最佳广告费用及其效应
摘要
在这个竞争日益激烈的社会里，追求利润最大化就成了各个企业发展的首要目标。因而如何才能让利润最大化就一直困扰着企业的经理们。本文通过建立数学模型对广告的投入费用分析来使企业获得最大利润。首先通过对市场的调查得到售价与预期销售量、广告费与销售增长因子的数据
表
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。然后用matlab中的polyfit函数对所得的数据进行多项式拟合得到售价与预期销售量、广告费与销售增长因子的关系式。从而将利益最大化问题转化为一个数学上的二元函数的极值问题，进而用matlab中的fminsearch命令求得该二元函数的极值条件及极值，即是利润最大化的条件及最大利润。在本模型中，利润上考虑了固定成本以及税收的问题，从而使模型更加符合现实。
关键词
利润最大化 多项式拟合 最优化 广告费 售价 税收
一、问题重述
某装饰材料公司以每桶2元的价钱购进一批彩漆，为了尽快收回资金并获得较多的赢利，公司经理打算做广告提高利润。
已知售价与预期销售量的关系如表1、广告费与销售增长因子的关系如表2，
求当最佳广告费和售价为多少时预期的利润最大。
表1 售价与预期销售量
售价/元
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
预期销售量/万桶
41
38
34
32
29
28
25
22
20
表 2 广告费与销售增长因子
广告费/万元
0
1
2
3
4
5
6
7
销售增长因子
1．0
1．4
1．7
1．85
1．95
2．0
1．95
1．8
二
二、问题分析
通过对问题的分析可以知道：
利润=（售价—进价）×预期代入式销售量×销售增长因子—广告费—额外费用
因此，可以用matlab中的polyfit函数对预期销售量与售价、销售增长因子与广告费的数据进行多项式拟合。从而得到预期销售量与售价、销售增长因子与广告费的关系式。
再把上述所得的关系式代入利润表达式中，就可以把原问题转化成一个二元的优化问题。最终用matlab求得函数的极大值，对应的售价与广告费即为所求。
三、模型假设
1、假设影响市场需求的因素除价格外，其它都不变；
2、假设影响销售增长因子的因素除广告费外，其它都不变；
3、假设预期销售量与售价、与广告费的关系是连续的；
4、假设其他费用，即除进价费用、税收及广告费之外的费用，是固定的。
四、符号说明
G: 预期的利润/万元
P0: 进价/元
P: 售价/元
Q: 预期销售量/万桶
X: 销售增长因子
A: 广告费/万元
M: 其他费用（除进价费用、税收及广告费）/万元
S: 税收/万元
五、模型建立
1、预期销售量Q与售价P的关系求解
通过matlab的ployfit函数对题中所给的数据进行多项式拟合（拟合时取n=1）得到
① （P:售价/元 Q:预期销售量/万桶）
再用polyval函数将拟合的曲线与所给的数据进行比较，
可发现拟合得比较好。
2、销售增长因子X与广告费A的关系求解
通过matlab的ployfit函数对题中所给的数据进行多项式拟合（拟合时取n=2）得到
② （X:销售增长因子 A:广告费/万元）
再用polyval函数将拟合的曲线与所给的数据进行比较，
可发现拟合得相当好。
3、利润G的表达式
利润=（售价—进价）×预期销售量×销售增长因子—广告费—额外费用，
即：
代入式①②，且查数据可知企业所得税税率为33﹪，故可得
其中
六、模型求解
根据上述的模型建立,
原问题就转化成求上述二元函数的的极大值问题，即优化问题,
因M是固定值，对结果没有影响，故先不考虑
且目标函数及优化条件为
max G,
s.t.
,
,
,
,
,
用matlab画出该目标函数的图像
可知其存在有极大值，
故再用matlab中的fminsearch函数求出-G的最小值，即可得G最大值，即可求得
当P=5.9113元 ；A=4.6433万元时，G取得最大值为102.1337万元。
即当售价为5.9113元、广告费用为4.6433万元时，预期的利润最大为102.1337万元。
七、模型的评价与推广
1、模型的评价
优点：考虑了固定成本；充分地考虑了税收问题;多项式拟合拟合得相当好;能比较客观的反映如何实现利润最大化。
缺点：未充分考虑固定成本的可变性；未考虑市场需求的影响；单一的将影响预期销售量的因素限定在售价；单一的将影响销售增长因子的因素限定在广告费。
2、模型的推广及改进
推广：可平行推广到其它企业的类似问题上。
改进：考虑成本的可变性，查阅相关资料了解成本变化与销售量的关系，从而得到更真实的模型。
八、参考文献
1.周义仓.数学建模实验.西安：西安交通大学出版社，2007.
2.保罗.萨缪尔森，威廉.诺德豪斯著，箫琛译.经济学.北京：人民邮电出版社，2008.
九、附件
1、预期销售量Q与售价P的关系求解中的程序
多项式拟合程序及运行结果
>> P=[2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6];
>> Q=[41,38,34,32,29,28,25,22,20];
>> n=1;
>> p=polyfit(P,Q,n)
p =
-5.1333 50.4222
polyval函数将拟合的曲线与所给的数据进行比较的程序
>> xi=linspace(2,6,100);
>> z=polyval(p,xi);
>> plot(P,Q,'o',P,Q,xi,z,'.')
2、销售增长因子X与广告费A的关系求解程序
多项式拟合程序及运行结果
>> A=[0,1,2,3,4,5,6,7];
>> X=[1.0,1.4,1.7,1.85,1.95,2.0,1.95,1.8];
>> n=2;
>> p=polyfit(A,X,n)
p =
-0.0426 0.4092 1.0187
polyval函数将拟合的曲线与所给的数据进行比较的程序
>> xi=linspace(0,7,100);
>> z=polyval(p,xi);
>> plot(A,X,'o',A,X,xi,z,'.')
可见拟合得还是比较好。
3、最优化的程序
用matlab画出该二元函数的图像的程序
>> [P,A]=meshgrid([2:0.01:6,0:0.01:7]);
>> G=((P-2).*( -5.1333*P+50.4222).*( -0.0426*A.^2+0.4092*A+1.0187)-A)*(1-0.33);
>> mesh(P,A,G)
用matlab中的fminseaarch函数求出-G的最小值
>> f=inline('-(1-0.33)*((x(1)-2)*( -5.1333*x(1)+50.4222)*( -0.0426*x(2)^2+ 0.4092*x(2)+1.0187)-x(2))');
>> [x,fval]=fminsearch(f,[3,3])
x =
5.9113 4.6533
fval =
-102.1337
浙公网安备 33021202002483