第四节函数展开成幂级数

第四节函数展开成幂级数第四节函数展开成幂级数第四节函数展开成幂级数一、泰勒级数 x,x1、定义——如果函数在在的的某一邻域内有任意阶导数，则称级数f(x)f(x)0 ()n,,f(x)f(x)2n00,f(x)，f(x)(x,x)，(x,x)，？，(x,x)，？为函数000002!n! x,x在的泰勒级数。 f(x)0 (n),,f(0)f(0)n2,x,0f(0)，f(0)x，x，？，x，？当时，上式为，称为函数f(x)02!n! 的马克劳林级数。 x,x2、定理(收敛的充要条件)——如果函数在在的的某一邻域内有任意...

第四节函数展开成幂级数第四节函数展开成幂级数一、泰勒级数 x,x1、定义——如果函数在在的的某一邻域内有任意阶导数，则称级数f(x)f(x)0 ()n,,f(x)f(x)2n00,f(x)，f(x)(x,x)，(x,x)，？，(x,x)，？为函数000002!n! x,x在的泰勒级数。 f(x)0 (n),,f(0)f(0)n2,x,0f(0)，f(0)x，x，？，x，？当时，上式为，称为函数f(x)02!n! 的马克劳林级数。 x,x2、定理(收敛的充要条件)——如果函数在在的的某一邻域内有任意阶f(x)f(x)0 导数，则的泰勒级数收敛于的充要条件是:当时，余项f(x)f(x)n,, (n，1),f()n，1R(x),(x,x)R(x),f(x),P(x),0，即，且，limR(x),0n0nnn,,n(n，1)! ,在x与x之间。 0 二、函数展开成幂级数 1、直接展开法—— 步骤 : ?求出f(x)的各阶导数; x,x?求出各阶导数在处的值; 0 ()n,,f(x)f(x)2n00,f(x)，f(x)(x,x)，(x,x)，？，(x,x)，？?写出幂级数，000002!n!并求出它的收敛半径; (x,R，x，R)R(x)?讨论在收敛区间内，余项的极限是否为零。 00n 一些特例: 2nxxxx1，，，？，，？=，收敛域为(,,，，,); en2!! 352n，1xxxnx,，，？，(,1)，？x,(,,，，,)=，; sinx3!5!(2n1)!， m(m,1)m(m,1)？(m,n，1)m2n(1，x),，。 x,(,1，，1)1，mx，x，？，x，？2!n! 2、间接展开法:利用一些已知函数的展开式及幂级数的运算性质，将所给函数展开成幂级数。

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