圆锥曲线与方程知识点总结

圆锥曲线与方程 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 圆锥曲线与方程 1(掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程( 2(掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质( 3(掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质( 的初步应用( 3(有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现( 4(求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高;尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势( 第1课时 椭圆 1(椭圆的两种定义 (1) 平面 ， 之间的距离叫做焦距( 注:?当2a,|F1F2|时，P(?当2a,|F1F2|时，P点的轨迹不存在( (2) 椭圆的第二定义:到的距离的距离之比是常数e，且 定点F是椭圆的，定直线的点的轨迹叫椭圆( 常数e是 ( 2(椭圆的标准方程 (1) 焦点在x轴上，中心在原点的椭圆标准方程是: y2a 圆锥曲线是高中数学的一个重要 > >0，且 (2) 焦点在y轴上，中心在原点的椭圆标准方程是 其中a，b满足: ( ， 3(椭圆的几何性质(对 x2a2 进行讨论) (1) ? x ?y ?(2) 对称性:对称轴方 ;对称中心为 (3) 焦，长半轴短半轴长准线方 程: ( e越接近1，e (4) 离心率:，，; 越接近0，椭圆越接近于 ( (5) 焦半径公式:设F1,F2分别为椭圆的左、右焦 点，P(x0,y0)是椭圆上一点，则 ( ? 点P(3，4)在椭圆上，? (6) 椭圆的参数( 4(焦点三角形应注意以下关系: (1) 定义:r1，r2,2a (2) 余弦定理:r12，r22,,(2c)2 (3) 面积:,,?2c| y0 |(其中P(x0,y0)为椭圆上一点，|PF1|,r1，|PF2| ,r2，?F1PF2, 例 1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(,4，0)，(4，0)， 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10; (2)两个焦点的坐标分别是(0，,2)、(0，2)，并且椭圆经过点 1 2 12 解得a2,45或a2,5 又a,c，? a2,5舍去. 故所求椭圆的方程为 x2y2 法二:利用?PF1F2是直角三角形，求得c,5(以下同方法一) (2)由焦半径公式: | PF1 |,a，ex,3，| PF2 |,a,ex,3, 12 535535 ×3,4 ×3,2 12 ? ,| PF1 |?| PF2 |,×4×25,20 35 ,); 22 x2y2 变式训练2:已知P(x0,y0)是椭圆(a,b,0)上的任 ab 意一点，F1、F2是焦点，求证:以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为 直径的圆相设以PF2为直径的圆心为A，半径为r. ?F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r ?|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2(a,r)连结OA，由三角形中位线定理，知 |OA|= (3)长轴长是短轴长的3倍，并且椭圆经过点A(-3 变式训练1:根 据下列条件求椭圆的标准方程 (1) 和椭圆 1x2y2 共准线，且离心率为( 22420 42 5和，过P33 (2) 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为作长轴的垂线恰 好过椭圆的一个焦点 ( 例2. 点P(3, 4)是椭圆 x2a 2 11 故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使 题目得证。 2 例3. 如图，椭圆的中心在原点，其左焦点F，过F1与抛物线的焦点重合1的直线 y2b 2 ,1 (a>b>0) 上的一点，F1、F2是它的两焦点，若PF1?PF2求: l与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点(当直线l与x(1)求椭圆的方程; (2)求过点O、F左准线相切的圆的方程; 1，并且与椭圆的 CDAB (1) 椭圆的方程;(2) ?PF1F2的面积( 解:(1)法一:令F1(,C，0)，F2(C，0) ? PF1?PF2，? ,,1即 x2y2 ? 椭圆的方程为 2 44 ，解得c, (3)求的最大值和最小值( 解:(1)由抛物线方程，得焦点( x2y2 设椭圆的方程:( 解方程组得C(-1，2)，D(1，-2)( 由于抛物线、椭圆都关于x轴对称， ? 19 所求圆的方 程为分 24 (3) 由点?若AB垂直于x轴，则 22 ， 22 |FC|CD|1|， ?A(1, ( …………2分 22|F1A||AB| 11222 又， 22a2b 11 ，解得并推得( 22 ， 22 ? 分 22 ?若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为 因此， x22 故椭圆的方程为( …………4分 2 (2 )， 由2 得 ，方程有两个不等的实数根( 设A(x1,y1)，B(x2,y2). 圆过点O、F1， 1 圆心M在直线上( 2 设 分 22 1 ,t),则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切， 2 2 2 2 ? 123. 2 3 由 ,解得 2 3 2 1 整理， 得? 2 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 0，解得 或 2? 满足条件的k的取值范围为 ( ，所以当直线l垂于x轴时，取得最大值 22 当直线l与x轴重合时，取得最小值 变式训练3:在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件:?ABC的周长为2，记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程; (2)经过点(0, 2)且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q， 求k的取值范围; (3)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,(x1+x2，y1+y2), 由?得? 又? 因 为M)，N(0, 1)， 所以 所以与MN共线等价于 (3)已知点M，0)，N(0, 1)，在(?)的条件下，是否存在常数k，使得向量 与MN共线,如果存在，求出k的值;如果不存在，请说明理由. 解:(?) 设C(x, y), ? ，? ? 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆除去与x轴的两个交点. 将??代入上式，解 得k. 所以不存在常数k，使得向量与MN共线. 例4. 已知椭圆W的中心在原点，焦点在x轴上，离心 两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为F，过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W交 ? a c=1. ? 于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C. 2 ? 2 2 2 2 (1)求椭圆W的方程; 2x(2) 设直线l 的方程为圆方程， 得 (2)求证:; (3)求面积S的最大值. 4 x2y2 解:(1)设椭圆W的方程为，由题意可知 解得， 又因为 ， 2 所以( ……………………………………………………………10分 x2y2 所以椭圆W的方程为(62a2 (2)解法1:因为左准线方程为，所以点Mc 的方程为( a2 ，所以点M坐标为解法2:因为左准线方程为 于是可设直线l的方程为，点A，B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2), 则点C的坐 标为，，( 由椭圆的第二定义可得 得 由直线l与椭圆W交于A、B两点，可知 ，解得 设点A，B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2), 则 2 ( 3 所以B，F，C三点共线，即(…………………………………10分 (3)由题意知 ，，，y212 22 11 1 因为，， 所以， 5 1(双曲线的两种定义 (1) 平面 常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线( 注:?当2a,|F1F2|时，p( ?2a,|F1F2|时，p点轨迹不存在( (2) 平面 时动点P的轨迹是双曲线( 设P到F1的对应准线的距离为d，到F2对应的准线的距离为d2，则2(双曲线的标准方程 (1) 标准方程: 2 (6) 具有相同渐近线的双曲线系方程为 (7) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐，离心率为 ( (8) x2a2 的共轭双曲线方程为 ( ba PF1d1 PF2d2 例1(根据下列条件，写出双曲线的标准方程 (1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5( (2) 与双曲线x2,2y2,2有公共渐近线，且过点M(2，,2)( 解:(1)?顶点为(0，6)， 设所求双曲线方程为 y2a 2 x2a y2b ，焦点在 轴上; y2a x2b x2b 2 ? ，焦点在 轴上(其中:a 0， 又?? y2x2 故所求的双曲线方程为 3645 b 0，( (2) 双曲线的标准方程的统一形式: 3(双曲线的几何性质(对 进行讨论) (2) 令与双曲线x,2y,2有公共渐近线的双曲线为x,2y,k ? 双曲线过M(2，,2) ? 4,2×4,k 得k,,4 y2x2 ? x,2y,,4即 24 2 2 2222 (1) 范围:，( (2) 对称性:对称轴方程为 ;对称中心为 ( (3) 焦点坐实轴长为虚轴长为，准线方程为 ，渐近线方程为 ( (4) 离心率e，且，e越大，双曲线e越小，双曲线开口越 ，焦准距P, ( (5) 焦半径公式，设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若P(x0,y0)是双曲线右支上任意一点，是双曲线左支上任意一点，( 变式训练1:根据下列条件，求双曲线方程。 x2y2 有共同渐近线，且过点(-3，2)(1)与双曲线; 916x2y2 有公共焦点，且过点(3，2) (2)与双曲线164 的渐近线为解:法一:(1)双曲线9163 4 令x=-3，y=?4，因，故点(-3，2)在射线(x?0)及x轴负半轴之间， 3 ? 双曲线焦点在x轴上 x2y2 设双曲线方程为，(a>0，b>0) ab 7 4 解之得: 解之得:k=4 x2y2 ? 双曲线方程为 128x2y2x2y2 评注:与双曲线共渐近线的双曲线方程为(λ?0)，当λ>0时，焦 abab x2y2 点在x轴上;当λ<0时，焦点在y轴上。与双曲线共焦点的双曲线为 ab y2x222 (a+k>0，b-k>0)。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高 解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。 例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m). 解:如图8—17，建立直角坐标系xOy，使A圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合.这时 x2y2 ? 双曲线方程为944 x2y2 (2)设双曲线方程为(a>0，b>0) ab 则 解之得: x2y2 ? 双曲线方程为128 x2y2 (λ?0) 法二:(1)设双曲线方程为916 上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且，设双曲线的方 程 x2y2 为(a>0,b>0)令点C的坐标为(13，y)，则点B的坐标为(25，y, 55) 因为点B、C在双曲线上，所以 12b212b ? 9161 ? 4 x2y2 ? 双曲线方程为944 (1) 设双曲线方程为 ? 8 (负值舍去).代入方解方程组由方程(2)得 (2) 5b 252程(1)得化简得 19b+275b,18150=0 (3) ( x2y2 解方程(3)得 b?25 (m).所以所求双曲线方程为: 144625 变式训练2:一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s. (1)爆炸点应在什么样的曲线上, (2)已知A、B两地相距800 m，并且此时声速为340 m/s，求曲线的方程. 解(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上. 因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上. (2)如图8—14，建立直角坐标系xOy，使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合. 设爆炸点P的坐标为(x,y)，则即2a=680,a=340.又?2c=800,c=400,b2=c2,a2=44400. (1)解:依题意有: 解得 y2 可得双曲线方程为 3 2 x2y2 ?0,?x>0.所求双曲线的方程为: 11560044400 (x>0). 1 例中，固定底边BC，让顶点A移动，已知，且，求顶 2 (2)解:设 M(x0,y0),由双曲线的对称性,可得 设P(xP,yP),则 2 22 点A的轨迹方程( 解:取BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，因为，所以 ，c(2,0)(利用正弦定理，从条件得，即(由双曲线定义知，点A的轨迹是B、C为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为23的双曲线右支， y2 ( 点(1，0)除外，即轨迹方程为 2 12 2y0 又 322 所以同理 所以 22 x2y2 变式训练3:已知双曲线的一条渐近线方程为，两条 ab 准线的距离为l. (1)求双曲线的方程; (2)直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPM?kPN的值. x2 的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲例4. 设双曲线C:2 线C交于不同的两点P、Q。 (1)若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标; (2)求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程; (3)过点F(1，0)作直线l与(?)中的轨迹E交于不同的两点A、B，设 ， 9 若求(T为(?)中的点)的取值范围。 解:(1)由题，得，设则 由即? 2 x02 又P(x0,y0)在双曲线上，则? 2 x2 故可设直线l的方程为 ，代入中，得 2 设 且则由根与系数的关系，得? 20202020 联立?、?，解得 由题意， ?点T的坐标为(2，0) …………3分 (2)设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为(x，y) 由A1、P、M三点共线，得 2 . ……? …………2分 2 ??有，且 将?式平方除以?式，得 ? …………1分 由A2、Q、M三点共线，得 y1y24k214k2 …………1分 由 ? …………1分 联立?、?，解得 511 2 . …………1分 x 分 ? ?P(x0,y0)在双曲线上， 2 ()2 ? 2x 又 故 2 2 2 x2 分 ?轨迹E的方程为2 (3)容易验证直线l的斜率不为0。 10 288 令 x2y2 所以双曲线C的方程为。 912 (2)由双曲线C的方程可得又所以?A1PA2的重点G(2,2) 设直线l的方程为代入C的方程，整理得 12711712 ?，即 7 4 17. 2 ? 2 2 71169 而 ， ? 16232 ? 又设 ? ? 2 ]. 8 21 的双曲线C经3 变式训练4:)已知中心在原点，左、右顶点A1、A2在x轴上，离心率为 过点P(6,6)，动直线l经过?A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线 段MN的中点 (1)求双曲线C的标准方程 (2)当直线l的斜率为何值时，。 本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。 整理得 解得 2 ?? x2y2 解(1)设双曲线C的方程为 ab 2 由?，可得 2 即 333a 3? a 3636 又P(6,6)在双曲线C上， ab 由?、?解得 11 2 2 解得 且 ? ? 由?、?，得 ?? 1(复习双曲线要与椭圆进行类比，尤其要注意它们之间的区别，如a、b、c、e的关系( 2(双曲线的渐近线的探求是一个热点(?已知双曲线方程求渐近线方程;?求已知渐近线方 程的双曲线方程( 3(求双曲线的方程，经常要列方程组，因此，方程思想贯穿解析几何的始终，要注意定型(确定曲线形状)、定位(曲线的位置)、定量(曲条件求参数)( 4(求双曲线的方程的常用方法: (1) 定义法( (2) 待定系数法(涉及到直线与圆锥曲线的交点问题，经常是“设而不求”( 5(对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断( 特别地，当 时，AB为抛物线的通径，且AB, ( 2 iii) S?AOB, ( 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成P与θ的关系式)( iv) 11 为定值，且等于 ( |AF||BF| 例1. 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n的值( 第3课时 抛 物 线 p解:设抛物线方程为，则焦点是 21(抛物线定义:平面 和 距离 的点的轨迹叫抛物线， ?点 A(,3，n)在抛物线上，且| AF |,5 叫抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一 条直线)( 故解得P,4，(抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程 ? 故所求抛物线方程为 ? ，焦点为 ，准线为 ( ? ( ? ( 3(抛物线的几何性质:对进行讨论( ? 点的范围: 、 ( ? 对称性:抛物线关于 轴对称( ? 离心率( ? 焦半径公式:设F是抛物线的焦点，P(xo,yo)是抛物线上一点，则? 焦点弦长公式:设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦) i) 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB，y1y2( ii) 若AB所在直线的倾斜角为则AB, ( 12 2 2 变式训练1:求顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程( 解:因为对称轴是x轴，可设抛物线方程为或?，?p,12 故抛物线方程为或 例2. 已知抛物线C:的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B( (1) 若 16 ，求直线l的方程( 3 p2 (2) 求AB的最小值( 解:(1)解法一: 设直线l的方程为:代入整理得，设A(x1,y1),B(x2,y2) 则y1,y2是上述关于y的方程的两个不同实根，所以根据抛物线的定义知:| AB |,, 1616若，则 333 过P作PQ垂直于准线于Q点，由抛物线定义得|PQ|,| PF |，?| PF |，| PA |,| PA |，| PQ | 要使| PA |，| PQ |最小，A、P、Q三点必共线，即AQ垂直于准线，AQ与抛物线的交点为P点 从而|PA|，|PF|的最小值为此时P的坐标为(2，2) 变式训练3:一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是，在杯 。 解: 例4. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点在抛物线y,2x2上，l是AB的垂直平分线( (1)当且仅当x1，x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F, 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 你的结论, (2)当直线l的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围( 解:(1)F?,、B两点到抛物线的准线的距离相等( ?抛物线的准线是x轴的平行线，y1?0，y2?0，依题意y1，y2不同时为0(?上述条件等价于 2 y1,，x2)(x1,x2),0 17 即直线l有两条，其方程分别为: 2P3 (θ为AB的倾斜角)易知sinθ,， 2 解法二:由抛物线的焦点弦长公式 |AB|, 即直线AB的斜率k,tanθ,3， 故所求直线方程为: 或 ?x1?x2 ?x1，x2,0 即当且仅当x1，x2,0时，l过抛物线的焦点F( (2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y,2x，b，过点A、B的直线方程可写为y,,x，m 12 (2) 由(1)知，当且仅当时，|AB|有最小值4( 解法二:由(1)知|AB| , 2P4 ,2 2 所以x1、x2满足方程:2x2，x,m,0 且x1，x2,,，由于A、B为抛物线上不同的两点，所以?,，8m,0，即m,,设AB之中点为N(x0，y0)，则x0,y0,,x0，m,由N?l得:于是b, 1 2 1 ，m 16 1 2 14141 32 ? |AB|min,4 (此时sinθ,1，θ,90?) 2 变式训练2:过抛物线y,4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 ( ) A(有且仅有一条 B(有且仅有两条 C(有无数条 D(不存在 解:B 例3. 若A(3，2)，F为抛物线的焦点，P为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的P的坐标( 解:抛物线的准线方程为 13 1 2 11 ，m,,，b 164 5519，m,,, 32321616 9 ，， 即l在y轴上截距的取值范围是( 变式训练4:正方形ABCD中，一条边AB在直线y,x，4上，另外两顶点C、D在抛物 线 y,x上，求正方形的面积( 设C、D的坐标分别为(y12，y1)，(y22，y2)( y1> y2)，则直线CD的斜率为1( ? 2 2 2 , 1 ,1，即y1，y2,1 ? B(x2，y2),直线AB的斜率为k，则:,AB,=————————或: —————————( 利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理( 当弦过圆锥曲线的 焦点时，可用焦半径进行运算( 3(中点弦问题: 设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆 x2y2 上不同的两点，且x1?x2，x1，x2?0，M(x0，y0)为a2b2 又| CD |,,,2(y1,y2) | BC |, 2 21 2 21 (y12,y1，4恒正) 2 AB的中点，则 两式相减可得 b2a 2 由| CD |,| BC |，有2(y1,y2),解?、? 得 y1,2或y1,3 2 ? 当y1,2时，有| BC |,32，此时SABCD,18 当y1,3时，有| BC |,52，此时SABCD,50 ? 正方形的面积为18或50( 要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然后用待定系数法( 2(利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化( 3(涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算( 4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的几何性质( 即 ( 对于双曲线、抛物线，可得类似的结论( 22 ，1与双曲线3x,y,1相交于A、B两点( (1) 当a为何值时，A、B两点在双曲线的同一支上,当a为何值时，A、B两点分别在双曲线的两支上, (2) 当a为何值时，以AB为直径的圆过原点, 解: (1) 联立,a)x,2ax,2,0 ? 消去y 显然a?3，否则方程?只有一解，于是直线与双曲线至多一个交点( 若交点A、B在双曲线同支上，则方程?满足: 或 2 第4课时 直线与圆锥曲线的位置关系 1(直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方 程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为?，?>0时，有两个公共点，?,0时，有一个公共点，?<0时，没有公共点(但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解(即直线与曲线只有一个交点)时，直线与曲线未必相切，在判定此类情形时，应注意数形结合((对于双曲线，重点注意与渐近线平行的直线，对于抛物线，重点注意与对称轴平行的直线) 2(直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦(设弦AB端点的坐标为A(x1，y1)， 14 ?(,6，,3)?(3，6) 若A、B分别在双曲线的两支上，则有: ?(,3， (2) 若以AB为直径的圆过点O，则OA?OB，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由于x1，x2,x1x2, 2a ( 2 2a ， 据对称性知，所以 是中点弦P1P2所在直线的斜率，由P1、P2在双曲线上，则 2222 有关系(两式相减是: ?y1y2,(ax1，1)(ax2，1),a(x1，x2)，a2x1x2，1 22a ,a2，a2，1,1 2 ?OA?OB ?x1x2，y1y2,0 ? 2 ，, 2 ?? 此时?,0，符合要求( 变式训练1:已知直线y,(a，1)x,1与曲线y2,ax恰有一个公共点，求实数a的值. 解:联立方程为 2 所求中点弦所在直线为，即( (2)可假定直线l存在，而求出l的方程为，即 方法同(1)，联立方程，消去y,得 (1) 当a,0时，此时方程组恰有一组解 当a?0时，消去x得? 若? 若得1， 然而方程的判别式，无实根，因此直线l与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l不存在( x2y2 变式训练2:若椭圆的弦被点(4，2)平分，则此弦所在直线的斜率为 369 ,0，即a,,1方程变为一次方程，,y,1,0，方程组恰有一组解 ?0，即a?,1，令?,0 a ，解得a,, a5 ( ) A(2 B(,2 C( D(, 4 5 13 12 此时直线与曲线相切，恰有一个公共点，综上所述知，当a,0，,1，,时，直线与曲线只有一个公共点( 例2. 已知双曲线方程2x2,y2,2. (1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程; (2) 过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点,这样的直线l如果存在，求出它的方程;如果不存在，说明理由( 解:(1)即设A(2,1)的中点弦两端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则有关系(又 解:D 2 例3. 在抛物线y,4x上恒有两点关于直线y,kx，3对称，求k的取值范围( 解法一:设B、C关于直线对称，直线BC方程为，代入得， ，C(x2,y2)，设B(x1,y1)、则中点M(x0,y0)， ?点M(x0,y0)在直线l上，? ，即?，代入，得 kkk 解得 15 解法二:设B(x1,y1)，C(x2,y2)关于l对称，中点M(x0,y0)，则 ? y,0或y, 2at a2t 2at 22 ? 点B的纵坐标为 2a2t , 相减得:?，则 1k k ? S(t),S?ABC,2S?AOB,|OA|?yB 2 ?M(x0,y0)在抛物线(1)求椭圆C的离心率; (2)若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l: 12 8 PQ 5 x 相切，求椭圆C的方程. 解:?设Q(x0，0)，由F(-c，0 解:(1) 直线AB的方程为:y,t(x，a)， 由得 16 A(0，b)知 b2 分 c 2 设P(x1,y1),由 88b5 ，得 2 x2y2 A( 43x2 C( 4 x2y2 B( 34 2 8b225 ()(b)2 因为点P在椭圆上，所以2 ab 1 整理得2b=3ac，即2(a,c)=3ac，故椭圆的离心率e 2 2 2 2 2 y2 D( 4 2( AB是抛物线y2,2x的一条焦点弦，|AB|,4，则AB中点C的横坐标是 ( ) A(2 C( 3 2 B( 52 12 D( b23 ?由?知，得; c2 2 又 c11 ，得， a22 3( 若双曲线 ( ) A(2 C(4 x2y22 的一条准线与抛物线y,8x的准线重合，则双曲线的离心率为 8b 31 于是Fa，0)， Q(a,0) 22 11 ?AQF的外接圆圆心为(a，0)，半径|FQ|=a……… 22 B(22 D(42 12 4( 已知抛物线y,2x2上两点A(x1，y1), B(x2，y2)关于直线y,x，m对称，且x1x2,, 那 么m的值等于( ) A( B( C( 2 D(3 y2 5(已知双曲线x,,1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF则点M到,0， 2 2 1 所以，解得a=2，?c=1，b=3， 2 x2y2 所求椭圆方程为43 曲线的位置关系时，注意数形结合;用判别式的方法时，若所得方程二次项的系数有参数，则需考虑二次项系数为零的情况( 2(涉及中点弦的问题有两种常用方法:一是“设而不求”的方法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系，它能简化计算;二是利用韦达定理及中点坐标公式(对于存在性问题，还需用判别式进一步检验( 3(对称问题，要注意两点:垂直和中点( 5232 轴的距离为 ( ) A( B( C( 23 D( 343 53 6(点P(,3，1)在椭圆 x2a 2 y2b 2 的左准线上，过点P且方向为a,(2,,5)的光线， 圆锥曲线单元测试题 一、选择题 1 1( 中心在原点，准线方程为x,?4，离心率为的椭圆方程是 ( ) 2 经直线y,,2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 A( 13 B( 33 ( ) 17 C( 12 D( 22 x2y2 12(双曲线3x,4y,12x，8y,4,0按向量平移后的双曲线方程为，则平移向 43 2 2 x2y2 7( 椭圆上有n个不同的点:P1，P2，…，Pn，椭圆的右焦点为F，数列{|PnF|} 431 是公差大于的等差数列，则n的最大值是 ( ) 100 量, ( 13(P在以F1、F2为焦点的双曲线 —————————( x2y2 上运动，则?F1F2P的重心G的轨迹方程是169 A(198 B(199 C(200 D(201 8( 过点(4, 0)的直线与双曲线值范围是( ) A(| k |?1 C(| k |?3 B(| k | > x2y2 的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取412 14(椭圆 x2y2 中，以M(,1，2)为中点的弦所在直线的方程为 . 169 15(以下四个关于圆锥曲线的命题中: ? 设A、B为两个定点，k为非零k，则动点P的轨迹为双曲线; ? 过定圆C上一定点A作圆的动弦AB、O为坐标原点，若 1 ，则动点P2 D(| k | < 1 12 9( 已知θ为三角形的一个 ( ) A(焦点在x轴上的椭圆 B(焦点在y轴上的椭圆 C(焦点在x轴上的双曲线 D(焦点在y轴上的双曲线 10(下列图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2 双曲线离心率分别为e1、e2、e3，则( ) F2 2 F1? F2 的轨迹为椭圆; 2 ? 方程2x,5x，2,0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; x2y2x2 ? 双曲线与有相同的焦点( 25935 其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号)( 三、解答题 16(已知双曲线的离心率为2，它的两个焦点为F1、F2，P为双曲线上的一点，且?F1PF2,60?，?PF1F2的面积为12，求双曲线的方程( 22 17(已知动圆C与定圆x，y,1 B(e1 < e2 < e3 C(e1,e2 < e3 D(e1,e2 > e3 二、填空题 11(抛物线y,x2上到直线2x,y,4的距离最近的点是 . 18 18(如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b，且交抛物线 于M(x1,y1)、N(x2,y2)两点( (1)求动圆圆心M的轨迹C的方程; (2)过点P(0，2)的直线l与轨迹C交于不同的两点E、F，求的取值范围( (1) 写出直线l的截距式方程; (2) 证明: ; y1y2b x2y2 21(已知椭圆的左、右焦点分别是F1(,c, 0)、F2(c, 0)，Q是椭圆外的 ab (3) 当时，求的大小( x 动点，满足，点P是线段F1Q与椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足,0，|TF2|?0( (1) 设x为点P的横坐标，证明; (2) 求点T的轨迹C的方程; 2 (3) 试问:在点T的轨迹C上，是否存在点M，使?F1MF2的面积S,b,若存在，求?F1MF2的正切值，若不存在，请说明理由( x ca 19(设x，y?R，,j为直角坐标平面2. C 3. A 4. B 5. C 6. A 7. C 8. B 9. B 10. D 11. (1，1) 12. (,2，,1) 9x2 ,32y，73,0 15. ?? 13.16 16. 解:以焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标 系，如 右图所示: 设双曲线方程为: x2y2 所以 (3) 设直线OM，ON的斜率分别为k1，k2 则 依题意有: 当a,2p时，知y1y2,,4p2，x1x2,4p2 所以，k1k2,,1，即,90?( 19(( 1 ) 解:令M(x，y)，F1(0,,2)，F2(0，2) 则a,F1，b,F2，即 |a|，|b|,|F1|，|F2|，即|F1|，|F2|,8 又? F1F2,4,2c，? c,2，a,4，b2,12 所求轨 迹方程为 y2x2 解之得:a2,4，c2,16，b2,12 x2y2 故所求双曲线方程为: 412 17(解:(1) 设C(a,b),则 ?C与?,0 当，即时， ? x1x2，y1y2,0 得k,5 4 18(解:(1) (2) 由直线方程及抛物线方程可得: by2，2pay,2pab,0 故 5 所求直线方程为y,x，3( 4 20(解:(2，0)，依题意有|MA?|，,2 ， |MA| 20 ,23 ,22 ?点M的轨迹是以A?、A为焦点，23为长轴上的椭圆，?a,，c,2 ?b2,1(因此点 M的轨迹方程为 x2 x 消去x得:(k2，3)y2,4k2y，4k2,3,， 3 2 ? ,cos0?,|PE|?|PF|,t1t2, 12 9 由,得:? (2) 解法一:设l的方程为x,k(y,2)代入 由?,0得16k4,(4k2,3)(k2，3),,1 设E(x1，y1)，F(x2，y2)， 则y1，y2, ，yy, 12 21((1) 证法一:设点P的坐标为(x，y) 由P(x，y)在椭圆上，得 |F1|,, a 2 2 又,(x1，y1,2)，,(x2，y2,2) ,x1x2，(y1,2)(y2,2) ?, 高考荟萃 2009年高考题 ,k(y1,2)?k (y2,2) ，(y1,2)(y2,2) ,(1， 2 c a , ??0?k2,1 ?3?k2，3,4 ? x2y2 1.(2009浙江文)已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在 ab 椭圆上，且轴，直线AB交y轴于点P(若A则椭圆的离心率是( )， 解法二:设过P(0，2)的直线l的参数方程为 (t为参数，为直线l的倾角 x2 代入中并整理得: 3 A 11 B C( D( 32答案:D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向 量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用( (1，，，9,0 22 由?,,36(1，,0 得:, 又t1t2, 12 9 【解析】对于椭圆，因为，则 2 2.(2009山东卷文)设斜率为2的直线l过抛物线的焦点F,且和y轴交于点A, 若?OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ). 2 21 【解析】: 抛物线)的焦点F坐标为(,0),则直线l的方程为 【答案】A a 4a4 x2y2 5.(2009天津卷文)设双曲线的虚轴长为2，焦距为2，则 ab 双曲线的渐近线方程为( ) 【答案】C 【解析】由已知得到故渐近线方程为 它与y轴的交点为所以?OAF的面积为|线方程为故选B. a 21aa 解得所以抛物242 12 x 22 答案:B. 【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一. ，因为双曲线的焦点在x轴上， b2 【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推 理能力。 6.(2009辽宁卷文)已知圆C与直线x,y,0 及x,y,4,0都相切，圆心在直线x，y,0上，则圆C的方程为 3.(2009安徽卷文)下列曲线中离心率为的是 (A) A. B. C. D. 【解析】圆心在x，y,0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等即可. 【答案】B 7.(2009宁夏海南卷文)已知圆C1:，圆C2与圆C1关于直线 x2y2cc【解析】依据双曲线的离心率可判断得 选B。 aaba2 【答案】B 4.(2009安徽卷文)直线过点(-1，2)且与直线垂直，则的方程是 A(C. B. D. 对称，则圆C2的方程为 (A)(B)(C)(D) 【答案】B 2 2 2 2 2 2 2 2 【解析】可得l斜率为 3 23 即，选A。 2 22 【解析】设圆C2的圆心为(a，b)，则依题意，有，解得:， 对称圆的半径不变，为1，故选B。. 1 |20)到直线的距离为，解得a=1 | 【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。 11.(2009宁夏海南卷文)已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为AB的中点，则抛物线C的方程为 。 【答案】 【解析】设抛物线为y2,kx，与y,x联立方程组，消去y，得:x2,kx,0，,k,2 x2y2 8.(2009福建卷文)若双曲线的离心率为2，则a等于 a3 A. 2 B. C. 3 D. 1 2 解析解析 由 可知虚轴，解得a=1a23aa 22×2，故 12.(2009年广东卷文)(本小题满分14分) 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为 或a=3，参照选项知而应选D. 9.(2009年广东卷文)以点(2，)为圆心且与直线相切的圆的方程3 ,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G2 25 【答案】 2 2 2 上一点到F1和F2的距离之和为12.圆的圆心为 【解析】将直线化为 圆的半径 25 程为 2 2 2 2 2 2 所以圆的方 点Ak. (1)求椭圆G的方程 (2)求的面积 (3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由. 10.(2009天津卷文)若圆与圆的公共弦长为 2 2，则a=________. 【答案】1 【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 23 x2y2 【解析】(1)设椭圆G的方程为:()半焦距为c; ab 1 ，利用圆心(0，a 则 解得 222 ，或，，解得(舍去) 333 14. (2009山东卷文)(本小题满分14分) 解方程组得即 2 要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使? 设在平面直角坐标系中,已知向量向量 动点M(x,y)的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (2)已知 1 ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交4 即即且 12 2 2 点A,B,且为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知 1 ,设直线l与圆相切于A1,且l与轨迹E只有一个公共点4 , B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解:(1)因为 所以即 要使需使即 所以即且即恒成立. 所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线, 2 2 2 2 2 2 2 2 当m=0时,方程表示两直线,方程为当时, 方程表示的是圆 当且时,方程表示的是椭圆; 当时,方程表示的是双曲线. 42 所以圆的半 径为所求的圆为 x212 (2).当时, 轨迹E的方程为设圆心在原点的圆的一条切线为 44 x2222 ,与交于点或当切线的斜率不存在时,切线为 22 也满足 25 综上, 存在圆心在原点的圆 4 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点5 在直角三角形OA1B1中 4422 因为22RR A,B,且OB. x21 (3)当时,轨迹E的方程为设直线l的方程为因为直线l与圆 44 相切于A1, 由(2 )知因为l与轨迹E只有一个公共点B1, 2 2 2 4 4当且仅当R(1,2)时取等号,所以即 2R 当R(1,2)时|A1B1|取得最大值,最大值为1. 【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题. 15.(2009安徽卷文)(本小题满分12分) 即?, 222 由(2)知得 2 即有唯一解 2 2 已知椭圆(a,b,0)的离心率为圆与直线y=x+2相切， (?)求a与b; ，以原点为圆心。椭圆短半轴长半径的 (?)设该椭圆的左，右焦点分别为和，直线过且与x轴垂直，动直线与y 则?即轴垂直，交与点p..求线段P? 垂直平分线与的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型。 由??得此时A,B重合为B1(x1,y1)点, 2 x2y2c【思路】(1 )由椭圆中及建立a、b等量关系，再根据 aab 直线与椭圆相切求出a、b. (2)依据几何关系转化为代数方程可求得，这之中的消参就很重要了。 【解析】(1)由 于?? 又?3aa2a23b2=2,a2=3 因此， 由中所以 12 |OB|点在椭圆上,所以所以, 11122 R43R 2 1 (2)由(1)知F1，F2两点分别为(-1，0)，(1,0)，由题意可设P(1，t).(t?0).那么 t 线段PF1中点为N(0,)，设M(x、y)是所求轨迹上的任意点.由于 2 26 则 则 2即 1616 ,其轨迹为抛物线(除原点) 16.(2009江西卷文)(本小题满分14分) 解得 x2如图，已知圆是椭圆 2 2 x232k 将(3)代入 得则异于零的解为 设，则 为椭圆的左顶点. (1)求圆G的半径r; 32k132k2 (2)过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于E，F证明:直线EF与圆G相切( 则直线FE的斜率为: 2 32k1( FE于是直线的方程为 即 32k13 解: (1)设B()，过圆心G作于由 37 即 则圆心(2,0)到直线FE的距离 (本小题满分14分) 而点B()在椭圆上(2009天津卷文) 16x2y2 (2) 已知椭圆()的两个焦点分别为，过点 ab 22 由(1)、 (2)式得,解得或的直线与椭圆相交于点A,B两点，且 c 422 (2) 设过点M(0,1)与圆相切的直(?求椭圆的离心率 9(?)直线AB的斜率; 27 故结论成立. (?)设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点在的 外接圆上，求 n 的值。 m 2 3 3c2，当时，得A(0,2c)由已知得 (3)由(2)知，x1 【答案】(1) n22c2 (2)(3) m5a33 线段AF1的垂直平分线l的方程为 【解析】 (1)解:由，得 |EF2||F2B|1 从而 |EF1||F1A|2 直线l与x轴的交点222 a2 c3122，整理得，故离心率 2a3a ，(2)解:由(1)知，所以椭圆的方程可以写为 2 2 2 2 ccc (,0)是的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为 直线F2B的方程为 ，于是点H(m,n)满足方程组 ，故由，解得 当 a2 )即设直线AB的方程为 由已知设A(x1,y1)B(x2,y2)则它们的坐标满足方程组 2n22 时，同理可得 【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，圆的方程等基 础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的思想，考查运算能力和推理能 力。 18.(2009辽宁卷文)(本小题满分12分) 已知，椭圆C以过点A(1，)，两个焦点为(,1，0)(1，0)。 (1) 求椭圆C的方程; (2) E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明 直 线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 消去y整理，得 322 依题意， 而 3 2 ，有题设知，点B为线段AE的中点，1222 2222 所以 联立三式，解得，将结果代入韦达定理中解得 28 x2y2 。 (22)解:(?)由题意，c,1,可设椭圆方程为 因为A在椭圆上，所以 19322 ，解得,3，,(舍去)。 即直线EF的斜率为定值，其值为 1 。 (((((((12分 2 x2y2 所以椭圆方程为 (((((4分 ( ( 43x2y23 (?)设直线,,方程:得，代入得 243 19.(2009宁夏海南卷文)(本小题满分12分) 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个项点到两个 焦点 的距离分别是7和1 (I) (II) 求椭圆C的方程‘ 若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点， 3 (3+4k2) 2 设,(xE，yE)，,(xF，yF)(因为点,(1，)在椭圆上，所以 3 2 OPOM 3 ， (e为椭圆C的离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 解: (?)设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得 3 yE。 (((((((8 2 分 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代k，可得 { 解得a=4,c=3, x2y2 所以椭圆C的方程为 167 (?)设M(x,y),P(x,y1),其中由已知得 3 ， 3 。 2 。 而 所以直线EF的斜率 32222 ，故? 4 21 , 由点P在椭圆C上得 16 29 代入?式并化简得 (I)由已知得，椭圆C的左顶点为上顶点为 所以点M的轨迹方程 为轨迹是两条平行于x轴的线段. x2 故椭圆C的方程为 4 (?)直线AS的斜率k显然存在，且，故可设直线AS的方程为，从 20.(2009福建卷文)(本小题满分14分) x2y2 已知直线经过椭圆 ab 而M( 的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S和椭 圆C上位于x轴上方的动点， 直线，AS,BS与直线分别交于M,N两点。 (I)求椭圆C的方程; (?)求线段MN的长度的最小值; (?)当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这 样的点T，使得的面积为,若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由 1016k,) 33 10 3 由得 设S(x1,y1),则得，从而 11222 ,),又B(2,0) 即S( 由得 33k 故 1 5 16k1 33k 又 解法一: 16k18 当且仅当 ，即时等号成立 33k4 30 时，线段MN的长度取最小值 43 1 4(?)由(?)可知，当MN取最小值时， 此时BS 的方程为 55 要使椭圆C上存在点T，使得的面积等于1，只须T到直线BS 的距离等于5 T在平行于BS且与BS l上。 设直线 解得或