27.2.2 相似三角形应用举例
学习目标:能够运用三角形相似的知识,解决不能直接测量物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题)等的一些实际问题.
学习重点:相似三角形的实际运用
学习难点:测量无法到达物体的宽度和高度
导学过程:
一、预习检测: 测量旗杆的高度
操作:在旗杆影子的顶部立一根标杆,借助太阳光线构造相似三角形,旗杆AB的影长
米,标杆高
米,其影长
米,求AB:
分析:∵太阳光线是平行的
∴∠____________=∠____________
又∵∠____________=∠____________=90°
∴△____________∽△____________
∴__________________,即AB=__________
二.合作探究:
探究一:据史料记载,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度.如图,如果木杆EF长2 m,它的影长FD为3 m,测得OA为201 m,求金字塔的高度BO.
探究二:.如图,我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ,你有什么方法?
方案
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一:先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆,然后方向不变,继续向前走10m到C处,在C处转90°,沿CD方向再走17m到达D处,使得A、O、D在同一条直线上.那么A、B之间的距离是多少?
探究三:已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=6cm和CD=12m,两树的根部的距离BD=5m.一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进,当他与左边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端点C?
分析:如图,说观察者眼睛的位置为点F,画出观察者的水平视线FG,它交AB、CD于点H、K.视线FA、FG的夹角∠CFK是观察点C时的仰角.由于树的遮挡,区域
和
都在观察者看不到的区域(盲区)之内.
三.达标测评:
1.如图,某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上,已知此人眼睛距地面1.6米,标杆为3.2米,且BC=1米,CD=5米,求电视塔的高ED。
2.图,花丛中有一路灯杆AB.在灯光下,小明在D点处的影长DE=3米,沿BD方向行走到达G点,DG=5米,这时小明的影长GH=5米.如果小明的身高为1.7米,求路灯杆AB的高度(精确到0.1米).
3如图,为了测量水塘边A、B两点之间的距离,在可以看到的A、B的点E处,取AE、BE延长线上的C、D两点,使得CD∥AB,若测得CD=5m,AD=15m,ED=3m,则A、B两点间的距离为多少?
27.2.3 相似三角形的周长与面积
学习目标:理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方.利用相似三角形及相似多边形的性质解决相关的问题.
学习重点:相似三角形和多边形周长面积性质的理解和运用
学习难点:探索证明相似多边形面积的性质
导学过程:
一、预习检测:
如图,已知
∽
,
,
,
,
,
.
(1)计算出两个三角形的周长以及周长之比。
(2)计算出两个三角形的面积以及面积之比。
(3)两个相似三角形的周长之比、面积之比、相似比之间有怎样的关系?
二.合作探究:
探究1:如图,
∽
,相似比为
,它们对应边上的高之比为多少?面积之比为多少?
探究2:如图,四边形
与四边形
相似,相似比为
,它们的面积之比为多少?
归纳 :相似三角形对应的高的比等于
相似三角形面积的比等于
相似多边形面积的比等于
例1 如图,在
和
中,AB=2DE,AC=2DF,
,
的周长为24,面积是
,求
的面积与周长?
例2 如果两个三角形相似,它们的对应边上的中线之间有什么关系?写出推导过程。
三、达标测评:
1.若
,则
=_____________.
2.个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23,它们周长的差是40,则这两个三角形的周长分别为( )A.75,115 B.60,100 C.85,125 D.45,85
3.一个五边形
改成与它相似的五边形,如果面积扩大为原来的9倍,那么周长扩大为原来的( )A.9倍 B.3倍 C.81倍 D.18倍
4.两个相似三角形对应边的比为1∶2 ,那么它们的相似比为________,周长的比为_____,面积的比为_____.
6.如图,点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点,且DE∥BC,BD=2AD,那么
.
.
7.如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D, △ABC的周长是24,面积是
18,求△DEF的周长和面积.
8.图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,P为AB上一点,Q为BC上一点,且PQ⊥AB,若△BPQ的面积等于四边形APQC面积的
,AB=5cm,PB=2cm,求△ABC的面积.
27.3 位似-1
学习目标:了解位似图形及其有关概念,了解位似与相似的联系和区别,掌握位
似图形的性质.掌握位似图形的画法,能够利用作位似图形的方法将一个图形
放大或缩小.
学习重点:位似图形的定义及与相似的关系
学习难点:位似图形的准确作图,动手能力的落实
一、预习检测:
图中多边形相似吗?观察下面的四个图,你发现每个图中的两个多边形各对应点的连线有什么特征?
(1)位似图形:如果两个多边形不仅 ,而且对应顶点的连线 ,对应边 或 ,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做 ,这时的相似比又称为 .
(2)掌握位似图形概念,需注意:
①位似是一种具有位置关系的相似,所以两个图形是位似图形,必定是 图形,而相似图形不一定是 图形;
②两个位似图形的位似中心只有一个;
③两个位似图形可能位于位似中心的两侧,也可能位于位似中心的一侧;
④位似比就是相似比.利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似.
(3)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于 .
(4)两个位似图形的主要特征是:每对位似对应点与位似中心共线;不经过位似中心的对应线段平行.
二.合作探究:
探究1:如图,点O是△ABC外的一点,分别在射线OA、OB、OC上取一点D、E、F,使得
,连接DE、EF、FD,所得△DEF与△ABC是否相似?证明你的结论。
探究2:把图中的四边形ABCD缩小到原来的
.
四、课堂检测(当堂训练)
1、如图,以O为位似中心,将
放大为原来的两倍。
.o
2.画出所给图中的位似中心.
三.达标检测:
1、四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是位似图形,位似中心是点O,则它们的对应点的连线一定经过____________。
2、四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是位似图形,点O是位似中心。如果OA:OA1=1:3,那么AB:A1B1=____________
3、如果四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形,且位似比为
,下列说法正确的是________。
△ABC∽△EFG
。
4、如果正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的,若AB:FG=2:3,则下列结论正确的是( )
A、2DE=3MN B、3DE=2MN C、3∠A=2∠F D、2∠A=3∠F
27.3 位似-2
学习目标:掌握位似图形在直角坐标系下的点的坐标的变化规律,能利用直角坐标系下位似图形对应点坐标变化的规律来解决问题
学习重点:用图形坐标的变化来
表
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示图形的位似变化
学习难点:把一个图形按一定比例放大或缩小后,点的坐标的变化规律
导学过程:
一、预习检测:
在平面直角坐标系中有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小
方法一:
方法二:
探究:(1)在方法一中,
的坐标是 ,
的坐标是 ,对应点坐标之比是 ;(2)在方法二中,
的坐标是 ,
的坐标是 ,对应点坐标之比是
二、合作探究案:
如图,
三个顶点坐标分别为
,以点
为位似中心,相似比为2,将
放大,观察对应顶点坐标的变化,你有什么发现?
位似变换后
的对应点坐标为:
归纳:在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为
,那么位似图形对应点的坐标的比等于 ;
三、达标测评:
1.如图,在12×12的正方形网格中,△TAB的顶点坐标分别为T(1,1)、A(2,3)、B(4,2).
(1)以点T(1,1)为位似中心,按比例尺TA′∶TA=3∶1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B′,放大后点A、B的对应点分别为A′、B′.画出△TA′B′,并写出点A′、B′的坐标;
(2)在(1)中,若C(a,b)为线段AB上任一点,写出变化后点C的对应点C′的坐标.
2.如图,
与
是位似图形,且顶点都在格点上,则位似中心的坐标是_______
3.如图,四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似,位似比
,四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似,位似比
.四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形吗?位似比是多少?