1、从均值为100、
标准
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差为25的总体中,抽取n=100的简单随机样本,用样本均值估计总体均值。
(1) 样本均值的数学期望是多少?
(2) 样本均值的标准差是多少?
(3) 样本均值的抽样分布是什么?
(4)样本方差S2的抽样分布是什么?
解:(1)100;(2)
=
=2.5;(3)正态分布;(4)
(100-1)。
2、从一个标准差为10的总体中抽出一个容量为50的样本,样本均值为20。
(1)样本均值的抽样标准差σx等于多少;
(2)在95%的置信水平下,边际误差是多少?
解: (1)样本均值的抽样标准差σx=σ/
=10/
=1.41
(2)在95%的置信水平下,边际误差=Zμ=1.96*σx=1.96*10/
=2.7636
3、某收购站对某商品的收购资料如下:
地 区
单价(元/公斤)
收购额(万元)
甲
12
2.4
乙
10.5
3.15
丙
9
3.6
计算该商品的平均收购价格。
解:
(元/公斤)
4、某信息传呼机服务台两名接线员5天中每天接呼次数资料如下:
A接线员:120 108 76 184 165
B接线员:94 68 113 55 99
要求:根据以上资料,分别计算A、B两个接线员接线次数的全距和标准差,并从日均次数的代
表
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性接线次数日分布的均衡角度作出简要评价和
分析
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。
解: A接线员:
R=最大变量值 — 最小变量值=184-76=108
=130.6
σ=
=39.09 或S=
=43.7
=29.93% 或
=33.46%
B接线员:
R=最大变量值 — 最小变量值=113-55=58
=85.8
σ=
=21.198或S=
=23.7
=24.71% 或
=27.6%
B更具代表性
5、什么是“二手资料”?使用“二手资料”需要注意些什么?
6、 P111 4.11
答案: (1)离散系数 因为二个组变量值水平不同,用离散系数可以消除其影响。
(2)成年组:平均数=172.1 标准差=4.2 标准差系数=0.024
幼儿组: 平均数=71.2 标准差=2.3 标准差系数=0.032
幼儿身高差异大
7、 P110 4.5
解:
(元)
(元)
甲企业的总平均成本高,因为这个企业单位成本低的产品产量比乙企业少,而单位成本较高的产品产量比乙企业多,使其总平均成本高。
8、P155 5.17一工厂生产的电子管寿命X(以小时计算)服从期望值为μ=160正态分布,若要求p{120<X<200}≥0.08,允许标准差σ最大为多少? (Ф(0.11)≥0.54 )
解: p{120<X<200}=Φ(40/σ)- Φ(-40/σ)=2Φ(40/σ)-1=0.08
则Φ(40/σ)=0.54 40/σ=0.11 所以σ=363即允许标准差σ最大为363.
9、 P207 7.15
7.15在一项家电市场调查中,随机抽取了200个居民户,调查他们是否拥有某一品牌的电视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占23%。求总体比例的置信区间,置信水平分别为90%和95%。
解: n=200 p=23%
p=
=
=0.0298 ΔP=Z
p
F(Z)=90% Z=1.645时,
根据以下
公式
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: p-ΔP≤P≤p+ΔP 得置信区间[18% , 28%]
即有90%的概率保证拥有某品牌电视机的家庭的比例在18%--28%之间。
F(Z)=95% Z=1.96时,
根据以下公式: p-ΔP≤P≤p+ΔP 得置信区间[17% , 29%]
即有95%的概率保证拥有某品牌电视机的家庭的比例在17%--29%之间。
10、 P206 7.8
7.8从一个正态总体中随机抽取容量为8的样本,各样本值分别为:10,8,12,15,6,13,5,11。求总体均值95%的置信区间。
解: n=8 样本平均数=10 s=3.464 α=0.05时,tα/2(n-1)=2.3646
=
= 3.464/
=1.225(小时)
置信区间:
上限=10+2.3646*1.225=12.897
下限=10-2.3646*1.225=7.103
11、 P247 8.4
8.4糖厂用自动打包机打包,每包标准重量是100kg。每天开工后需要检验一次打包机工作是否正常。某日开工后测得9包重量如下:
99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5
已知包重服从正态分布,试检验该日打包机工作是否正常。(α=0.05)
解:μ0=100公斤 s=1.212 n=9 平均数=99.98
①H0:μ=100 H1:μ≠100
② t=
= (99.98-100)/1.212/3=-0.049
③取α=0.05 查表得:tα/2(n-1)=t0.025(8)=2.306
④因为︱t︱<︱tα/2(n-1)︱
所以接受H0,即该日打包机工作正常.
12、 P247 8.5
8.5某种大量生产的袋装食品,按规定不得少于250g。今从一批该食品中任意抽取50袋,发现有6袋低于250g。若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂,该批食品能否出厂?(α=0.05)
解:μ0=250克 n=50 л0=5% P=12%
①H0: л0≤5% H1: л0>5%
② Z=
=(12%-5%)/0.031=2.258
③取α=0.05 查表得:Zα=Z0.05=1.645
④因为Z>Zα
所以拒绝H0,即这批食品不能出厂.
13、为什么要计算离散系数?
14、某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额,在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。
(1)假定总体标准差为15元,求样本均值的抽样标准误差;
(2)在95%的置信水平下,求边际误差。
解:(1)假定总体标准差为15元,
样本均值的抽样标准误差=σ/
=15/
=2.143(元)
(2)在95%的置信水平下,
边际误差=Zμ=1.96*2.143=4.2(元)
15、P78 3.2
16.根据如下11名学生的英语考试成绩,绘制相应的箱线图.
解: 已知
,由样本数据求得
(
)
则相应的箱线图如下
17.说明直方图与条形图的主要差别.
解: 主要区别有
(1)条形图用宽度表示类别,宽度都相等,而直方图用宽度表示组距,宽度可以不相等.
(2)条形图通常分开排列,而直方图则是连续排列.
(3)条形图主要用于表示分类数据,直方图则主要用于表示数值型数据.
18.说明在参数估计和假设检验中大样本
方法
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与小样本方法的主要区别是什么?
解:(1)大样本方法对总体分布没有要求,但对样本量有要求(本课程要求样本量不小于30),只能得到统计量的渐近分布.
(2)小样本方法对总体分布有要求(本课程要求总体为正态分布),但对样本量没有要求,可以得到统计量的精确分布.
19.从某企业生产的一批袋装食品中随机抽取50包,测得每包重量(单位:克)如下,设每包重量服从正态分布,求
(1)该批袋装食品平均重量
的0.95置信区间;
(2)该批袋装食品方差
的0.95置信区间.
解: 已知总体正态,
.由样本数据得
(1)由于
得
的0.95置信区间为
即:(99.73 , 100.15)
(2) 由于
=
,
=
得
的0.95置信区间为(0.37 , 0.83)
20、下面是7个地区2000年的人均国内生产总值(GDP)和人均消费水平的统计数据:
地区
人均GDP(元)x
人均消费水平(元)y
北京
辽宁
上海
江西
河南
贵州
陕西
22460
11 226
34 547
4 851
5 444
2 662
4 549
7326
4 490
11 546
2 396
2 208
1 608
2 035
(1)计算两个变量之间的线性相关系数,说明两个变量之间的关系强度。
(2)利用最小二乘法求出估计的回归方程,并解释回归系数的实际意义。
(3)计算判定系数,并解释其意义。
(4)检验回归方程线性关系的显著性。(α=0.05)
(5)如果某地区的人均GDP为5 000元,预测其人均消费水平。
(n=7 Σx=85739 Σx2=1904918867 Σy=31609 Σy2=224483461 Σxy=651007421
F0.05(1,5)=6.61 t0.025(5)=2.5706 )
解:(1) 线性相关系数
=0.9981
说明两个变量之间的关系很密切。
(2)
= (nΣxy -ΣxΣy )/[nΣx2-(Σx)2] =0.3087
=Σy /n-
Σx /n=734.69 所以
=
+
x =734.69+0.3087x
=0.3087说明人均GDP每增加1元,人均消费水平平均增加0.3087元.
(3)计算判定系数r2:
SSE=∑e2=Σy2-
Σy-
Σxy
SST=Σy2-(Σy)2/n
r2=1-SSE/SST=0.9964
说明人均消费水平的变动有99.64%是由人均GDP变动引起来的.
(4)对回归方程的线性关系进行F检验(α=0.05):
H0: β1=0 H1: β1≠0
SSE=∑e2=Σy2-
Σy-
Σxy
SST=Σy2-(Σy)2/n
构造F统计量 F=(SST-SSE)/SSE/(n-2)=1382.23
取α=0.05 查F分布表得F0.05(1,n-2)=F0.05(1,5)= 6.61
因为F>F0.05(1,n-2),所以拒绝H0,接受H1即回归系数、回归方程显著,人均消费水平与人均GDP之间存在显著的线性相关关系。
(5)如果某地区的人均GDP为5 000元,预测其人均消费水平。
将x0=5000代入一元线性回归模型得
=
+
x =2274.69(元)
21、1980年进行的一项美国人口统计研究发现,有40%的新车买主是妇女。假定在n=120名1995年的新车买主所组成的随机样本中有57人是妇女。此项证据是否表明1995年新车买主中妇女所占的真正比例显著大于1980年的0.40?试在
=0.05显著性水平下用拒绝区方法对这个问题进行假设检验。