4 抽象函数解析式问题 高中数学 高考
四、解析式问题
2例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cosx, 求f(x)
22:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0?u?2),则f(u)=-u+3u+1 (0?u?2)故f(x)=-x+3x+1 解
(0?u?2)
小结:换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本
方法
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.
x,1,,例2、设对满足x?0,x?1的所有实数x，函数f(x)满足, ,求f(x)，，fx，f,1，x,,x,,的解析式。
x,1解:---- ？f(x)，f(),1，x (x,0且x,1),(1)x
x-1x,112x,1 (2) 用代换x得:f()，f(),,xx1,xx
112,x---(3) 再以代换(1)中的x得:f()，f(x),. 1-x1-x1,x
32(1)，(3),(2)x,x,1 由得:f(x), (x,0且x,1)222x,2x
小结:通过解方程组的方法可求
表
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达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
2例3. 已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x-4x,求f(x).
2解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax+bx+c (a?0)，代入比较系数得:a=1,b= -2,c=
2-1,f(x)=x-2x-1.
小结:如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
例4. 是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:
?f(n)>0,n?N; ?f(n+n)=f(n)f(n),n,n?N*; 121212
?f(2)=4同时成立?若存在,求出函数f(x)的解析式;若不存在，说明理由.
解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.
23x又f(2)=4=2,f(3)=2,„,由此猜想:f(x)=2 (x?N*) (数学归纳证明 略) 小结:对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系
式具有递推性，也常用递推法来求解.
31例5、已知是定义在R上的偶函数，且恒成立，当,,时，x,2,3f(x)f(x,),f(x，)22
，则当时，函数的解析式为( D ) x,(,2,0)f(x),xf(x)
A( B( C( D( x,2x，42，x，13,x，1
，，解:易知T=2，当x,(,2,,1)时,x，4,2,3,?; f(x，4),x，4,f(x)
，， 当x,(,1,0)时2,x,2,3,?.故选D。 f(2,x),2,x,f(,x),f(x)小结:利用函数的周期性和对称性把未知区间转移到已知区间，利用已知区间的表达式求未知区间的表达式，是求解析式中常用的方法。
12设y,f(x)是实数函数(即x,f(x)为实数),且f(x),2f(),x,求证:|f(x)|,2.练习:1、 x3
1112解:，用代换x,得f(),2f(x),,与已知得 x，3xf(x)，2,0xxx
22 由,,0得 9f(x),4，2,0,？|f(x)|,2.3
222.(2006重庆)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x+x)=f(x)-x+x. (?)若f(2)=3，求f(1);又若f(0)=a，求f(a);
(?)设有且仅有一个实数x，使得f(x)=x，求函数f(x)的解析表达式。 000
22解:因为对任意有(),(()-)()IxRffxxxfxxx,，,,，
22 ((2)-22)(2)22所以fff，,,，
22 (2)3,(3-22322,(1)1又由得)即fff,，,,，,
2222(II)(())().因为对任意，有xRffxxxfxxx,,，,,， (0),(00)00,()若则即fafaafaa,,，,,，,
()又因为有且只有一个实数，使得xfxx,000 2 ,()所以对任意有xRfxxxx,,，,0
2 ()在上式中令，有xxfxxxx,,，,00000
2 ()0再代，得，故fxxxxxx,,,=0或=10000002 0但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故xxxx,,,022 若xfxxxfxxx=0，则，即()0(),，,,,022 ()1,()1.若xfxxxfxxx=1，则有即易验证该函数满足题设条件。,，,,,，0
2 ()1 ()综上，所求函数为fxxxxR,,，,
f(0)3、函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0， (1)求的值;
11 (2)对任意的，，都有f(x)+2
0时,fxx()lg(1),，,求fx() x
解:?fx()为奇函数，?fx()的定义域关于原点对称， 故先求<0时的表达式。 x
?->0,?fxxx()lg(1)lg(1),,,，,,, x
?fx()为奇函数，?lg(1)()(),,,,,xfxfx
lg(1),0，,xx,?当<0时fxx()lg(1),,,? xfx(),,,,,lg(1),0xx,
15(一已知fx()为偶函数，gx()为奇函数，且有fx()+， 求fx(),gx(). gx(),x,1
fx()gx()fxfx()(),,gxgx()(),,,解:?为偶函数，为奇函数，?,,
1不妨用-代换fx()+gx()= „„„?中的, xxx,1
11fx()?即,„„? fxgx()(),，,,gx(),,,,x1x，1
x1gx()显见?+?即可消去,求出函数再代入?求出 gx(),fx(),22x,1x,1
6. 设的定义域为自然数集，且满足条件,及=1,求fx()fxfxfyxy(1)()()，,，，f(1)
fx()
y解:?的定义域为N，取=1,则有 fx()fxfxx(1)()1，,，，?=1,?=+2,„„ f(2)ff(3)(2)3,，fnfnn()(1),,，f(1)f(1)
nn(1)，1以上各式相加，有=1+2+3+„„+=? fn()nfxxxxN()(1),,，,22
y7. 已知,对一切实数、都成立，且,求证fxyfxyfxfy()()2()()，，,,f(0)0,x为偶函数。 fx()
证明:令=0, 则已知等式变为„„? fyfyffy()()2(0)()，,,x
y在?中令=0则2=2? ?0?=1 f(0)f(0)f(0)f(0)???为偶函数。 fyfyfy()()2()，,,fyfy()(),,fx()
2fmfm(1)(1)0,，,,8. 奇函数在定义域(-1，1)内递减，求满足的实数的取fx()m
值范围。
22fmfm(1)(1)0,，,,fmfm(1)(1),,,,解:由得，
2fmfm(1)(1),,,?为函数，? fx()
,,,,111m,
,2又?在(-1，1)内递减，? fx(),,,,,,,11101mm,
,211,,,mm,
29. 如果fx()=(a>0) 对任意的t有ftft(2)2)，,,,比较axbxc，，
fff(1)(2)(4)、、的大小
2y解:对任意t有ftft(2)2)，,,?=2为抛物线=的对称轴 xaxbxc，，又?a>0,其开口向上 ?f(2)最小，f(1)=f(3)
fx()?在,2，，?)上，为增函数
fffff?(3)<(4),?(2)<(1)<(4)
10(设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间,,2,3f(x)(,,,，,)f(x)
2f(x),,2(x,3)，4.上，求,,时，的解析式. x,1,2f(x)
,,,,解:当x,,3,,2，即,x,2,3，
22f(x),f(,x),,2(,x,3)，4,,2(x，3)，4
,,又是以2为周期的周期函数，于是当x,1,2，即时， f(x),3,x,4,,2
有f(x),f(x,4) 22,,,f(x),,2(x,4)，3，4,,2(x,1)，4(1,x,2).
2？f(x),,2(x,1)，4(1,x,2).
x,1(x,0且x,1)11. 设函数满足„„?，求。 f(x)f(x)f(x)，f(),1，xx
x,1,12x,1x,1f()，f(),解析:以代，得，„„? xxxx,1x
,1x,2,1f()，f(x),以代，得，„„? xx,1x,1x,1
32x,x,1x,22x,1f(x),(x,0且x,1)2f(x),1，x，,?+?-?得:所以 2x(x,1)x,1x
总结
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:在所给的抽象式中紧紧围绕f(x)，将其余的式子替换成f(x)，构造一个或几个方
程，然后设法求解。
f(x)(i,1,2,3,4)12. 如图所示，是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质:“对[0，1]i
xxf[,x，(1,,)x],,f(x)，(1,,)f(x)中任意的和，任意,,[0,1]，恒成立”的112122
只有( )
f(x)f(x)f(x)f(x)A、 B、 C、 D、 3124
()()1x，xfx，fx1212f(x)()解析:令，则不等式变为，可知函数是一个凹函,,f,i222
f(x)数，故只有正确，选A。 1
总结:函数的凹凸性在高中阶段没有专门研究，但也逐渐走入高考殿堂。
总之，因为抽象函数密切联系函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等诸多性质，加上本
身的抽象性、多变性，使得抽象函数这一难点更加扑朔迷离。因此应不断挖掘隐含，灵活运
用上述解题策略，定会收到良好的效果。
1,,2336fxfx，,13. 已知满足，求的解析式。 fxfx，，，，，，,,3x,,
u解:先令，解出， x,ux,33
1,,232fufu，,于是有: -----------? ，，,,u,,
121,,23ffu，,再以代替得: ------------? u，，,,uuu,,
164u,,f联立?、?式解方程组，并消去，解得 fu,,，，,,u55u,,
64x 即所求解析式为: fx,,，，55x
14. 若对一切自然数、都有 afabfafbab，,，，b，，，，，，且，求的解析式。 f11,fx，，，，
解:利用特殊值法 令，等式变为: a,1
， fbffbbfbb111，,，，,，，，，，，，，，，
即:， fbfbb，,,，11，，，，
注意到上式是一个关于自然数的递推关系式，令 ， 有b,1b
，有 ff2111,,，ff3221,,，b,2，，，，，，，，
，有 fnfnn,,,,，111bn,,1，，，，，，
将以上条等式左右两边分别相加，得: n,1
fnfnn,,，，，，,，，,1123111，，，，，，，，
nn,1，，即: ,，，，，,123nfnnn,，，，，，,，，,1123111，，，，，，2
xx,1，，即所求解析式为:fx, ，，2
15. 设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式。
解:在中以代换其中x，得:
再在(1)中以代换x，得
化简得:
评析:如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
16、设fx()的定义域为自然数集，且满足fxfxfyxy(1)()()，,，，,及=1,求fx() f(1)
y解:?fx()的定义域为N，取=1,则有fxfxx(1)()1，,，，
?f(2)ff(3)(2)3,，fnfnn()(1),,，f(1)=1,?=f(1)+2,„„
nn(1)，1fn()以上各式相加，有=1+2+3+„„+n=? fxxxxN()(1),,，,22
浙公网安备 33021202002483