升降算符在电子自旋和角动量耦合中应用

升降算符在电子自旋和角动量耦合中应用 ()Vol, 30 No, 530 5 第 卷 第 期 佳 木 斯 大 学 学 报 自 然 科 学 版 Journal of Jiamusi University ( Natural Science Edition) 201209 Sep,2012年 月 ) 1402(2012)05 ) 0749 ) 02:1008 文章编号 ? 升降算符在电子自旋和角动量耦合中应用 a a a b， ， ， 王东方马天义张海丰程汉池 (a, ，b, ，154007)佳木斯大学 理学院材料科学与工程学院黑龙江 佳木斯 : ，，摘 要通过升降算符的讨论给出了角动量耦合表象和非耦合表象的相互展开式求解过程 ，, 简单明了为求解类似问题提供了一种适用的方法 : ; ; 关键词升降算符耦合表象非耦合表象 O413, 1 A::中图分类号文献标识码 ^L =以上 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 适用于轨道角动量的升降算符 ? 0引言 ^ ^^ ^ ^L? iLS = S? iS,和自旋角动量的升降算符 x y ? x y ，在量子力学的所有力学量中角动量是最能,1, 2 耦合表象与无耦合表象基矢的相互展开, 显示微观世界基本物理特性的物理量之一升 ，降算符在量子力学中是一个十分有用的工具尤其 1 ,2,| j， m，l，, ，( j = l ?1 ，m = )耦合表象基矢 j ，j 是解决一些角动量耦合的问题它可以使问题 2 ^ ^^ 2 , J ，JJ， 的计算独辟蹊径为了避免在 表象中使用 j，…，j) ，2( 2l + 1) ; | l， 共有 个基矢非耦合表象基矢 z x ^ ^^ 2 1JJ，J ，带来的麻烦往往利用升降算符对 的本征 y z , ，( j = l ?1 ，mm， ，m = )j ，…，j) ，2( 2l +也有 sj 2 ，,态作用使计算变得简单方便 1) ，，个基矢表明这两个表象的基矢数目相等它们分 1角动量的升降算符，别在各自的全体角动量态的子空间中各自都构成了 , ,^ ^完备基于是这两套基矢之间可以彼此相互展开 2 ,3，4, ，JJ ，，在 的表象下根据升降算符的定义 z 下面求任一耦合表象基矢在无耦合表象中的 ^珒 J对于量子力学体系总角动量算符 的升降算符定, 展开式由于自旋角动量在任何方向都只能取两个 ^ ^ ^ ^ ^ ^^ ^ J = J+ iJ，J = J)i J，J ，J 义 易知 不是厄米 + x y ) x Y + ) ，— ，值所以自旋 轨道耦合产生的总角动量其量 2 ，算符且 ^ ^ ^ ^ 1 + + ? ，j = l ( 1)子数只能有两个数值 正号表示两者的平J = J ，J = J + ) ) +2 ^ ^^ ^^ 2 ( 2) ,J ，J , = 0，,J，J , = ? J ?z ?? ，, 行耦合负号表示反平行耦合 ^ ^ 1 ^ ^ ^ ^ ( 3) 22 | 首先考虑平行耦合情况下的任一耦合基矢 jJ = ( J J + J J )J+ + ) ) + z 2 1 1 1 l= m +j = = l + ，m ，l，,， m，|取 并令 jj 于是 222 ^ J | j m|j，m ? 1 ,,= ( j m) (j ? m + 1) 1 1 1? 槡 1 l，,= | , + ，m + ，Ψ 则将其向非耦合 j = l + 2( 4) 22 2 1 1 ,j ' m' | ，若用左乘上式两端得 l，m， ， ,= |,， |，|表象做线性展开并令 Ψ 1 2 2 ^ ,j ' m' | J | j m , ? 1 1 , Ψ可得 2 l，m + 1， ，) ,= | ( 5)= ( j m) (j ? m + 1) δδ' 槡jj m'，m ?1 2 2 ^^ J m ，J m + 1 m' = 即 的矩阵对 是非对角的只有 的 1 1 1 ( 6)|,= A|,+ A| ,ΨΨΨ? + j = l + m = m = ) 12 ss 222 ^ m ) 1 ,，J m' = 矩阵元不为零只有 的矩阵元不为零根据归一化条件可知 ) 收稿日期:2012 ) 08 ) 30? :( L2008 ) 055) ; ( 51141009) ; 基金项目佳木斯大学科研基金项目国家自然科学专项基金项目黑龙江省教育厅科技研究项目资 ( 12521526) ; ( Ljz2012 ) 14) ,佳木斯大学科研基金重点项目 助 : ( 1973 )) ，，，，，,作者简介王东方女黑龙江佳木斯人硕士副教授主要从事物理学方面的教学与研究 222 珗珗 1 1 1 1 1 ( 7)〉 = ) (m + 1) 〉〈|〉 = A+ A= 12LS || ?Ψ ΨΨ Ψ j = l + 2j =l +j = l + m = m = ) s s 22222 2 1 1 + A/ A,于是只需决定 即可得展开式 m = m = ) l( l + 1)( 9))m ( m + 1) | 〉 Ψ ss 221槡 2 2 2 由于珗珗 = L+ S+ 2LS ( 6) J?作用于式的两端得到为此用 ^ ^^ ^ ^ ^ 珗珗2L?S | 1 1 〉= ( 2LS+ L S + L S )|〉ΨΨ j = l +z z ) + + ) j = l + 222 2 l( l + 1)= m|〉+)m ( m + 1) | ( 8) 〉 Ψ Ψ 1 槡2 2 132 2 珗珗 1 1 , , 〉 = ,L+ S+ 2L?S, 〉 =|J|11 l +l + ψ A| 〉+ A|〉ΨΨ j = l + Ψ= l + ， ， ， ， 21j m=m= )2 2 s s 22 22 3 1 1 A+ Al( l + 1) )m ( m + 1) |=〉Ψ l( l + 1)m+ + m = m= ) 1槡,, , , s s 22 4 3 1 1 ( 10)+ A|l( l + 1) )m ( m + 1)〉+ AΨ l( l + 1)+ ) (m + 1) 槡2m = m = ) , , , , s s 22 4 ( 6) ， 式 两 边 乘 以另 一 方 面将 l + m + 1 , 1 |〉 =|〉ΨΨ 1 j =l + 2 1 3 , 2l + 1槡 ，，并与上式相比较即得决定系数l + l + ， ， ， ， , 22 l )m , 1 |)〉 Ψ j =l ) 1 1 AA和 的两个方程 2 ,m = m = ) 2l + 1 s s 22槡 ( 15), 1 1 Al( l + 1) )m ( m + 1) = A( l + m + 1) )m l m = 槡m =) , ss 22 1 |〉 =|Ψ Ψ 〉 1j = l + 2 , ,2l + 1槡 11 Al( l + 1) )m ( m + 1) = A( l )m ) m = ) 槡m= , ss 22 ,l + m + 1 1 |〉+ Ψ ,( 11) j =l )2 2l + 1槡 ，这两个方程其实是一个于是得比值 3 1 结论A m = l + m + 1 s 2 ( 12)= 1 l )m A m = )槡 s ，2通过上面的推导我们可以看出升降算符的应 l + m + 1用使得电子耦合表象与非耦合表象间问题的讨论 1 =，( 7) ，A式可得上式联立根据 m = s 22l )m ，简洁明了实现了耦合表象与非耦合表象间的互相 槡 ，，l )m 表示是求解这一类问题的很好的方法对于理论 1 A=, ( 6) 于是式最后变为 m = ) s 22l + 1,计算具有一定的适用价值 槡 l + m + 1)m l 1 | 〉=| 〉+| 〉( 13)ψΨΨ j = l +1 2 22l + 12l + 1 :参考文献槡槡 ,1,周世勋，量子力学教程,M,, 北京: 高等教育出版社，2009: 1 = m +m, ，这里必须满足 类似的对于反平行耦合 j172 ) 184, 2 Q, H, Liu，D, M, Xun，andL , Shan ,R ais ing and lowering ,2, l )m operators foarn gular momentum quantum numlb iner ss pherical l + m + 11 |〉 =|〉+|〉ΨΨΨ j =l ) 1 2 2harmonics,J,, College Physics，2011，1: 19 ) 22, 2l + 12l + 1槡槡 ( 14) ,3, LeonardI , Schiff, Quantum M echanics ,M,, New Y ork:McGRAW )H ILL，1968: 362 ) 384, ，利用同样的方法可以逆过来将耦合表象基矢用耦,4, ，,M,, : ，2000: 394 ) 434,曾谨言量子力学北京科学出版社 ，合表象基矢展开其结果为 Application of Raising and Loweing Opeatos in Electonicrrrr Spin and Angula Momentum Couplingr 1 1 1 2 WANG Dong) f ang， MA，Tian) y i， ZHANG Hai )f eng， CHENG Han) c hi( 1, College of Science，Jiamusi University，Jiamusi 154007，China; 2, School of Materials Science and Engineering，Jiamusi Universi- ty，Jiamusi 154007，China) Abstract:In this paper，ther aising andl owering operators wereis cdussed, By using the raising andl ow- ering operators，the authors gavein tteherac ting formula of the waveu nfction of angular momentumin the cou- pling and non) c oupling representation, The solving process is simple and clear，which provides an applicable method forso lving the similar problems, ey wods:rasng and owerng operators; co upng representaton; non) c oupng representatonKriililiilii