初中数学竞赛代数基础(有理数、方程、不等式、根式、最值问题).doc

初中数学竞赛代数基础(有理数、方程、不等式、根式、最值问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ).doc 第一讲 有理数的巧算 例4 计算: 例1 计算 3001×2999的值( 例2计算: 例5 计算: 2481632 例3计算:(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)( 例6 计算1+3+5+7+„+1997+1999的值( 第二讲 绝对值 一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的 绝对值是它的相反数;零的绝对值是零( 即 例1:设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简,b-a, +,a+c,+,c-b,( 2399100 例7 计算 1+5+5+5+„+5+5的值( 例2 已知x,-3，化简:,3+,2-,1+x,,,( 例8 计算: 例3: 若,x,=3，,y,=2，且,x-y,=y-x，求x+y的值( 第二讲 绝对值 例7设a,b,c,d，求,x-a,+,x-b,+,x-c,+,x-d,的最小值( 例:4若a，b，c为整数，且,a-b,+,c-a,=1， 试计算,c-a,+,a-b,+,b-c,的值( 例5 化简:,3x+1,+,2x-1,( 例8 若2x+,4-5x,+,1-3x,+4的值恒为常数，求x该满足的条件及 此常数的值( 例6 已知y=,2x+6,+,x-1,-4,x+1,，求y的最大值( 第三讲 求代数式的值 下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧( 33例1 已知a-b=-1，求a+3ab-b的值( 解法1 解法2 例6 若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少, 2 例7已知x=y=11，求(xy-1)+(x+y-2)(x+y-2xy)的值( 例4 解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0( 第四讲 一元一次方程 一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定: (2)若a=0，且b=0，方程变为0?x=0，则方程有无数多个解; (3)若a=0，且b?0，方程变为0?x=b，则方程无解( 例1已知下面两个方程3(x+2)=5x，? 4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ? 22 例5 已知(m-1)x-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式有相同的解，试求a的值( 199(m+x)(x-2m)+m的值( 例3 已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程 例6 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值( 2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解( 22 例7 k为何正数时，方程kx-k=2kx-5k的解是正数, 例10 设n为自然数，[x] 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示不超过x的最大整数，解方程: 例8 若abc=1，解方程 例11已知关于x的方程 且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值( 例9 若a，b，c是正数，解方程 第五讲 方程组的解法 解方程组的基本思想是消元，主要的消元 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 有代入消元和加减消例3已知 元两种，下面结合例题予以介绍( 例1 解方程组 例4 已知关于x，y的方程组 分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解;(2)无解;(3) 例2 解方程组 有无穷多组解( 例5 已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0， 第六讲 一次不等式(不等式组)的解法 当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试1(区间概念 求出这个公共解( 在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集(如果设a，b为实 数，且a,b，那么 (1)满足不等式a,x,b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)(如 图1,4(a)( (2)满足不等式a?x?b的数x 的全体叫作一个闭区间，记 作[a，b](如图1,4(b)( 例6甲、乙两人解方程组 (3)满足不等式a,x?b(或a?x,b)的x的全 体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))(如图 (c)，(d)( 2(一次不等式的一般解法 下面仅讨论一种形式( 一元一次不等式ax,b( 原方程的解( (3)当a=0时， 用区间表示为(-?，+?)( 例1 解不等式 例2 求不等式 的正整数解( 例7 已知a，b为实数，若不等式 (2a-b)x+3a-4b,0 例3 解不等式 例8 解不等式组 例4 已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y,x+9，试比较 例6 解关于x的不等式: 第七讲 含绝对值的方程及不等式 例3 若关于x的方程,,x-2,-1,=a有三个整数解(则a的值是多 少, 含绝对值的不等式的性质: (2),a,-,b,?,a+b,?,a,+,b,; (3),a,-,b,?,a-b,?,a,+,b,( 含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法(在进行分类 讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏(下面结合例题予以例4 已知方程,x,=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围( 分析( 例1 解方程,x-2,+,2x+1,=7( 例5 解方程组 例2 求方程,x-,2x+1,,=3的不同的解的个数( 例6 解不等式,x-5,-,2x+3,,1( 例2 若 试比较A，B的大小( 例3 若正数a，b，c满足不等式组 例7 解不等式1?,3x-5,?2( 试确定a，b，c的大小关系( 例4 当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx 分别有 (1)正数解;(2)负数解;(3)不大于1的解( 第八讲 不等式的应用 2 例1 已知x,0，-1,y,0，将x，xy，xy按由小到大的顺序排列( 第九讲 整式的乘法与除法 例4 计算 (1)(a-b+c-d)(c-a-d-b); 4224-8xy+16y)( (2)(x+2y)(x-2y)(x 本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法( 2222 常用的乘法公式:(1)(a+b)(a+b)=a-b; (2)(a?b)=a2?2ab+b; 33223 (4)(d?b)=a?3ab+3ab?b; 2222 (5)(a+b+c)=a+b+c+2ab+2bc+2ca( 322 例1 求[x-(x-1)](x-1)展开后，x项的系数 ( 222 例5 设x，y，z为实数，且(y-z)+(x-y)+(z-x) 222 =(y+z-2x)+(x+z-2y)+(x+y-2z)， 22 (x-2)(x-2x+4)-x(x+3)(x-3)+(2x-1)( 422 例6 试确定a和b，使x+ax-bx+2能被x+3x+2整除( n-123 例3 化简(1+x)[1-x+x-x+„+(-x)]，其中n为大于1的整数( 第十讲 二元一次不定方程的解法 例1 求11x+15y=7的整数解( 我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说， 它的解往往是不确定的，像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方 程组( 例 求不定方程x-y=2的正整数解( 例2 求方程6x+22y=90的非负整数解( 定理 如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ? 有一组整数解x，y则此方程的一切整数解可以表示为 00 其中t=0，?1，?2，?3，„( 证明: 例3 某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货 款，有多少种不同的方法, 第十一讲 加法原理与乘法原理 例2 求五位数中至少出现一个6，而被3整除的数的个数( 加法原理和乘法原理是计数研究中最基本的两个原理( 加法原理 完成一件工作有n种方式，用第1种方式完成有m种方 1 法，用第2种方式完成有m种方法，„，用第n种方式完成有m种方法， 2n 那么，完成这件工作总共有m+m+„+m种方法( 12n 例如，从A城到B城有三种交通工具:火车、汽车、飞机(坐火车 每天有2个班次;坐汽车每天有3个班次;乘飞机每天只有1个班次， 那么，从A城到B城的方法共有2+3+1=6种( 乘法原理 完成一件工作共需n个步骤:完成第1个步骤有m种方 1 法，完成第2个步骤有m种方法，„，完成第n个步骤有m种方法，那 2n 么，完成这一件工作共有m?m?„?m种方法( 12n 例如，从A城到B城中间必须经过C城，从A城到C城共有3条路 线(设为a，b，c)，从C城到B城共有2条路线(设为m，t)，那么，从 A城到B城共有3×2=6条路线，它们是:am，at，bm，bt，cm，ct( 例3 如图1,63，A，B，C，D，E五个区域分别用红、蓝、黄、白、绿 五种颜色中的某一种着色(如果使相邻的区域着不同的颜色，问有例1 利用数字1，2，3，4，5共可组成 多少种不同的着色方式, (1)多少个数字不重复的三位数, (2)多少个数字不重复的三位偶数, (3)多少个数字不重复的偶数, 第十二讲因式分解方法 (四)二次项系数不为1的齐次多项式 2222一、提公因式法. 二、运用公式法. 三、分组分解法. 15x，7xy,4yax,6ax，8 (2) 分解因式:(1) (一)分组后能直接提公因式 2ax,10ay，5by,bxam，an，bm，bn例1、分解因式: 例2、 五、主元法. 22 x,3xy,10y，x，9y,2 例6、分解因式: 5 -2 解法一:以为主元 2 -1 x 22 x,x(3y,1),(10y,9y，2)解:原式= (-5)+(-4)= -9 2x,x(3y,1),(5y,2)(2y,1) = 1 -(5y-2) (二)分组后能直接运用公式 [x,(5y,2)][x，(2y,1)] = 1 (2y-1) 22222x,y，ax，aya,2ab，b,c 例3、分解因式: 例4、 (x,5y，2)(x，2y,1) = -(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1) 2222x,y，4x，6y,5x，xy,2y,x，7y,6分解因式(1) (2) 四、十字相乘法. 2222Ax，Bxy，Cy，Dx，Ey，F六、双十字相乘法:双十字相乘法用于对 3x,11x，105x，7x,6例5、分解因式: 练习(1) 型多项式的分解因式。 分析: 1 -2 22x,3xy,10y，x，9y,2例7、分解因式 3 -5 22 (-6)+(-5)= -11 x,3xy,10y，x，9y,2 解: 2(x,2)(3x,5)3x,11x，10解:= 2,5y应用双十字相乘法: x 2210x,17x，3,6y，11y，10 (2) (3) ,12y x 2xy,5xy,,3xy5y，4y,9y,x，2x,x，， (x,5y，2)(x，2y,1)?原式= (三)二次项系数为1的齐次多项式 分解因式 222222222x,3xy，2ym,6mn，8n分解因式(1) (2) x，xy,2y,x，7y,66x,7xy,3y,xz，7yz,2z(1) (2) 34224七、换元法分解因式 x,9x，8(x，1)，(x,1)，(x,1) (2) 分解因式(1) 2222005x,(2005,1)x,2005(x，1)(x，2)(x，3)(x，6)，x(1) (2) 解: 九、待定系数法。 22 x，xy,6y，x，13y,6例10、分解因式 432222x,x,6x,x，2例8、分解因式 (x，3y)(x,2y)x，xy,6y分析:原式的前3项可以分为，则原多项 观察:此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依x(x，3y，m)(x,2y，n)式必定可分为 次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。 22(x，3y，m)(x,2y，n)x，xy,6y，x，13y,6解:设= 方法:提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。 22(x，3y，m)(x,2y，n)x，xy,6y，(m，n)x，(3n,2m)y,mn?= 111122222222xx,x,,，解:原式== (26)x,2(x，),(x，),6,x，xy,6y，x，13y,6x，xy,6y，(m，n)x，(3n,2m)y,mn?= 22xxxx m，n,1,1122设，则 x，,tx，,t,2m,,2,,2对比左右两边相同项的系数可得3n,2m,13，解得 xx,,n,32222,,,x(2t,2),t,6,x，，2t,t,10?原式== mn,,6, 21,,,,22(x，3y,2)(x,2y，3)?原式= ，，，，x2t,5t，2xxx == 2，,5，，2,,,,22xx,,,,x,3xy,10y，x，9y,2分解因式 21,,,,22 ，，，，2x,5x，2x，2x，1 == x?2x，,5?x?x，，2,,,,xx,,,, 2(x，1)(2x,1)(x,2) = 432十、慎用特殊技巧 x,4x，x，4x，1分解因式: 单个未知数的式子，若令x=-1、1、-2、2、-3、3尝试带入式子为 零，则(x+1)、(x-1)、 (x+2)、(x-2)、(x+3)、(x-3)就是因式一项; 222若令x=-1、1、-2、2、-3、3尝试带入式子为零，则(x+1)、(x-1)、 2222(x+2)、(x-2)、(x+3)、(x-3)就是因式一项，其余因未知数降低次 数，变得好解。 八、添项、拆项、配方法。 3423232x,9x，8x，x,2x,3x，4(1) (2) (3) x,3x，4例9、分解因式(1) 解法1——拆项。 解法2——添项。 第十三讲 分式的化简与求值 第十四讲 恒等式的证明 例1 求分式 两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都 相等，则称这两个代数式恒等( 当a=2时的值( 1(由繁到简和相向趋进 分析与解 可将分式分步通分，每一步只通分左边两项( 例1 已知x+y+z=xyz， 222222证明:x(1-y)(1-z)+y(1-x)(1-z)+z(1-x)(1-y)=4xyz( 例2 若abc=1，求 2(比较法 a=b(比商法)(这也是证明恒等式的重要思路之一( 例2 求证: 例3 化简分式: 3(分析法与综合法 例6 例3 题6 4444 例4已知a+b+c+d=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证:a=b=c=d( 例7 设x，y，z为互不相等的非零实数，且 222 求证:xyz=1( 4(其他证明方法与技巧 例5 求证:8a+9b+5c=0( 第十五讲 根式及其运算 设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅 解法1 配方法( 解法2 待定系数法( 当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根 式，则这两个代数式互为有理化因式( 例1 化简: 例4 化简: 例2 化简: 例5 例6 求 第十六讲 ， 例7 例8