理论力学小论文-滚动摩阻.

滚动摩阻及其实例分析 制33 刘  赟 2003010565 冯  灿 2003010559 石  磊 2003010558 辛明鹏 2003010554 2004年12月 关键词：滚动，摩擦，滚动摩阻，约束反力，摩擦自锁 摘要：滚动摩阻是力学中一个非常重要，也非常复杂的问题。本文通过建立不同的模型，解释了滚动摩阻的产生原理，并且讨论了滚动摩擦中的摩擦自锁问题。最后，本文通过网球和车轮滚动两个实例，展示了滚动摩阻在生活中的应用。 理论力学中一个非常重要的模型就是轮子滚动的问题，在很多机械构件的分析上，还有生产实践中都会经常遇到。在做理论分析时，很多时候都认为在滚动过程中，轮子和地面都是不会有形变的，也就是利用了刚体这个理想模型。 在这种假设条件下，轮子和地面是点基础。如果轮子是纯滚动，那么轮子除了受到地面的支持力外，还可能受到一个静摩擦力（受力与否与轮子的运动状态有关），作用点在轮子和地面的接触点，方向与轮子运动方向相反。根据对静摩擦力的分析，静摩擦力所做的功 。由于纯滚动，轮子和地面接触点的速度为零，则 ，故静摩擦力所做的功 。可知静摩擦力不做功，那当轮子开始纯滚动，且不受外力的情况下，轮子将保持初始速度一直滚下去。但在实际生活中，轮子或者是球在滚动一段时间后是会停下来的，与理论预计不符，说明理论模型中有不合理的地方。 物体滑动时，实际情况会受到滑动摩擦力。但是对于纯滚动的物体，只会受到静摩擦力，故不是一般的摩擦力阻碍物体的滚动，还有其它的作用使滚动物体停下来。事实也是这样的。在一开始建的模型中，轮子和地面都是不会产生形变的，但是在实际情况中，轮子和地面都会产生形变，而且在轮子滚动时，这个形变并不时均匀的，轮子受到的支持分布力也不均匀，将分布力简化可以得到一个力和一个力偶，且这个力偶是阻碍着轮子的滚动。实际情况中也就是这个力偶的作用，使滚动停止。我们称这个力偶为滚动摩阻。下面我们将就滚动摩阻的概念、原理以及滚动中的一些问题作一些简单的讨论。 滚动摩阻的原理 我们以滚动中的圆柱体为模型来阐述滚动摩阻的原理。 若滚动中圆柱体和其对应的支持面间的相互接触作用无须考虑其面分布情况，则相互挤压的接触总作用便可认为是集中作用于接触面的某一点上，接触总作用可以用一个宏观的力——接触合力来等效，它总可以分解为沿接触面上力作用点处切向的弹力和法向的摩擦力。 只要有形变存在，圆柱体前进时前方的挤压必然增强，形变加剧。所以接触合力 的作用点 就由其质心轴 的正下方向前偏移了一段水平距离 ，因此圆柱体所受弹力 并非竖直向上，所受静摩擦力 也并非沿水平方向向后。为分析 和 的具体情况，可先从下述两种理想情况入手。 第一种理想情况是，圆柱体绝对坚硬而仅支持面产生了形变。 先看 的方向。圆柱体滚动时 点已向前偏移，所以 沿 处法向指向 但并非竖直向上。 的方向我们可这样考虑：设圆柱体和支持面间绝对无摩擦，圆柱体在前进中的某时刻恰好只滚不滑。显而易见，由于 的作用此时圆柱体的平移速度 立即减小而转动角速度 仍保持不变，所以圆柱体由只滚不滑的运动状态立即变为又滑又滚的运动状态，圆柱体表面上与支持面接触的那一部分曲面(以下简称为触地面)相对于对应的支持面将沿自己转动的正方向滑动。由此可见，若两接触面间有摩擦的话，那么在 时刻，触地面必将有一个沿自己转动正方向相对滑动的趋势，则此时圆柱体的 处必将受到与这个相对滑动趋势方向相反的静摩擦力 的作用，如图1-1所示。 第二种理想情况是，支持面绝对坚硬而仅圆柱体产生了形变。根据有关结论和上一理想情况的分析方法不难确定，此情况下圆柱体所受弹力 竖直向上，摩擦力 水平向后，如图1-2所示。（此时 可以等效为作用在重力 作用线上的 以及一力偶 即滚动摩阻） 图1-1 图1-2 然而，实际情况总是圆柱体和支持面两者都产生了形变，所以 和 的情况介于上述两理想情况之间。具体说来，设圆柱体及支持面由前述第一种理想情况开始，保持其它条件不变，仅圆柱体的坚硬程度逐渐减小而支持面的坚硬程度逐渐增大，直到前述第二种理想情况为止，则触地面偏前部分的形变逐渐加剧其形状逐渐趋于平缓，各处的曲率中心渐离了质心轴 ， 处法向由指向 逐渐偏离并往竖直向上的方向偏转靠近。 在前述第一种理想情况中， 沿 处法向指向质心轴 ， 沿 处切向向前偏上，见图1-1。随后在圆柱体的形变逐渐增大而支持面的形变逐渐减小的一个有限范围内， 逐渐增大而其方向偏离了指向 的方向并逐渐向上偏转， 逐渐减小而方向向下偏转且始终与 垂直。图1-3为这个有限范围内 和 的示意图。当圆柱体和支持面形变相对达到某一程度时， 增加到最大而 减小为零，此时 恰好等于接触合力 ，如图1-4。 图1-4 图1-3 此后随着圆柱体形变的继续增大而支持面形变的继续减小， 则逐渐减小但方向继续向上并往竖直方向偏转靠近， 则由零增大但方向改变为向后偏下并逐渐往水平向后的方向偏转靠近。图1-5为这一有限范围内 和 的示意图。当形变达到前述第二种理想情况时， 减小到等于重力其方向达到竖直向上， 增大到其方向水平向后，见图1-2。 图1-5 在以上讨论分析的基础上，若把 进行力系等效处理，可将其平移至 作用线上，并附加一力偶M，即为滚动摩阻。 滚动摩阻的另一个模型 我们再来分析受主动力偶 作用的圆盘所受的约束反力，从另一个角度来解释滚动摩阻现象。 1  对静止圆盘的分析 圆盘受重力 时，平面对圆盘的约束反力呈对称分布(见图2-1)，当又有主动力偶 作用时( 不太大)，由于相对于过质心轴的转动惯量最小，所以圆盘有绕质心 的转动趋势，因而在各法向反力的作用点处，必然产生切向静滑动摩擦力(见图2-2)，且分布的切向静滑动摩擦力对 点的力矩等于 。将图2-2的约束反力系向 点简化，法向分布力向 点简化的结果为一垂直向上的力 ，切向分布力向 点简化的结果为水平向右的切向力 和一个力偶 (见图2-3)。 图2-3 图2-2 图2-1 此外，当 不太大时，由于切向的静滑动摩擦力的约束，圆盘在有绕 点转动趋势的同时，还必然产生绕 点的转动趋势，因此圆盘上(除 点外)的弧线 上各点均有运动趋势，因此在 上各点就必然产生与运动趋势相反的约束全反力(见图2-4)。以 点作为分析对象， 上其它各点类推， 点所受约束全反力如图2-4所示，且 ， 向水平方向和竖直方向分解得水平向左的分力 和竖直向上的分力 ，然后将圆盘所受的约束反力系向A点简化：水平向左的力 ，此力与图2-3中的 相抵消，竖直向上的力 以及逆时针的滚动摩阻力偶 （见图2-5）。 图2-4 图2-5 综上，受主动力偶 作用的静止圆盘所受的总约束反力为法向反力 (等于由 引起的分布力的合力加上 )和滚动摩阻力偶(等于图2-3，图2-5中的滚动摩阻力偶的叠加)，并与主动力偶 相平衡，无水平方向的摩擦力(见图2-6)。 图2-6 图2-7 2  对滚动圆盘的分析 当主动力偶矩 逐渐增大( 一最大滚动摩阻力偶)时，圆盘即开始滚动，此时除 点外， 上各点均有速度，因此图2-4中的约束全反力沿圆盘切向的分量已达到最大静摩擦力，已不能抵消继续增大的如图2-3中A点的静摩擦力(因 增大，A点向左滑动的趋势增大)，因此当 , ，开始运动的圆盘受力分析如图2-7所示。此时又出现了水平向右的静摩擦力 ，其大小由下列平面运动微分方程确定： 上述方程对纯滚动圆盘： ， 未知；对又滚又滑的圆盘： ， 。 综上所述，受主动力偶 作用的圆盘，当 ，圆盘上除受因重力 引起的垂直向上的反力 外，只出现滚动摩阻力偶 ( )与 平衡，而无切向摩擦力 时(见图2-6)，圆盘处于静止状态。当 时，圆盘上除受竖直向上的力 外，还出现最大滚动摩阻力偶 ，并出现切向摩擦力 (见图2-7)。 物体滚动时滑动摩擦力 上面我们介绍了滚动摩阻的原理，但是物体滚动时，同样也存在着滑动摩擦力，而且滑动摩擦力情况较平动而言比较复杂，所以下面也分析一下。这些分析将在后面的实例分析中用到。 在平动问题中，摩擦力总是阻碍接触面之间的相对滑动，这样可以判断摩擦力的方向。 在转动问题中，接触面间的摩擦力也是由“阻碍相对滑动”的原则来确定的。但是由于既有移动又有转动，因此，判断相对滑动就比较麻烦一些。 图3-1 纯滚动，即当 滑动摩擦力为零。若轮子与平面接触点间有相对运动趋势，则有静摩接力，且方向与 相反。由前面分析，可以知道静摩擦力不做功。则在纯滚动时，摩擦力不做功，没有机械能向内能的转换。 既滚又滑时会有滑动摩擦力的存在。下面分两种情况讨论： （1）当 ，即平动速度大于滚动速度，则轮子是向前滑动的。轮子所受的滑动摩擦力 将与 方向相反，故由动量定理， 使 减小。 对质心 的力矩 方向与 相同，力矩 做正功。 使轮子平动减速， 做负功；又 使轮子滚动加速，做正功。基于以上分析，可以得出 时间内滑动摩擦力做的总共为 。总功为负功。 （2）当 ，即平动速度小于滚动速度，则轮子滚动更快。轮子所受的滑动摩擦力 将与 方向相同，故由动量定理， 使 增大。 对质心 的力矩 方向与 相反，力矩 做负功。 使轮子平动加速， 做正功；又 使轮子滚动减速，做负功。可以得出 时间内滑动摩擦力做的总共为 。总功仍为负功。 由分析可以看出， 产生的效果一方面使轮子动能减小，动能转换为热能，另一方面， 也使滚动动能和平动动能之间相互转换。无论何种情况， 总是在调整滚动速度和平动速度，使它们向 转变。 关于滑动摩擦力方向和功的分析会在后面对实例的分析中得以运用。 物体滚动时的摩擦自锁现象 同滑动摩擦一样，滚动摩擦也存在摩擦自锁现象。下面以圆柱体为模型，来分析讨论一下滚动摩擦自锁的条件。 图4-1 圆柱体在斜面上做纯滚动时，受到静摩擦力 和滚动摩阻力矩 的共同作用。如图所示。 与质心速度相反，使得圆柱体质心的速度减小。但是 对质心的力矩确与转动的角速度 方向相同，它应该增大圆柱体转动的角速度。 产生的力矩 。 由前面原理知，分布再圆柱体与斜面接触初的约束反力 不通过质心，而是向运动前方偏移。于是 对质心产生的力矩 与转动角速度 的方向相反，会减小圆柱体转动的角速度。这个力矩就是滚动摩阻力矩。其大小由 表示。 为滚动摩阻系数。 则，圆柱体在斜面上做纯滚动的动力学方程 若在一定条件下，圆柱体在斜面上，既不向下滑动，也不向下滚动，此时 ， ， 。这就是滚动摩擦中的摩擦自锁现象，下面来讨论摩擦自锁的条件。 自锁时， 为静摩擦力，又 。 为静摩擦系数。 发生摩擦自锁时 结合前式可得 由于 ，即滚动摩阻系数远远小于滑动摩擦系数，故圆柱体会先发生滚动，这也是我们平常推轮子而滚动的原因。 这样，上面两式可化为一式，即 这就是滚动摩擦自锁发生的条件。与滑动摩擦自锁 类似的是，滚动摩擦自锁与否与滚动体质量以及约束力大小无关，而只与 、 、 有关。 滚动摩擦的最大摩擦角。由于 往往比较小，所以滚动摩擦角 也很小。 与滑动摩擦相比，发生滚动摩擦自锁现象的最大摩擦角小于发生滑动摩擦自锁时的最大摩擦角。特别是在滚动体及斜面刚性较强时，其摩擦角就更小，自锁现象也就不明显。但在现实生活中，我们根据滚动摩擦的自锁条件，通过减小斜面倾角或圆拄体的刚性，在滚动体下侧加垫物体等措施，增大滚动摩阻系数 ，增大滚动摩擦自锁的最大摩擦角，实现滚动摩擦自锁，达到使滚动体在斜面上静止的目的。