刚体力学小结

一个质量为m的质点沿着一条由 定义的空间曲线运动，其中a,b及ω皆为常数，求此质点所受的对原点的力矩. 解： ，通过原点 长 、质量 的匀质木棒，可绕水平轴O在竖直平面内转动，开始时棒自然竖直悬垂，现有质量 的子弹以 的速率从A点射入棒中，A点与O点的距离为 ，如图所示。求：⑴ 棒开始运动时的角速度；⑵ 棒的最大偏转角。 解：⑴ 由角动量守恒定律： ，得： ⑵ 由机械能守恒定律： 得： ， 0241  一轴承光滑的定滑轮，质量为M＝2.00 kg，半径为R＝0.100 m，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m＝5.00 kg的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为 ，其初角速度ω0＝10.0 rad/s，方向垂直纸面向里．求：(1) 定滑轮的角加速度的大小和方向；(2) 定滑轮的角速度变化到ω＝0时，物体上升的高度；(3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向． 0562  质量m＝1.1 kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量J＝ (r为盘的半径)．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m1＝1.0 kg的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0＝0.6 m/s匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动． 0155  如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M、半径为R，其转动惯量为 ，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系．  0157  一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示．轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上．当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S．试求整个轮轴的转动惯量(用m、r、t和S表示)． 提示：各物体受力如上图， ， ，   又由   得 由此四式得： 0156  如图所示，转轮A、B可分别独立地绕光滑的固定轴O转动，它们的质量分别为mA＝10 kg和mB＝20 kg，半径分别为rA和rB．现用力fA和fB分别向下拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动．为使A、B轮边缘处的切向加速度相同，相应的拉力fA、fB之比应为多少？(其中A、B轮绕O轴转动时的转动惯量分别为 和 ) 0780   两个匀质圆盘，一大一小，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮．小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径 =2r，质量 =2m．组合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴O转动，对O轴的转动惯量J=9mr2 / 2．两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和B，如图所示．这一系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动，绳的长度不变．已知r = 10 cm．求：(1) 组合轮的角加速度β?；(2) 当物体A上升h＝40 cm时，组合轮的角速度ω?． 0780解：⑴ 各物体受力如图。 ， ， 由上述方程组解得： ⑵ 设 为组合轮转过的角度，则： ， 所以：   0564  如图所示，设两重物的质量分别为m1和m2，且m1>m2，定滑轮的半径为r，对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计．设开始时系统静止，试求t时刻滑轮的角速度． 0563 一轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的半径为R,质量为M / 4，均匀分布在其边缘上．绳子的A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为 M的重物，如图．设人从静止开始相对于绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？(已知滑轮对通过滑轮中心且垂直于轮面的轴的转动惯量J＝MR2 / 4 ) 0563解：受力分析如图所示。由题意可知，人和重物的加速度在大小相等，设为a。人的加速度向下，重物的速度向上。根据牛顿定律： 对人：             ① 对重物：       ② 根据转动定律，对滑轮有 ③ 绳与滑轮无相对滑动：       ④ ①、②、③、④四式联立解得： 0560  一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m和2m的重物，如图所示．绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑．两个定滑轮的转动惯量均为 ．将由两个定滑轮以及质量为m和2m的重物组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力． 6-13．两个大小不同、具有水平光滑轴的定滑轮，顶点在同一水平线上．小滑轮的质量为m，半径为r，对轴的转动惯量J＝ ．大滑轮的质量m＝2m，半径r＝2r，对轴的转动惯量 ．一根不可伸长的轻质细绳跨过这两个定滑轮，绳的两端分别挂着物体A和B，A的质量为m，B的质量 ＝2m．这一系统由静止开始转动．已知m＝6.0 kg，r＝5.0 cm．求两滑轮的角加速度和它们之间绳中的张力． 提示：各物体受力如右图所示。图中 ， ， ， 则各物体动力学方程为： 又 ，并且已知： ， ， ，及 ，解得： ， 0560  一轻绳跨过两个质量分别为M1、M2，半径分别为R1、R2的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m1和m2的重物(m1>m2)，如图所示．绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑．将由两个定滑轮以及质量为m1和m2的重物组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力． 0779  质量为M1=24 kg的圆轮，可绕水平光滑固定轴转动，一轻绳缠绕于轮上，另一端通过质量为M2=5kg的圆盘形定滑轮悬有m＝10kg的物体．求当重物由静止开始下降了h=0.5 m时，(1) 物体的速度；(2) 绳中张力．(设绳与定滑轮间无相对滑动，圆轮、定滑轮绕通过轮心且垂直于横截面的水平光滑轴的转动惯量分别为 ， ) 0231  在半径为R的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在距转轴为R/2处，人的质量是圆盘质量的1/10．开始时盘载人对地以角速度ω0匀速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v沿与盘转动相反方向作圆周运动，如图所示．已知圆盘对中心轴的转动惯量为 ．求：(1) 圆盘对地的角速度．(2) 欲使圆盘对地静止，人应沿着R/2圆周对圆盘的速度 的大小及方向？ 0785  如图所示，一半径为R，质量为m的水平圆台，正以角速度ω0绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量 ．台上原站有2人，质量各等于转台质量的一半，一人站于台边A处，另一人站于距台中心R/2的B处．今A处的人相对于圆台以速率v顺着圆台转向沿圆周走动，同时B处的人相对于圆台以速率2v逆圆台转向沿圆周走动．求圆台这时的角速度ω． 0786  一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：(1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度．(2) 经过多少时间后，圆盘停止转动．(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为 ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩) (圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为MR2/2，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩) 0786解：⑴  ，解得： ⑵  ⑶ ，解得： ，∴ 另有一题： 有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为μ的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动．另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短．已知小滑块在碰撞前后的速度分别为 和 ．求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间.(已知棒绕O点的转动惯量J=m1l2/3) 0112  质量为M的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，转动惯量为 ．绕过盘的边缘挂有质量为m，长为l的匀质柔软绳索（如图）．设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长之差为S时，绳的加速度的大小． 0112解：选坐标如图所示，任一时刻圆盘两侧的绳长分别为x1、x2 选长度为x1、x2的两段绳和绕着绳的盘为研究对象．设a为绳的加速度，β为盘的角加速度，r为盘的半径，为绳的线密度，且在1、2两点处绳中的张力分别为T1、T2，则 ， ①  2分  x2       ②  1分 ③  1分 ④  4分 解上述方程，并由l=r＋x1＋x2，x2－x1=S得： 2分  2.有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量 ，其中m为圆形平板的质量）  解：在r处的宽为dr的环带面积上摩擦力矩为：   3分 总摩擦力矩：   1分 故平板角加速度：β =M /J            1分 设停止前转数为n，则转角： = 2n 由           2分 可得：   1分