圆弧计算公式及运用[技巧]
圆弧计算公式及运用
一. 教学内容:
弧长及扇形的面积
圆锥的侧面积
二. 教学要求
1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式,并会应用公式解决问题。
三. 重点及难点
重点:
1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。
2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点:
1、弧长公式、扇形面积公式的推导。
2、圆锥的侧面积、全面积的计算。
,知识要点,
知识点1、弧长公式
因为360?的圆心角所对的弧长就是圆周长C,2R,所以1?的圆心角所对的弧长是
,于是可得半径为R的圆中,n?的圆心角所对的弧长l的计算公式:,
说明:(1)在弧长公式中,n
表
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示1?的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”,例如,圆的半径R,10,计算20?的圆心角所对的弧长l时,不要错写成。
(2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。
知识点2、扇形的面积
如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n?的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360?的扇形面积等于圆面积,所以圆心角
?的扇形面积是,由此得圆心角为n?的扇形面积的计算公式是。为1
又因为扇形的弧长,扇形面积,所以又得到扇形面积的另一个计算公式:。
知识点3、弓形的面积
(1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长,弦长,弧长
(3)弓形的面积
如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把扇形OmB的面积和?OB的面积计算出来,就可以得到弓形mB的面积。
当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示,
当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示,
当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示,
例:如图所示,?O的半径为2,?BC,45?,则图中阴影部分的面积是 ( )(结果用表示)
分析:由图可知由圆周角定理可知?BC,?OC,所以?OC,2?BC,90?,所以?OC是直角三角形,所以
,
所以
注意:(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。
圆周长 弧长 圆面积 扇形面积
公 式
(2)扇形与弓形的联系与区别
(2)扇形与弓形的联系与区别
图
示
面
积
知识点4、圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形,如图所示,设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2,圆锥的侧面积,圆锥的全面积
说明:(1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
(2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题,关键是理解圆锥的侧面积公式,并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。
知识点5、圆柱的侧面积
圆柱的侧面积展开图是矩形,如图所示,其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长,若圆柱的底面半径为r,高为h,则圆柱的侧面积,圆柱的全面积
知识小结:
圆锥与圆柱的比较
名称 圆锥 圆柱
图形
由一个直角三角形旋转得到由一个矩形旋转得到的,如矩形BCD图形的形成过程 的,如Rt?SO绕直线SO旋绕直线B旋转一周。
转一周。
图形的组成 一个底面和一个侧面 两个底面和一个侧面 侧面展开图的特征 扇形 矩形
面积计算方法
【典型例题】
例1. (2003.辽宁)如图所示,在同心圆中,两圆的半径分别为2,1,?OB,120?,则阴影部分的面积是( )
. B. C. D.
分析:阴影部分所在的两个扇形的圆心角为,
所以
故答案为:B.
例2. (2004?陕西)如图所示,点C在以B为直径的半圆上,连接C,BC,B,10厘米,tn?BC,,求阴影部分的面积。
分析:本题考查的知识点有:(1)直径所对圆周角为90?,(2)解直角三角形的知识(3)组合图形面积的计算。
解:因为B为直径,所以?CB,90?,
在Rt?BC中,B,10, tn?BC,,而tn?BC,
设BC,3k,C,4k,(k不为0,且为正数)
由勾股定理得
所以BC,6,C,8,,而
所以
例3. (2003.福州)如图所示,已知扇形OB的圆心角为直角,正方形OCDE内接于扇形OB,点C,E,D分别在O,OB及B弧上,过点作F?ED交ED的延长线于F,垂足为F,如果正方形的边长为1,那么阴影部分的面积为( )
分析:连接OD,由正方形性质可知?EOD,?DOC,45?,在Rt?OED中,OD,
,
因为正方形的边长为1,所以OE,DE,1,所以,设两部分阴影的面积中的一部分为M,另一部分为N,则,阴影部分面积可求,但这种方法较麻烦,用割补法解此题较为简单,设一部分空白面积为P,
因为?BOD,?DOC,所以
所以M,P,所以
答案:。
例4. 如图所示,直角梯形BCD中,?B,90?,D?BC,B,2,BC,7,D,3,以BC为轴把直角梯形BCD旋转一周,求所得几何体的表面积。
分析:将直角梯形BCD绕BC旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的,所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。
2解:作DH?BC于H,所以DH,B,
CH,BC,BH,BC,D,7,3,4
在?CDH中,
所以
例5. (2003.宁波)已知扇形的圆心角为120?,面积为300平方厘米
(1)求扇形的弧长。
(2)若把此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的轴截面面积是多少,
分析:(1)由扇形面积公式,可得扇形半径R,扇形的弧长可由弧长公式求得。(2)由此扇形卷成的圆锥如图所示,这个圆锥的轴截面为等腰三角形BC,(1)问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长,而圆周长公式为C,2r,底面圆半径r即CD的长可求,圆锥的高D可在Rt?DC中求得,所以可求。
解:(1)设扇形的半径为R,
由,得,解得R,30.
所以扇形的弧长(厘米)。
(2)如图所示,在等腰三角形BC中,B,C,R,30,BC,2r,底面圆周长C,2r,因为底面圆周长即为扇形的弧长,所以
在Rt?DC中,高D,
所以轴截面面积(平方厘米)。
【模拟试题】(答题时间:40分钟)
一、选择题
1. 若一个扇形的圆心角是45?,面积为2л,则这个扇形的半径是( )
. 4 B. 2 C. 47л D. 2л
2. 扇形的圆心角是60?,则扇形的面积是所在图面积的( )
. B. C. D.
3. 扇形的面积等于其半径的平方,则扇形的圆心角是( )
. 90? B. C. D.180?
4. 两同心圆的圆心是O,大圆的半径是以O,OB分别交小圆于点M, N(已知大圆半径是小圆半径的3倍,则扇形OB的面积是扇形OMN的面积的( ) . 2倍 B. 3倍 C. 6倍 D. 9倍
5. 半圆O的直径为6cm,?BC,30?,则阴影部分的面积是( )
. B.
C. D.
6 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面,则此圆锥的底面半径为( )
. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm 7. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 :2,这个圆锥的轴截面的顶角是( )
. 30? B. 60? C. 90? D. 120? 8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆,且它们的侧面积之比为1?2,则它们的高之比为( )
. 2:1 B. 3:2 C. 2: D. 5: 9. 如图,在?BC中,?C ,Rt?,C > BC,若以C为底面圆半径,BC为高的圆锥的侧面积为S,以BC为底面圆半径,C为高的圆锥的侧面积为S,则( )12 . S,S B. S > S C. S < S D. S、S的大小关系不确定 12121212
二、填空题
1. 扇形的弧长是12лcm,其圆心角是90?,则扇形的半径是 cm ,扇形的面积2是 cm.
2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍,且扇形面积等于圆面积,则扇形的圆心角是 .
23. 已知扇形面积是12cm,半径为8cm,则扇形周长为 . 4 在?BC中,B,3,C,4,?,90?,把Rt?BC绕直线C旋转一周得到一个圆锥,其全面积为S;把Rt?BC绕B旋转一周得到另一个圆锥,其全面积为S,则S: S, 。1212 5. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm,要用一块圆心角为240?的扇形铁板做一个圆锥形的盖子,做成的盖子要能盖住圆柱形容器,这个扇形的半径至少要有 cm。
6. 如图,扇形OB的圆心角为60?,半径为6cm,C,D分别是的三等分点,则阴影部分的面积是 。
7. 如图正方形的边长为2,分别以正方形的两个对角顶点为圆心,以2为半径画弧,则阴影部分面积为 。
三、计算题
1. 如图,在Rt?BC中,C,BC ,以为圆心画弧,交B于点D,交C延长线于点F,交BC于点E,若图中两个阴影部分的面积相等,求C与F的长度之比(л取3)。
2. 一个等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的侧面积是S,另一个圆锥的侧面积是S,12如果圆锥和圆柱等底等高,求(
3. 圆锥的底面半径是R,母线长是3R,M是底面圆周上一点,从点M拉一根绳子绕圆锥一圈,再回到M点,求这根绳子的最短长度(
【试题答案】 一、选择题 1.
2. B
3. C
4. D
5. B
6. B
7. B
8. C
9. B
二、填空题 1、24 144 2、40? 3、19cm 4、3:4 5、3
6、2
7、2,4
三、计算题 1、连接E,则,所以
2、 3、连接展开图的两个端点MM',即是最短长度。
利用等量关系得出?MM′,120?,?MD,30?,D,,