平行线的性质

          本节的主要概念有： 1．平行线的三条性质： 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等； 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 2．平行线的距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离． 3．命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：判断一件事情的语句，叫命题． 重、难、疑点： 重点：平行线三条性质、平行线的距离和命题的概念． 难点：平行线的性质与平行线的判定的区别和综合运用． 疑点：命题与肯定句、疑问句之间的关系与区别 典例精讲 例1 （北京市海淀区中考题）如图所示，已知DE∥BC，∠1=∠2，试说明CD是∠ECB的平分线． 方法指导：由BC∥DE可得∠1=∠DCB，而恰巧是要说明∠DCB=∠2． 解：∵DE∥BC（已知）， ∴∠1=∠DCB（两直线平行，内错角相等）． 又∵∠1=∠2（已知）， ∴∠2=∠DCB． 即CD是∠ECB的平分线． 方法 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ：由平行线性质得到恰当的角之间的关系，为说明结论成立提供依据． 举一反三  如图，已知AB∥CD，EF交AB于点H，交CD于点G，试判断∠1与∠2是否相等． 解：∠1=∠2． ∵AB∥CD，∴AHG=∠DGE（两直线平行，内错角相等）． 又∵∠1=∠AHG，∠DGE=∠2（对顶角相等）， ∴∠1=∠2． 例2  如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠C，证明：AB∥DE． 方法指导：欲证AB∥DE，可证∠1=∠AGD，而∠1=∠2，所以须证∠2=∠AGD；证∠2=∠AGD．只需证AF∥CD，即需证∠5+∠ADC=180°，也就是要证AD∥BC，而这可以由∠3=∠4证得． 解：证明：∵∠3=∠4． ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠ADC+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠5=∠C，∴∠ADC+∠5=180°， ∴AF∥CD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠2=∠AGD（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠2 ∴∠1=∠AGD， ∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行）． 方法总结：本题的思考过程是从结论出发， 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 所要说明的结论成立须具备哪些条件，再看这些条件成立又须具备什么条件，直到追溯到已知条件为止．另外，在书写推理过程中，每一步必须有根有据，将理由写在每一步的括号内，防止把平行线的判定和性质混淆，这对初学阶段尤其重要． 举一反三  如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠BDF，求证：∠EBC=∠DBC． 解：证明，∵∠2+∠BDC=180°，∠2+∠1=180°， ∴∠BDC=∠1（同角的补角相等）， ∴AE∥FC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠EBC=∠C（两直线平行，内错角相等）． 又∵∠A=∠C（已知），∴∠EBC=∠A， ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠ADB=∠CBD，∠ADF=∠C． 又∵∠ADB=∠ADF（角平分线定义）， ∴∠FBC=∠DBC． 例3  如图，∠ACD=∠BCD，DE∥BC交AC于E，若∠ACB=50，∠B=76°，求∠EDC及∠CDB的度数． 方法指导：由DE∥BC可知，∠EDC=∠DCB（两直线平行，内错角相等），而；∠CDB=180°—∠EDC—∠ADE，而根据“两直线平行，同位角相等”可知∠ADE=∠B=76°． 解：∵DE∥BC（已知）， ∴∠EDC=∠DCB（两直线平行，内错角相等）． 又∵∠ACD=∠BCD，∠ACB=50°（已知），       ∴． ∵DE∥BC（已知）， ∴∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等）． 又∵∠B=76°，∴∠ADE=76°， ∴∠CDB=180°—∠EDC—∠ADE=180°—25°—76°=79°． 故∠EDC=25°，∠CDB=79°． 方法总结：从题目的条件出发，结合图形，根据所学的性质和定理，找出所求的角与已知角之间的关系，达到计算角度数的目的． 举一反三  如图，已知∠ECD=∠ABC，问∠A+∠B+∠ACB等于多少度？并说明理由． 解：∠A+∠B+∠ACB=180°．理由如下： ∵∠ECD=∠ABC，∴AB∥EC（同位角相等，两直线平行）． ∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）． 又∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角的定义）． ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）． 例4 判断下列语句是否是命题，如果是，指出命题的题设和结论． （1）同旁内角互补，两直线平行； （2）平角的一半是直角； （3）连接AB； （4）两个正数之和必为正数； （5）取AB的中点M． 方法指导：（3）、（5）两个句子并未对某件事作出判断，（1）、（2）、（4）对某件事作出判断，是命题，可将它们写成“如果……那么……”的形式，再找出题设和结论． 解：（3）、（5）不是命题，（1）、（2）、（4）是命题． （1）的题设是同旁内角互补，结论是两直线平等； （2）的题设是平角的一半，结论是直角； （4）的题设是两个正数之和，结论是为正数． 方法总结：命题必须对某件事情作出判断，疑问句就不是命题，同时要注意的是错误的命题也是命题；将命题写成“如果……那么……”的形式，有助于分清命题的题设和结论． 举一反三  下列语句中，不是命题的是    （    ） A．同位角相等 B．经过一点只能作一条直线与已知直线平行 C．如果，那么a=b D．相交线和平行线                                              解：D 例5 将下列命题改成“如果……那么……”的形式，并判断其直假． （1）同角的补角相等； （2）垂直于同一条直线的两直线平行； （3）两个锐角的补角相等； （4）同旁内角互补； （5）正数与负数之和为正数． 方法指导：分析命题的含义，找出题设和结论，将命题写成“如果……那么……”的形式；判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可． 解：（1）如果几个角是同一个角的补角，那么这几个角相等；是真命题； （2）如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线平等；是真命题； （3）如果几个角是两个锐角的补角，那么这几个角相等；如130°是50°角的补角，120°是60°角的补角，但130°≠120°，所以此命题是假命题； （4）如果两个角是两条直线被第三条直线所截得的同旁内角，那么这两个角互补；显然，只有两条平行线被第三条直线所截得的同旁内角才互补，所以此命题是假命题； （5）如果一个数是一个正数与一个负数的和，那么这个数为正数；显然，如+5+（-8）=-3为负数，所以此命题为假命题． 方法总结：将一个命题写成“如果……那么……”的形式，要先弄清语句的含义，分清题设和结论，改造后的句子要语句通顺，不能改变命题的意义；判断一个命题的真假，要运用和该命题相关的知识来作出判断，对于假命题，给出一个反例即可说明其为假命题． 举一反三  （黄冈市中考题）命题：（1）对顶角相等；（2）三条直线每两条直线都相交，最多有6对对顶角；（3）等角的补角相等；（4）不相等的角一定不是对顶角．其中真命题的个数是    （    ） A．1个                B．2个                C．3个                D．4个 解：D 例6 如图，已知AB∥DE，∠B=40°，∠D=56，CF平分∠BCD，求∠DCF的度数． 方法指导：由于“CF平分∠BCD”，所以欲求∠DCF的度数，只需求∠BCD的度数；但∠BCD与已知角∠B、∠D的关系并不明显，因此考虑构造辅助线——过点C作AB的平行线，再结合已知条件“AB∥DE”，利用平行线的性质，就不难找到所求角与已知角之间的联系了． 解：过点C作CM∥AB（过一点有且只有一条直线与已知直线平行）， ∵AB∥ED，∴CM∥ED（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ∵AB∥CM，CM∥ED， ∴∠B=∠BCM，∠D=∠DCM（两直线平行，内错角相等）， ∴∠BCD=∠BCM+∠DCM=∠B+∠D． 又∵∠B=40，∠D=56°， ∴∠BCD=40°+56°=96°， ∵CF平分∠BCD， ∴． 方法总结：在利用平行线的性质进行有关图形的推理和计算时，有一类“折线”问题（如上图所示），常用的思路是过拐点（如上图中的C点即称为拐点）作已知直线的平行线，从而在已知角与未知角之间架起一道桥梁，找到它们之间的关系． 举一反三  如图所示，∠ABC=120°，∠BCD=85°，AB∥ED，试求∠EDC的度数． 解：过点C作CF∥AB（过一点有且只有一条直线与已知直线平行）， ∵AB∥ED，∴CF∥ED（两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行）． ∵AB∥CF，∴∠ABC+∠BCF=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠ABC=120°，∴∠BCF=180°—∠ABC=60°． ∵∠BCD=85°，∴∠FCD=∠BCD—∠BCF=85°—60°=25°． ∵CF∥ED， ∴∠EDC=∠FCD（两直线平行，内错角相等）， ∴∠EDC=25°． 例7  （河北省中考题）如图所示 探究规律： 如图①所示，已知，直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点， （1）请写出图中面积相等的各对三角形； （2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有_____________与△ABC的面积相等，理由是_________________________________． 解决问题： 如图②所示，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经多年开垦荒地，现已变成如图③所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（即图③中折线CDE）还保留着，张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多，请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 （不计分界小路与直路的占地面积）． （1）写出设计方案，并在图③中画出相应的图形； （2）说明方案设计理由． 方法指导：探究规律中利用“平行线间的距离相等”，不难找到图中同底等高的三角形；解决问题中，要使得所修的路符合条件，即是要使得左边面积在修好后与修路前相比，多出的部分与减少的部分面积相等，而这两部分刚好是两个三角形．因此，关键是构造平行线，利用前面的结论，说明这两个三角形的面积相等． 解：探究规律： （1）△ABC和△ABP，△AOC和△BOP，△CPA和△CPB； （2）△ABP因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上移动到任何位置，总有△ABP与△ABC同底等高，所以它们的面积总相等． 解决问题： （1）方案：如图③所示，连结EC，过点D作DF∥EC，交CM于点F，连结EF，EF即为所求直路的位置； （2）设EF交CD于点H，由上面结论可知： ，， ∴，， 方法总结：善于用所学知识，解决实际问题是学习能力的一种体现． 举一反三  解放战争时期，有一天江南某游击队在村庄A点出发向正东方向行进，此时有一支残匪在游击队的东北方向B处（如图所示），残匪沿北偏东60°的方向向C村进发．游击队步行到A′处，A′正在B的正南方向上，突然接到上级命令，决定改变行进方向，沿北偏东30°方向赶往C村，问游击队行进方向A′C与残匪行进方向BC至少是多少度角时，才能保证C村村民不受伤害？ 解：如图，过C点作CE∥BA′， 则∠BCE=∠NBC=60°， ∴∠A′CE=∠BA′C=30°， ∴∠BCA′=∠BCE—∠A′CE=60°—30°=30°． 故夹角至少为30°才能保证C村村民不受伤害． 知识网络 学法点津 1．在学习平行线的性质和平行线间的距离时，注意运用比较法、探索法，注意和同学间的探究和合作，归纳相关的知识要点．如要注意总结平行线的性质与判定的区别与联系，归纳如何在推理过程中灵活运用性质和判定，要做到每一步推理都有根有据，思路清晰． 2．在学习命题有关的知识时，要结合 语文 八上语文短文两篇二年级语文一匹出色的马课件部编版八上语文文学常识部编八上语文文学常识二年级语文一匹出色的马课件 学科的知识，弄清语句的含义，寻找出正确的题设和结论．在遇到较简洁的命题时，可先将命题写为“如果……那么……”的形式，但同时要注意，改编后的命题要语句通畅，同时不能改变原命题的意义，目的在于更清楚、明了地辨别命题的题设和结论． 自测题 1．下列说法中，平行线的性质为    （    ）． ①两条直线平行，同旁内角互补；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④垂直于同一直线的两条直线平行． A．①                  B．②③                C．④                  D．①④ 2．如图5-3-10，b∥c，a⊥b，∠1=130°，则∠2的度数为    （    ）． A．30°              B．40°                C．50°              D．60° 3．关于平行线间的距离，下列说法正确的是    （    ）． A．两条平行线间，任一条线段 B．两条平行线间，任一条线段的长度 C．两条平行线间，垂线段的长度 D．夹在两平行线间的任一条垂线段 4．下列语句中是命题的是    （    ）． A．延长线段AB到点C，使AC=2BC B．你能说出平行线的三条性质吗 C．所有的角都相等 D．简单的习题 5．下列命题中，正确的是    （    ）． A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．和为180°的两个角叫做邻补角 6．已知：如图5-3-11，FH⊥AB，CD⊥AB，∠1=∠2．求证：BC∥EF．（在括号内注明理由） 证明：因为FH⊥AB，CD⊥AB，所以FH∥CD（    ），所以∠1=∠3 （    ）．又因为∠1=∠2，所以∠2=∠3，所以BC∥EF（    ）． 7．如图5-3-12，AB∥EF，若∠ABC=30°，∠BCD=40°，∠DEF=160°，则∠CDE=__________． 8．如图5-3-13，若BD⊥AC于D，EF⊥AC于F，∠ABC+∠BCD=180°，求证：∠1=∠2．证明：因为BD⊥AC，EF⊥AC（已知），所以∠BDC=90°，∠EFC=90°（垂直定义），所以∠BDC=∠EFC（等量代换），所以BD∥_____________（    ），所以_________=___________（两直线平行，同位角相等）．又因为∠ABC+∠BCD=180°（已知），所以__________∥____________（    ），所以∠1=∠3（    ），所以∠1=∠2（等量代替）． 9．命题“两直线平行，内错角相等”的题设是___________，结论是___________；命题“内错角相等，两直线平行”的题设是___________，结论是___________． 10．如图5-3-14，∠ADC=∠ABC，∠1+∠2=180°，AD为∠FDB的平分线．试问：BC为∠DBE的平分线吗？若是，请说明理由． 11．如图5-3-15，已知AB∥CD，∠BAE=∠DGF，求证：∠E=∠F． 12．请将下列命题改写成“如果……那么……”的形式． （1）等角的余角相等； （2）垂直于同一条直线的两直线平行； （3）平行线的同旁内角的平分线互相垂直． 13．潜望镜中的两个镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，入射角等于反射角（如图5-3-16，∠1=∠2，∠3=∠4）．请解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的． 14．如图5-3-17，在A，B两地之间要修建一条笔直的公路，从A地测得公路走向最北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通． （1）B地所修公路的走向是南偏西多少度？为什么？ （2）若公路AB长8km，另一公路BC长6km，且BC的走向是北偏西42°，试求A到公路BC的距离． 15．如图5-3-18所示，试说明∠DAC=∠B+∠C． 16．如图5-3-19，已知AB∥ED，∠α=∠A+∠E，∠β=∠B+∠C+∠D，求证：∠β=2∠α． 参考答案 1．A    2．B    3．C    4．C    5．A 6．垂直同一直线的两条直线平行  两直线平行，同位角相等  同位角相等，两直线平行 7．30° 8．EF  同位角相等，两直线平行  ∠2  ∠3  GD  BC  同旁内角互补，两直线平行，内错角相等 9．两直线平行  内错角相等  内错角相等  两直线平行 10．BC为∠DBE的平分线． 理由是：因为∠2+∠7=180°，∠1+∠2=180°，所以∠1=∠7，所以AB∥CD，所以∠3=∠C．又因为∠ADC=∠ABC，∠1=∠8=∠7，所以∠5=∠4，所以AD∥BC，所以∠6=∠C．又因为∠5=∠6，所以∠3=∠4，所以BC为∠DBE的平分线． 11．因为AB∥CD，所以∠BAG=∠DGA（两直线平行，内错角相等），所以∠BAG—∠BAE=∠DGA—∠DGF，即∠EAG=∠FGA，所以AE∥FG（内错角相等，两直线平行），所以∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）． 12．（1）如果两个角相等，那么它们的余角相等 （2）如果两条直线垂直于同一条直线，那么它们互相平行 （3）如果两条射线分别是平行线的同旁内角的平分线，那么这两条射线互相垂直 13．提示：利用条件∠1=∠2，∠3=∠4，说明∠5=∠6． 14．（1）48°，因为两直线平行，内错角相等  （2）由条件可以计算出∠ABC=90°，所以A到BC的距离为AB=8km． 15．解：如图5，过A作AE∥BC，则∠EAC=∠C，∠DAE=∠B，所以∠DAC=∠DAE+∠EAC=∠B+∠C． 16．如图6，过C作CF∥AB．