三、完全四边形的一些性质
第一阶段
内容
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三 完全四边形的一些性质 一、 内容概述
几何中的完全四边形(完全四线形)
定义:由四条直线或球面上四条大圆的弧组成，其中每一条直线或弧都与其余的直线或弧相交于三点(即没有三线共点)所构成的图形。或者我们把两两相交，且无三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形叫做完全四边形。
如图，完全四边形ADCFBE中有?ACE、?ABD、?CDF、?BEF 凸四边形:ADFE 凹四边形:ACFB 折四边形:CDEB
六个点:A、B、C、D、E、F 三对角线:AF、DE、BC
A
E
F
DB
C
二、 性质
1. 完全四边形中四个三角形的外接圆共点，称为密克尔点。
2. 完全四边形中四个三角形的垂心共线，称为垂心线。
3. 完全四边形的一条对角线被其余两条对角线被其余两条对角线调和分割。 4. 过完全四边形的密克尔点作四个三角形的西姆松线，所得四线重合，称为完全四边形
的西姆松线。
5. 完全四边形的西姆松线与垂心线平行。
6. 完全四边形的任一组“对节”在西姆松线(或垂心线)上的射影，其长度总保持相等。 7. 完全四边形的三条对角线的中点三点共线，这条直线被称为牛顿线。牛顿线与西姆松
线、垂心线垂直。
8. 梅涅劳斯定理
9. 以完全四边形的三条对角线为直径的圆共轴，且完全四边形的四个三角形的垂心在这
条轴上，即垂心线(垂足线)。
10. 完全四边形中四个三角形的外接圆圆心共圆，这四个圆心每三个构成的三角形的垂心
分别在构成完全四边形的四条直线上，且以这四个垂心为顶点构成的四边形与以四个
圆心为顶点构成的四边形全等。
11. 在完全四边形ABCDEF中，G是对角线AF所在直线上异于A的任意一点，则
cotcotcotcot，，，,，，，AGCAGEAGDAGB
三、 自主尝试一
1. 试证明上述11条性质。
2. 四边形ABCD的两条对角线交于点O，两组对边的延长线分别相交于E、F，过O
作EF的平行线交BC、AD于I、J.求证:OI=OJ.
3. 以?ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D、E.过D、E作BC
AMBC,的垂线，垂足分别是F、G.线段DE、EF分别交于点M.求证:.
四、 一个命题的应用
命题:如果完全四边形的三条对角线互不平行，则任何一条对角线被其他两条对角线内分和外分所得的四条线段都成比例。
改述为:在完全四边形ABCDEF中AC、BD、EF为三条对角线。设AC与BD、AC与EF、BD与EF分别交于点P、Q、R.证明:
EQERAPAQBPBR,,(1)(2)(3) ,QFRFPCQCPDRD
五、 自主尝试二
1. 在完全四边形ABCDEF中,AC与BD交于点P，过P作EF的平行线分别与BC、
AD、AB、CD交于点M、N、X、Y，证明:PM=PN,PX=PY.
2. 已知动点O在?ABC内部，射线AO、BO、CO分别与对边交于M、N、P.设NP
与AO、PM与BO、MN与CO分别交于点D、E、F.证明:不论点O位置如何变
ODOEOF化，恒为一个定值。 ，，ADBECF
六、 完全四边形的部分优美性质
PGCABHHCGBO性质1:在完全四边形中，若与边 相切且与边切于点的圆为圆,与G11111
PAPHOGBHC边相切且与边切于点的圆为圆，则对角线垂直于离点较远的这两圆的外112
公切线。
性质2:在完全四边形ABCDEF中，过B、F作与对角线AB平行的线分别交对角线CE于G、H，连接BH、FG相交于点P，则点P在直线AD上。
性质3:在完全四边形ABCDEF中，点G是对角线AD所在直线上一点，连接BG、CG、EG、FG。若 ,则 ，,，AGCAGE，,，AGBAGF
性质4:在完全四边形ABCDEF中，对角线AD所在直线交对角线CE于G，则
的充要条件是。 ，,，AGBAGFADCE,
性质5:在完全四边形ABCDEF中，对角线AD、CE互相垂直，则与互补，CDE，CAE的充要条件是B、C、E、F四点共圆。
性质6:过完全四边形ABCDEF的顶点A的直线交BF于M，交CE于N，交BD于G，
1111交CD于H，则. ，,，AMANAGAH
性质7:在完全四边形ABCDEF中，对角线AD所在直线交BF于M，交CE于N，则
. MDAN,,(322)
性质8:在完全四边形ABCDEF中，G为AF上一点，直线CG与AD交于点H，直线HF与DG交于点P，直线BP交CG于T，交AF于Q，直线CQ交BE于S，则A、T、S三点共线。
七、 自主尝试三
证明上述8条性质
八、 探究与创新
探究完全四边形在几何及竞赛中的应用
浙公网安备 33021202002483