正切函数图像与性质讲义

正切函数图像与性质讲义正切函数图像与性质讲义锐意前行，思无止境;勇往直前，赢在锐思～锐思教育学科教师辅导教案辅导科目: 高中数学学员姓名:夏琳年级: 高一学科教师:刘春媛课时数:3 第 12 次课授课主题正切函数图像与性质 (1)用单位圆中的正切线作正切函数的图象; 教学目标 (2)用正切函数图象解决函数有关的性质; 授课日期及时段 2016.2.21 10:00-12:00 教学内容 1(设置情境前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，但常见的三角函数还有正切函数，今天我们来探讨一下正切...

正切函数图像与性质讲义锐意前行，思无止境;勇往直前，赢在锐思～锐思教育学科教师辅导教案辅导科目: 高中数学学员姓名:夏琳年级 : 高一学科教师:刘春媛课时数:3 第 12 次课授课主题正切函数图像与性质 (1)用单位圆中的正切线作正切函数的图象; 教学目标 (2)用正切函数图象解决函数有关的性质; 授课日期及时段 2016.2.21 10:00-12:00 教学内容 1(设置情境前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，但常见的三角函数还有正切函数，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质。 2(探索研究由研究正、余弦函数的图象和性质的方法引出正切函数的图象和性质。下面我们也将利用单位圆中的正切线来绘制图象( yx,tan (1)用正切线作正切函数图象 1分析一下正切函数yx,tan是否为周期函数, ? sin()sinxx，,, fxxxfx()tan()tan()，,，,,,,,,cos()cosxx，,, yx,tan ?, 是周期函数，是它的一个周期( , 我们还可以证明，是它的最小正周期(类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个 ,,,,yx,tan周期上的图象，下面我们利用正切线画出函数，的图象( x,,,,,22,, 锐意前行，思无止境;勇往直前，赢在锐思～作法如下: ?作直角坐标系，并在直角坐标系轴左侧作单位圆( ?把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线( ?描点。(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线)( ?连线 ( 图1 根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右扩展，得到正切函数，yx,tan ,(,,)xRxkkZ,,，,的图象，并把它叫做正切曲线(如图1)( ,2 图2 (2)正切函数的性质请结合正切函数图象研究正切函数的性质:定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性(? ,,,定义域: xxkkZ|,,，,,,,2,, 锐意前行，思无止境;勇往直前，赢在锐思～ ?值域: R ?周期性:正切函数是周期函数，周期是( , O ?奇偶性:，?正切函数是奇函数，正切曲线关于原点对称( tan()tan,,,xx ,, ?单调性:由正切曲线图象可知:正切函数在开区间内都是增函(,),,，，,kkkZ,,22数( 强调:a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数 b.正切函数在每个单调区间内都是增函数 c. 每个单调区间都包括两个象限:四、一或二、三 3(例题分析 , 【例1】求函数yx,，tan() 的定义域( 4 ,yx,，tan() 分析:我们已经知道了的定义域，那么与有什么关系呢,yz,tanyz,tan4 ,,,zxzx,，yx,，tan(),，令，我们把说成由和复合而成。此时我们称yz,tan444 ,,zxyx,，tan(),，为复合函数，而把和为简单函数 yz,tan44 ,,,,zx,，解:令，那么函数的定义域是 yz,tanzzkkZ|,,，,,,,42,, ,,,xkxzk，,,，,，由，可得 ,,424 ,,yx,，tan(){|,}xxkkZ,，,所以函数的定义域是 ,44 解题回顾:这种解法可称为换元法，因此复合函数可通过换元法来求得。 ,y,tan(2x,)练习1:求函数的定义域。 4 锐意前行，思无止境;勇往直前，赢在锐思～【例2】不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小: (1) 与 ; 1113,,(2) 与 ( tan(,)tan(,)45 分析:比较两个正切函数值的大小可联想到比较两个正、余弦函数值的大小。比较两个正、余弦函数值的大小是利用函数的单调性来比较。注意点是应把相应的角化到正或余弦函数的同一单调区间内来解决(类比得到比较两个正切函数值的大小的解法 ,,,, 解:(1) ？90167173180,,, ,, 又 ?，在上是增函数 yx,tan(90,270) ,, ? tan167tan173, 1111,,,tantan(,),,tan, (2)?, 444 13,13,,2tan(,),,tan,tan 555 ,,,2,,,,又 ?0,,, ，函数，是增函数， yx,tanx,,,,,45222,, ,,1113,,2tan,,,tantan()tan() ? , 即 ( 4545 解题回顾:比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到yx,tan 的同一单调区间内，利用yx,tan 的单调递增性来解决( 练习2:比较大小: (学生口答)(,) (1)tan138:_____tan143: 1317(2)tan(,,)_____tan(,,)(学生板演)(,) 45 【例3】求的周期 f(x),tan2x 锐意前行，思无止境;勇往直前，赢在锐思～ 3( 总结提炼 (1)这节课我们采用类比的思想方法来学习正切函数的图象和性质 (2)正切函数的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得一个周期上图象后，再利用周期性把该段图象向左右延伸、平移。 (3)正切函数的性质( 锐意前行，思无止境;勇往直前，赢在锐思～练习题一、选择题 1、下列不等式中，正确的是 ( ) 431312A( tanπ,tanπ B( tan(-π),tan(-π) 7745 C( tan 4,tan3 D( tan281?,tan665? 2、下列命题中正确的是 ( ) A( 在第一象限单调递增( B( 在中，x越大，y也越大 y,tanxy,tanx tanxC( 当x,0时，,0( D( 的图象关于原点对称 y,tanx 3、直线y = a(a为常数)与y = tanωx(ω>0)的相邻两支的交点距离为 ( ) ,, A(π B( C( D(与a有关的值 ,2, 4、在下列函数中，同时满足的是 ( ) ,?在(0，)上递增 ?以2π为周期 ?是奇函数 2 1A(y,tanx B(y,cosx C(y,tanx D(y,,tanx 2 33,,5、在区间(,，)内，函数与函数图象交点的个数为( ) y,tanxy,sinx22 A(1 B(2 C(3 D(5 二、填空题 1、使函数y=tanx和y=sinx同时为单调递增函数的区间是 ( ,1,2、函数y=3tan()的定义域是，值域是 ( x24 ,3、函数y=3tan(2x+)的对称中心的坐标是 ( 3 ,,,4、函数x的图象被平行直线隔开，图象与轴交点的横坐标y,tan2x，,,4,, y是，与轴交点的纵坐标是，函数的周期是，定义域是，值域是，它的奇偶性是 ( 5、比较大小: 11 32tan222:tan223:(,) ; (,) 。 (tan44:)(tan44:) 锐意前行，思无止境;勇往直前，赢在锐思～ ,,,,6、若函数的最小正周期为，则 ( a,y,tan3ax,(a,0),,23,, 三、解答题 1、写出下列函数的单调区间及在此区间的增减性: 1,,(1); (2)( ,,yx,,tan(2)yxtan()426 锐意前行，思无止境;勇往直前，赢在锐思～

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