(x)g′(x),0， ?， 从而可得单调递增，从而可得a,1， ?，?a=2( 故 2n=2+2+…+2=( n+1*?2,64，即n+1,6，n,5，n?N(?n=6(故选:A( 二(填空题(共3小题) 228((2015•黑龙江)已知曲线y=x+lnx在点(1，1)处的切线与曲线y=ax+(a+2)x+1相切， 则a= 8 ( 【解答】解:y=x+lnx的导数为y′=1+， 曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2， 则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y,1=2x,2，即y=2x,1( 2由于切线与曲线y=ax+(a+2)x+1相切， 22故y=ax+(a+2)x+1可联立y=2x,1，得ax+ax+2=0， 2又a?0，两线相切有一切点，所以有?=a,8a=0，解得a=8(故答案为:8( 2x229((2015•万州区模拟)已知函数f(x)=x+e,(x,0)与g(x)=x+ln(x+a)图象上存在关y轴对称的点，则a的取值范围是 (,?，) ( 2【解答】解:设x,0，g(x)=x+ln(x+a)图象上一点P(x，y)， 2x则P′(,x，y)在函数f(x)=x+e,(x,0)的图象上， ,2x2?(,x)+e,=x+ln(x+a)，化简得a=,x有解即可， 第12页(共13页) ,x令h(x)=,x，则h′(x)=)=•(,e),1=,,1,0， ?函数h(x)在(0，+?)上单调递减，即h(x),h(0)= 要使a=,x有解，只需要a,，即可，故a的取值范围是(,?，)， 故答案为:(,?，) 30((2015•南京模拟)设定义域为(0，+?)的单调函数f(x)，对任意的x?(0，+?)，都有 *f[f(x),logx]=6，若x是方程f(x),f′(x)=4的一个解，且x?(a，a+1)(a?N)，则200实数a= 1 ( 【解答】解:根据题意，对任意的x?(0，+?)，都有f[f(x),logx]=6， 2又由f(x)是定义在(0，+?)上的单调函数，则f(x),logx为定值， 2设t=f(x),logx，则f(x)=t+logx， 22 又由f(t)=6，可得t+logt=6，可解得t=4，故f(x)=4+logx，f′(x)=， 22 又x是方程f(x),f′(x)=4的一个解， 0 所以x是函数F(x)=f(x),f′(x),4=logx,的零点， 02 分析易得F(1)=,,0，F(2)=1,=1,,0， 故函数F(x)的零点介于(1，2)之间，故a=1， 故答案为:1 第13页(共13页)