高三第一轮复习函数讲义

高三第一轮复习函数讲义 函数 一、函数的概念与表示:非空实数集合之间的映射(函数定义域不能为空集);图像表示，解 析式表示，列表表示。三者有机联系～ 1(已知函数的定义域为，则函数的图像与直线的交点个数为(B) fx()yfx,()[1,5],x,1 A.0个 B.1个 C.2个 D.0个或1个 2(如图放置的边长为1的正方形PABC沿轴滚动。设顶点P(，y)的轨迹方程是，xxyfx,() 则的最小正周期为 ;在其两个相邻零点间的图像与轴所围区域fx()xyfx,() 的面积为 。() 4,1,， 说明:“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方 xxx向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转， x 当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。 x 类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。 x 注意:函数的本质，运动变化生成了函数～把图像位置特殊化处理。 cxxc，,,1,(0),9,23(已知函数且 xfx(),,fc().,,,28c,21,(1)，,,cx, 2251fx()1.,，,,x ?求实数的值;()?解不等式() cc,8482 aab,,,fxxgxx()3,()log,,，,4(对于任意实数ab,,定义设函数，则min,,ab,,,,2bab,,, 函数的最大值为( C ) hxfxgx()min(),(),,, 12 A. B. C. D. 03 (提示:估算或用选项从大到小验证) xfx()2,5(已知函数，函数gx()的图像与fx()的图像关于直线y,1对称，求gx()解析 xgx()22,,式。() 1(已知函数fx()的图像与函数的图像关于点A(0,1)对称。 6hxx()2,，，x 1fx() ?求的解析式;() fxx(),，x agx()[0,2]?若，且在区间上为减函数，求实数a的取值范围。() gxfx()(),，a,3x 1 231fx().,7(已知函数满足，求证: fx()fxfx()2(),,3x x412310fx,8(设()，求值:( 5)ffff()()()().，，，，x，4211111111二、函数的定义域:?解不等式(组);?复合函数;?实际意义。 1221(函数的定义域为 。 fxxxxx()ln(3234),,，，,,，x (，强调验算) [4,0)(0,1), 2(函数的定义域为 。() 1)0,[yx,,log(1)1 2 222Rfxaxax()(1)(1),,，,，3(若函数的定义域为，求实数的取值范围。 aa，1(，二次函数的分类讨论法，数形结合) [1,9] 23fx,4(若函数在区间上有意义，求实数的()a[21,2]aa，，22,,，,xaxa2log(68)2a 33取值范围。(。反思:与此类似，导数中在某区间上为单调函数也常先解出(,1)(,)，,42 所有单调区间再解不等式(组)) xx124，，,afx()lg,5(已知函数，其中。如果当时，总有意义，x,,,(,1]fx()aR,3 3求实数的取值范围。(。两方法:一、分类讨论;二、参变分离) aa,,4 2ykxxk,，，，lg(43)AxxB,,,,23,6(设集合为函数的定义域，当时，求BA,,, 3实数的取值范围。(，根的分布确定时的一元二次函数的实根分布问题) ,,,,4kk2 12,4]fx(log)7(若函数fx()的定义域为，则的定义域为 。() [,2]22 xb,2fxx()3(24),,,Fxgx()(),8(已知函数的图像过点(2,1)，其反函数为gx(),则 2,gx() 的值域为 。(5]2,[) P9(如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在处有一棵树与两墙的距离分别是 amam(012),4,,，不考虑树的粗细，现在想用长的篱笆围成一个矩形花圃ABCD,设16m 2Sfa,()此矩形花圃的最大面积为S,若将这棵树围在花圃内，则函数(单位)的图像大m(((( 2 致是(C) AD SSSS amP 4m aaaa BCOOOO ABDC 提示:除直接推算外，还有同等周长的正方形面积比长方形面积大～ 三、函数的值域和最值: ?配方法 (已知函数 1fxxx()2.,,, 的单调区间;(增区间;减区间) ?写出fx()(,1],[2,),,，,[1,2]?解不等式;() fx()3,x,3 yaa,,(2)?设求在上的最大值。(当时，; a,0,fx()[0,]a01,,amax y,1yaa,,(2)当112,,，a时，;当a,，12时，。反思:用极值点和端maxmax 点值确定值域是这类题讨论的关键～) 2AxRxaByRyxxACzzxxA,,,,,,,,，,,,,2,23,,,2(设集合，,,,,,, 1求使的实数的取值范围。() aCB,,,a32 2fxaxax()4(1)3,，，,3(当时，函数在时取得最大值，求实数的取值x,(0,2]ax,2 1范围。(，提示:也可化为不等式恒成立问题) a,,2 24(设为实数，函数 afxxxaxR()1,.,，,，, ?讨论fx()的奇偶性;(当时，没有奇偶性;当时，偶函数) a,0a,0 131112ya,，1?求fx()最小值。(当时，;当时，;当a,a,,ya,,,,,aminmin22422 3时，) ya,，min4 2yxx,,25(函数在区间[,]ab上的值域是[1,3],，则点(,)ab的轨迹是图中的(A) ABADABA.线段和线段 B.线段和线段 CD AD3 ADBDC.线段和线段 D.线段和线段 BCAC 提示:除直接推算外，关注选项的不同点，代点验证也可以～ BC 1 ,11O 3 2fxxmx()3,，，6(如果函数对任意的实数都有，且在闭区间上tftft()(4),,,[,0]a有最小值最大值，则实数的取值范围为(C) ,1,a3 A. B. C. D. [3,2],,[4,2],,[4,0],[3,1],, 提示:除直接推算外，关注选项的不同点，代点验证也可以～总结自对称、互对称两组公式～ ?图像法 xfxxR()(),,,NyyfxxM,,,(),1(设函数，区间，集合，Mabab,,[,](),,1，x 则使成立的实数对有 个。(0个，提示:直接推算或数形结合，画图时讨(,)abMN, 论借助奇函数或先知其类型再描点) 4fx()1,,2(已知函数的定义域为，值域为，那么满足条件的整[,](,)ababZ,[0,1]x，1 数对共有 个。(个) (,)ab5 43(已知是偶函数，当时，，且当时，yfx,()x,,,[3,1]nfxm,,()fxx(),，x,0x 1恒成立，则的最小值为 。(，总结恒成立与存在成立) mn, a4(已知函数 fxxbabR()(,).,，，,x ?若曲线yfx,()在点Pf(2,(2))处的切线方程为yx,，31，求fx()的解析式; 8() fxx()9,,，x ?求fx()单调区间;(分aa,,0,0讨论) 117?若对任意不等式fx()10,在上恒成立，求实数的范围。() [,1]a,[,2],b,b424 a,3,5(如果关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围。(或，xax,，,,12a,,1总结:?用具体例子说明函数图像直接画法与类型描点画法;?总结上yxaxb,,,, 述函数最值规律;?把?中结论推广至型函数) xxxxxx,，,，，,12n6(若命题为真命题，求实数a的取值范围。() pxRxxa:,23，,,,，,a,,5 []3,[1.08]2.,,,,,7(对于实数x，符号[]x表示不超过x的最大整数，例如:定义函数 4 则下列命题中正确的是( ) fxxx()[],,, 1 A. B.方程有且仅有一个解 C.是周期函数 D.是增函数 f(3)1,fx()fx()fx(),2 选C.提示:先判断类型再画图(因为具有周期性，所以按周期判断)～ []x 118(给出定义:若(其中)，则叫做离实数最近的整数，记做 mxmxm,,,，mZ,22 fxxx(),,，在此基础上给出下列关于函数的四个命题: xm,,,,, k1R?函数的定义域是，值域为;?函数的图像关于直线 yfx,()yfx,()x,[0,]22 111()对称;?函数是周期函数，最小正周期为;?函数在 yfx,()yfx,()[,],kZ,22 上是增函数。其中正确命题的序号为 。(???) ?复合函数换元法(滚雪球) x11(若，求函数的值域。(，反思:若为选择题可用[4,12],yx,,loglog(3)x,[,9]332727 选项代人验证～) 2xy,2(已知，求函数的值域。() (0,2)x,021，x 22fxaxax()lg[(1)(1)1].,,，，，3(已知函数 5R ?若定义域为，求实数的范围;(，或) fx()aa,a,,13 5R?若fx()值域为，求实数的范围。() a1,,a3 2xaxa,，4(若函数y,,21值域为，求实数的取值范围。(或) [0,)，,aa,0,a,4 2yaxbxc,，，25(设且，抛物线被轴截得的弦长为求证: abc,,,xl,abc，，,0 323.,,l 32PfxxaxbxabR()(,),，，,6(已知函数的图像过点Pf(1,(1))，且在点处的切线的方 yx,,86.程为 ab,,,4,3 ?求ab,的值;() 114?求函数fx(sin)f(1)6,,的最值;(最大值;最小值) f(),,327 x32yfxex,,(),[0,1][2,43]eee，,?求函数的值域;() 5 14xyfxe,()?求函数的值域。() [,),，,27 ?几种常见分式函数的值域 1fxxx()log(1)2log(2),，,，1(求函数的最大值。() 222 22(关于的方程至少有一个负实数根，求实数的取值范围。() xaaxx,,,210a,,1 2xx，,2243(求函数的值域。() [3,6],yx,,,(0)25(1)x, 224(1)x，4(求函数的最小值。() y,2225(32)(23)xx，， ?几种常见根式函数的值域 1(求函数的值域。(，提示:换元法或导数法或设 (,1],,yxx,，,12xnxm,,,,12线性规划的方法) (1,2]2(求函数的值域。(，提示:三角换元或或导数法或圆的参数方程) yxx,，,1 2[1,2],3(求函数的值域。() yxx,，,1 22(1)(1)1xy,，,,xy,4(已知满足方程且，要使恒成立，求实数的y,1xym，，,0m取值范围。() m,,1 2x2，,y15(已知椭圆，过原点作斜率大于的直线与椭圆交于两点， AB,O04 CD(2,0),(0,1)，求四边形面积的最大值。(22) ACBD 6(求函数的值域。([1,)，,) yxx,，,1 7(求函数的值域。() (0,1]yxx,,,1 2yxx,，,2(0)Axy()，Bxy()，ll8(已知函数ykx,与的图象相交于，，，分别 112212 2yxx,，,2(0)ll是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点( xAB，MN，12 k,22(I)求的取值范围;() k Mxx,xtt(II)设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值121 x11域;(，定义域为，所以值域为) t,,(),,，0(02)，2x1 6 (III)试比较与的大小，并说明理由(是坐标原点)((相等) OMONO 6(2,0),(2,0)9(已知椭圆的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线与椭yt,C3 PP圆交与不同的两点，以线段为直径作圆,圆心为。 MN,CMN 2x2，,y1(?)求椭圆的方程;() C3 3PP(0,),(?)若圆与轴相切，求圆心的坐标;() x2 P2y是圆上的动点，当变化时，求的最大值。() (?)设Qxy(,)t ?不等式法 ，xyR,,1(若，且，则有(A) xyxy,，,()1 xy，,，2(21) A. B. xy,，21 2C. D. xy，,，(21)xy,，2(21) 2,,fxaxbxc(),，，2(已知二次函数的导数为，对于任意实数，都有 fxf(),(0)0,x f(1)2，则最小值为 。() fx()0,,f(0) 12，ababR，,,1,,3(已知，则的最小值为(A) ，ab 322，222，122， A. B. C. D.22 提示:均值或多变量化为单变量或二次函数或验证法～ Afxx()log(1)1,,，4(当a,0,且时，函数的图像恒过点A,若点在直线 a,1a mnmxyn,，,0上，则的最小值为 。(22) 42， ?几何含义法 21(y,|x，1|，x,4x，4的最小值为 ______。() 3 2222(x，1)，yx，y,2x2(若，则的取值范围是_________。(9],1[) y22(2)3xy,，,xy,3(如果实数满足，那么的最大值是 ( B ) x 7 331A( B( C( D( 3223 224(的最小值为 。(10) yxxxx,,，，,，2248 22cosx[,],5(求函数的值域。() y,443sin，x 26(设函数fxaxbxaabR()(2)(2)(,),，，，，,的定义域为则的取值范围R,3ab，为 。() [6,),，, 1a27(已知函数且)，若实数使得有零点，ab,fx()fxxaxbxR()(,，，，，,x,02xx 422则的最小值为 。(，提示:几何方法和选填方法) ab，5 四、函数的单调性 (31)4,1axax,，,,1(已知是上的减函数，那么的取值范围是(C) (,),,，,afx(),,log,1xx,a, 1111(A) (B) (C) (D) (0,1)[,)(0,)[,1)7337 (3)3,7,,,,axx,*{}aafn,()()n,N{}a2(已知函数若数列满足，且是fx(),,nnnx,6ax,7.,, 递增数列，则实数的取值范围是( C ) a 99 A. B. C. D. (2,3)(1,3)(,3)[,3)44 xxxx,(),,fxxfxx()()，,3(对于函数fx()定义域中任意的有如下结论:?; 12121212 fxfx()(),xxfxfx，，()()121212fxxfxfx()()(),，,0?;?;?当 f().,1212xx,2212 fxx()lg,时，上述结论中正确的有 。(??) 4(已知定义在区间上的函数的图像如图所示，对于满足的任意[0,1]yfx,()01,,,xx12xx,，给出下列结论: 12 fxfxxx()(),,, ?; 2121 xfxxfx()(),?; 2112 fxfxxx()()，，1212? ,f().22 8 其中正确结论的序号是 ((把所有正确结论的序号都填上)(??) 5(给出以下数列 anN,*:,,,n n2an,，21 ?;?;? ln.ann,，，1a,nnn1n， aa，nn，2 其中满足性质“对任意正整数都成立”的数列有 (写出满足条件的,na,n，12 aa,,1,58a所有序号);若某数列满足上述性质，且，则的最小值为 。 a,,12010n (??;) 28 2fxx()(2),,6(对于函数?，?，?，判断如下三fxx()cos(2),，fxx()lg(21),,， 个命题的真假: 命题甲:是偶函数; fx(2)， 命题乙:在上是减函数，在上是增函数; fx()(),,,，(2)，，, 命题丙:在上是增函数( fxfx(2)()，,(),,，,， 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是( D ) ,(?? ,(?? ,(? ,(? 提示:排除?后，看选项，不必在看?了～?列举x,,1,0,1,2,看看即可～ fxax()log(2),,7(函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为( C ) (3,4)aa 211 A.(0,1) B. C. D. (,1)(0,][,1)322 7 提示:用选项不同点可验证～用定义域中验证更快～～～～～～雷人方法～～～～ x,2 xx2fxaaaaa()(31)(0,1),,,,,8(如果函数在区间上是增函数，那么实数的[0,)，,a 取值范围是(B) 323(1,3][,1) A. B. C. D. (0,][,)，,332 1提示:可用ff(1)(0),验算得～ ,,a13 Rxy,,yfx,()9(已知函数的定义域为，当时，fx()1,，且对任意的实数R，等 x,0 af,(0){}afxfyfxy()()(),，式成立(若数列满足，且 n1 1afa,()(n,N*)，则的值为(B) 2009n，1fa,,(2)n 9 A( B( C( D( 4016401740184019 Rfxxfxfx()()()1，,，，10(若定义在xxR,,上的函数满足:对任意有,fx()121212则下列说法一定正确的是(C) (A)为奇函数 (B)为偶函数 fx()fx() (C)为奇函数 (D)为偶函数 fx()1，fx()1， 五、函数的奇偶性: 21(判断函数的奇偶性。(奇函数) fxxx()lg(1),，， 注意:定义域和等价条件～用一个特殊值代入初步先判断～ x41,fm()2,fxx2(设()21.,,，且，则 。(22,) fm(),,，1x2 2R3(若函数是定义在上的奇函数，则 ， 。 fxxaxb()lg(2)lg,，，,a,b, () ab,,,1,2 4(函数的图像是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图)，则不等式 yfx,() 22(,0)(,1],的解集为 。() fxfxx()()2,,，22 R5(若,()x与gx()都是上的奇函数，且fxaxbgx()()()2,，，,在(0,)，,上有最大值 5, ,1则fx()在(,0),,上有最 值为 。(小;) 提示:可取axbgxx,()()3sin，,即可～～～～ 6(已知函数fx()满足:?fxfx(1)(1)，,,;?在[1,)，,上为增函数。 xx,,0,0xx，,,2 若，且，则有( B) 1212 fxfx()(),,,fxfx()(),,,fxfx()(),,, A. B. C. D.不确定 121212提示:轴对称的用二次函数举例，中心对称的用一次函数举例～～～～ R7(已知定义域为的函数fx()满足fxfx()(4),,,，，当时，fx()单调递增，若 x,2xx，,4(2)(2)0xx,,,fxfx()()， ，且，则的值(B) 121212 A.恒大于 B.恒小于 C.可能等于 D.不能确定 000 fxxfxfx()()(),，xx,fxxRx()(,0),,8(设函数对任意非零实数均满足，则 121212 10 为(A) fx() A.偶函数 B.奇函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.不能确定 9(已知函数满足且，则为(A) fx()fxyfxyfxfy()()2()(),，，,,f(0)0,fx()A.偶函数 B.奇函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.不能确定 六、函数的周期性:7个公式和对称中心与周期的逆命题、对称轴与周期的逆命题、对称中心及对称轴周期的三者“知二推一” 1fx(1)，,,1(已知函数满足，且时，，则 。 fx()x,,,(2,1]fxx(),f(104.,,5)fx() 2 (，提示:首先判断是用周期，若忘了周期或没学过的可用具体数试周期～～～～) 3 R2(是定义在上的偶函数，是奇函数，且若则fx()gx()gxfx()(1).,,g(1)2001,,,, 。(- f(2002),2001) log(1),0,,xx,2R3. 定义在上的函数满足，则的值为(C ) fx()f(2009)fx(),,fxfxx(1)(2),0,,,,, A.-1 B. 0 C.1 D. 2 提示:条件二可化为fxfxx()(6)(3),,,，如求就不能用周期了～～～～～～～～ f(1) R4(设函数是定义域为的函数，且又，fx()fxfxfx(1)[1()]1().，,,,，f(2)22,，则 。(22，) f(2006), TRT5(已知fx()是定义在上的奇函数，且是最小正周期为的周期函数，则 。f(),,2(，用性质或用特殊函数yxT,,sin,2,) 0 R6(已知函数fx()是定义在上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有 x 5fx()xfxxfx(1)(1)(),，,，则 。(，用性质或设) ,,,ff[()],gxx()sin202x fx()f(2)0,fx()7(若R上的函数为奇函数，且以为周期，，则函数在区间0,6T,3，，上至少有 个零点。(5个，提示:因为问至少有几个零点，所以 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 不唯一，所举例不一定是最少的～) 1R8(设函数fx()fxfx()(1),,,,是定义在上的奇函数，在上单调递增，且满足给(,1)2 12f(1)0,fx()fx()出下列结论:?;?函数的周期是;?函数在上单调递增;(,0),2 fx(1)，?函数是奇函数。其中正确命题的序号是 。(???，提示:在实在不 11 会做的情况下，可设) fxx()sin(),,, 3R9(已知定义在上的函数满足:且是奇函数，给出下fx()fxfx(3)()0,，，,fx(),2 3列三个命题:?函数的周期为;?函数的图像关于点对称;?函数 fx()fx()(,0),62 y的图像关于轴对称。其中真命题的序号为 。(???) fx() 七、函数的图像:四大变换 21(函数有 个零点。() fxxx()lg(2)1,，, 12yx,，22(方程的解可视为函数的图像与函数的交点的横坐标。xx，,,210y,x 44xxxk,,,(4),xik,若方程的各个实根所对应的点均(,)(1,2,,)xax，,,4012kixi yx,在直线的同侧，则实数的取值范围为 。() aora,,,6,6a ,43(若函数的图像关于直线对称，则实数 。(，提示:可a,yxa,，log2x,23 用求解～) ff(0)(4), R4(已知函数fx()为上的奇函数，且在区间上单调递增，fxfx(2)()，,,，则下[1,0], 列不等关系成立的是(A) 133313 A. B. fff()()(1),,fff()()(1),,2332 133313C. D. fff()(1)(),,fff()(1)(),,3223 ,,fxfx()(),5(设fxxx()sin.,若，且，则下列结论中必成立的是(D) xx,[,],,121222 22xx,xx,xx，,0xx, A. B. C. D. 12121212 1,,1x,,2x,1Rfxbfxc()()0，，,fx(),6(设定义域为的函数，若关于x的方程有三, ,1,1x,, 222xxx，，,xxx,,,个不同的实数解则 。() 5123123 f(x),log|x|，1(0,a,1)7(函数的图象大致为( A) a 12 xx,ee，8(函数y,的图像大致为( A). xx,ee, yyyy 1 1 11 x O 1 1OOO1 xxx1 D A B C 提示:结合极限思想～～～～ 13