Excel分析工具库20
傅立叶分析
重庆三峡学院关文忠
1. 傅立叶分析基本知识简介
傅里叶分析Fourier analysis 是分析学中18世纪逐渐形成的一个重要分支，主要研究
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数的傅里叶变换及其性质。Excel中的傅立叶分析是求解离散型快速傅立叶变换和逆变换。
快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform, FFT)，是离散傅里叶变换的快速算法，也可用于计算离散傅里叶变换的逆变换。快速傅里叶变换有广泛的应用，如数字信号处理、计算大整数乘法、求解偏微分方程等等。在经济管理中可用于判断时间序列周期性。
2. 傅立叶工具时间序列频谱分析中的应用
对于时间序列，可以展开成傅立叶级数，进行频谱分析。对于时间序列xt其傅立叶级数展开式为展开成傅立叶级数:
傅立叶分析工具应用操作步骤:
(1)输入数据并中心化:时间、时间序号t、观测值x、中心化(减x平均值)、求频t
率f(=i/N). i
(2)由傅立叶分析工具求中心化数据序列的傅立叶变换。
(3)IMREAL和IMAGINARY提取实部和虚部，按公式5计算频率强度(或由IMCONJUGATE求得共轭复数，再由IMPRODUCT求得两共轭复数乘积，得频率强度。
(4)以频率为横坐标、频率强度为纵坐标，绘制频率强度图。
(5)分析周期性。由频率强度最大的所对应的频率倒数即得周期。
例:某时间序列如图 20-1.
图 20-1 时间序列观测值及其图形
由图可见，序列显现周期性变化，在整个时期范围内，周期为4.下面利用傅立叶分析工具进行频谱分析。
(1)在B18单元格输入“=AVERAGE(B2:B17)”求得观测值的平均值;在C2单元格输入“=B2/B$18”，将观测值中心化(均值为0,并仍保持原序列的方差)，并复制到C3:C17
图 20-2傅立叶变换及频率强度计算过程
(2)从“数据”选项卡选择“数据分析”,选择“傅利叶分析”弹出对话框并设置如图 20-3:
图 20-3 傅利叶分析对话框
(2)单击“确定”生成傅立叶变换序列(图 20-2 D列)。
(3)在E2单元格输入“=IMCONJUGATE(D2)”求得傅利叶变换值的共轭复数，并复制到E3:E17;在F3至F17输入1至15,列出周期序列;在G3单元格输入“=F3/16”求得频率，并复制到G4:G17;在H3单元格输入“=IMPRODUCT(D3:E3)*8”(即根据公式5)求得频率强度，并复制到H4:H17。(见图3)
(4)以G3:H17为源数据，插入散点图，得图 20-4所示频率强度频谱图。
图 20-4频率强度频谱图
由图可见，图形完全对称，通常只取左半部分。频率强度最大的所对应的频率为0.25,其倒数为4,即周期为4.
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