==y x y x 那么
如果.52.2n p q m A =.q n m p B =.p n m q C =.q p n m D =.比例的合比性质:如果d c
b a =,那么d d
c b b a ±=±; 比例的等比性质: 如果
d c b a ==…=n
m (b +d +…+n ≠0),那么b a n d b m c a =++++++ 【基础练习2】
1、把mn=pq 写成比例式写错的是( )
3若3=y x ,求y
y x +的值。(你会的
方法
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7、若753z y x ==,则z y x z y x -++-=________.
8、若65432+==+c b a ,且2a -b+3c=21. 则a ∶b ∶c.=
9、若f e d c b a ===2,则=++++f d b e c a __________;=+-+-f
d b
e c a 22______________ 10、若
z y x y z x x z y +=+=+,求z y x +的值。 平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理
如下图,如果1l ∥2l ∥3l ,则BC EF AC DF =,AB DE AC DF =,AB AC DE DF
=. l 3l 2l 1F E D C B
A A
B
C
D
E E D C B A
2. 平行线分线段成比例定理的推论:如图,在三角形中,如果DE BC ∥,则
AD AE DE AB AC BC == _______,344=+=b b a b a 、则已知______;,9175==+y x y y x 、则若____,3,216=++=++===f d b e c a f e d c b a 、则且已知d kd c b kb a ±=±d
c c b a a ±=±
3. 平行的判定定理:如上图,如果有
BC
DE
AC AE AB AD ==,那么DE ∥ BC 。
【例1】 如图,DE BC ∥,且DB AE =,若510AB AC ==,,求AE 的长。
E
D
C
B
A
【例2】 如图,已知////AB EF CD ,若AB a =,CD b =,EF c =,求证:1
11c a b
=+.
【巩固】如图,AB BD ⊥,CD BD ⊥,垂足分别为B 、D ,AC 和
BD 相交于点E ,EF BD ⊥,垂足为F .证明:
111
AB CD EF
+=
. F
E D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例3】 (2012年北师大附中期末
试题
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)
(1)如图(1),在ABC ?中,M 是AC 的中点,E 是AB 上一点,且14
AE AB =, 连接EM 并延长,交BC 的延长线于D ,则
BC
CD
=_______. (2)如图(2),已知ABC ?中,:1:3AE EB =,:2:1BD DC =,AD 与CE 相交于F ,则EF AF
FC FD
+ 的值为( )A.5
2 B.1 C.32
D.2
(1)
M
E
D
C
B
A
(2)
F
E
D C
B
A
【例4】 (2011年河北省中
考试题
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)如图,在ABC ?中,D 为BC 边的中点,E 为 AC 边上的任意一点,BE 交AD 于点O .
(1)当1A 2AE C =时,求
AO
AD
的值;
(2)当
11A 34AE C =、时,求
AO
AD
的值; (3)试猜想1A 1AE C n =
+时AO
AD
的值,并证明你的猜想.
E D C
B
A
O
【例5】 (2013年湖北恩施中考题)如图,AD 是ABC ?的中线,点E 在AD 上,F 是BE 延长线与AC 的交点.(1)如果E 是AD 的中点,求证:1
2
AF FC =; (2)由(1)知,当E 是AD 中点时,
12AF AE
FC ED
=?
成立,若E 是AD 上任意一点(E 与A 、D 不重合),上述结论是否仍然成立,若成立请写出证明,若不成立,请说明理由.
F E D
C
B
A
【巩固】(天津市竞赛题)如图,已知ABC ?中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上的一点,且BE AC =,
延长BE 交AC 于F 。求证:AF EF =。
F
E
D
C
B
A
【例6】 (宁德市中考题)如图,ABC ?中,D 为BC 边的中点,延长AD 至E , 延长AB 交CE 的延长线于P 。若2AD DE =,求证:3AP AB =。
P
E
D
C
B
A
专题三、利用平行线转化比例 【例7】 如图,在四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,直线l 平行于BD ,且 与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P . 求证:PM PN PR PS ?=?
l
S
R P
N
M
O D
C B
A
【巩固】已知,如图,四边形ABCD ,两组对边延长后交于E 、F ,对角线BD EF ∥, AC 的延长线交EF 于G .求证:EG GF =.
G F
E
C
D
B
A
【例8】 已知:P 为ABC ?的中位线MN 上任意一点,BP 、CP 的延长线分别交对 边AC 、AB 于D 、E ,求证:
1AD AE
DC EB
+= P
N
M
E D C
B
A
【例9】 在ABC ?中,底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分,BM 是AC 上的中 线,AE 、AF 分别交BM 于G 、H 两点,求证:::5:3:2BG GH HM =
M
H G F
E
C
B
A
【例10】 如图,M 、N 为ABC ?边BC 上的两点,且满足BM MN NC ==,一条 平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F . 求证:3EF DE =.
F N
M
E
D C
B
A
【例11】 已知:如图,在梯形ABCD 中,//AB CD ,M 是AB 的中点,分别连 接AC 、BD 、MD 、MC ,且AC 与MD 交于点E ,DB 与MC 交于F . (1)求证://EF CD
(2)若AB a =,CD b =,求EF 的长.
F
E
M
D
C
B
A
【巩固】(山东省初中
数学
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竞赛题)如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,
396AD BC AB ===,,,4CD =,若EF BC ∥,且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相
等,求EF 的长。
F E D
C
B
A
【例12】 (山东省竞赛题)如图,ABCD 的对角线相交于点O ,在AB 的延 长线上任取一点E ,连接OE 交BC 于点F ,若AB a AD c BE b ===,,,求BF 的值。
浙公网安备 33021202002483