脉冲投放益虫化学控制害虫的害虫管理模型

脉冲投放益虫化学控制害虫的害虫管理模型 脉冲投放益虫化学控制害虫的害虫管理模 型 第49卷第3期中山大学(自然科学版) 2010年5月ACTASCIENTIARUMNATURALIUMUNIVERSITATISSUNYATSENI Vo1.49Nn3 May2010 脉冲投放益虫化学控制害虫的害虫管理模型 程惠东 (山东科技大学理学院,山东青岛266510) 摘要:研究了与害虫管理相关的一类捕食者(益虫)具有脉冲扰动,食饵(害虫)具有化学控制的阶段结 构时滞捕食一食饵模型,根据生物资源管理的实际,改进了原有捕食者一食饵模型,得到了害虫灭绝周期解全 局吸引和系统持久的充分条件.得出的结论为现实的害虫治理提供了可靠的策略依据. 关键词:阶段结构;脉冲;时滞;害虫管理;全局吸引;一致持久 中图分类号:0175.14文献标志码:A文章编号:0529—6579(2010)03—0008—04 PestManagementModelwithImpulsiveStockingon BeneficialInsectandChemicalControlonPests CHENGHuidong (CollegeofScience,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266510,Chi na) Abstract:Astage?-structureddelayedpestmanagementpredator--preymodelwithimpulsiv etransmitting onpredators(beneficialinsect)andchemicalcontrolonprey(pests)concernwasconsidered. Accord— ingtothelivingresourcesmanagement'Sreality,improvedthepredator— preymodel,sufficientconditionof theglobalattractivityofpest-exterminateperiodicsolutionandpermanenceofthesystemwe reobtained. Theresultsprovidereliabletacticalbasisforthepracticalpestmanagement. Keywords:stage—structured;impulsive;delayed;pest— extinction;globalattractivity;permanence 在自然界生物系统中,有关害虫科学有效的治 理一直是人们研究的问题.随着社会的发展和科学 技术的进步,人类已经采用了许多先进的现代 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 治理害虫,例如:化学农药,生物农药,遥感和遥 测,计算机技术,原子能技术等.利用化学农药作 为控制害虫,总的来说是有用的,特别是在害虫猖 獗的时候,然而农药的大量使用会造成环境污染及 益虫的伤害,本文研究喷洒农药和定期投放害虫的 天敌结合起来控制害虫的方法. 对捕食一食饵系统的研究已做了很多工作并且 得到了很好的结果?,基本的模型是Lotka—Volt— erra捕食一食饵系统 f(t)=()(o—(t)一y(t)),, 【(t)=Y(t)(一b+CX(t)) 其中(t),Y(t)分别 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示食饵和捕食者种群的密 度,这里.是食饵的内禀增长率,r表示种内的竞 争系数,c表示被捕食的食饵向捕食者的转化率,b 表示捕食者幼年的死亡率.文献[4]中考虑的是 具有脉冲扰动的捕食一食饵模型 fx(t)=(t)(?一bx(t))一1 l(,)y()}?nT,n?N {()=A(t)Y()一dy(,)J(2) J()=(1:,?NY(t)=y(t)+uJ 由于害虫的出生率,死亡率等生存指数几乎总 是与年龄,种群的大小或发展阶段有关, 幼虫大多生活的庇护所里,我们进行的管理策略几 乎不起作用,我们还注意到,幼年不具有生育能 }收稿日期:2009—06,24 基金项目:国家自然科学基金资助项目(10872118) 作者简介:程惠东(1964年生),女,副教授;E—mail:chd900517@sdust.edu.en 第3期程惠东:脉冲投放益虫化学控制害虫的害虫管理模型9 力,从幼年到成年的成熟期作为一个常数时滞. Dong等研究了具脉冲存放和收获的捕食一食饵 系统的灭绝和持久性;受模型(1),(2)和近来 这些研究工作的启发,我们建立了如下害虫具有阶 段结构化学控制脉冲投放益虫的捕食一食饵模型 x1()=FX,2(t)一re-dl~x2(t一)一 d1l(t) (t):re-dl~3g2(t,r)一 e一 2()3(t)一d22(t)一 d3x;(t)一Ex2(,) 岛(t)=e-dlrx2()(t)一dx3(t) ()=-(f), 2(,)=z()}=nT,tz?N 3()=2(t)+MJ (3) 其中(t),:(t)分别表示害虫幼体和成体种群的 密度,(t)表示害虫天敌的密度.r是害虫的成长 期为.0<E<1表示喷洒农药的效果,A>0表示 被捕食的食饵向捕食者的转化率,表示投放天敌 的周期,re-dlrx,(t一7.)表示幼年害虫在t一7-时刻 的出生数(即,(z—))到t时刻除去死亡以后的 剩余数.此模型的参数的生物意义具体可参见文献 [7,9].注意到系统(3)的第二和第三个方程中 不湿含变量(t),因此我们只需研究下面系统 (3)的子系统: 2 (t)=Fe—d12(t—)一 JBe-dtrX2(t)3(t)一 d22(t)一d3;(t)一 Ex2(t) t?n.n?N 1x3(t)=Ae-dlr2(t)一dx3() f.()=(l:,,,?N3(t)=2(t)+uJ (4) 从生物意义出发,我们只在区域D={(, ,)I,>0}上考虑系统(4)的动力学行为, 于是系统(4)满足初始条件:(咖,(s),(b(s))? C+=c([一f,0],R),(0)>0,i=1,2(5) 1重要的引理 引理l对于充分大的t,系统(3)的任意 解((t),(t),,(t)),存在常数M>0,使得 1(t)?M/A,2(t)?M/A,3(t)?M 引理2[1..时滞微分方程x(t)=0(t—)一 bx(t),这里口,6,C,丁都是正的常数且当t?[一, 0],(t)>0,贝0若0<b,贝4lira一(t)=0. 引理3?们考虑下面的脉冲系统 』():一ax(),?nT,n?N(6),U, 【(nT)=(nT)+『上,t=nT,n?N 其中d>0,u>0,则系统(5)有唯一的正周期 解:(t)=?e—d'卜n,t?(nT,(n+1)T],?N, 且是渐近稳定的,其中=/(1一e). 对于系统(3),我们考虑下面的系统: 』拍)=一,(f),?r~T,n?N(7) 【3(nT)=3(n)+,t=nT,n?N 从(7)式和引理3,我们知道系统(3)有一个 害虫灭绝的周期解 (0,0,元3(t)):(0,0,X3e一'一"), t?(nT,(n+1)T],n?N 或者系统(4)有一个害虫灭绝的周期解 (0,元3(t))=(0,X3e一'一), t?(nT,(凡+1)T],n?N 且是全局渐近稳定的,其中X3=u/(1一e). 2"害虫灭绝"周期解的全局吸引性 在本节我们将得到害虫灭绝周期解是全局吸 引的充分条件. 定理1如果 >去[r(e打一1)一(d3+E)e](8)P 成立,那末系统(3)的害虫灭绝的周期解 (0,0,(t))是全局吸引的. 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 显然系统(3)的捕食者灭绝的周期解 (0,0,冤(t))的全局吸引性等价于系统(4)的捕 食者灭绝的周期解(0,(t))的全局吸引性,所以 我们只需研究系统(4). 既然(8)式成立,那末对于充分小的正数 0,.有 r<(d,+E)ed1/(e一1)一 (u/(e一1)一s.)(9) 成立. 由系统(4)的第二个方程可得:(t)? 一 (t),所以我们考虑下面的脉冲比较系统 (10) 根据引理3,我们得到系统(10)的周期解:三(t). N N? n 矗 ) ++ ?枷一=『I 10中山大学(自然科学版)第49卷 =?ze ' ,t?(nT,(n+1)T],n?N是全局渐 近稳定的,其中z=u/(1一e).由脉冲微分方 程的比较定理,当t一?时,(t)?(t)与z(t) 一舅(t),因此对(9)式中的o>0,存在一个正 整数,使对t>17,T时,都有 3(,)?(t)?蠢3(t)一80,nlT<,?(n1+1)T 也就是 … 一 dT? 3(f)>孟3(t)一0?—一s0=or, nT<t?(11,+1)T,12>凡1(11) 从系统(4)的第二个方程,对t?nT+『,有 x2(t)?re一由2(t—r)一(e-dlror+d2+E)2(t). 考虑方程:(t)=re-dlr(t—r)一(卢e+d2+ E)(t).由(9)式得到:ie<卢e-dJror+d2+E, 从而引理2可知:lim(t)=0.由微分方程的比较 定理,对充分大的t,有::(t)?(t). 因为2(s)=(s)=2(s)>0并且s?[一, 0],根据解的非负性,可得:lim(t)=0,因此, 对任意l>0,存在一个正整数>nl,当t>n2T 时有:(t)<.根据系统(5)可得 一 d3(t)?3(t)?(一d+A占1)3(t)(12) 从而,(t)?3(t)?2(t),且1(t)一(t), z:(t)一面(t),当t一?时.其中z.(t),(t)分别 是 ,l(t)=一dz1(t),t?nT,n?N {1(t)=zl(t)+u,t=nT,凡?N l(0)=3(0) 与 ,之(t)=2(t)(一d+A1),t?nT,凡?N {z2(t)=z2(t)+",t=nT,n?N 2(0)=3(0) 的唯一正的周期解.对t?(nT,(n+1)T],有 ():,n<?(n+1)r.因此对2…,n<?(n+.此刈 任意s2>0,存在n3>n2,当t>n3T时,都有 (t)一2<3(t)<三2(t)+82,当占l一0且充分 大的t,可得:面3(t)一2<3(t)<元3(t)+2,这 意味着当t一?时,,(t)一面,(t).证毕. 定理1说明,投放害虫的天敌过多,会使害虫 趋向灭绝,这不利于生态平衡,破坏生物资源的可 持续发展.下面我们说明益虫和害虫持续共存的充 分条件. 3永久持续生存性 定义1如果存在常数m,M>0,与有限的时 间,当t?时使得系统(3)所有的解(.(t), 2(t),3(,)),有m?1(t)?M/A,m?2(t)? M/A,m?(t)?M,那么称系统(3)是永久的. 定理2如果 <(1_e(枷,-a)r)(13)"<—__一卜,L 成立,则系统(3)是持续生存的.其中m2= [d+?ln(1一卢ue/(re一一E一如))】. 证明设((t),,(t))是系统(4)满足初 始条件(5)的任意正解.系统(4)第一个方程 可以改写为 2(t)=[Fe—dI一3(t)一一E—d3x2(t)]2(,)一 A r %2(0)d0(14) 定义V(t)=2(t)+Fe—d】J2(0)dO 由(14)并计算V(t)的上右导数 I7(,)= [re—d1一e-dI~X3(t)一d2一E—d3x2(t)]2(,)(15) 由引理1得: (t)>[re一一卢e-dlrX3(t)一d2一E—d3]2(t) (16) 由(13)式可得,存在充分小的8>0,使得 1(rel幽r— dz—E—d3g)e如>一 (17) 我们将说明对任意常数t.>0当t?t.时, (t)?m2不能恒成立.否则,存在常数t0>0, 使当f?t.时,(t)?m2恒成立.由系统(4) 的第二个方程得,(t)<(t)(A卢m一d).对所 有的t?t.,考虑比较方程 』.=()(Am2一d),?nT(18) L(n)=(nr)+",t=nT 由引理3我们得到:(t)=e'枷'',nT<t ?(凡+1)T是方程(18)的唯一的全局渐近稳定 的周期解,其中=u/(1一exp{(Am— d)T}).再由脉冲微分方程的比较定理,则存在 t1(>,0+7),当,?,l时,使得不等式3(,)? (t)+成立.那末当t?t时有 (t)?+(19) 为了方便,记P=+.于是得到当t?tl时, t)>[re一-dj一d2一E—d3]2()(2o) 令:min(t),我们将证明当t?tl时, 第3期程惠东:脉冲投放益虫化学控制害虫的害虫管理模型 :(t)?.若不然,存在正常数,使得当t? [t1,t1++]时,2(t)?戈2m,2(t1++): 以及(t.++)<0.由系统(4)的第二个 方程和(19)式得: 2(T1+7-+)=le-dlrx2(t1+To)一 卢e-dlr2(t1+丁+To)3(l+丁+To), (d2+E)x2(t1+r+)一d3x(t1+7+To)? [(r一届p)e一一d2一E—d3Mix2>0 这导致了矛盾.因此当t?t时,(t)?m成立. 由(20)式得: l:,(t)>[/'e—d1一e-dIp一一—d3Mix;>0 这意味着limV(t)=?,由引理1可推知:V()? (+t)矛盾.断言证明完毕.i-1re A 一 方面如果(t)?m2,对所有足够大时,成 立,则我们的目的达到了. 一 方面如果(t)关于m2振荡,令m= min{了m2,m2e(/3Me-d1r+d2+d3M/A+E)r}.将证明2(f)? m:.设存在两个正常数.,h使:(0)=(0+h): m2和2(f)<m2,口<t<r上+h,成立. 当口足够大时,不等式()>P,t?(.,a+ h)时成立.因为:(z)连续有界且不受脉冲的影 响,可推知.(t)是一致连续,因此存在常数t, (这里0<t,<r,且t不依赖于n的选择),使得 2(t)?m2/2对n<t<口+3成立.如果h?t3, 结论成立.如果t<h?r,由系统(4)的第二个 方程,x2(t)?一(e一+d2+d3M/A+E)2(t), t?(0,?+h),从而因为2(0)=in2,对于0<t <0+h?0+,有2(t)?m2e-(13Me-dlr+d2+d3, 显然,对?<t<0+h,有2(t)?m2.如果h? r,则对于0<t?口+J『,有2(t)?m2.类似的继 续讨论,得到2(t)?m2对于0+?t<n+h成 立.因为[0,?+h]是任意选择的(只需0足够 大),可得当t足够大时,:(t)?m成立. 由系统(3)的第一个方程与定理2可得 I(t)?r2,re-dieM~a—d.I(t),其中为引理 1中所定义.类似于以上的讨论,得到lira.(t)? ,其中z=r(A,一e-dlT"M)/(Ad)一.由系统 (3)的第三个方程可知:毛()?(A卢e-dlrm一 d)3(t),易得lirn3(t)?,其中6= ue-dlrm2-d)T/(1一e'-dlrm2-d)T)一.通过以上讨论 可知:系统(3)是持久的,证毕. 从定理2可以看出,合理的投放害虫的天敌, 能够使害虫与益虫持续生存.这一结果能很好的解 释一些害虫治理问题.害虫灭绝周期解全局吸引和 系统持久的充分条件,说明当释放天敌的量不同, 会出现害虫灭绝和害虫和益虫相互依存的持久发 展.同时也发现了一些有趣的问题,如怎样优化天 敌的释放量?释放天敌的最优周期是多少等,是我 们下一步研究的问题. 参考文献: [1]AIELLOWG,FREEDMANHI.Atime—delaymodelof single?speciesgrowthwithstagestructure[J].MathBio? sci,1990,101:139—153. 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