SH积分的收敛定理和Riesz型定义

SH积分的收敛定理和Riesz型定义 SH积分的收敛定理和Riesz型定义 第16卷第4期 2004年12月 甘肃科学 Journa1ofGansuSciences Vo1.16No.4 Dec.2004 SH积分的收敛定理和Riesz型定义 武斌,叶国菊 (西北师范大学 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 与信息科学学院,甘肃兰州730070) 摘要:Banach值函数在Henstock强变分意义下的积分叫SH积分.文中将证明SH积分的收敛 定理,并讨论收敛定理之间的关系,还给出了这种积分的Riesz型定义. 关键词:Henstock积分;SH积分;广义控制收敛定理~Riesz型定义 中图分类号:O177.8文献标识码:A文章编号:1004—0366(2004)04—0030-04 GeneralizedMeanConvergenceTheoremandRiesz-type DefinitionforSHIntegrals WUBin.YEGuo—ju (CollegeofMathematicsandInformationScience,NorthzoestNormalUniversity,Lanzhou 730070,China) Abstract:Henstock'SstronglyvariationalintegralforBanach—valuedfunctioniscalledSHintegra1.A generalizedmeanconvergencetheoremispresentedhere,andaRiesz—typedefinitionforsuchintegralsis given. Keywords:Henstockintegrals;SHintegrals;generalizedmeanconvergencetheorem;Riesz —type definition 文献I-1"I讨论了Bochner,Pettis和Dunforcl积 分的Denjoy型推广,文献[2]重点讨论了实数集上 的Henstock积分.结合文献[33的理论,文献[43给 出了Henstock—Bochner积分的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现定理,文献[5] 提出了HL积分的概念(文中称为SH积分),利用 文献[63和[73的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ,我们得到了SH积分的收敛 定理和Riesz型定义. 1定义及概念 在这一部分,我们将定义SH积分,并讨论它的 性质. 定义1假设是闭区间[口,6]上的正值函数. [口,6]上的划分D一{,口];)}被称为Henstock 一 精细划分,是指对任意(,t,],)?D,如果 ?[,口]c(—(),+()). 在后面的讨论中,我们将用部分划分来代替划 分.划分D={[,口];))是[口,6]上的部分划分是 收稿日期:2OO4一O1—13 基金项目:兰州大学博士后基金项目;SRF(ROCS,sEM)基金项目资助 指,{,口])是[口,6]上一族互不重叠的闭区间. 定义2假设(B,IlI1)是范数IlIl下的 Banach空间.函数厂:[口,6]一(B,【II1)被称为在 [口,6]上SH可积的,是指存在函数F:[口,6]一(B, lJlJ)满足以下条件:对任意,>0,存在[口,6]上正 值函数(),使得对于D一{[,口],))是[口,6]上 Henstock一精细的部分划分, (D)Il厂()(v-u)一F(u,口)Il<, 广6 成立.记作(sH)If(x)dx=F(u,口),称F是厂的 原函数.其中F(u,)一F)--F(u). 定义3Banach值函数F被称为在[口,6]上 AC的,指对任意e>0,存在r/>0,对任何互不重叠 的区间族[口,],当?Ibi一口I<时,有 IlF(a,)II<,, 其中 F(口,6)一F(6f)一F). 第16卷武斌等:SH积分的收敛定理和Riesz型定义31 定义4假设xc[口,6].定义在x上的 Banach值函数F被称为AC(x)是指,对任给e>0, 存在7/>0,对任何互不重叠的区间族,],a,bl? x,当?Ibl一口I<时,有 llF(a,6)II<e, 定义5定义在x上的Banach值函数F被称 为AC'(x)是指,对任给e<0,存在7/>0,对任何互 不重叠的区间族[a,],at,b?X,当 ?Ihi--ail<时,有 :to(F~,b1])<e,i 其中 w(F;[口,])=sup{llF(x,)lI;z,yE[口,]}. 定义6Banach值函数F被称为在x上 ACG',是指x可表为可列个x之并,x—UXi,F 在X上是AC(X). 接下来我们讨论SH积分的基本性质,它们在 以后的定理证明中起着很大作用. 引理1E如果厂)一O几乎处处于,6],则 厂在,6]上是SH可积的,而且积分值为0. 定理1[如果厂在[口,6]上是SH可积的,则 它的原函数F具有以下性质: (1)原函数F在[口,6]上连续; (2)原函数F在[口,6]上ACG'; (3)原函数F在[口,6]上几乎处处可导,而且 F)一厂)几乎处处于[口,6]. 定理2若(B,IllI)是Banach空间,厂:[口, 6]一(B,lllI).如果存在函数F:[口,6]一B,F在 [口,上连续且ACG.,F()一fCt)几乎处处于[口, 6].则厂在[口,6]上是SH可积的,并且F是厂的原 函数. 2SH积分的收敛定理 定义7Banach值的函数列在[口,6]上被称 为支配收敛到厂,如果满足下列条件:. (1)当,z一?时,)一厂),其中在,6] 上是SH可积的; (2)的原函数在[口,6]上对,z是一致 ACG'的; (3)原函数在[口,6]上一致收敛. 定义8Banach值的函数列在[口,6]上被称 为依振幅收敛到F,如果一族[口,6]上的闭集X,= 1,2,…,[口,6]一UX,并且对任意i和e>0,存在 一 个整数?,使对[口,6]上的任意划分D=([,口]), z',口?Xf,当,z?N时,有 ?to(F--F;[,口])<e. 定理3假设 (1)当,z一?时,)一厂),其中在[口,6] 上是SH可积的; (2)的原函数在[口,6]上对,z是一致 ACG'的; 则对任意e>0,存在正整数?,当,z,>N时, 使[口,6]上的任意划分D一([,口])有 (D)?llF,口)一F,口)ll<e. 证明见文献[3]. 定理4E如果Banach值函数列在[口,6]上 支配收敛到厂,则厂在[口,6]上也是SH可积的,并 且 /'a/'b I(x)dx-~If(x)dx,z??J6J0 以下给出并且证明广义控制收敛定理. 定理5(广义控制收敛定理)如满足下列条件: (1)当,z一?时,)在,6]几乎处处收敛于 厂),其中每个在,6]上是SH可积的; (2)的原函数在[口,6]上依振幅收敛 于F; (3)原函数在,6]上一致收敛于F. 则厂在[口,6]上SH可积,并且积分值等于F(a,6). 证明不妨设当,z一?时,(z)在[口,6]上收 敛于厂).由于每个在,6]上是SH可积的,并 且以为原函数,则对任意e>0,存在()>0, 使对[口,6]上任意Henstock一精细划分D一 {,口];),有 (D)?ll()一)一F,口)ll<e2,. 由于)一厂),则存在正整数—(e,) 使得 0/.m()一厂()Il<e. 成立 由条件(2),当n>N时,有 (D)?叫(—F;[,口])<e. 由于给定e,m仅由决定,选择当m()>? 时,有II()一厂()ll<e.定义()一旬(). 我们将证明 (D)?ll厂()一)一F(u,口)ll<e(6一a)+2e. 首先, 32甘肃科学2004年第4期 (D)?I1,()(v--u)--F(u,口)l1? (D)?『If($)--F(.()lI(口一)+ (D)?『I厂m(.()(口一)一(.,)『I+ (D)?IIF,,.?(,v)--F(u,口)lI. 上面不等式右端第1个和式不超过e(6--a). 第2个和式不超过 ?(D)?lI厂m?($)(v--u)--F?(,)ll 其中D={[",口];}是D的子区间且任意?D, 我们得到相同的m(),即m()=m().因此第2 个和式不超过 e ?2一 所以它不超过e.显然,第3个和式不超过e. 因此, (D)?『If($)(v--u)--F(u,口)II<e(6一口)+2e. 成立,定理得证. 定理6若Banach值函数列{}在,6]上支 配收敛到,则的原函数F依振幅收敛到F.其 中,F为厂的原函数. 证明根据依振幅收敛的定义,固定,不妨 设X—X,假设a,b?X,,6)\X—U(口,bt),我 们定义 f(z),z?X (z)一{+( Iz?(口^,bt),k一1,2,… 不难看出,如果互不相交的区间族{["Oi]}包含于 ,bt),则有 ?ll(口)lI一 ?II([7t--~(+)j_ (Fn(ak)+))fI= 1lI(v~--u,)(F一()一F(at))『I一 监 a?f口,1.一t.''' 由于一致AC(x),由上面的等式不难看出 函数在每个[,]上是AC.的.因此,函数 在,6]上是一致ACG'的. 现在,我们定义 (z),-75?X g一(z)一F()一F) b^一a^,z?(口^,bt) 则函数列(z)在[口,6]上几乎处处收敛到G(z). 由定义2不难证明每一个在,6]上是SH可积 的,并且G为的原函数.为了得到结论,我们注 意到对每个,z,存在Pt,q?,],有 (F--F;一])一『I(一F)(,qt)『1. 然而,P-和q-都依赖于n.现在我们做一些调 整.不妨给定c,?(口,),并且<,定义 H(z),当xEX时,H(z)一F(z)一F(z);当z取 值于-a,],[dt],[,]时,H(z)为线性函 数,并且, (口)=(一F)(口),()一(—F)(), (dt)一(—F)(,qt)+H(),H()一 日(c). 因此, l1月()一月()ll一(F一F;[口,bt]), 而且,在?,]上的振幅就等于一F在, ]上的振幅. 我们用(z)代替G,用([口,"],[,d], [,]}代替{,]},则根据定理4,对任意e>O, 存在正整数N,当,m>N时,使[口,6]上的任意划 分D一{,口]}有 (D)『I,口)一(,口)fl<e. 由定义7第3个条件,当n—o.时,函数列H的极 限存在,而且为0.即,当,z>N时,有 (D)『IH,口)II<e. 因此,不难证明对[口,b]上任意划分D一 {,口]}以及任意,口]c,口],当n>N时,有 (D)?lI(F--F)(p,g)lI<e. 由于,g]是,口]的任意子区间,即有 (D)?『J(F--F;[u,口])『I<e. 结论成立. 3SH积分的Riesz型定义 Riesz在阶梯函数列满足特定条件下定义了 Lebesgue积分,也就是在收敛的意义下.接下来, 我们将给出SH积分的Riesz型定义. 定义9Banach值函数厂被称为在[口,6]上 RD可积是指,存在Banach值的阶梯函数列支配 收敛到厂,我们定义 If(t)dt=liraI体(t)dt.Jan~ooJa 我们从支配收敛定理可以看出以上定义存在而 且唯一. 第16卷武斌等:SH积分的收敛定理和Riesz型定义33 我们很容易看出来,如果厂在[口,6]上是RD可 积的,则它也是SH可积的.事实上,它们是等价的. 定理7如果厂在[口,6]上是SH可积的,则它 也是RD可积的. 证明根据定理1,存在一个ACG的函数F: [口,6]一x,F在[口,6]上几乎处处可导并且满足 F(z)一厂(z).我们定义 fF(z),z—zi (z)一{F(xf+1)+F(,1山+1山f山+1山' 现在,我们定义 f厂(z),z—z 体1F—(xi+I)—--F(xD,?(Xl~Xi+1)【~271+1一z 则阶梯函数列体(z)在[口,6]上几乎处处收敛到 厂(z).由定义2,不难证明每一个体在[口,6]上是 SH可积的,并且为体的原函数. 因此,阶梯函数列体在[口,6]上几乎处处支配 收敛到厂,即厂在[口,6]上是RD可积的,定理得证. 参考文献: lz?(xi'Xi+1) 其中墨一口+(6一口)2一,—O,1,2,…,2.[] 不难看出,如果互不相交的区间族{[,仇])包 含于(五,五+),则有[2] ?II()II: ?II(zX件 i+l 一 -- z VkF(zr )+__乏F(z汁))一. (F(z)+F(Xi+1))II—Xi+1一XiXi+1一Xi Xi+1--Xi?h II((一)(F(?十)一F(而))II一[5] ?1.Xi+1--Xih…… re] 由于F在[口,6]上是ACG.,由上面的等式不难 看出函数在Ix,,Xi+q_l:iAC.的.因此,函数[7] 在厂口.6]卜是一致ACG?的. GordonRA.TheDenjoyExtensionoftheBochner,Petfis, andDunfordIntegrals[J1.StudiaMathematica.1989,92l73— 91. LeePengYes.LanzhouLectureonHenstockIntegaration [M].WorldScientific,Singapore,1989.37—38. DiestelJ.ullJJ.VectorMeasures[M].MathSocProvid— ence,1977. ReynaldoM.ReyandLeePengYee.ARepresentationTheo- reinfortheSpaceofHenstock-BochnerIntegrableFuntions 口].SEABullMathSpecialIssue,1993.129—136. LomaI.ParedesandChewTuanSeIlg.ControlledConverge- nceTheromforBanach—valuedHLIntegrals口].ScientiaeMa- thereaticaeJaponicae0nline,2002,6l261—271. GamesJL,MendozaJ.OnDenjoy-DunfordandDenjoy—Pettis Integrals[J].StudiaMathematica,1998,130l115—193. JamesRC.weakCompactnessandReflexivity[J].IsrealJ Math2.1964.101—119. 作者简介: 武斌,(1981一)男,甘肃省天水人,2002年毕业于西北师范大学数学与信息科学学 院,现为西北师范大学数学与信息科 学学院在读硕士研究生.